Từ đó khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC là 14 7 a.. Tham khảo cách dùng BĐT Nesbit... Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi OA = OB.
Trang 1HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 01
I PHẦN CHUNG
Câu I 2 + Phương trình trung trực của AB là: d y: x 1
+ P, Q là giao điểm của d với C m Do đó, hoành độ của P và Q là nghiệm của PT: 2 1
1
mx
x x
2
3 0
x mx
Giả sử P x x( ;1 11), ( ;Q x x2 2 1)
1
2
APBQ
S AB PQPQ x x x x Sử dụng định lí Vi-et m 2
+ Để APBQ là tứ giác thì P và Q nằm khác phía với đường thẳng AB Do đó m 2
Câu II 1 + Dùng công thức hạ bậc:
2
x
+ Phương trình đã cho trở thành: 4sin 22 x8sin 2x4 3cos x2 9 0
2 2sin 2x 1 2cos x2 3 0
+ Nghiệm của phương trình:
12
x k
2 Phương trình (2) của hệ tương đương với: 2 3 3 2
x x x y x y
+ Xét hàm số f t( )t t( 23) đồng biến trên R Do đó x x3 y 1x2yx3 Thay vào PT(1) ta được: 1
x1xy1xy10
+ Xét 3 trường hợp, suy ra nghiệm của hệ là x y ; 1; 1 hoặc x y ; 0;1
Câu III + Biến đổi: x 1 14 x 1 12 1 12 x 1 1 12
ln x 1 lnx lnx ln x
+ Đổi biến t x 1
x
, ta thu được
5 2 2
ln
I t tdt
+ Sử dụng công thức tích phân từng phần, thu được kết quả
5
25 ln
9
2 2 ln 2
Câu IV * + Giả sử hình chiếu của S trên mặt đáy là điểm H Khi đó, BDSH BD, SBBDHB Do đó, HB/ /AC + Góc giữa (SBD) và mp đáy là 0
60
SBH Tính SH trong tam giác vuông SHB: SH SB.sin 600 a 6 + Từ diện tích mặt đáy bằng 2
a , suy ra
3
6 3
S ABCD
a
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC:
+ Kẻ đường thẳng qua C song song với BD, đường thẳng này cắt HB tại K
Khi đó, d BD SC , d BD SCK , d B SCK ,
+ Ta tính được: 2, 2
2
a
BK HBa Do đó, , 1 ,
3
d B SCK d H SCK
+ Dễ thấy CK SHK nên trong mp(SHK) kẻ HI SK thì HI SHK Vậy , 1
3
d B SCK HI
+ HI là đường cao trong tam giác vuông SHK nên 3 14
7
a
HI Từ đó khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC là
14
7
a
Câu V Tham khảo cách dùng BĐT Nesbit
Trang 2II PHẦN RIÊNG
Câu VIa 1 + Gỉa sử đường thẳng AB có VTPT là n a b1 ;
với 2 2
0
a b Phương trình AB: a x 1b y 3 0 + Dễ thấy ABC là tam giác đều nên góc giữa hai đường thẳng AB và BD là 0
30 Do đó, 0
2 2
30
2
a b cos
a b
Từ đó, 1, 2 3
+ Xét 2 trường hợp của đường thẳng AB và vì B có hoành độ lớn hơn 1 nên thu được B(2;2)
+ Có phương trình AB, suy ra phương trình CD D 4; 4
+ Đường thẳng AC đi qua trung điểm I(-1;-1) của BD và vuông góc với BD có phương trình AC: x y 2 0
Cho AC cắt AB được A 3 1; 3 1 , cho AC cắt CD được C 3 1; 3 1
2 + d đi qua C và d nằm trong nên C Suy ra C x y ; ; 2x2y Do tam giác ABC vuông cân tại C nên
CB CA
CB CA
Từ đó, C2;3; 2
+ Giả sử VTCP của d là u a b c ; ;
Vì d nằm trong nên u n 0 2a2b c 0
(1)
+ d tạo với góc 45 nên 0 0
sin 45
u n
u n
Kết hợp với (1) ta được VTCP của d là: 1 5;1; 84
37 37
u
hoặc u21;1; 0
+ Có 2 đường thẳng thỏa mãn: 1
5 2 37
84 2 37
hoặc 2
2
2
z
Câu VIb + Đặt z a biza bi Thay vào điều kiện (2) thu được 2a 3b Dùng điều kiện 5
2 2
z a b Giải hệ suy ra a, b Từ đó có 2 số phức z thỏa mãn: 1 1 3 , 2 13 3 3
z i z i
Câu VIb 1 + Giả sử A x A;y A,B x B;y B Hai đường thẳng OA và OB vuông góc và A, B thuộc (E) nên suy ra được
2 2
144
OA OB Áp dụng BĐT Côsi ta được
OA OB
Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi OA = OB
+ Từ các điều kiện OAOB OA, OB và A B, E ta tìm được cặp điểm 12 12; , 12; 12
A B
hoặc ngược lại
2 + Giả sử khoảng cách từ I đến mp(P) là x , bán kính đường tròn đáy là r Khi đó, 2
r x x
+ Thể tích khối nón là: 1 2 1 2
V r x x x Áp dụng BĐT Côsi suy ra V lớn nhất khi x 3
+ IdI2 t; 2 ; 1 3t t Khoảng cách từ I đến (P) bằng 3, suy ra
1 7 11
t
t
+ Có hai mặt cầu thỏa mãn: x12y12z42 27 hoặc
27
Câu VIIb + Giải phương trình được: 3
1 3 2 i
2 1 3 2 i
+ Az12012z20122 22012