Đề cương bài giảng toán cơ sở dùng cho sinh viên chuyên ngành giáo dục mầm non trình độ đại học

Ng ời ta nói: Tập hợp các học sinh trong một lớp, tập hợp các lớp trongương bài giảng một tr ờng, tập hợpương bài giảng số hữu tỷ, tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các số nguyên, tập hợp

Trường Đại học Sư phạm Khoa Đào tạo giáo viên mầm non

NguyÔn ThÞ TuyÕt Mai

§Ò c ¬ng bµi gi¶ng−¬ng bµi gi¶ng

Mục lục

Lời nói đầu

Ch ơng 1 ương bài giảng Cơ sở của lý thuyết tập hợp

Bài tập ch ơng 1ương bài giảng

Ch ơng 2 ương bài giảng Cấu trúc đại số

2.1 Phép toán hai ngôi

2.2 Cấu trúc nhóm

2.3 Cấu trúc vành

2.4 Cấu trúc tr ờngương bài giảng

Bài tập ch ơng 2ương bài giảng

Ch ơng 3 ương bài giảng Định thức, ma trận, hệ ph ơng trình tuyến tínhương bài giảng 3.1 Ma trận

3.2 Định thức

3.3 Hệ ph ơng trình tuyến tínhương bài giảng

Bài tập ch ơng 3ương bài giảng

Ch ơng 4 ương bài giảng Số tự nhiên

4.1 Hệ thống số tự nhiên

4.2 Các phép toán trên tập các số tự nhiên

4.3 Hệ đếm và cách ghi số đếm

Bài tập ch ơng 4ương bài giảng

Ch ơng 5 ương bài giảng Đại số véc tơ và hình học giải tích

5.1 Véc tơ

5.2 Toạ độ trên đ ờng thẳngương bài giảng

5.3 Ph ơng pháp toạ độ trên mặt phẳngương bài giảng

5.4 Ph ơng pháp toạ độ trong không gianương bài giảng

Bài tập ch ơng 5ương bài giảng

Tài liệu tham khảo

lời nói đầu

Một trong những nhiệm vụ của ng ời giáo viên mầm non là hình thành choương bài giảngtrẻ những biểu t ợng toán học sơ đẳng Vì vậy, ng ời giáo viên mầm non cầnương bài giảng ương bài giảngphải nắm vững những kiến thức toán học cơ bản, có kỹ năng giải toán và ứngdụng những kiến thức đã học vào việc giáo dục trẻ

Học phần Toán cơ sở nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức toán

học cơ bản, giúp cho sinh viên có vốn kiến thức cần thiết để có thể học học phần

ph ơng pháp hình thành biểu t ợng toán học sơ đẳng cho trẻ mầm non Đồngương bài giảng ương bài giảngthời giúp cho sinh viên có thể học tốt một số học phần: Toán thống kê, dinh d-

ỡng, ph ơng pháp nghiên cứu khoa học,

ương bài giảng ương bài giảng

Giáo dục mầm non nói chung và sự nghiệp đào tạo giáo viên mầm non nói

riêng đang trên con đ ờng xây dựng và phát triển Vì vậy tài liệu học tập còn rấtương bài giảngthiếu thốn Để giúp cho sinh viên có đ ợc một tài liệu học tập, đ ợc sự phê duyệtương bài giảng ương bài giảngcủa Ban Giám hiệu tr ờng Đại học S phạm - Đại học Thái Nguyên tôi đã biênương bài giảng ương bài giảngsoạn đề c ơng bài giảng Toán cơ sở cho sinh viên chuyên ngành Mầm non, hệương bài giảng

đại học Đề c ơng bài giảng tập hợp kiến thức trong các lĩnh vực khác nhau củaương bài giảngtoán học nh số học, đại số, hình học và đ ợc tham khảo từ nhiều tài liệu Nộiương bài giảng ương bài giảngdung đề c ơng bài giảng ương bài giảng Toán cơ sở trình bày những kiến thức cơ bản về tập hợp,quan hệ, ánh xạ, cấu trúc đại số, đại số tuyến tính, tập hợp số tự nhiên, hình họcgiải tích và giải tích tổ hợp

Tác giả mong nhận đ ợc những góp ý của các bạn đồng nghiệp và độc giảương bài giảng

về nội dung cũng nh việc trình bày để đề c ơng bài giảng này đ ợc hoàn thiệnương bài giảng ương bài giảng ương bài giảnghơn

3

Ch ơng 1: ương bài giảng Cơ sở của lý thuyết tập hợp

1.1 Tập hợp

1.1.1 Khái niệm tập hợp

Tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học, nó không

đ ợc định nghĩa, d ới đây là một hình ảnh trực quan của khái niệm tập hợp.ương bài giảng ương bài giảngNhững vật, những đối t ợng toán học, đ ợc tụ tập do một tính chấtương bài giảng ương bài giảng

chung nào đó thành lập những tập hợp

Ng ời ta nói: Tập hợp các học sinh trong một lớp, tập hợp các lớp trongương bài giảng

một tr ờng, tập hợpương bài giảng

số hữu tỷ, tập hợp

các số tự nhiên, tập hợp

các số nguyên, tập hợp

các

các số thực, tập hợp các nghiệm của một ph ơng trình, ương bài giảng

Các vật trong tập hợp X đ ợc gọi là các phần tử của tập hợp X Kí hiệuương bài giảng

x ∈ X đọc là “ x là một phần tử của tập X” hoặc “x thuộc X” Nếu x không thuộctập X, kí hiệu x ∉ X

1.1.2 Ph ơng pháp biểu diễn một tập hợpương bài giảng

a) Ph ơng pháp liệt kêương bài giảng

Ta liệt kê đầy đủ (nếu có thể) tất cả các phần tử của tập hợp Các phần tử

đ ợc viết trong dấu ngoặc { }, phần tử nọ cách phần tử kia bởi dấu phẩy (hoặcương bài giảngdấu ;)

Ví dụ: Tập hợp A có 4 phần tử a, b, c, d đ ợc viết d ới dạng liệt kê làương bài giảng ương bài giảng

A = { a , b, c , d }

Ph ơng pháp liệt kê không chỉ áp dụng đối với những tập hợp có khôngương bài giảng

nhiều phần tử mà còn có thể áp dụng đối với các tập hợp có vô số phần tử Trong

tr ờng hợp này ta lịêt kê một số phần tử đại diện vừa đủ để ta có thể nhận biếtương bài giảng

đ ợc một đối t ợng nào đó có thuộc tập hợp đó hay không.ương bài giảng ương bài giảng

Chú ý: Một tập hợp đ ợc xác định không phụ thuộc vào thứ tự liệt kê các phần tửương bài giảngcủa nó.

b) Ph ơng pháp nêu tính chất đặc tr ngương bài giảng ương bài giảng

Một tập hợp có thể xác định bằng cách nêu các tính chất chung (tính chất

đặc tr ng) của các phần tử trong tập hợp mà nhờ vào các tính chất chung ấy ta cóương bài giảngthể xác định đ ợc một phần tử bất kỳ có thuộc tập hợp đó hay không.ương bài giảng

Nếu tất cả các phần tử của tập hợp X đều có tính chất P thì ta có thể biểu

diễn X nh sau: ương bài giảng X = {x | x có tính chất P} hoặc X = { x | P ( x)}

Một tập hợp không chứa phần tử nào đ ợc gọi là tập rỗng, ký hiệu: ương bài giảng ∅

Ví dụ: +) Tập các nghiệm thực của ph ơng trình ương bài giảng x 2 + 1 = 0 là tập rỗng

+) Tập các đ ờng thẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng là tập rỗng.ương bài giảng

b) Tập hợp một, hai phần tử

Giả sử x là một vật hay một đối t ợng nào đó, tập hợp kí hiệu là ương bài giảng { x} chỉgồm một phần tử x đ ợc gọi là tập hợp một phần tử (tập đơn tử).ương bài giảng

Giả sử x, y là hai vật hay hai đối t ợng nào đó, tập hợp kí hiệu là ương bài giảng { x, y}

chỉ gồm 2 phần tử x, y đ ợc gọi là tập hợp hai phần tử.ương bài giảng

T ơng tự nh trên ta có thể định nghĩa các tập hợp ba, bốn, phần tử, cácương bài giảng ương bài giảngtập hợp đó cùng với tập hợp rỗng đ ợc gọi là các tập hữu hạn, còn các tập hợpương bài giảngkhác đ ợc gọi là các tập vô hạn.ương bài giảng

Ví dụ: +) Tập các ớc của 15 là tập hữu hạn (vì nó chỉ có 5 phần tử).ương bài giảng

+) Tập các bội của 3 là tập vô hạn

+) tập các số tự nhiên là tập vô hạn

+) Tập các trẻ trong một lớp là tập hữu hạn

5

hình chữ nhật thì X = Y.

1.1.5 Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp

a) Định nghĩa: Cho một tập hợp X Một tập hợp A đ ợc gọi là tập con (hay bộương bài giảngphận) của tập hợp X nếu mọi phần tử thuộc tập hợp A đều thuộc tập hợp X Kíhiệu A ⊂ X (hoặc X ⊃ A ) và đọc là A chứa trong X, hoặc A là một bộ phận của

X, hoặc A là một tập con của X Quan hệ A ⊂ X đ ợc gọi là quan hệ bao hàm.ương bài giảngb) Ví dụ: +) 2 ⊂ N

+) Tập hợp các hình vuông là tập con của tập hợp các hình chữ nhật

Ta có thể mở rộng định nghĩa cho tr ờng hợp n tập hợp:ương bài giảng

Định nghĩa: Cho n tập hợp A1 , A2 , , An Một tập hợp gồm các phần tử thuộc ítnhất một trong n tập hợp A1 , A2 , , An đ ợc gọi là hợp của các tập hợpương bài giảng

A1 , A2 , , An , kí hiệu A1 ∪ A2 ∪ ∪ An

b) Ví dụ: +) X = {a, b, c, d } , Y = {d , e, f } ⇒ X ∪ Y = {a, b, c, d , e, f }.+) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết

cho 6 thì X ∪ Y là tập các số tự nhiên chia hết cho 2

c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có:

tập hợp (phần tử chung của) X, Y đ ợc gọi là giao của hai tập hợp X, Y, kí hiệuương bài giảng

X ∩Y

Theo định nghĩa X ∩ Y = {x | x ∈ X và x ∈ Y }

Ta có thể mở rộng định nghĩa cho tr ờng hợp n tập hợp:ương bài giảng

Định nghĩa: Cho n tập hợp A1 , A2 , , An Một tập hợp gồm các phần tử thuộc tấtcả n tập hợp A1 , A2 , , An đ ợc gọi là giao của các tập hợp ương bài giảng A1 , A2 , , An , kí hiệu

A1 ∩ A2 ∩ ∩ An

b) Ví dụ: +) X = {a, b, c, d } , Y = {d , e, f } ⇒ X ∩ Y = {d }

+) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết

cho 6 thì X ∩ Y là tập các số tự nhiên chia hết cho 6

c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có:

+) A ∩ A = A , A ∩ ∅ = ∅

+) Nếu B ⊂ A thì A ∩ B = B

+) A ∩ B = B ∩ A

+) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩( B ∩ C )

1.2.3 Hiệu của hai tập hợp

a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y Một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộctập hợp X nh ng không thuộc tập hợp Y đ ợc gọi là hiệu của tập hợp X và tậpương bài giảng ương bài giảnghợp Y, kí hiệu X \ Y

Theo định nghĩa X \ Y = {x | x ∈ X và x ∉ Y }

b) Ví dụ: +) X = {a, b, c, d } , Y = {d , e, f } ⇒ X \ Y = {a, b, c} , Y \ X = {e, f }.+) X là tập các số tự nhiên chia hết cho 2, Y là tập các số tự nhiên chia hết

cho 6 thì X \ Y là tập các số tự nhiên chia hết cho 2 nh ng không chia hết cho 3,ương bài giảng

+) Cho hai tập hợp X, Y khác rỗng Một tập hợp gồm tất cả các cặp sắp thứ

tự (x,y), trong đó x thuộc tập hợp X, y thuộc tập hợp Y đ ợc gọi là tích Đề Cácương bài giảngcủa tập hợp X và tập hợp Y, kí hiệu X ì Y

Theo định nghĩa X ì Y = {( x, y ) | x ∈ X , y ∈ y}

Khái niệm tích Đề các có thể mở rộng cho tr ờng hợp nhiều tập hợp:ương bài giảng

Định nghĩa: Cho các tập hợp A1 , A2 , , An Ta định nghĩa

c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có: A ì ∅ = ∅

+) Nếu X, Y là hai tập hợp hữu hạn thì số phần tử của tập tích Đề Các

X ì Y bằng tích của số phần tử của tập X và số phần tử của tập Y

*) Chú ý: Tích Đề Các của 2 tập hợp không có tính chất giao hoán nh ng có tínhương bài giảngchất kết hợp

1.2.5 Mối quan hệ giữa các phép toán trên tập hợp

f : X →Y

x a f ( x)

x a f ( x)

Tập hợp X đ ợc gọi là tập nguồn hay miền xác định, tập hợp Y đ ợc gọi là tậpương bài giảng ương bài giảng

đích hay miền giá trị của ánh xạ f

b) Ví dụ: +) X = {a, b, c, d } , Y = {d , e, f } t ơng ứng:ương bài giảng

các số thực, t ơng ứng: ương bài giảng x a x 2 ương bài giảng 3 x + 2 là một ánh xạ

các số tự nhiên, t ơng ứng: ương bài giảng n a 2n là một ánh xạ từ

+) Việc xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một ánh xạ từ

tập các trẻ trong lớp đến tập các chỗ ngồi của lớp đó (với điều kiện số ghế tronglớp lớn hơn hoặc bằng số trẻ)

+) T ơng ứng từ tập các con ng ời trên trái đất đến tập các con ng ời trênương bài giảng ương bài giảng ương bài giảngtrái đát theo quy tắc mỗi ng ời phụ nữ t ơng ứng với con đẻ của mình không phảiương bài giảng ương bài giảng

là một ánh xạ vì một ng ời phụ nữ có thể có nhiều hơn một con Nh ng nếu theoương bài giảng ương bài giảngquy tắc mỗi ng ời với mẹ đẻ của mình thì là một ánh xạ vì mỗi ng ời đều có mộtương bài giảng ương bài giảng

và chỉ một mẹ đẻ

Nhận xét: +) Khái niệm ánh xạ là khái niệm mở rộng của khái niệm hàm số mà

ta đã học trong ch ơng trình phổ thông Hàm số là những ánh xạ mà tập nguồnương bài giảng

và tập đích là tập hợp số thực

hoặc bộ phận của nó và số f(x) t ơng ứng với xương bài giảng

đ ợc xác định bởi một biểu thức đại số hoặc một biểu thức l ợng giác, chẳng hạnương bài giảng ương bài giảng

f ( x) = 3x 2 ương bài giảng 2 x + 4 hay f ( x) = 2sin x + 4cos 2 x

+) Trong định nghĩa ánh xạ, các tập nguồn, tập đích không nhất thiết là các

tập hợp số và phần tử f(x) t ơng ứng với x cũng không chỉ xác định bởi biểu thứcương bài giảng

+) f(x) là ảnh của x bởi f hay giá trị của f tại x

+) f ( A) = { y ∈ Y | ∃x ∈ A sao cho f ( x) = y} là ảnh của tập hợp A bởi f

+) f ương bài giảng1 ( B) = {x ∈ X | f ( x) ∈ B} là tạo ảnh toàn phần của tập hợp B bởi f

Nhận xét: +) f (∅) = ∅ với mọi ánh xạ f.

+) A ⊂ f ương bài giảng1 ( f ( A)) với mọi bộ phận A của X

+) B ⊃ f ( f ương bài giảng1 ( B )) với mọi bộ phận B của Y

1.3.3 Đơn ánh

a) Định nghĩa: ánh xạ f : X → Y đ ợc gọi là một đơn ánh nếu với mọi ương bài giảng x, x 'thuộc X, nếu f ( x) = f ( x ') thì x = x ' hay với mọi y thuộc Y có nhiều nhất một xthuộc X sao cho f(x) = y

Hay định nghĩa t ơng đ ơng: ương bài giảng ương bài giảng ánh xạ f : X → Y đ ợc gọi là một đơn ánhương bài giảngnếu với mọi x, x ' thuộc X, nếu x ≠ x ' thì f ( x) ≠ f ( x ')

Một đơn ánh còn đ ợc gọi là ánh xạ một đối một.ương bài giảng

b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một đơn

a) Định nghĩa: ánh xạ f : X → Y đ ợc gọi là một toàn ánh nếu với mọi phầnương bài giảng

tử y thuộc Y, có ít nhất một phần tử x thuộc X sao cho f(x) = y

Hay nói cách khác f là toàn ánh nếu f ( X ) = Y Một toàn ánh còn đ ợcương bài giảng

gọi là một ánh xạ lên

b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một toàn12

a) Định nghĩa: ánh xạ f : X → Y đ ợc gọi là một song ánh (ánh xạ 1 – 1) nếuương bài giảng

ánh nếu với mọi phần tử y thuộc tập Y có một và chỉ một phần tử x thuộc tập Xsao cho f(x) = y

b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là mộtsong ánh nếu số ghế vừa bằng số trẻ

1.4.1 Quan hệ hai ngôi

a) Định nghĩa: Cho X, Y là hai tập tùy ý, khác rỗng Mỗi tập con S của tập tích

Đề Các X ì Y đ ợc gọi là một quan hệ hai ngôi trên ương bài giảng X ì Y

Nếu ( x, y ) ∈ S ta nói x có quan hệ S với y và viết xSy

Nếu ( x, y ) ∉ S ta nói x không có quan hệ S với y và viết x$ y

Một quan hệ hai ngôi trên X ì X đ ợc gọi đơn giản là quan hệ hai ngôi trên tâpương bài giảng

+) Tập con S = {( x, y ) ∈ ì

bằng n trên

| x ≤ y} xác định quan hệ nhỏ hơn hoặc

c) Một số tính chất của quan hệ hai ngôi

Giả sử S là một quan hệ hai ngôi trên tập X

+) S đ ợc gọi là có tính chất phản xạ nếu với mọi ương bài giảng x ∈ X , x có quan hệ Svới chính nó

+) S đ ợc gọi là có tính chất đối xứng nếu với mọi ương bài giảng x, y ∈ X mà x có quan

hệ S với y thì y có quan hệ S với x

+) S đ ợc gọi là có tính chất phản đối xứng nếu với mọi ương bài giảng x, y ∈ X mà x cóquan hệ S với y và y có quan hệ S với x thì x = y

+) S đ ợc gọi là có tính chất bắc cầu nếu với mọi ương bài giảng x, y, z ∈ X mà x có quan

hệ S với y và y có quan hệ S với z thì x có quan hệ S với z

Hay ta có thể phát biểu ngắn gọn hơn:

+) S đ ợc gọi là có tính chất phản xạ nếu ương bài giảng ∀x ∈ X , xSx

+) S đ ợc gọi là có tính chất đối xứng nếu ương bài giảng ∀x, y ∈ X , xSy ⇒ ySx

+) S đ ợc gọi là có tính chất bắc cầu nếu ương bài giảng ∀x, y, z ∈ X , xSy, ySz ⇒ xSz

Ví dụ: +) Quan hệ cùng họ, quan hệ cùng tên của các cháu trong lớp Mầm non

có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu

+) Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số có các tính chất phản xạ, đối

xứng, bắc cầu

+) Quan hệ chia hết cho trên tập

chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu

1.4.2 Quan hệ t ơng đ ơngương bài giảng ương bài giảng

a) Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X đ ợc gọi là quan hệ t ơngương bài giảng ương bài giảng

đ ơng trên X nếu nó có đồng thời ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu.ương bài giảng

*

các số tự nhiên khác 0 có các tính

14

Quan hệ t ơng đ ơng trên tập X th ờng ký hiệuương bài giảng ương bài giảng ương bài giảng

t ơng đ ơng với y thì ta viết ương bài giảng ương bài giảng x

b) Lớp t ơng đ ơngương bài giảng ương bài giảng

*) Định nghĩa: Giả sử trên tập X xác định một quan hệ t ơng đ ơngương bài giảng ương bài giảng

a} , nh vậy lớp t ơng đ ơng của phần tử aương bài giảng ương bài giảng ương bài giảng

thuộc X là tập hợp tất cả các phần tử thuộc X mà t ơng đ ơng với a.ương bài giảng ương bài giảng

*) Ví dụ: +) Xét quan hệ t ơng đ ơng trên các tập hợp số là quan hệ bằng nhau.ương bài giảng ương bài giảngLớp t ơng đ ơng của phần tử a là [a] = {a}ương bài giảng ương bài giảng

+) Xét quan hệ t ơng đ ơng trên tập các học viên của lớp mầm non làương bài giảng ương bài giảng

quan hệ cùng họ thì lớp t ơng đ ơng của phần tử Nguyễn Thị Lan là tập hợp tấtương bài giảng ương bài giảngcả các học viên có họ Nguyễn

+) Xét quan hệ t ơng đ ơng trên tập số tự nhiên là quan hệ có cùng số dương bài giảng ương bài giảng ương bài giảngtrong phép chia cho 3

+) Lớp t ơng đ ơng của phần tử 0 là [0] = {0, 3, 6, 9, }.ương bài giảng ương bài giảng

+) Lớp t ơng đ ơng của phần tử 1 là [1] = {1, 4, 7, 10, }.ương bài giảng ương bài giảng

+) Lớp t ơng đ ơng của phần tử 2 là [2] = {2, 5, 8, 11, 14, }.ương bài giảng ương bài giảng

*) Tính chất: Giả sử trên tập X xác định một quan hệ t ơng đ ơngương bài giảng ương bài giảng

= { [ a ] | a ∈ X } Nh vËy mçi phÇn tö cña tËp−¬ng bµi gi¶ng

lµ mét líp t ¬ng ® ¬ng cña mét phÇn tö a cña X, tøc lµ mét tËp hîp−¬ng bµi gi¶ng −¬ng bµi gi¶ng

gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña X mµ t ¬ng ® ¬ng víi a.−¬ng bµi gi¶ng −¬ng bµi gi¶ng

*) VÝ dô: +) XÐt quan hÖ t ¬ng ® ¬ng trªn tËp sè tù nhiªn lµ quan hÖ cã cïng sè−¬ng bµi gi¶ng −¬ng bµi gi¶ng

d trong phÐp chia cho 3.−¬ng bµi gi¶ng

Quan hÖ thø tù trªn tËp X th êng ký hiÖu −¬ng bµi gi¶ng ≤ , nÕu x, y ∈ X , x cã quan hÖthø tù ≤ víi y th× ta viÕt x ≤ y

*) VÝ dô:

+) Quan hÖ nhá h¬n hay b»ng trªn tËp sè tù nhiªn lµ mét quan hÖ thø tù

+) Quan hÖ chia hÕt cho trªn tËp

+) Tất cả mọi phần tử của X đều nằm trong quan hệ thứ tự đó, khi đó quan

hệ thứ tự trên X đ ợc gọi là ương bài giảng quan hệ thứ tự toàn phần

+) Có những phần tử của X không nằm trong quan hệ thứ tự đó, khi đó

quan hệ thứ tự trên X đ ợc gọi là ương bài giảng quan hệ thứ tự bộ phận

*) Ví dụ: +) Quan hệ nhỏ hơn hay bằng trên tập số tự nhiên là một quan hệ thứ tựtoàn phần

+) Quan hệ chia hết cho trên tập

nh ng không nằm trongương bài giảng

quan hệ chia hết cho vì 2 không chia hết cho 3 và 3 cũng không chia

+) Quan hệ bao hàm giữa các tập con của một tập hợp là quan hệ thứ tự bộ

hết cho mọi phần tử của A, phần tử nhỏ nhất là 1 vì mọi phần tử của A

đều chia hết cho 1

+) Một phần tử a ∈ X đ ợc gọi là phần tử tối đại của X nếu với mỗiương bài giảng

x ∈ X , quan hệ x ≥ a kéo theo x = a

+) Một phần tử a ∈ X đ ợc gọi là phần tử tối tiểu của X nếu với mọiương bài giảng

x ∈ X , quan hệ x ≤ a kéo theo x = a

k

18

b) Công thức

Mỗi chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập gồm k phần tử khác nhau

sắp xếp theo một thứ tự nhất định Nh vậy số các chỉnh hợp chập k của n phầnương bài giảng

Vì mỗi hoán vị của n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử nên

số các hoán vị của n phần tử chính là số các chỉnh hợp chập n của n phần tử Do

k

hợp chập k của n phần tử Do đó số các tổ hợp chập k của n phần tử bằng số cácchỉnh hợp chập k của n phần tử chia cho số các hoán vị của k phần tử

B i tập ch ơng 1μi tập chương 1 ương bài giảng

1 Hãy trình bày các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợpa) Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị là 3

b) Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng của hai chữ số bằng 15.c) Tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ

số hàng chục

d) Tập hợp các số tự nhiên là ớc của 15.ương bài giảng

e) Tập hợp các số tự nhiên là bội của 3

2 Hãy trình bày các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc tr ngương bài giảng

20

A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A ì B trong các tr ờng hợp sau:ương bài giảng

a) A là tập các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị gấp đôi

chữ số hàng chục, B là tập các số tự nhiên nhỏ hơn 50 và chia hết cho 8

c) A là tập các ớc của 18, B là tập các ớc của 24.ương bài giảng ương bài giảng

5 Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy: có 22 học sinh thích bóng đá, 18 họcsinh thích bơi, 25 học sinh thích cầu lông, 13 học sinh thích bóng đá và bơi, 13học sinh thích bơi và cầu lông, 15 học sinh thíc bóng đá và cầu lông, 9 học sinhthích cả 3 môn và 12 học sinh không thích môn nào Hãy tính xem lớp đó có baonhiêu học sinh

6 Giả sử X là tập tất cả con ng ời trên trái đất, trên X ta xác định các quan hệương bài giảngsau:

a) xS1 y nếu ng ời x không nhiều tuổi hơn ng ời y.ương bài giảng ương bài giảng

b) xS 2 y nếu ng ời x cùng giới tính với ng ời y.ương bài giảng ương bài giảng

c) xS3 y nếu ng ời x là con của ng ời y.ương bài giảng ương bài giảng

Hãy xét xem các quan hệ trên có những tính chất gì?

7 Chứng minh rằng các quan hệ sau là quan hệ t ơng đ ơng, tìm tập th ơng trênương bài giảng ương bài giảng ương bài giảngcác quan hệ t ơng đ ơng đó.ương bài giảng ương bài giảng

a) Quan hệ S trên tập các số nguyên

x + y chia hết cho 2

nh sau: ương bài giảng ∀x, y ∈ , xSy nếu

21

b) Quan hệ S trên tập các số tự nhiên

y có cùng chữ số hàng đơn vị

c) Quan hệ S trên tập các số thực

nh sau: −ơng bài giảng ∀x, y ∈ , xSy nếu x,

nh sau: −ơng bài giảng ∀x, y ∈ , xSy ⇔ x = y

9 Hãy xét xem cấc quy tắc sau có phải là ánh xạ không?

phần tử nhỏ nhất, phần tử tối đại, phần tử tối tiểu của các tập hợp sau:

a) Quy tắc cho t ơng ứng mỗi ng ời với mẹ đẻ của mình.−ơng bài giảng −ơng bài giảng

b) Quy tắc cho t ơng ứng mỗi ng ời với anh cả của mình.−ơng bài giảng −ơng bài giảng

c) Quy tắc cho t ơng ứng mỗi tam giác với đ ờng tròn ngoại tiếp nó.−ơng bài giảng −ơng bài giảng

d) Quy tắc cho t ơng ứng mỗi đ ờng tròn với tam giác nội tiếp nó.−ơng bài giảng −ơng bài giảng

e) Quy tắc lấy một số tự nhiên nhân với 4 đ ợc bao nhiêu trừ đi 15.−ơng bài giảng

B = { 2,8,14,10, 47 } Hãy tìm: f ( A), f −ơng bài giảng1 ( B)

12 Trong các ánh xạ d ới đây, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh.−ơng bài giảnga) f :

13 Có thể xếp đ ợc bao nhiêu số có 3 chữ số nếu có 5 thẻ đánh số 1; 2; 3; 4; 5?−ơng bài giảng22

14 Có bao nhiêu các chọn 5 trẻ trong nhóm trẻ gồm 30 trẻ để tổ chức cho trẻchơi trò chơi? (Giả thiết rằng cơ hội đ ợc chơi của các trẻ trong nhóm là ngangương bài giảngnhau và việc chọn là vô t không thiên vị).ương bài giảng

14 Tìm khai triển Newton của:

Ch ơng 2: ương bài giảng Cấu trúc đại số

2.1 Phép toán hai ngôi

2.1.1 Định nghĩa

Cho X là một tập hợp khác rỗng Một ánh xạ T: X ì X →X đ ợc gọi làương bài giảng

một phép toán hai ngôi trên X

Giá trị T(x, y) của T tại (x, y) đ ợc gọi là cái hợp thành của x và y, kí hiệuương bài giảngxTy

a) Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X

+) T đ ợc gọi là có tính chất kết hợp nếu ương bài giảng ∀a, b, c ∈ X ta có

(aT b)T c = aT(bTc)

+) T đ ợc gọi là có tính chất giao hoán nếu ương bài giảng ∀a, b ∈ X ta có aT b = bTa

Ví dụ: +) Phép cộng, nhân thông th ờng trên các tập số có tính chất giao hoán,ương bài giảngkết hợp

+) Phép trừ trên tập số nguyên

không có tính chất giao hoán, kết hợp

b) Giả sử T và R là hai phép toán hai ngôi trên tập hợp X

+) T đ ợc gọi là phân phối bên phải đối với R nếu ương bài giảng ∀a, b, c ∈ X ta có

24

(aR b)T c = (aTc)R(bTc).

+) T đ ợc gọi là phân phối bên trái đối với R nếu ương bài giảng ∀a, b, c ∈ X ta có

aT(bR c) = (aTb)R(aTc)

+) T đ ợc gọi là phân phối đối với R nếu nó vừa phân phối phải vừa phânương bài giảng

phối trái đối với R

Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X

+) Một phần tử et ∈ X đ ợc gọi là phần tử trung lập trái của T nếu và chỉương bài giảng

nếu ∀x ∈ X; et Tx = x

+) Một phần tử e p ∈ X đ ợc gọi là phần tử trung lập phải của T nếu và chỉương bài giảngnếu ∀x ∈ X; xTe p = x

+) Nếu e ∈ X vừa là phần tử trung lập trái vừa là phần tử trung lập phải

của T thì e đ ợc gọi là phần tử trung lập của T.ương bài giảng

Nếu một phép toán hai ngôi trên tập hợp X có phần tử trung lập trái và

phần tử trung lập phải thì chúng bằng nhau

Chứng minh: Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X và giả sử T

có các phần tử trung lập trái et , trung lập phải e p Theo định nghĩa

25

et Tx = x, xTe p = x, ∀x ∈ X Vì et , e p ∈ X;et Te p = e p ; et Te p = et ⇒ et = e p .

* Hệ quả: Một phép toán hai ngôi có nhiều nhất một phần tử trung lập

Chứng minh: Giả sử e, e ′ là hai phần tử trung lập của phép toán hai ngôi T

trên tập hợp X Khi đó, vì e là phần tử trung lập eTe = ′ e′ Te = e ′ (1)

Mặt khác e ′ là phần tử trung lập nên e′ Te = eTe = ′ e (2) Từ (1) và (2) ta có

e = e ′

2.1.5 Phần tử đối xứng

a) Định nghĩa: Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X, e là phần tửtrung lập của T và a ∈ X Một phần tử a ′ ∈ X đ ợc gọi là:ương bài giảng

+) Phần tử đối xứng phải của a nếu aTa = ′ e

+) Phần tử đối xứng trái của a nếu a′ Ta = e

+) Phần tử đối xứng của a nếu a ' vừa là phần tử đối xứng phải vừa là phần

tử đối xứng trái của a Tức là a ' thoả mãn: a′ Ta = aTa = ′ e

b) Ví dụ: +) Đối với phép cộng trên

+) Đối với phép nhân trên

, mọi phần tử đều có phần tử đối xứng đó

chính là các phần tử đối của nó Ví dụ: 2 có phần tử đối xứng là -2

, mọi phần tử khác 0 đều có phần tử đối xứng,

i) Nếu a ′ và a " t ơng ứng là các phần tử đối xứng trái và đối xứng phảiương bài giảng

của một phần tử a ∈ X thì a = ′ a ′ ′

ii) Một phần tử a ∈ X có nhiều nhất một phần tử đối xứng

Chứng minh:

i)

Giả sử e là phần tử trung lập của T Theo định nghĩa

aTa = ′ ′ a′ Ta = e ⇒ a = ′ a′ Te = a′ T(aTa′ ′ ) = (a′ Ta )Ta = ′ ′ eTa = ′ ′ a ′ ′

26

ii) Giả sử a ∈ X có hai phần tử trung lập là a ′ và a " Theo chứng minh

trên a = ′ a ′ ′

2.1.6 Phần tử chính quy

a) Định nghĩa: Giả sử T là phép toán hai ngôi trên tập X, a ∈ X

+) Phần tử a đ ợc gọi là phần tử chính quy bên trái đối với T nếuương bài giảng

∀b, c ∈ X từ aTb = aTc ⇒ b = c

+) Phần tử a đ ợc gọi là phần tử chính quy bên phải đối với T nếuương bài giảng

∀b, c ∈ X từ bTa = cTa ⇒ b = c

+) Phần tử a đ ợc gọi là phần tử chính quy nếu nó vừa là phần tử chínhương bài giảng

quy bên trái vừa là phần tử chính quy bên phải đối với T

aTx = aTy ⇔ a′ T(aTx) = a′ T(aTy ) ⇔ (a′ Ta )Tx = (a′ Ta )Ty ⇔ eTx = eTy

+) Mét nöa nhãm ® îc gäi lµ nöa nhãm giao ho¸n nÕu phÐp to¸n hai ng«i−¬ng bµi gi¶ng

cã tÝnh chÊt giao ho¸n

+) Mét nöa nhãm ® îc gäi lµ mét vÞ nhãm nÕu phÐp to¸n hai ng«i cã phÇn−¬ng bµi gi¶ng

ho¸n víi phÇn tö trung lËp lµ ∅

28

cùng với phép giao là vị nhóm giao hoán với phần tử trung

cùng với phép cộng a + b = a + b là một vị nhóm giao hoán, hữu

2.2.2 Nhóm

a) Định nghĩa: Một tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi xác định trên X đ ợcương bài giảnggọi là một nhóm nếu:

i) X là một vị nhóm

ii) Mỗi phần tử a ∈ X đều có phần tử đối xứng a ′ ∈ X

Cách khác: Một tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi xác định trên X đ ợc gọiương bài giảng

là một nhóm nếu:

i) Phép toán hai ngôi có tính chất kết hợp

ii) Phép toán hai ngôi có phần tử trung lập

iii) Mỗi phần tử a ∈ X đều có phần tử đối xứng a ′ ∈ X

Nếu phép toán hai ngôi trên X là giao hoán thì nhóm X đ ợc gọi là nhómương bài giảng

giao hoán (hay nhóm Abel)

Nếu X là tập hữu hạn phần tử thì nhóm X đ ợc gọi là nhóm hữu hạn và sốương bài giảngphần tử của X đ ợc gọi là cấp của nhóm X.ương bài giảng

sau là một nhóm giao hoán, hữu hạn:

Giả sử G là một nhóm, R là phép toán hai ngôi trên G Khi đó:

a) Giả sử a, b ∈ G có phần tử đối xứng là a′ , b ′ Khi đó aRb có phần tử đốixứng là b′ Ra ′

b) Mọi phần tử đều là phần tử chính quy hay ∀a, b, c ∈ G :

aRb = aRc ⇒ b = c; bRa = cRa ⇒ b = c Nói cách khác, phép toán hai ngôi Rtrong G thoả mãn luật giản ớc.−ơng bài giảng

Chứng minh

a) Thật vậy, chỉ cần chứng minh b′ Ra ′ là phần tử đối xứng của aRb Giả

sử e là phần tử trung lập của G

(b′ Ra′ )R(aRb) = b′ R(a′ Ra )Rb = b′ R(eRb) = b′ Rb = e

T ơng tự, −ơng bài giảng (aRb)R(b′ Ra′ ) = e ⇒ b′ Ra ′ là phần tử đối xứng của aRb

(a ⇒ b) Hiển nhiên vì nếu G là một nhóm thì G có phần tử trung lập do đó

G có phần tử trung lập trái và vì mọi phần tử thuộc G đều có phần tử đối xứngnên chúng có phần tử đối xứng trái

trái a ′ , a ′ có phần tử đối xứng trái là a ′ ′ Khi đó:

a′ Ra = et ; et Ra = a; a′ ′ Ra = ′ e

⇒ aRa = ′ et R(aRa′ ) = (a′ ′ Ra′ )R(aRa′ ) = a′ ′ R(a′ Ra )Ra = ′ a′ ′ R(e t Ra′ ) = a′ ′ Ra = ′ e

⇒ a ′ cũng là phần tử đối xứng phải của a

⇒ aRet = aR(a′ Ra ) = (aRa′ )Ra = et Ra = a ⇒ e t cũng là phần tử trung lập phảicủa R

(c ⇒ a) Hoàn toàn t ơng tự (b ương bài giảng ⇒ c) ta chứng minh đ ợc G có phần tửương bài giảng

trung lập và mọi phần tử đều có phần tử đối xứng ⇒ G là một nhóm

b) Định lí 2

Cho G là một nửa nhóm khác rỗng G là một nhóm khi và chỉ khi các

ph ơng trình ương bài giảng aRx = b và yRa = b , ∀a, b ∈ G có nghiệm

Chứng minh:

( ⇒ ) Giả sử G là một nhóm và e là phần tử trung lập của G và mọi

∀a, b ∈ G , tồn tại a′ , b ′ t ơng ứng là phần tử đối xứng của ương bài giảng a, b Khi đó, từaRx = b ⇒ a′ R(aRx) = a′ Rb ⇔ (a′ Ra)Rx = a′ Rb ⇔ eRx = a′ Rb ⇔ x = a′ Rb

T ơng tự, ương bài giảng y = bRa ′ Do đó các ph ơng trình ương bài giảng aRx = b và

yRa = b ,

∀a, b ∈ G có nghiệm

( ⇒ ) Giả sử các ph ơng trình ương bài giảng aRx = b và

yRa = b có nghiệm với mọi

∀a, b ∈ G Khi đó, vì G ≠ ∅ ⇒ với a ∈ G ph ơng trình ương bài giảng aRx = a có nghiệm Giả31

sử x = e Khi đó, với mỗi b ∈ G vì ph ơng trình ương bài giảng yRa = b có nghiệm ⇒

bRe = ( yRa )Re = yR(aRe) = yRa = b , ∀b ∈ G ⇒ e là phần tử trung lập phải củaG

Với mỗi a ∈ G ph ơng trình ương bài giảng aRx = e có nghiệm ⇒ ∃c ∈ G sao cho

aRc = e ⇒ a có phần tử đối xứng phải là c

Theo định lí 1, G là một nhóm

2.2.4 Nhóm con

a) Định nghĩa: Một tập con A của một nhóm X đ ợc gọi là nhóm con của X nếuương bài giảng

A ổn định đối với phép toán trên X và A cùng với phép toán trên X cảm sinh trên

nó là một nhóm

b) Ví dụ : Tập các số nguyên

số thực

c) Định lý

Giả sử A là một tập con của một nhóm X, T là phép toán hai ngôi trong X

A là nhóm con của nhóm X khi và chỉ khi các điều kiện sau đ ợc thỏa mãn:ương bài giảngi)

ii)

iii)

Với mọi a, b ∈ A, aTb ∈ A

với phép cộng

cùng với phép cộng là nhóm con của nhóm các

e ∈ A, với e là phần tử trung lập của X

Với mọi a ∈ A, a ' ∈ A

2.3 Cấu trúc vành

2.3.1 Định nghĩa

Cho X là một tập hợp trên đó trang bị hai phép toán hai ngôi th ờng đ ợcương bài giảng ương bài giảng

kí hiệu là +, và gọi là phép cộng và phép nhân X đ ợc gọi là một vành nếu cácương bài giảng

điều kiện sau đ ợc thoả mãn:ương bài giảng

+) X cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán

+) X cùng với phép nhân là một vị nhóm

+ Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức với mọi x, y, z ∈ X ta có:

x.( y + z ) = z y + x.z

32

y.( x + z ) = y.x + y.z

Phần tử trung lập của phép cộng th ờng kí hiệu là 0 và đ ợc gọi là phần tửương bài giảng ương bài giảngkhông

Phần tử trung lập của phép nhân th ờng kí hiệu là 1 và đ ợc gọi là phần tửương bài giảng ương bài giảng

kí hiệu là +, và gọi là phép cộng và phép nhân X đ ợc gọi là một vành nếu cácương bài giảng

điều kiện sau đ ợc thoả mãn:ương bài giảng

1) Phép cộng có tính chất kết hợp

2) Phép cộng có phần tử trung lập

3) Mỗi phần tử a ∈ X đều có phần tử đối xứng a ′ ∈ X đồi với phép cộng

4) Phép cộng có tính chất giao hoán

với phép cộng và phép nhân thông th ờng làương bài giảng

một vành giao hoán và gọi là vành các số nguyên

+) Vành các số phức

33

2.3.3 Định lí

Cho X là một vành, với mọi x, y, z ∈ X ta có:

i) x( y ương bài giảng z ) = xy ương bài giảng xz;( y ương bài giảng z ) x = yx ương bài giảng zx

xy = x( y + 0) = x( y + ( z ương bài giảng z )) = x(( y ương bài giảng z ) + z ) = x( y ương bài giảng z ) + xz

⇒ xy ương bài giảng xz = x( y ương bài giảng z ) + xz ương bài giảng xz ⇒ xy ương bài giảng xz = x( y ương bài giảng z )

ii) Theo i) ta có 0 x = ( y ương bài giảng y ) x = yx ương bài giảng yx = 0 = xy ương bài giảng xy = x( y ương bài giảng y ) = x0

iii) Từ i) và ii) ta có:

x( ương bài giảng y ) = x(0 ương bài giảng y ) = x0 ương bài giảng xy = ương bài giảng xy = 0 ương bài giảng xy = 0 y ương bài giảng xy = (0 ương bài giảng x) y = ( ương bài giảng x) y

⇒ ( ương bài giảng x)( ương bài giảng y ) = ương bài giảng x( ương bài giảng y ) = ương bài giảng( ương bài giảng xy ) = xy

Đặc biệt với mọi số nguyên n, ( ương bài giảng x) n = x n nếu n chẵn và ( ương bài giảng x) n = ương bài giảng x n nếu n

lẻ

2.3.4 Ước của không

a) Định nghĩa 1

Giả sử X là một vành giao hoán a, b là các phần tử của X a đ ợc gọi làương bài giảng

bội của b (hay a chia hết cho b) nếu ∃ ∈ X c sao cho a = bc, kí hiệu: a Mb Khi đó

b đ ợc gọi là ớc của ương bài giảng ương bài giảng a, kí hiệu: b a

a) Định nghĩa: Cho X là một vành, A là một tập con của X ổn định đối với 2

phép toán trong X (tức là a + b ∈ A, a.b ∈ A, ∀a, b ∈ A ) A đ ợc gọi là vành conương bài giảngcủa X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh là một vành

b) Ví dụ: Tập các số nguyên

là một vành con của vành các số thực

c) Định lý: Giả sử A là một tập con khác rỗng của một vành X Các mệnh đề sau

t ơng đ ơng:ương bài giảng ương bài giảng

i)

ii)

iii)

A là vành con của X

Với mọi a, b ∈ A, a + b ∈ A, a.b ∈ A, ương bài giảng a ∈ A

Với mọi a, b ∈ A, a ương bài giảng b ∈ A, a.b ∈ A

2.4 Cấu trúc tr ờng ương bài giảng

2.4.1 Phần tử nghịch đảo

a) Định nghĩa: Giả sử X là một vành Một phần tử x ∈ X đ ợc gọi là khả nghịchương bài giảngnếu ∃ y ∈ X : xy = 1 Khi đó y đ ợc gọi là phần tử nghịch đảo của ương bài giảng x và th ờng kíương bài giảnghiệu là y = x ương bài giảng1

một tr ờng nếu ương bài giảng X - {0} là một nhóm đối với phép nhân trong X.

Nói cách khác: Cho X là một miền nguyên Nếu mọi phần tử khác 0 trong

X đều có phần tử nghịch đảo thì X đ ợc gọi là một tr ờng.ương bài giảng ương bài giảng

* Chú ý: Định nghĩa vành có thể đ ợc phát biểu một cách t ờng minh nh sau:ương bài giảng ương bài giảng ương bài giảngCho X là một tập hợp có nhiều hơn một phần tử trên đó trang bị hai phép

toán hai ngôi th ờng đ ợc kí hiệu là +, và gọi là phép cộng và phép nhân Xương bài giảng ương bài giảng

đ ợc gọi là một tr ờng nếu các điều kiện sau đ ợc thoả mãn:ương bài giảng ương bài giảng ương bài giảng

1) Phép cộng có tính chất kết hợp

2) Phép cộng có phần tử trung lập

3) Mỗi phần tử a ∈ X đều có phần tử đối xứng a ′ ∈ X đồi với phép cộng

4) Phép cộng có tính chất giao hoán

5) Phép nhân có tính chất kết hợp

6) Phép nhân có phần tử trung lập

7) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức với mọi x, y, z ∈ X ta có:

x.( y + z ) = z y + x.z

y.( x + z ) = y.x + y.z

8) Phép nhân có tính chất giao hoán

9) Mọi phần tử khác 0 thuộc X đều có phần tử nghịch đảo

2.4.3 Tr ờng conương bài giảng

a) Định nghĩa: Giả sử K là một tr ờng, L ương bài giảng ⊂ K L đ ợc gọi là tr ờng con của Kương bài giảng ương bài giảngnếu:

+) L ổn định đối với hai phép toán cộng và nhân trong K

+) L cùng với hai phép toán của K cảm sinh trên nó là một tr ờng.ương bài giảng

36

b) Định lí: Giả sử K là một tr ờng, L ương bài giảng ⊂ K, L có nhiều hơn hai phần tử Khi đó cácmệnh đề sau t ơng đ ơng:ương bài giảng ương bài giảng

i) L là một tr ờng con của Kương bài giảng

ii) ∀x , y ∈ L , x + y ∈ L , xy ∈ L , ương bài giảng x ∈ L , x ương bài giảng1 ∈ L

iii) ∀x , y ∈ L , x ương bài giảng y ∈ L , xy ương bài giảng1 ∈ L nếu y ≠ 0

B i tập ch ơng 2μi tập chương 1 ương bài giảng

1 Xét xem các quy tắc d ới đây có phải là những phép toán hai ngôi trên tập hợpương bài giảng

tử trung lập, phần tử chính quy không? Những phần tử nào thuộc

không? Nếu có hãy xét xem chúng có những tính chất gì? Có phần tử

a ⊕ b = a + b + ab Hãy tìm phần tử trung lập, phần tử đối xứng của mỗi phần tửthuộc

5 Những tập hợp nào sau đây cùng với phép toán cho trong đó lập thành mộtnhóm?

a) Tập các số nguyên bội k với phép cộng

b) Tập các số thực d ơng với phép nhân.−ơng bài giảng

c) Tập các số thực với phép trừ

d) Tập các số hữu tỉ có dạng a m ; a, m ∈

với phép nhân

e) Tập hợp các đa thức một ẩn bậc n với phép cộng đa thức

f) M = {(a, b) : a, b ∈ , a ≠ 0} với phép toán (*) cho bởi:

6 Tập M = {a, b, c} cùng với một trong hai phép toán T1, T2 cho trong các bảng

d ới đây có lập thành một nhóm không?−ơng bài giảng

8 Chøng minh r»ng:

38

, tËp sè thùc