Tính chất trung điểm: Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ JJGIA+JJGIB= 0G hay JJGAI+JJGBI= 0G Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với điểm M bất kì, ta có: JJJGMA+JJJGMB=
Trang 1HƯỚNG DẪN ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2011-2012
Môn: Toán 10
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
A Đại số:
1 Các tập con thường dùng của \: ( ; ), ( ;a b a +∞ −∞ ), ( ; ), ; , [ ; ), ( ; ], [ ;b [a b] a b a b a +∞ −∞ ), ( ; ]b Muốn tìm giao, hợp các tập số trên, ta sử dụng trục số
2 Tìm tập xác định của hàm số: Cho f x( ),g x( )và h x( ) là các đa thức, ta có:
Hàm số y= f x( ) y= f x( ) ( )
( )
= f x
y
g x
( ) ( )
= f x
y
g x
( )
( ) ( )
= f x +
g x
Tập xác định D= \ f x( ) 0 ≥ g x( ) ≠ 0 g x( ) 0 > ( ) 0
( ) 0
⎪⎪
⎨⎪ ≥
⎪⎩
g x
h x
3 Hàm số y= f x( ) xác định trên D được gọi là hàm số chẵn nếu:
∀ ∈x D thì − ∈x D
f(− =x) f x( )
Hàm số y= f x( ) xác định trên D được gọi là hàm số lẻ nếu:
∀ ∈x D thì − ∈x D
f(− = −x) f x( )
4 Sự biến thiên của hàm số
a Hàm số y= f x( ) được gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng ( ; )a b nếu:
1 , 2 ( ; ), 1 2 ( ) 1 ( ) 2
∀x x ∈ a b x <x ⇒ f x < f x
b Hàm số y= f x( ) được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng ( ; )a b nếu:
1 , 2 ( ; ), 1 2 ( ) 1 ( ) 2
∀x x ∈ a b x <x ⇒ f x > f x
c Bảng biến thiên: Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của nó Kết quả được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên
5 Bài toán lập bảng biến thiên và vẽ đồ thì hàm số y=ax2 +bx+c a( ≠ 0)
Tập xác định: D= \
Tọa độ đỉnh ;
⎛ Δ ⎟ ⎞
b I
Trục đối xứng:
2
= − b
x
a
Bảng biến thiên:
Trang 2a > 0 a < 0
2
− b
2
− b
4
Δ
−
a
y
4
Δ
−
a
Tìm giao điểm với trục Ox (nếu có) và Oy
Giao với Ox: Cho y = 0, suy ra: ax2 +bx+ =c 0 Giải phương trình tìm nghiệm Nếu
phương trình vô nghiệm, ta nói đồ thị không cắt Ox
Giao với Oy: Cho x = 0 suy ra y = c ta được giao điểm C(0;c) Tìm điểm đối xứng với C
qua trục đối xứng là ′ −⎛⎜⎜ ; ⎞⎟⎟
⎟
⎜⎝ ⎠
b
a
Vẽ đồ thị: Tùy vào hệ số a, ta có một trong hai dạng đồ thị sau:
-5
5
x y
-5
5
x y
6 Giải và biện luận phương trình ax+ =b 0 (1)
0
≠
a (1) có nghiệm duy nhất x= −b
a
0
≠
b (1) vô nghiệm 0
=
a
0
=
b (1) nghiệm đúng với ∀ ∈ \x
Ghi chú: Khi làm bài tập ta đưa phương trình về dạng ax= −b , ta quan tâm đến hệ số a và không quan tâm đến hệ số b.
7 Các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và dấu giá trị tuyệt đối: Sử dụng các công thức sau
Trang 3A B
A B
⎩
0
;
⎧ ≥
= ⇔ ⎨⎪⎢ = = ⇔⎢
= −
⎣
⎪⎢ =−
⎪⎣⎪⎩
B
Ngoài các dạng trên, học sinh sử dụng định nghĩa hoặc các phép biến đổi thích hợp khác
8 Các phương trình bậc 2, hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, 3 ẩn hệ số thực: sử dụng máy tính giải
9 Các bài toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn để giải
B Hình học
1 Quy tắc 3 điểm: Cho 3 điểm A, B, C bất kì, ta có: JJJGAB+JJJGBC=JJJGAC
2 Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: JJJGAB+JJJGAD=JJJGAC
3 Vectơ đối của aG là −aG; Vectơ đối của JJJGAB là −JJJGAB (=JJGBA)
4 Quy tắc trừ: Cho 2 điểm A, B Với điểm O bất kì, ta có: JJJGAB=OBJJJG JJG−OA
5 Tính chất trung điểm:
Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ JJGIA+JJGIB= 0G (hay JJGAI+JJGBI= 0G)
Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với điểm M bất kì, ta có: JJJGMA+JJJGMB= 2JJGMI
6 Tính chất trọng tâm của tam giác:
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔ GAJJG+GBJJJG+GCJJJG= 0G (hay JJJGAG+JJJGBG+CGJJJG= 0G)
Nếu G là trọng tâm của ABC thì với điểm O bất kì, ta có: OAJJG+OBJJJG+OCJJJG= 3OGJJJG
7 Trong mp(Oxy), ta có:
( ; )
u x y u xi y j; M x y( ; ) ⇔OMJJJG=xiG+y jG
( ; ), ′ ( ; ),′ ′ ′ ⎧⎪⎪ = ′
=
⎪⎩
8 Cho 2 điểm A x( ;A y A), ( ; )B x x B B , ta có: JJJGAB= (x B−x A;y B−y A)
9 Tọa độ của uG+v uG G G G; −v ku; : Cho uG= ( ; ),x y vG= ( ; ),x y′ ′ k∈ \, ta có:
( ; )
=
G
10 Điểm I là trung điểm của AB, ta có: ;
Trang 411 Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có: ;
12 Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ JJJGAD=JJJGBC
13.Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 sinα 0 1
1
cosα 1 3
2
2 2
1
1 2
2
2
tanα 0 3
3
cotα || 3 1 3
3 3
14 Công thức lượng giác cơ bản
sin α+ cos α = 1 tan sin ( 90 )0
cos
α
α
sin
α
α
2 2
1 1 tan
cos α = + α
2 2
1 1 cot sin α = + α
0 0 0
tan cotα α = 1 (α≠ 0 ,90 ,180 )
16 Muốn tìm tọa độ một điểm hay tọa độ của vectơ khi biết một đẳng thức thức vectơ , ta biến đổi đẳng thức vectơ thành đẳng thức tọa độ
17 Tích vô hướng của hai vectơ:
Định nghĩa: a bG G = a bG G .cos( , )a bG G
Biểu thức tọa độ: Trong mp(Oxy), cho aG= ( ; );a a1 2 bG= ( ; ),b b1 2 ta có: a bG G =a b1 1+a b2 2
Chú ý: aG⊥ ⇔bG a bG.G= 0
18 Độ dài vectơ và khoảng cách giữa hai điểm:
Cho uG= ( ; )u u1 2 , ta có: 2 2
1 2
G
Cho hai điểm A x( ;A y B); ( ;B x B y B), ta có: AB= (x B−x A) 2 + (y B−y A) 2
19 Góc giữa hai vectơ: Cho aG= ( ; );a a1 2 bG= ( ; ),b b1 2 ta có:
2 2 2 2
1 2 1 2
cos( , )
a b
G G
G G
Trang 5II BÀI TẬP ÔN:
PHẦN I: ĐẠI SỐ Bài 1: Hãy viết lại các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử
= ∈ ` − <
Bài 2: Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó:
{0;1;2;3;4}
A = B ={0;4;8;12;16} C = −{ 3;9; 27;81 − }
{9;36;81;144}
Bài 3: Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê
A = { x∈_ / (2x + 1)(x2 + x - 1)(2x2 -3x + 1) =0} B = { x∈] / 6x2 -5x + 1 =0}
C = { x∈` / (2x + x2)(x2 + x - 2)(x2 -x - 12) =0} D = { x∈` / x2 > 2 và x < 4}
Bài 4:Cho các tập hợp sau: A={x∈ \ − ≤ ≤ 5 x 4 ;} B={x∈ \ 7 ≤ <x 14 ;} C={x∈ \ x> 2 ;}
a) Dùng các kí hiệu đoạn, khoảng, nữa khoảng để viết lại các tập hợp đó
b) Biểu diễn các tập A B C D, , , trên trục số
c) Xác định A∩B A; ∪B A C A B B C A; ∪ ; \ ; \ ; ∩D
Bài 5: Tìm A ∩ B ; A ∪ B ; biết rằng :
a/ A = (2, + ∞) ; B = [−1, 3] b/ A = (−∞, 4] ; B = (1, +∞)
c/ A = {x ∈ \ / −1 ≤ x ≤ 5}; B = {x ∈ \ / 2 < x ≤ 8}
Bài 6: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) 3
2
−
=
+
x y
x b) y= 2x− 4 c) 3
4
−
=
−
x y
x d)
( 1) 3
=
x y
x x f ) 2y= x+ + 7 −x
Bài 7: Tìm tập xác định các hàm số sau:
4 5
3
−
+
x y
d)
2
3
=
+
y
x
3 4
2
−
x
( 3) 2 1
+
=
x y
2
4
=
+
y x
Bài 8: Xét tính chẵn, lẻ các hàm số sau:
a/ y = 4x3 + 3x b/ y = x4 − 3x2 − 1 c/ y=x2 − 2 x+ 5
Trang 6d/ y= 1 + +x 1 −x e/y= + + −x 1 x 1 f/ y= 2 + −x 2 −x
g/ y= 2x− − 1 2x+ 1 h/ 1 2 1
4
=
−
y
1
=
−
y
x
9
+ + −
=
−
y
4
=
−
y
2 2
4
=
−
y x
Bài 9: Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên khoảng đã chỉ ra:
a) y=x2 + 2x− 1 trên mỗi khoảng (−∞ − ; 1), (− +∞ 1; )
b) y= − 2x2 + 8x+ 1 trên mỗi khoảng (−∞ ;2 , 2;) ( +∞)
2
=
+
y
x trên mỗi khoảng (−∞ − ; 2 ,) (− +∞ 2; )
3
=
−
y
x trên mỗi khoảng (−∞ ;3 , 3;) ( +∞)
Bài 10: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :
a/ y = - 4 +3 x2 x b/ y = −x2 + 2x − 3 c) y = - x2 - 6x + 5
d) y=x2 + 2x+ 2 e) y= 2x2 − 5x+ 3 f) y= − 2x2 + 4x− 2
Bài 11: Giải và biện luận các phương trình sau:
a/ m x( − = 4) 5x− 2 b/ 2(m− 1)x−m x( − = 1) 2m− 3
c/ m x2 ( − + 1) 3mx= (m2 + 3)x− 1 d/ 3(m+ 1)x+ = 4 2x+ 5(m+ 1)
e/ (m2 − 1)x=m m( + 1)(m+ 2) f/ m x2 ( + = + 1) x m
Bài 12: Giải các phương trình sau:
a/ 2 3 2 2 5
= +
= +
x
Bài 13: Giải các phương trình sau:
a/ 2x+ = − 1 x 3 b/ |x2 − 2x| = |x2 − 5x + 6|
c/ |x + 3| = 2x + 1 d/ |x − 2| = 3x2 − x − 2
Bài 14: Giải các phương trình sau :
a/ 3x2 − 9x+ 1 = x − 2 b/ x − 2x− 5 = 4
Bài 15: Giải các phương trình sau :
a/ x4 −5x2 + =4 0 b/ 4x4 + 3x2 − = 1 0
Trang 7c/ x2 − 3x+ 2 = x2 − 3x − 4 d/ x2 − 6x + 9 = 4 x2 − 6x+ 6
Bài 16: Giải các hệ phương trình sau :
a/ 2 3 5
⎪⎪
⎨⎪ + =−
⎪⎩
⎧− + =
⎪⎪
⎨⎪ − =−
⎪⎩
⎧ + = −
⎪⎪
⎨⎪− − =
⎪⎩
x y d/
41
⎧⎪⎪ + =
⎪⎪⎪
⎨⎪
⎪⎪⎪⎩
e/
6 5
3
9 10
1
⎧⎪⎪ + =
⎪⎪
⎪⎨
⎪⎪ − =
⎪⎪
⎪⎩
f/
⎪⎪
⎪⎪− − + =
⎨⎪
⎪− + + =
⎪⎪⎩
h/
2
⎧ + + =
⎪⎪
⎪⎪ + + =
⎨⎪
⎪⎪⎩
Bài 17: Tìm số có hai chữ số, biết hiệu của hai chữ số đó bằng 3 Nếu viết các chữ số theo thứ
tự ngược lại thì được một số bằng 4
5 số ban đầu trừ đi 5
Bài 18: Một công ty có 85 xe chở khách gồm hai loại xe, xe chở 4 khách và xe chở 7 khách
Dùng tất cả số xe đó, tối đa công ty chở một lần được 445 khách Hỏi công ty đó có mấy xe mỗi loại
Bài 19: Ba cô Lan, Hương, Thúy cùng thêu một loại áo giống nhau Số áo của Lan thêu trong 1
giờ ít hơn tổng số áo của Hương và Thúy thêu trong một giờ là 5 áo Tổng số áo của Lan thêu trong 4 giờ và Hương thêu trong 3 giờ nhiều hơn số áo của Thúy thêu trong 5 giờ là 30 áo Số
áo của Lan thêu trong 2 giờ cộng với số áo của Hương thêu trong 5 giờ và số áo của Thúy trong
3 giờ tất cả là 76 áo Hỏi trong 1 giờ mỗi cô thêu được bao nhiêu áo?
Bài 20: Một chủ cửa hàng bán lẻ mang 1 500 000 đồng đến ngân hàng đổi tiền xu để trả lại cho
người mua Ông ta đổi được tất cả 1 450 đồng tiền xu các loại 2000 đồng, 1000 đồng và 500 đồng Biết rằng số tiền xu loại 1 000 đồng bằng hai lần hiệu của số tiền xu loại 500 đồng với số tiền xu loại 2000 đồng Hỏi mỗi loại có bao nhiêu đồng tiền xu?
Bài 21: Một gia đình có bốn người lớn và ba trẻ em mua vé xem xiếc hết 370 000 đồng Một
gia đình khác có hai người lớn và hai trẻ em củng mua vé xiếc tại rạp đó hết 200 000 đồng Hỏi giá vé người lớn và giá vé trẻ em là bao nhiêu?
Bài 22: Nếu lấy một số có hai chữ số chia cho tích hai chữ số của nó thì được thương là 2 dư là
18 Nếu lấy tổng bình phương các chữ số của số đó cộng với 9 thì được số đã cho Hãy tìm số đó?
Bài 23: Một đoàn xe chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây dựng thủy điện Đoàn xe có
57 chiếc gồm 3 loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe chở 7,5 tấn Nếu dùng tất cả xe 7,5 tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến và xe 3 tấn chở hai chuyến Hỏi số xe mỗi loại?
PHẦN II: HÌNH HỌC
Bài 1: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến của tam giác Gọi I Là trung điểm của AM
Chứng minh rằng:
Trang 8a) 2 JJG JJG JJG + + = 0 G
b) JJG JJG JJG + + = JJG
2OA OB OC 4 , vụựi baỏt kỡ.OI O
Bài 2:.Cho 4 điểm bất kỡ A, B, C, D và M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB,
CD.Chứng minh rằng:
a) CAJJG+DJJJGB=CBJJG+DAJJJG= 2NJJJGM
b) JJJGAD+JJJGBD+JJJGAC+JJJGBC= 4JJJGMN
c) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh rằng:2( JJG JJG JJG JJG + + + ) = 3 JJG
Bài 3: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỡ:
1) Chứng minh: a) JJJGAB+CDJJJG=JJJGAD+CBJJG
b) JJJG JJJGAB−CD=JJJG JJJGAC−BD
2) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD Gọi O là trung điểm của EF Chứng
minh rằng:
a) OAJJG+OBJJJG+OCJJJG+ODJJJG= 0G
b) JJJGMA+JJJGMB+JJJGMC+JJJGMD= 4JJJGMO
Bài 4: Cho tam giỏc ABC, gọi AM là đường trung tuyến, gọi I là trung điểm AM Chứng minh
rằng:
4JJGBI= 2JJGBA+JJJGBC
Bài 5: Cho tam giỏc ABC, K là điểm trờn cạnh AC sao cho 1
3
=
AK AC Chứng minh rằng:
3JJJGBK= 2JJGBA+JJJGBC
Bài 6: Trong mp(Oxy) cho tam giỏc ABC cú A(1,2), B(-2, 6), C(4, 4)
a) Tỡm toạ độ trung điểm I của đoạn AB
b) Tỡm toạ độ trọng tõm G của tam giỏc ABC
c) Tỡm toạ độ điểm D sao cho tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành
d) Tỡm toạ độ điểm N sao cho B là trung điểm của đoạn AN
e) Tỡm toạ độ cỏc điểm H, Q, K sao cho C là trọng tõm của tam giỏc ABH, B là trọng tõm của tam giỏc ACQ, A là trọng tõm của tam giỏc BCK
f) Tỡm toạ độ điểm T sao cho 2 điểm A và T đối xứng nhau qua B
g) Tỡm toạ độ điểm T’ sao cho 2 điểm A và T’ đối xứng nhau qua C
h) T ì m toạ độ điểm sao cho U JJJGAB= 3JJJGBU; 2JJJGAC= − 5JJJGBU
i) Tớnh cỏc tớch vụ hướng: JJJGJJJG JJJGJJJGAB BC BA BC , Tớnh CosC
Bài 7: Cho tam giỏc ABC cú M(1,4), N(3,0); P(-1,1) lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh: BC,
CA, AB Tỡm toạ độ A, B, C
Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Chứng minh rằng cỏc điểm:
a)A( ) 1;1 ,B(− 1; 7),C( )0; 4 thẳng hàng
b)A(− 1;1),B( )1;3 ,C(− 2; 0) thẳng hàng
c)A(− 1;1),B( )0;3 ,C(− 4;5) khụng thẳng hàng
Bài 9: Trong mp(Oxy) cho hai điểm A( )2;1 vàB(6; 1 − ).Tỡm tọa độ:
a) Điểm M thuộc Ox sao cho A, B, M thẳng hàng
Trang 9b) Điểm N thuộc Oy sao cho A, B, N thẳng hàng
c) Điểm P thuộc hàm số y = 2x -1 sao cho A, B, P thẳng hàng
d) Điểm Q thuộc hàm số y= 2
x − 2x+ 2sao cho A, B, Q thẳng hàng
Bài 10: Trong mp(Oxy), cho tam giác ABC có A(1;1), B(3,2), C(2;-1)
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
b) Tính diện tích tam giác ABC
c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ B
Bài 11: Trong mặt phẳng (Oxy), cho tam giác ABCvớiA(1; 2), (5; 2)B và C(1; 3) −
a) Tính chu vi của tam giác ABC
b) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 12: Cho tam giác ABC có A( 1;3), (0; 4), (5;1)− B − C
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
b) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B
Bài 13: Tính giá trị các biểu thức
2 0 2 0 0
cos 30 cos 45 cos 60
2cos 45 3sin 30 4cos90
2sin 902 0 2cos 902 0 2cos 450
4cos90 2sin 45 tan 45
5cos 0 3 3 sin 60 2cos 0 cot 45
Bài 14:
1 Cho cos 2, 00 900
5
α= < <α Tính sin , tan , cotα α α
2 Cho sin 3, 900 1800
5
α= < <α Tính cos , tan , cotα α α
3 Cho tanx= − 2, 90 0 < <α 180 0 Tính sin , cos ,cotα α α
4 Cho sin 4, 900 1800
5
x= < <α Tính cos , tan , cotα α α
5 Cho cos 5 , 900 1800
13
α= − < <α Tính sin , tan , cotα α α
6 Cho tanα= − 3, 90 0 < <α 180 0 Tính sin , cos , cotα α α
7 Cho sin 40, 900 1800
41
α= < <α Tính cos , tan , cotα α α
8 Cho cos 2,00 900
3
α= < <α Tính sin , tan , cotα α α
9 Cho cos 13, 900 1800
14
α= − < <α Tính sin , tan , cotα α α
10 Cho tanα= − 2, 90 0 < <α 180 0 Tính sin , cos , cotα α α
Bài 15: Cho tam giác ABC có A(3; 1), ( 1; 5); (5; 3) − B− − C −
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
b) Tính BA BCJJG JJJG
Từ đó tính cos B Tính cos C
Trang 10c) Tìm D∈Oy để ABJJJG= 2DCJJJG Tứ giác ABCD là hình gì?
Bài 16: Tính góc tạo bởi hai vectơ:
a) aG= (4;3), bG= (1;7)
b) aG= (2; 4), bG= (3;1)
Bài 17: Cho tam giác ABC có A( 2;1), (3; 4); (0;3)− B − C
a) Chứng minh tam giác ABC vuông Tính diện tích tam giác ABC
b) Tìm điểm D thỏa mãn JJJGAB+ 2JJJGAC= 3JJJGAD
c) Tìm điểm I thỏa mãn IAJJG+ 2IBJJG= 3ICJJG
………Hết…………