BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1... Phương pháp làm giống như ý a/.

BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

1 Bài 1: Cho hàm 1 

1 ,

n

i i i





  với xx x1 , 2 , ,x n;yy y1 , 2 , ,y nR n CMR a/ 1 là một khoảng cách trên n

R

b/ Tồn tại các hằng số dương A B, sao cho A x y,   1 x y, B x y, x y, R n trong đó  x y, là một khoảng cách Euclid trên n

R

c/ lim  k,  0 lim 1 k,  0

k  x x k  x x

Giải:

i i

Tức là  1 x y, B 1 x y,  B n

+/   1, 2, , n có  1 2  n  1 2   n (1)

(1)   x iy i x i y i Tức A x y,   1 x y,  A 1

2 Bài 2: Tìm các giới hạn

a/

0

y



b/

0

y



3 Bài 3: Xét tính liên tục tại  0, 0 của các hàm số sau:

0 ,

f x y

x y





 



1

0 ,

cos x y

f x y

x y

 



Giải:

0

0

x





 



 Hàm f x y , không liên tục tại  0, 0

2sin

,

x y cos x y

f x y



     

2

1 2

2 2

x y

x y

x y

x y



Vậy: f x y , liên tục tại  0, 0

4 Bài 4: CMR hàm số f x y , x y

x y





 không có giới hạn tại  0, 0

1

1

n

n n n

n

x n

f x y y

n



 



  



'

' ' '

2

1

n

n n n

n

x n

f x y y

n



 





Vậy: Hàm số f x y , x y

x y





 không có giới hạn tại  0, 0

5 Bài 5: CMR các hàm số sau không có giới hạn tại  0, 0

a/  ,  22

2

y x

f x y





f x y

xy

 Giải:

1

1

n

n

x

y n









  



(1)

'

'

0

1

n

n

n

x

y n



 









(2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

b/ ( Phương pháp làm giống như ý a/ )

1

1

n

n

n n

x n

y n



 



 



(1)

- Chọn    

'

'

1

2 2

1

2 2

n

n

n

x

n

y

n



 





 









(2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

6 Bài 6: Xét sự tồn tại giới hạn lặp của các hàm số sau:

a/ f x y , x y

x y





 tại  0, 0 b/    1

,

1

cosxy

f x y

x y





 tại  0,1

Giải:

x f x y y f x y

 

' '

x

x

xy



1 0

y x f x y

Mỗi x 0 có:    

1



 

x y f x y x x

0 1

x y f x y

7 Bài 7:

a/ Cho   3 2

f x y x  xy y Ta có:   2 2  

x y x y

 , 4 1  1, 0 1

x y xy

b/ f x y ,  x Ta có f  0,y  0 nên f  0, 0 0

y





 và f x , 0  x Hàm một biến này không có đạo hàm tại x 0 nên không tồn tại f  0, 0

x



 c/  , 0   0 

xy

f x y

xy





 



 Hàm gián đoạn tại  0, 0 vì 1 1  

n n

1 1

f

n n

không dần đến f  0, 0  0 khi n Tuy nhiên hàm có các đạo hàm riêng tại  0, 0 ,

f

  

y



8 Bài 8: Dùng định nghĩa, tính

a/ f  1,1

x



f x y   x y

b/ f  0, 0 ; f  0, 0

1

,

x y

f x y

x y

 

 Giải:

2 ln

x

f





1

ln 1

lim

1

3

x

x x





  



0

f x f f



9 Bài 9: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:

a/  , ln

2

y

x

  b/ f x y , arctg x

y

f x y  x y e

Giải:

b/  

'

2

1 ,

1

x

x y

x y arctg

x y

y y

 

 



  

 

 

'

2

,

1

y

y

x y arctg

x y

y y

 



 



  

 

f

0 ,

xy

x y

f x y

x y

 

 



CMR: 2f  0, 0 2f  0, 0

Giải

Tại các điểm    x y,  0, 0 , dùng các quy tắc quen thuộc, ta có:

và  

2

4 ,

Nói riêng f  0,y y y 0

x

 , 0  0

f

x

 Các đạo hàm riêng tại  0, 0 được tính bằng định nghĩa:

0

, 0 0, 0

0

x

f x f f



0

0

y

f





Theo định nghĩa của đạo hàm riêng cấp hai thì:

2

0

x

2

0

y

