đáp án QT 2

S GIÁO D C VÀ ÀO T O T NH BÌNH PH C

MÔN TOÁN CHUNG N M H C 2009-2010

Bài 1(2 i m)

a) Tính A= 8 2 15 − − 8 2 15 + + 12

Gi i

5 2 5 3 3 5 2 5 3 3 2 3 5 3 5 3 2 3

= 5 − 3 −( 5 + 3)+ 2 3 0 =

b) Gi i ph ng trình: x− − = − 1 x 3

Gi i

3

2( )

x

≥

+) KL: Ph ng trình ã cho có m t nghi m là x = 5

Bài 2(2 i m)

Cho ph ng trình b c hai: − +x2 2mx− 2m+ = 3 0, (v i m là tham s )

a) Xác nh m ph ng trình có hai nghi m x x1, 2 tho − +x1 2x x1 2− =x2 10

Gi i

+) Ph ng trình có hai nghi m 2 2

x x ⇔ ∆ =m − m+ ≥ ⇔ m− + ≥ , (luôn úng v i m i m) +) Theo nh lí Viet ta có: 1 2

1 2

2

+ =

= −

Thay vào gi thi t − +x1 2 x x1 2− =x2 10 ta có: − 2m+ 2(2m− = 3) 10 ⇔ 2m= 16 ⇔ =m 8

+) i chi u v i i u ki n có nghi m ta có giá tr m th a mãn bài toán là m = 8

b) Xác nh m ph ng trình có hai nghi m âm phân bi t

Gi i

+) Ph ng trình có hai nghi m âm phân bi t

2 ' 0 2 3 0

2

m

Bài 3(2 i m)

Nhà H ng có m t khu v n tr ng cây b p c i V n c ánh thành nhi u lu ng, m i lu ng

tr ng c cùng m t s cây b p c i H ng tính r ng: n u t!ng thêm 8 lu ng rau, nh ng m i

lu ng tr ng ít i 3 cây thì toàn v n s" gi m i 54 cây N u gi m i 4 lu ng, nh ng m i lu ng

tr ng t!ng thêm 2 cây thì toàn v ng s" t!ng thêm 32 cây H#i v n nhà H ng có bao nhiêu cây b p c i

Gi i

+) G i x là s lu ng rau và y là s cây trên m t lu ng rau, i u ki n x, y là các s nguyên d ng +) Ta có s cây trên v n rau ban u là x.y

+) N u t ng thêm 8 lu ng rau, nh ng m i lu ng tr ng ít i 3 cây thì toàn v n s gi m i 54 cây

Ta có ph ng trình: (x+ 8)(y− = 3) xy− 54 ⇔ − + 3x 8y= 30, (1)

+) N u gi m i 4 lu ng rau, nh ng m i lu ng tr ng t ng thêm 2 cây thì toàn v n s t ng thêm 32 cây Ta có ph ng trình: (x− 4)(y+ = 2) xy+ 32 ⇔ −x 2y= 20, (2)

+) T (1) và (2) ta có h ph ng trình 3 8 30 50

⇔

x y y , (tho mãn i u ki n)

+) KL: V n rau nhà H ng có 750 cây b p c i

Bài 4(3,5 i m)

Cho tam giác nh$n ABC n i ti p trong ng tròn tâm O Phân giác trong c%a góc A c t BC t&i

D c t ng tròn t&i E G$i K, M l'n l t là hình chi u c%a D trên AB và AC

a) Ch(ng minh r ng t( giác AMDK n i ti p ng tròn

b) Ch(ng minh r ng tam giác AKM cân

c) Cho BAC=α Ch(ng minh r ng MK = AD.sinα

d) Ch(ng minh r ng S AKEM =S ABC, v i S AKEM và S ABC l'n l t là di n tích c%a t( giác AKEM và tam giác ABC

Gi i a) Ch(ng minh r ng t( giác AMDK n i ti p ng tròn

Xét t giác AKEM ta có AKE AME+ = 90 0 + 90 0 = 180 0 t giác

AMDK n i ti p ng tròn ng kính AD, có tâm là trung i m I

c a AD

b) Ch(ng minh r ng tam giác AKM cân

Trong ng tròn ngo i ti p t giác AMDK ta có: = ,

(vì theo gt ta có AD là phân giác c a )

Mà AD là ng kình ⊥ và AD i qua trung m H c a

KM ∆ cân nh A

c) Cho BAC=α Ch(ng minh r ng MK = AD.sinα

+) Trong ng tròn ngo i ti p t giác AKDM ta có = , (góc n i ti p và góc tâm cùng

ch n m t cung), mà = = =α

+) Xét tam giác vuông IKH ta có: = α, mà = , = MK =AD.sinα, ( pcm)

d) Ch(ng minh r ng S AKEM =S ABC, v i S AKEM và S ABC l'n l t là di n tích c%a t( giác AKEM và tam giác ABC

Cách 1

+) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vuông góc nên = = α , (1) +) M t khác ta có ∆ ∆ − = ⇔ = Thay k t qu này vào (1) ta

có = α = ∆ , ( pcm)

H

I

K

E

B

A

Cách 2

+) G i B’ là i m i x ng v i B qua AE, vì AE là phân giác c a

góc A nên ta có ∆ = ∆ − − = T

giác DECB’ n i ti p (vì + = +

= = )

+) T giác DECB’ n i ti p = mà AB = AB’

nên ta có =

+) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vuông góc nên

α

= = , ( pcm)

Cách 3

+) Ta có ∆ = ∆ + ∆ = +

+) M t khác ta có = = Do ó ∆ = +

+) M t khác ta c ng có h th c + = , (b n c t ch ng minh)

+) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vuông góc nên = = α , (2)

T (1) và (2) ta có S AKEM =S ABC, ( pcm)

Cách 4

+) G i AX là ng cao c a tam giác ABC, g i Y là giao i m

c a AX v i ng th ng qua E và song song v i BC G i K’ và

M’ l n l !t là hình chi u c a E trên AB và AC

+) M t khác ta có K’M’ chính là ng th ng Simson c a tam

giác ABC i v i i m E, do ó K’M’ i qua trung i m I c a

BC M t khác AY⊥ BC và K’M’⊥ AE nên ta có =

Hay S AKEM =S ABC, ( pcm)

B' H

O

M K

E

B

A

Y

X

K'

M' H

O

M K

E

D

C B

A

Cách 5

+) G i B’, C’ l n l !t là hình chi u c a E trên AB và AC, g i F và F’ l n l !t là hình chi u

c a E trên DK và DM D" th#y EFKB’ và EF’MC’ là hai hình ch$ nh%t b&ng nhau =

Do ó ch ng minh = ta ch c n ch ng

minh

+) M t khác ta có hai tam giác vuông EB’B và EC’C

b&ng nhau (vì EB’ = EC’ và = cùng bù v i

)

=

+) Ta có BK + CM = BK + CC’ + C’M

= BK + BB’ + C’M = KB’+C’M = EF + EF’ = 2EF

V%y (**) úng bài toán !c ch ng minh

Bài 5(1 i m)

Tìm giá tr l n nh)t c%a bi u th(c 3 22 5

1

x P x

+

= +

Gi i

+) K: x R∈

+) Ta có: 2 ( 2 ) ( 2 )

x P

+

+) Ta có 2 2

2

2

1

x

+) V%y giá tr l n nh#t c a P là 5, t !c khi x = 0

H t GV: Ph&m V!n Quý, Tr ng THPT chuyên Quang Trung

E

H

F F'

B'

C' D

O

M K

C B

A