Ôn chương III- Dãy số- cấp số -t.sỹ

Định nghĩa : Cấp số cộng là một dẵy số hữu hạn hay vô hạn mà trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi ,mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số không dổi d ,nghĩa

ÔN TẬP : CHƯƠNG II- DÃY SỐ ; CẤP SỐ CỘNG -CẤP SỐ NHÂN

A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT :

I Dãy số :

Yêu cầu các em nắm chắc một số lý thuyết về dãy số sau :

1 Các định nghĩa :

- Dãy số là gì ?

-Dãy số vô hạn ,dãy số hữu hạn ,

- Thế nào là số hạng của dãy số

2.Cách cho dãy số : có ba cách

- Cho dãy số bằng công thức tổng quát

-Cho bằng công thức truy hồi

- Cho bằng lời ,cách xác định một số hạng của dãy số

3 Định nghĩa dãy số tăng,giảmvà cách chứng minh một dãy số là dãy số tăng,giảm :

- Có hai cách chứng minh :

a Dãy số tăng : Nếu với mọi nthuộc N*ta có Un+1>Un

• Nếu Un+1-Un >0 thì Un là một dãy tăng (phương pháp thông dụng nhất )

• Nếu các số hạng của dãy số đều là các số hạng dương thì ta xét tỷ số :

Nếu : : Kết luận Un là một dãy số tăng

Nếu: : Kết luận Un là một dãy số gảim

Nếu : : Kết luận dãy số là một dãy hằng số

b Dãy số bị chặn :

- Dãy số bị chặn trên : Tồn tại M sao cho với mọi n thuộc N* : Un ≤M

Thì ta nói rằng dãy số bị chặn trên tai M

- Dãy số bị chặn dưới : Tồn tại số m sao cho với mọi n thuộc N* ta có Un≥m

Thì ta nói rằng dãy số bị chặn dưới tại m

c Dãy số bị chặn :

Nếu tồn tai hai số m,M sao cho m≤Un≤M Thì ta nói rằng : dãy số là bị chặn

II Cấp số cộng

1 Định nghĩa :

Cấp số cộng là một dẵy số (hữu hạn hay vô hạn )mà trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi ,mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số không dổi d ,nghĩa là : un= un-1+d

Số d gọi ;là công sai của cấp số

2 Tính chất :

Định lý : Nếu un là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai ,mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn )đều là trung bình cộng của hai số hạng kề nó trong dẵy ,tức là : un = un+1+un-1 /2

3 Số hạng tổng quát :

Định lý 2: Nếu cáp số cộng có số hạng đầu là u1 và có công sai d thì số hạng tổng quát của nó được xác định như sau: un= u1+(n-1)d

4 Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng :

Định lý 3: Gỉa sử Un là một cấp số cộng ,Với mỗi số nguyên dương n Gọi sn là tổng của n số hạng đầu tiêncủa nó (Sn= u1+u2+u3+ +un ) Khi đó :

III Cấp số nhân

1 Định nghĩa :

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn )mà trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi ,mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng dứng ngay trước nó nhâvới một số không đổi q ,nghĩa là :

Dãy (un) là cấp số nhân Với mọi n≥2 ,un= un-1.q (số q được gọi là công bội của cấp số nhân ).

Xác định một dãy số là một cấp số cộng-cấp số nhân :

* Xuất phát từ định nghĩa ,dãy (un) là cấp số nhân khi và chỉ khi

Ta dẫn đến bài toán sau:

* Cho dãy số (Un ), [ cho bằng công thức tổng quát ,hay cho bằng công thức truy

hồi ] ,chứng minh (hay xem )nó có là cấp số nhân- cấp số cộng hay không?

Phương pháp giải :

1 Nếu dãy số là cấp số nhân :

- Xét tỷ số :

+) Học sinh tự chứng minh công thức sau :

Với um,uk là hai số hạng bất kỳ trong cấp số nhân

2 Nếu dãy số là cấp số cộng :

• Nếu hiệu này là một hằng số ,thì ta trả lời : Dãy số là một cấp số cộng với công sai d

• Yêu cầu học sinh chứng minh công thức sau :

Với m>k ,và um,uk là hai số hạng bất kỳ trong cấp số cộng

Một số ví dụ minh hoạ :

Ví dụ 1.

Cho dãy số (un)với un=22n+1

a Chứng minh dãy (un)là cấp số nhân Nêu tính tăng ,giảm của dãy số ;

b Lập công thức truy hồi của dãy số ?

Bài giải :

a Lập tỷ số :

=

Suy ra Vậy (un) là một cấp số nhân có công bội là q=4 Khi n=1 thì u1=

Công théc tổâng quát của un là un=8.4n-1

Do q>1 cho nên cấp số nhân trên là một cấp số tiến

Do đó công thức tuy hồi của cấp số nhân là :

Ví dụ 2:

Dãy số (un) cho như sau :

a Lập dãy (Vn)với Vn= Un+1-Un Chứng minh dãy (Vn) là cấp số nhân ?

b Lập công thức tính Un theo n?

Bài giải :

a Từø giả thiết suy ra : 3un+1=2un+un-1

Vậy : (vn) là cấp số nhân có công bội q=-1/3 và v1=1

a)Ta xét tỷ số :

Suy ra :

Vậy un là cấp số nhân ,có công bội q=25, số hạng u1= (-5)3=-125

b) Ta xét tỷ số :

=

Chứng tỏ un là một cấp số nhân ,có công bội q= 27 và có số hạg u1= (-3)3=-27

c) Ta xét tỷ số :

,không là hằng số ,vì vậy un không là cấp số nhân

u u

Vậy : Do đó (xn) là một cấp số nhân ,có công bội q= 1/5,có số hạng x1=

Phương pháp giải :

• Theo đầu bài thì A= u1 và B= uk+2 Theo tính chất của số hạng tổng quát của cấp số nhân ta có : B=u1.qk+1=A.qk+1 Suy ra qk+1 =

• Biến đổi tỷ số thành dạng

• Kết luận : Có m-1 số thêm vào giữa hai số A và B ,các số là k1=m1-1; k2=m2-1;

• Chú ý : Áp dụng công thức :

Thì làm nhanh hơn

* Đối với cấp số cộng thì sử dụng công thức :

Với m,k ,um,uk đẫ biết

Một số ví dụ áp dụng :

Ví dụ 1:

a) Viết năm số xen vào giữa hai số 1 và 729 để được một cấp số nhân có bẩy số

hạng Xác định cấp số nhân này và tính tổng của chúng

b) Viết sáu số xen vào giữa hai số -2 và 256 để được một cấp số nhân có tám hạng Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 15 là bao nhiêu ?

b)Tương tự a) ta có phương trình

Do đó 6 số viết vào là : 4;-8;16;-32;64;-128

Theo kết quả của bài 1 Ta có phương trình :

Với q=2 Năm số thêm vào là : 3,6,12,24,48

Với q=-2 Năm số thêm vào là : 3,-6,12,-24,48

Bài toán 3: Tìm một cấp số nhân

* Để tìm một cấp số nhân ,ta chỉ cần xác định được số hạng u1 và công bội q là được

Vì vậy đầu bài cho ta luôn tìm cách đưa về hệ gồm hai phương trình có hai ẩn số là u1

và q

* Để làm được bài toán này ,ta hay sử dụng công thức số hạng tổng quát :

* Hoặc sử dụng hai công thức :

MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1 Giải bài tập phần luyện tập (tr-121-GT11-NC)

Bài 38 Chọn khảng định đúng trong các khảng định sau đây

a Nếu các số thực a,b,c mà abc≠0.theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân với công sai

khác không thì các số :

theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng

b Nếu các số thực a,b,c mà abc≠0.theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân với công sai khác không thì các số: , theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số nhân

Vậy cả hai khảng định trên đều không đúng

Bài 39 Các số x+6y ; 5x+2y , 8x+y theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng ; đồng thời

các số x-1,y+2 ,x-3y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân Hãy tìm x,y?

Bài giải :

Theo đầu bài và tính chất của hai cấp số cộng và nhân ta có hệ PT sau :

Bài 40 Cho cấp số cộng (un)với công sai khác không Biết rằng các số u1.u2 ,u2u3 và

u3u1 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân với công bội q≠0 Hãy tìm q ?

Bài giải :

Theo đầu bài ,và theo tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân ta có :

- Theo tính chất của cấp số cộng : u2=u1+d ,u3=u1+2d và theo tính chất của cấp số nhân thì

Theo đầu bài : thì

Với :

Do vậy đáp số : q=-2

Bài 41 Số hạng thứ hai ,số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công

sai d ≠0 ,theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó ?

Bài giải :

a Gọi u1,u2,u2 ,thứ tự là ba số hạng của một cấp số cộng : u2=u1=d ;u3=u1=2d

b Cũng theo thứ tự đó ,nếu chúng lập thành cấp số nhân thì ta có phương trình :

Theo tính chất của cấp số nhân ta có :

Bài 42 Hãy tìmba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân ,biết rằng tổng của chúng

bằng 148/9 đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu ,số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng ?

Bài giải :

Nếu gọi : là các số hạng của cấp số cộng Còn a,b,c theo thứ tự là ba số hạng đầu của một cấp số nhân Theo đầu bài ta coa hệ phương trình sau :

Lấy phương trình (3) sau khi nhân với 3 ,trừ cho phương trình (2 ) sau khi nhân 2 vế với

7 (khử d ở hai PT này ).ta được PT :

* Với q=1 ,thay vào (1) :

Vậy cấp số nhân là :

.Bài 43 Cho dãy dãy số (un) xác định bởi :

U1=1 và un+1=5un+8 với mọi n≥1

a Chứng minh dãy (vn),với vn=un+2 là một cấp số nhân Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó ?

b Dựa vào kết quả của phần a) hãy tìm số hạng tổng quát của dãy (un)?

Bài giải :

a.Theo đầu bài thi ta có :

Do đó công thức tổng quát của vn là :

Vì :

Ta có :

(là hằng số ) Vậy chứng tỏ là một cấp số nhân

b Dựa vào kết quả của câu a) ,số hạng tổng quát của dãy (un) là :

Ví dụ 2 Tìm cấp số nhân ,biết :

Bài giải :

Theo tính chất của cấp số nhân ,ta có kết quả sau :

Từ đó ta có PT :

Với cách chia hai vế của (1) cho x2≠0 và đặt x= q+1/q với điều kiện

Với điều kiện (*) ta chọn x= Khi đó : q+1/q =

Ta giải PT tìm được q=2 và q=1/2

Với q=1/2 ta có cấp số nhân là : 8,4,2,1 (u1=8 ,q=1/2 )

Với q=2 thì ta có cấp số nhân là : 1,2,4,8 (u1=1 ,q=2 )

Bài toán 4 : Chứng minh một đẳng thức cho sẵn

* Phương pháp chung :

* Sử dụng tính chất của cấp số nhân u22=u1.u3 và định nghĩa :un=u1.qn-1,thay vào trong biểu thức ,rút gọn sẽ được kết quả

Phải linh hoạt trong quá trình biến đổi

Một số ví dụ minh hoạ :

Do ta thay b2=ac ,suy ra b(ac)=b3 ;

Ví dụ 2 Giả sử a,b,c,d theo thứ tự lập thành một cấp số nhân Chứng minh rằng :

(a-c)2+(b-c)2+(b-d)2-(d-a)2=0

Bài giải :

Khi khai triển ta có kết quả của vế trái là

2b2+2c2-2ac-2bd-2bc-+2da (*)

Do tính chất của cấp số nhân thì : b2=ac ;c2=bd và ad=bc=aq3

Vậy vế trái =0

* Trên đây ta có ba dạng toán rất hay thường gặp trong các bài tập về cấp số nhân Mong rằng các em xem kỹ các ví dụ minh hoạ mà tôi đã trình bày ở trên để rút ra kinh nghiệm giải toán

B Phần giải bài tập :

I Trong GT11-CB,(Từ trang 107 đến 109 ).

Bài 1 Khi nào thì cấp số cộng là là một dãy số tăng ,giảm ?

Xét :

Vậy cấp số cộng là một dãy tăng khi d>0 ,là dãy số giảm khi d<0

Bài 2 Cho cấp số nhân có u1<0 và công bội q Hỏi các số hạng khác mang dấu gì trong các trường hợp sau :

Bài giải :

b )Từ công thức tổng quát : ,do 0 nên nếu u1<0 ,thì :

* Nếu n là một số chẵn thì >0 do q<0 Vậy các số hạng khác sẽ mang dấu âm

* Nếu n là một số lẻ : thì ,do đó u1 >0

a)Nếu q>0 ,thì với mọi n >0 Do vậy un <0 Nghĩa là các số hạng khác mang dấu âm

Bài 3 Cho hai cấp số cộng có cùng số hạng Tổng các số hạng tương ứng của chúng

của chúng có lập thành cấp số cộng không ?vì sao ?Cho một ví dụ minh hoạ

Ví dụ : Cho cấp số cộng thứ nhất là : 1,3,5,7,9 Với u1=1 và d1=2

Cấp số cộng thứ hai là : 1,4,7,10,13, Với v1=1 và công sai d2=3

Cấp số cộng An là : 2,7,12,17,22, có a1=1+1=2 và công sai d=2+3=5

Bài 4 Cho hai cấp số nhân có cùng số hạng Tích các số hạng tương ứng của chúng có

lập thành cấp số nhân không ? vì sao ? Cho một ví dụ minh hoạ

Bài giải :

Theo bài 3 Giả sử cấp số nhân thứ nhất có số hạng đầu là u1 với công bội q1 Cấp số nhân thứ hai có số hạng đầu là v1 với công bội q2 Gọi dãy số An là một dãy số có các số hạng là tích của các số hạng tương ứng của hai cấp số trên thì ta có :

Qua trên ta thấy An chính là một cấp số nhân có số hạng đầu là tích của hai số hạng đầu của hai cấp số đã cho ,với công bội q bằng tích của hai công bội của hai cấp số đã cho

Ví dụ minh hoạ :

Cho cấp số nhân thứ nhất : 1,2,4,8 có số hạng đầu là 1 với công bội q1=2

Cấp số nhân thứ hai : 1,3,9,27 có số hạng đầu là 1 với công bội q2=3

An có các số hạng là : 1,6,36,216 có số hạng thứ nhất A1=1=1.1 với công bội q=2.3=6

Bài 5 Chứng minh rằng với mọi nthuộc N*,ta có :

a) 13n-1 chia hết cho 6 ? b) 3n3+15n chia hết cho 9

Bài giải :

a) Với n=1 13-1=12 chia hết cho 6 Vậy với n=1 đúng

Giả sử đúng với n=k (k>1): 13k-1 chia hết cho 6 (1)

Ta chứng minh với n=k+1 chia hết cho 6

Thật vậy : Khi n=k+1 ,

Do (1) chia hết cho 6,và 12 chia hết cho 6 Vậy chia hết cho 6

b)Khi n=1: 3+15=18 chia hết cho 9

- Giả sử b) chia hết cho 9 với n=k : 3k3+15k (2) chia hết cho 9

- Với n=k+1 : 3(k+1)3+15(k+1) (3) Ta chứng minh nó chia hết cho 9

Thậït vậy : (3) tưng đương với :

Do (3) : chia hết cho 9 đương nhiên chia hết cho 9 Vậy (3) chia hết cho 9

Bài 6 Cho dãy số (un) ,biết u1=2 ,

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Chứng minh rằng : bằng quy nạp ?

Bài giải :

a)Năm số hạng đầu của dãysố là : 2,3,5,9,17

b) Khi n=1 : u1=1+1=2 Đúng

Giả sử đúng với n=k :

Thật vậy :

Theo giả thiết :

Từ (4) rõ ràng (2) đúng Nghĩa là đúng với n=k+1

Bài 7 Xét tính tăng ,giảmvà bị chặn của dãy số sau :,biết :

Dãy số này không tăng và cũng không giảm vì dấu của un còn phụ thuộc vào n và dấu của sin ,cos.

c) Nhân liên hợp ,ta có : )

Vậy dãy số là một dãy số tăng

Khi n=1 u1=

Chứng tỏ un là một dãy số tăng và bị chặn dưới tại và bị chặn trên tại

Bài 8 Tìm số hạng đầu và công sai d của các cấp số cộng (un),biết :

Bài 9.Tìm số hạng đầu ø u1 và công bội q của cấp số nhân ,biết :

Bài giải :

a) Theo bài ra ta có :

b) Tương tự ,ta có hệ :

c) Tương tự ,ta có hệ :

Bài 10.Tứ giác ABCD có số đo (độ )của các góc lập thành cấp số nhân theo thứ tự

A,B,C,D Biết góc C gấp bốn lần góc A.Tính các góc của tứ giác ?

Bài giải :

Theo bài ra ta có hệ :

Bài 11 Biết rằng ba số x,y,z lập thành cấp số nhân và ba số x,2y,3z lập thành cấp số

cộng Tìm công bội của cấp số nhân ?

Bài giải :

Theo tính chất của cấp số nhân và cấp số cộng ,ta có hệ :

Bài 12 Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng Diện tích bề mặt trên của mỗi

tầng bằng một nửa diện tích mặt trên của ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1bằng nửadiện tích đế tháp Biết diện tích đế tháp là 12288 m2.Tính diện tích mặt trên cùng ?

* Nếu :

Lập thành cấp số cộng ,thì :

So sánh (1) và (2 ),ta có điều phải chứng minh

Bài tập trắc nghiệm Bài 14

làmột dãy giảm

Là một dãy số tăng

Bài 16 Nếu -2,x, 6,y là cấp số cộng ,thì 2x=-2+6=4 ;x=2 ; 12=x+y suy ra y=12-x=10

Chọn đáp án (D).

Bài 17 Nếu -4,x,-9 là một cấp số nhân ,thì

Do -4 và -9 cùng dấu cho nên x phải trái dấu Vậy đáp án đúng là (C)

Bài 18 Nếu (Un)là cấp số cộng thì :

Nhận xét :

Nhận xét tương tự ta thấy trong số các đáp án đã cho ,ta thấy đáp án (B) là một đáp án đùng vì : khi thay m=90 và n=210 thì (1) có vế phải là : 2u1+(300-2)d

=2[u1+149d]=2u150

Bài 19 Nếu dãy số là cấp số nhân thì

Trong số các đáp án cho ,ta thấy đáp án (B) là phù hợp ,vì q=3

II Trong GT11-NC (từ trang : 122 đến trang 125)

Bài 44 Chứng minh rằng :

với mọi n≥2

Bài giải :

* Với n=2 : 1.22=4 Đúng

* Giả sử đúng với n=k :

* Ta phải CM đúng với n=k+1 :

Thật vậy : Với n=k+1:

Vt=

Bài 45 Cho dãy số (un) xác định bởi công thức : u1=2

Với mọi n≥2 CM rằng :

Với mọi số nguyên dương n

Bài giải :

* Với n=2 (1) :

Vậy với n=2 đúng

* Giả sử đúng với n=k :

* Với n=k+1 : Từ (1)

Chứng tỏ với n=k+1 đẳng thức đúng

Bài 46 Cho các dãy số (un) và (vn) với

a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (an) : với an= un+vn ?

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (bn) : với bn=un-vn ?

c) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (cn) : với cn=un.vn ?

Bài giải :

a) Ta có

b) Số hạng tổng quát của bnlà :

c) Số hạng tổng quát của cn là :

Bài 47 Trong các dãy số sau đây ,dãy số nào là cấp số cộng ,dãy số nào là cấp số

nhân ?hãy xác định công sai hay công bội của cấp số đó ?

a) Dãy số (un) với un=8n+3

b) Dãy số (un)=n2+n+1 ?

c) Dãy số (un)= 3.8n ;

d) Dãy số (un)= (n+2).3n

Bài giải :

Chứng tỏ (un) là một cấp số cộng với công sai d=14

b) Ta có : ,không là hằng số ,do đó un không là cấp số cộng ,cũng chẳn là cấp số nhân

c) Xét tỷ số :

Chứng tỏ un là cấp số nhân với công bội q=8

d) Xét tỷ số :

còn phụ thuộc n ,cho nên un không là cấp số nhân và cũng không là cấp số cộng

Bài 48 Hãy chọn khảng định đúng trong các khảng định sau đây ?

a) Dãy số (un) xác định bởi u1=3 và un+1=un+5 với mọi n là một cấp số cộng ?

b)Dãy số (un) xác định bởi u1=3 và un+1=un+n với mọi n≥1 là một cấp số cộng ?

c) dãy số (un) xác định bởi u1=4 và un+1= 5un với mọi n≥1 là một cấp số nhân

d) Dãy số (un) xác định bởi u1=1 và un+1= nun với mọi n≥1 là một cấp số nhân ?

Bài giải :

a) Un là một cấp số cộng Khảng định đúng vì hiệu là hằng số

b) Khảng định sai vì còn phụ thuộc vào n