Các Bài Toán Về Miền Nguyên Và Trường Khái niệm miền nguyên được xem như là sự tổng quát hóa trực tiếp cấu trúc của vành số nguyên Z.. Do điều kiện "không có ước của 0" có thể được diễn
Trang 1ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa
TS Trần Huyên Ngày 27 tháng 3 năm 2005
Bài 9 Các Bài Toán Về Miền Nguyên
Và Trường
Khái niệm miền nguyên được xem như là sự tổng quát hóa trực tiếp cấu trúc của vành số nguyên Z Nó bao hàm hết tất cả các tính chất của vành Z, được đặt trên các phép toán trong
Z Cụ thể là :
Định nghĩa 1 : Miền nguyên là vành X giao hoán, có đơn vị 1 6= 0 (và do vậy |X| > 1) và tích của hai phần tử khác 0 là khác 0
Về điều kiện sau cùng của vành X "tích của hai phần tử khác 0 là khác 0" cũng thường được phát biểu theo một ngôn ngữ khác tương đương là : Vành X "không có ước của 0" Khái niệm ước của 0 được xác định như sau :
Định nghĩa 2: Trong vành giao hoán X, phần tử a 6= 0 được gọi là ước của 0 nếu tồn tại phần
tử b 6= 0 sao cho ab = 0
Như vậy : Miền nguyên là một vành giao hoán X, có đơn vị 1 6= 0 và không có ước của 0
Do điều kiện "không có ước của 0" có thể được diễn đạt theo các ngôn ngữ khác nhau, vì vậy khái niệm miền nguyên ngoài hai định nghĩa được nói ở trên còn có thể xác định theo những cách khác
Ví dụ 1 :
Cho vành X giao hoán có đơn vị 1 6= 0 Chứng minh rằng X là miền nguyên ⇔ trong X có luật giản ước cho các phần tử a 6= 0 đối với phép nhân
Giải Cho X là miền nguyên Khi đó với mỗi a 6= 0, từ đẳng thức ax = ay ta suy ra :
ax − ay = 0 ⇒ a(x − y) = 0
⇒ x − y = 0 (vì a 6= 0)
⇒ x = y tức có luật giản ước cho mỗi phần tử a 6= 0 (nếu x − y 6= 0 thì a là ước của 0 !)
Ngược lại, nếu X là vành giao hoán có đơn vị 1 6= 0 và có luật giản ước cho mỗi phần tử x 6= 0
Trang 2Khi đó nếu ab = 0 thì hoặc a = 0, hoặc a 6= 0; nếu a 6= 0 thì từ ab = 0 = a.0 suy ra b = 0, sau khi giản ước a Vậy X không có ước của 0, tức X là miền nguyên
Chú ý : Luật giản ước cho mỗi a 6= 0 trong miền nguyên là một tính chất quan trọng của miền nguyên và thường hay được sử dụng trong khá nhiều bài toán liên quan tới miền nguyên, chẳng hạn ở ví dụ 2 dưới đây
Trước khi đưa ra ví dụ tiếp theo, ta cần nhắc lại một khái niệm quan trọng khác, là khái niệm trường
Định nghĩa 3: Trường là vành X giao hoán có đơn vị 1 6= 0 và phần tử bất kỳ x 6= 0 đều có nghịch đảo x−1 (tức xx−1 = 1)
Hiển nhiên rằng trường là một miền nguyên và do đó tập các phần tử khác 0 của trường X (ta
kí hiệu là X∗) là ổn định đối với phép nhân, đồng thời lập thành nhóm giao hoán Vì vậy ta
có thể định nghĩa trường, kế thừa các tri thức về nhóm như sau : Trường là một tập hợp X có nhiều hơn một phần tử, trên đó xác định được hai phép toán cộng (+) và nhân (.), thỏa :
1 (X; +) lập thành nhóm giao hoán
2 (X∗; ) lập thành nhóm giao hoán
3 Luật phân phối của phép nhân đối với phép cộng
Hiển nhiên muốn kiểm tra một tập X cho trước với các phép toán nào đó là trường chúng ta phải tuân thủ một trong các định nghĩa nói trên
Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng một miền nguyên hữu hạn là một trường
Giải Nếu X là miền nguyên hữu hạn thì hiển nhiên (X; +) là nhóm giao hoán và có luật phân phối của phép nhân với phép cộng Vì X là miền nguyên nên X∗ ổn định đối với phép nhân (tích hai phần tử khác 0 là khác 0 !) Phép toán nhân trên X là kết hợp, giao hoán nên nó cũng kết hợp, giao hoán trên X∗ ⊂ X Theo ví dụ 1 phép nhân trên X∗ có luật giản ước Vậy (X∗, )
là nửa nhóm hữu hạn (do X hữu hạn) có luật giản ước nên X∗ là nhóm và là nhóm giao hoán Vậy X là trường
Cũng như trong các bài toán kiểm tra vành, để kiểm tra một miền nguyên hay một trường ta
có thể kiểm tra gián tiếp thông qua tiêu chuẩn cấu trúc con, khi đã xác định được rằng miền nguyên hay trường cần phải kiểm tra là bộ phận của một miền nguyên hay trường đã biết
Để ý rằng nếu X là miền nguyên còn A ⊂v X, thì A hiển nhiên là giao hoán và không có ước của 0 (hai tính chất này kế thừa từ X) nên khi đó A là miền nguyên nếu A chứa đơn vị 1 Còn X là trường thì bộ phận A 6= ø trong X là trường con (kí hiệu A ⊂t X)
Ví dụ 3 : Cho các tập số sau :
Z(
√
−3) = {a + b√−3 : a, b ∈ Z}
Q(
√
−3) = {a + b√−3 : a, b ∈ Q}
Chứng minh rằng Z(√−3) là miền nguyên, Q(√−3) là trường với các phép toán cộng và nhân thông thường các số
Trang 3Giải :
Để chứng tỏ Z(√−3) là miền nguyên, do nhận thấy rằng Z(√−3) là bộ phận của trường số phức (C; +; ) nên trước hết ta chứng tỏ rằng Z(√−3) ⊂v C
Thật vậy :
∀ a1+ b1√
−3, a2+ b2√
−3 ∈ Z(√−3) ta có :
• (a1+ b1√
−3) − (a2+ b2√
−3) = (a1− a2) + (b1− b2)√
−3 ∈ Z(√−3)
• (a1+ b1√
−3)(a2+ b2√
−3) = (a1a2− 3b1b2) + (a1b2+ a2b1)√
−3 ∈ Z(√−3) Vậy Z(√−3) ⊂v C theo tiêu chuẩn của vành con
Vì trường (C; +; ) là giao hoán, không có ước của 0 nên bộ phận Z(√−3) cũng giao hoán, không có ước của 0 Hơn nữa đơn vị 1 = 1 + 0√
−3 ∈ Z(√−3) Vậy Z(√−3) là vành giao hoán
có đơn vị 1 6= 0 và không có ước của 0, tức Z(√−3) là miền nguyên
Để chứng tỏ Q(√−3) là trường, ta chỉ cần chứng tỏ Q(√−3) ⊂t C Hiển nhiên là Q(
√
−3) 6= ø
• ∀ (a1 + b1√
−3), (a2+ b2√
−3) ∈ Q(√−3) : (a1+ b1√
−3) − (a2+ b2√
−3) = (a1− a2) + (b1 − b2)√
−3 ∈ Q(√−3)
• ∀ (a1 + b1√
−3), (a2+ b2√
−3) ∈ [Q(√−3)]∗ :
a1+ b1√
−3
a2+ b2√
−3 =
(a1+ b1√
−3)(a2− b2√−3)
a2
2+ 3b2 2
= a1a2+ 3b1b2
a2
2+ 3b2 2
+a2b1− a1b2
a2
2+ 3b2 2
√
−3 ∈ [Q(√−3)]∗
Vậy Q(√−3) ⊂t C, tức Q(
√
−3) là trường
* Chú ỷ : Trong việc kiểm tra Q(√−3) ⊂t C ở trên khi chỉ ra thương hai phần tử khác 0 của Q(
√
−3) là phần tử của [Q(√−3)]∗, ta đã tìm cách biểu diễn thương đó thành phần tử thuộc Q(
√
−3) mà không cần kiểm tra tính khác 0 của thương đó, vì trong một trường đã cho trước thì thương hai phần tử khác 0 hiển nhiên là khác 0
Từ một miền nguyên ta có thể xây dựng nên một trường cực tiểu chứa miền nguyên đó, gọi là trường các thương Nếu X là miền nguyên thì Q(X), trường các thương của X, có các phần
tử được viết dưới dạng ab−1 với a, b ∈ X, b 6= 0; nên để chứng minh một trường là trường các thương của miền nguyên nào đó, thông thường ta chứng minh miền nguyên có thể nhúng vào trường xem như vành con của nó và mỗi phần tử của trường được biểu diễn như thương của hai phần tử của miền nguyên
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng trường Q(√−3) là trường các thương của miền nguyên Z(√−3) (ở ví dụ 3)
Giải : Trước hết ta có Z(√−3) ⊂ Q(√−3)
Hơn nữa nếu
q1+ q2√
−3 ∈ Q(√−3) thì cả q1 = a1
b1, q2 =
a2
b2
Trang 4là các thương từ Z(√−3) nên chúng là các phần tử của trường các thương của Z(√−3) Hiển nhiên √
−3 = 1.√−3 ∈ Z(√−3) và thộc vào trường các thương của Z(√−3) Do tính ổn định đối với các phép toán cộng và nhân của trường mà q1 + q2√
−3 là phần tử của trường các thương của Z(√−3) Vậy trường Q(√−3), bị chứa trong trường các thương của Z(√−3), tuy nhiên do tính cực tiểu của trường các thương nên nó trùng với Q(√−3)
BÀI TẬP
1 Chứng minh rằng vành Zn các số nguyên mod n là một trường ⇔ n là số nguyên tố
2 Chứng minh rằng trường (Q; +; ) các số hữu tỉ không chứa trường con nào khác ngoài bản thân nó Kết luận có đúng với trường Zp với p là số nguyên tố hay không?
3 Cho X là vành mà các phần tử là lũy đẳng, tức ∀x ∈ X thì x2 = x Chứng minh rằng : (a) x = −x, ∀x ∈ X
(b) X là vành giao hoán
(c) Nếu X không có ước của 0, có nhiều hơn một phần tử thì X là miền nguyên Khi
đó X có phải là trường không?
4 Cho X là trường, e là phần tử đơn vị của X Xét tập con
A = {ne : n ∈ Z}
Chứng minh rằng A là miền nguyên khi cấp e là vô hạn, còn A là trường khi cấp e là hữu hạn (cấp e ở đây là cấp phần tử e trong nhóm cộng (X; +))
5 Cho tập các ma trận cấp hai :
M = a b
b a
: a, b ∈ R
(a) Chứng minh rằng M là vành giao hoán có đơn vị với hai phép toán cộng và nhân
ma trận
(b) Phần tử A = a b
b a
là ước của 0 trong M ⇔ det A = 0
(c) Tập :
K = a 0
0 a
: a, b ∈ R
là trường con của vành M và nếu có một trường con T của M mà T ⊃ K thì T = K (d) Tập :
L =
a b√
2
b√
: a, b ∈ Q
là một trường con của M Trường L có được tính chất tương tự như trường K ở câu
c không?