Chứng minh rằng dãy số bnn≥1 có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.. Cho tam giác ABC nhọn, không cân, có trực tâm H.. Đường tròn với tâm là trung điểm của BC và đi qua H cắt đường thẳn
Trang 1TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
———–***———–
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: Toán học Ngày thi thứ nhất Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Giải hệ phương trình
x2 +p3
y2 + 1 = py2 + 9 + 5
y2 + √3
z2 + 1 = √
z2 + 9 + 5
z2 +√3
x2 + 1 = √
x2 + 9 + 5
Câu 2 Cho dãy số (an)n≥1 được xác định bởi a1 = 1 và an = 2n − 3
2n an−1 với mọi
n ≥ 2 Ta lập dãy số (bn)n≥1 như sau: bn =
n
P
i=1
ai, với n = 1, 2, 3, Chứng minh rằng dãy số (bn)n≥1 có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Câu 3 Cho tam giác ABC nhọn, không cân, có trực tâm H Đường tròn với tâm
là trung điểm của BC và đi qua H cắt đường thẳng BC tại các điểm A1, A2; đường tròn với tâm là trung điểm của CA và đi qua H cắt đường thẳng CA tại các điểm
B1, B2; đường tròn với tâm là trung điểm của AB và đi qua H cắt đường thẳng AB tại các điểm C1, C2 Chứng minh rằng các điểm A1, A2, B1, B2, C1, C2 cùng nằm trên một đường tròn
Câu 4 Xét lưới ô vuông vô hạn Hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có cạnh chung Ta cần tô mầu n ô sao cho với mỗi ô được tô mầu có đúng một số lẻ các ô
kề với ô đó cũng được tô mầu Hỏi có thể thực hiện được hay không khi
(1) n = 2010
(2) n = 2011
www.VNMATH.com
Trang 2TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
———–***———–
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: Toán học Ngày thi thứ hai Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Cho a, b, c là ba số dương, chứng minh rằng
(a + b + c)3 ab(a + c) − 4(a + b + c)
a ≥ c 4
b − 5
a + c
Câu 2 Mỗi số n nguyên dương, ta kí hiệu T (n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Hàm số f : Z → Z được gọi là may mắn nếu phương trình T (x)
T (y) = f (y) vô nghiệm hoặc chỉ có một số hữu hạn nghiệm nguyên dương (x, y)
(1) Chứng minh rằng nếu f (x) = k2 với mọi x ∈ Z, trong đó k > 1 là một số nguyên cho trước thì f là may mắn
(2) Cho q(x) =
n
P
j=0
ajxj là một đa thức hệ số nguyên thỏa mãn q −12 6= 0 và an
lẻ Chứng minh rằng hàm số g(x) = (x + 1)(x + 3) (q(x))2 (với x ∈ Z) là may mắn
Câu 3 Cho tam giác không đều ABC Đường tròn nội tiếp tâm I của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại A0, B0, C0 Gọi A1, B1, C1 theo thứ
tự là chân các đường phân giác trong góc I của các tam giác IBC, ICA, IAB; A2,
B2, C2 theo thứ tự là chân các đường phân giác trong của các góc A0, B0, C0 của tam giác A0B0C0 và I0 là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác A0B0C0 Chứng minh rằng
(1) IA1 song song với I0A2
(2) Các đường thẳng A1A2, B1B2, C1C2 đồng quy tại một điểm nằm trên đường thẳng II0
Câu 4 Có hai đội quần vợt thi đấu với nhau, mỗi đội có n đấu thủ (10 ≤ n < 210) Biết rằng hai đấu thủ bất kì thuộc hai đội gặp nhau đúng một trận, và không có kết quả hòa Chứng minh rằng có 10 đấu thủ thuộc cùng một đội nào đó mà một đấu thủ bất kì thuộc đội còn lại phải thua ít nhất một trong 10 đấu thủ trên
www.VNMATH.com