những bài tập mẫu về ma trận và định thức trong toán cao cấp. Tài liệu đưa ra những bài giải hết sức chi tiết về dạng bài tập ma trậnđịnh thức để từ đó giúp những ai chưa thực sự hiểu về cách làm bài tập có thể nhanh chóng tiếp thu cách giải và cách trình bày những bài toán từ cơ bản đến nâng cao
Trang 1LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2
Lời giải một số bài tập trong tài liệu này dùng để tham khảo Có một số bài tập do một số sinh viên giải Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù hợp và đơn giản hơn Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt
BÀI TẬP VỀ ĐỊNH THỨC Bài 1
Tính các định thức cấp 2:
1) D =
3 7
2 5
= 5.3 – 7.2 = 15 – 14 = 1
2) D =
5 8
2 3
= 3.5 – 8.2 = 15 – 16 = -1
3) D =
1 n n
n 1 n
= (n+1)(n-1) – n2 = n2 - 1 - n2 = -1
4) D =
cos sin
sin cos
= cos2 +sin2 = 1
Bài 2:
Trang 22 4
3
3) D =
5 7 1
8 2 3
5 3 4
= 40-24-105+10+224-45=100
4) D =
3 2
5
2 1
4
4 2
3
=-9-20-32+20+12+24= -5
5) D =
6 3
1
3 2
1
1 1
1
= 12 + 3 + 3 – 2 – 9 – 6 = 1
6)
a b
b c
c a
a b c
D b c a
c a b
3
acb bac cba c a b abc c a b
7) D =
0 e
0
d c
b
0 a
0
= 0
Trang 38)
a x x a x
D x b x x b
x x c x x
2
abc x x bx ax cx abc x x a b c
9)
a x b x c x x x x b x x a x x c x
ab ax bx x c x x x bx x x a x x c x
abc abx acx ax bcx bx cx x x x bx x x a x x c x abc abx acx bcx
3 2 1
0
c c c
a b c
c a a b
Trang 4Tính các định thức:
2 3 4 1
4 2 3 2
( 1)
3 1 4 3
h
a b c d
* M31 =
3 4 1
2 3 2
1 4 3
= -27 -8 -8 + 3 +24 + 24 = 8
* M32 =
3 4 3
2 3 4
1 4 2
= 18 + 24 + 16 – 9 – 16 – 48 = -15
* M33 =
3 1 3
2 2 4
1 3 2
= -12 – 18 – 4 + 6 +4 +36 = 12
* M34 =
4 1 3
3 2 4
4 3 2
= -16 -27 – 16 + 24 + 6 +48 = 19
Vậy: D = 8a+15b+12c-19d
1
c
a b
c d
* M12 =
4 5 4
2 3 2
3 4 4
= -48 – 32 – 30 + 36 + 40 + 32 = -2
Trang 5* M22 =
4 5 4
2 3 2
1 2 5
= -60 -16 – 10 + 12 + 50 +16 = -8
* M32 =
4 5 4
3 4 4
1 2 5
= -80 – 24 – 20 + 16 + 75 + 32 = -1
* M42 =
2 3 2
3 4 4
1 2 5
= -40 -12 – 12 + 8 + 45 + 16 = 5
Vậy: D = - (-2a + 8b – c - 5d) = 2a - 8b + c + 5d
44
3 0 5
3 0
1 2
0 0 0
h
a
a b
c
c d
41
1 0 2
0 2
4 5
0 0 0
h
a
a b
c
c d
Trang 6Tính các định thức sau:
1)
1( 1) 2 1( 1) 3 1( 1) 4
1 ( 2) ( 2) ( 2) 8
D
1( 1) 4
1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0
1 1 1 3
3)
1 2
1( 1) 4
1 1 1 3 1 1
1 2 0 1 2
3 12 6 12 3
h h
D
Trang 7
4)
1 2 3
4 1
1 5 7 9 1 2 5 7 9 5 7
2 98 54 150 126 45 140 2 9
h h
D
18
5)
3 1
3 2 3( 1) 4
h h
h h
D
1 2
1( 4) 3
1( 3) 4
1 21 3 18 21 3
15 1 15 15 1
315 270 189 405 126 315 18
h h
Trang 81( 1) 3
1 4
1 5
1( 2) 2
1( 1) 3
1
0 2 1 4
1 2 0 3
1 2 1 4 2 1
8 1
h h
h h
D
2 4 1 16 24 1
7)
1( 4) 4
1( 19) 5
2
1
37 318 117 33
0 37 318 117 33
h h
h
2 1
22
37 117 33 37 117
5 594 444 1404 330 5 36 180
M
Trang 98)
1( 1) 2
5 1 1 7
5 3 7 9 1
0 2 3 7
0 0 3 15
5 1 1 7
0 2 6 16
0 0 3 9
0 0 0 6
5 2 ( 3) 6 180
9)
1( 1) 2
1( 1) 4
1( 7) 2
1(2) 4
87 12 15
0 87 12 15
D
29 4 5 29 4
3 580 360 125 750 435 80 3 ( 50) 150
Trang 10BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KRAMER
Giải hệ phương trình bằng phương pháp Kramer:
1)
Ta có:
* D =
1 5 0
2 4 1
1 0 2
= 8 + 5 – 20 = -7
* Dx1 =
1 5 5
2 4 7
1 0 1
= - 4 + 35 – 20 + 10 = 21
* Dx2 =
1 5 0
2 7 1
1 1
2
= 14 + 5 – 20 +1 = 0
* Dx3 =
5 5 0
7 4 1
1 0
= 40 – 5 -70 = -35
Vì D 0 nên hệ có nghiệm duy nhất:
Trang 11
5 7
35 D
Dx x
0 7
0 D
Dx x
3 7
21 D
Dx x
3 3
2 2
1 1
2)
1 x 2 x
13 x
x
4
6 x x
x
3 1
3 2
3 2
1
Ta có:
* D =
2 0 3
5 4 0
3 1 1
= - 8 +15 – 36 = -29
* Dx1=
2 0 1
5 4 13
3 1 6
= - 48 +5 -12 + 26 = -29
* Dx2 =
2 1 3
5 13 0
3 6 1
* Dx3 =
1 0 3
13 4
0
6 1 1
= 4 + 39 – 72 = -29
Trang 12
1 29
29 D
Dx x
2 29
58 D
Dx x
3 3
2 2
3)
Ta có:
1( 2) 3
1( 1) 4
1 8 1 0 8 1
6 1 3 6 1
6 40 30 72 76
D
1
h1 3 h2
h1 1 h3
10 14 5 10 14
90 30 168 228
c c x
D
2
h1 2 h3
h1 1 h4
8 3 5 8 3
1 1 1 0 1 1
2 1 3 2 1
24 5 10 9 0
x
D
Trang 13
3
h1 2 h3
h1 1 h4
1 8 1 0 8 1
6 2 3 6 2
6 80 30 192 76
x
D
4
h1 2 h3
h1 1 h4
2 3 8 2 3
1 8 1 1 8 1
6 1 2 6 1
4 18 64 48 2 48 76
x
D
Vì D 0 nên hệ có nghiệm duy nhất:
1 1
2 2
3 3
4 4
228 3 76 0 0 76
(3, 0,1,1) 76
1 76 76 1 76
Dx x D Dx x D
hay Dx
x D Dx x D
4)
Ta có:
Trang 14
1
h1 h2 h1 2 h3
h1 h4
1 3 2
1 2 1 1 6 9 12 6 3 36 0
3 3 6
c c x
D
2
20 48 – 60 30 2
x
3
1( 2) 2
5 – 24 – 24 45 8 – 8 2
x
D
4
1( 2) 2
20 90 60 48 2
x
D
Vì D 0 nên hệ có nghiệm duy nhất:
1 2
2 D
Dx x
1 2
2 D
Dx x
1 2
2 D
Dx x
0 2
0 D
Dx x
4 4
3 3
2 2
1 1