De và dap an HSG 2011

Tính khoảng cách từ A đến mpSCD HẾT... Bài ý Nội dung Điểm.

TRƯỜNG THPT TÔ VĂN ƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM 2010-2011MÔN TOÁN 12 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề ) _

Bài 1 : ( 2 điểm )

1.Cho hàm số y=- 2x+m 1+x2 .Tìm m để hàm số có cực tiểu

2.Giải hệ phương trình :

1 x

y

x y y x

- +

ïí

ïî

Bài 2: ( 2 điểm )

1.Cho hàm số f : N→N thỏa điều kiện f(f(n)) + f(n) = 2n +3 Tính f(2010)

2.Giải phương trình :3x(2+ 9x2+ +3) (4x 2)(1+ + x2+ + =x 1) 0

Bài 3: ( 2 điểm )

1.Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

x y

ïïí

ïïî

2.Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức : P x( )=(2x 1)+ 13=a x0 13+a x1 12+ + a13

Bài 4: (3 điểm )

1.Cho hình vuông ABCD cạnh a Một điểm M di động trên cạnh BC và điểm N di động trên DC

nhưng luôn có MAN· =450.Xác định vị trí của M , N sao cho diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất

2 Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc BA· D=600, góc hợp bởi (SCD) và

(ABCD) bằng 300 và (SAB) vuông góc mp(ABCD)

1.Tính thể tích khối chóp S.ABCD

2 Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD)

HẾT

Bài ý Nội dung Điểm

1

m x y

x

=- +

1

m x y

x

=- +

+ = 0 Û mx=2 1+x2 (1)

+ m= 0 , pt vô nghiệm

+ m ≠0, hàm số có cực tiểu khi pt(1) có nghiệm Û 2

1

x

+ có nghiệm

+ xét hàm số f(x) = 1 2

x x

+ trên (-∞; 0 ) và ( 0 ; +∞ ) + ta có m > 2 hoặc m < -2 thì phương trình (1) có nghiệm

+ Khi m > 2 thì hàm số có cực tiểu

2

Hệ đã cho tương đương 3 3

x y x y

x y

ïïí

ïïî + Đặt t = x – y thì hàm số VP của (1) đồng biến VT nghịch biến ,

ta có t = 1 là nghiệm duy nhất của ( 1) Þ x = y+1

Thay vào ( 2 ) , ta có f(y) là hàm số đồng biến nên có nghiệm duy nhất

y = 1 Þ x = 2

+ Vậy ( 2; 1) là nghiệm duy nhất của hệ

2 1 + lập luận : f(n ) = an +b

+ Tính đi đến a = b = 1

+ Kết luận f(2010) = 2011

2

+ Xét hàm số f(t) = t(2+ t2+ trên R3)

+ f’(t) > 0 mọi thuộc R

+ x = -1/5 là nghiệm duy nhất

3 1 + ĐK cần để hệ có nghiệm duy nhất

+ Hàm chẵn nên x = 0 Tìm a = 2 và a = 0

+ Điều kiện đủ

Nếu a = 0 thì x = kπ và y = -1 thấy không thỏa vì hệ có nhiều hơn 1

nghiệm

Nếu a = 2 thì x =0 và y = 1 là nghiệm duy nhất

2 + Xét bất đẳng thức an-1 ≤ an , ta có : a0 < … < a4

+ Ngược lại a4 > a5 > … > a12

+ a4 lớn nhất

+ Đặt ·BAM = ;a ·NAD b= khi đó α+β = 450

+

0

MAN

c a c b c a b

-+ SMax khi cos(α –β )Min tức là α = 22045’ tức là M≡C;N≡D

hoặc M≡B;N≡C và tương tự SMin khi α = 450 hoặc α = 00

Tức là M,N tương ứng là chân đường phân giác trong góc

BAC và CAD

2 a.+ Thể tích : Tính được đường cao SH = a

+ Thay tính thể tích : V =

6

a

b.Xác định được khoảng cách từ A đến (SCD)

+Tính khoảng cách là :

3 2

a