1.Kiến thức: Củng cố và nâng cao các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.2.kĩ năng: Phân tích thành thạo các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử.. Ngày soạn:Ngày dạy: Chuyờn
Trang 11.Kiến thức: Củng cố và nâng cao các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
2.kĩ năng: Phân tích thành thạo các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử.
3.Thái độ: nghiêm túc ôn luyện.
a Dựng phương phỏp đặt nhõn tử chung
(x2+1) (−x a2+1)
a
= ax2 +a−a2x−x( − ) (− − ) (= − )( −1)
11
1
1 2
2 2
+++
−
=
+++
−
=
−+++
x x x
x
x x x x x
x x
Trang 2121
2
2 2
2
2 2
2 2 2
2
2
2 2
4
2
++
−
=
++
−
=
−+
−
=
+
−++
−
=
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x x
c b ac
c a ab
ac ab
b
a
b a bc b
a c b a ac b
a
ab
abc bc
c b ac
abc c
a ab
b
a
abc bc
c b ac c a ab
b
a
−
−+
=
−
−
−+
=
−+
−+
=
+
−++
+
−+
=
=
−+
−+
−
−+
=
−+
−+
−+
2
2
22
22
2
2
22
22
2
2
22
42
4
2
42
44
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
2007206
11
20072007
2007
2 2
2 2
2 4
+
−+
+
=
+++
++
−
=
++
+
−
=
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a.a3 +b3+c3 −3abc
c b a c
b
.Giải: Sử dụng các hằng đẳng thức
Trang 3c b a b
a c
+
=
++
−++
−++
+
=
2 2 2
2 2
3
c b a
c b a c
b a c
c
b
+++
=+
+++
=
+
−+
−++++++
+
=
33
33
3 2
2 2
2 2
b a abc
c b a
c b
a ab b
a c
b a
3 0
3
3
3 3 3 3
3 3
3 3
3 3
3
= + +
⇒
=
− + +
⇒
−
= + +
+
⇒
−
= +
⇒
Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > 0 Tính
2 2
4 a b
ab P
2 2
a
ab P
Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0 Chứng minh rằng nếu:
y a
x z
c
z b
y a x
Giải:
00
=+
xyz
cxy bxz ayz z
c y
21
2
2 2
+
⇒
=+++
z b
y a
x c
Trang 43. Phân tích đa thức thành nhân tử
1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc
7. Chứng minh rằng với x,y nguyên thì :
A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
= + +
= + +
1 1 1
3 3 3
2 2 2
z y x
z y x
z y x
Hãy tính giá trị biếu thức
P = ( )17 ( ) (9 )1997
1 1
x
.10
a.Tính
2 2
2 2
2 2
.b.Cho a + b + c = 9 và a2 + b2 + c2 = 53
Tính ab + bc + ca
11.Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện
x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0
Trang 5Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)2005 + (y - 1)2006 + (z+1)2007
12.Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện : a + b + c = a+b+c
11
11
Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008)
3. Phân tích đa thức thành nhân tử
1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3
( x − y )( x − a )( y − a )( x + y + a )
=2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc
Trang 65 5
2 2 2 5
5 5
2 2 2 2
2 2 3 3 3
3 3 3
2
*
;6
22
33
3
z y x xyz zx
yz xy xyz
z y x xyz zx
yz xy xyz z
y x
z y x xyz zx
yz xy xyz z
y x
z y x xyz z
y x z y x
xyz z
y x
++
=++
−
++
=++
−++
⇔
++
=++
−++
⇔
++
=+++
+
⇒
=++
2
0 xyz xy yz zx x y z z
y
(**)Thay (**) vào (*) ta được:
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
7. Với x,y nguyên thì :
A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
= +
+
1
1
3 3
x
z y x
11
: (a + b)(b + c)(c + a) = 0 Tính được Q = 0
==========o0o==========
Trang 7Ngày soạn:
Ngày dạy:
Chuyờn đề 2 : TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N
Một số dấu hiệu chia hết – Vớ dụ
(thời gian thực hiện khoảng 90 phút)
I.M
ục tiêu
1.Kiến thức: Củng cố và nâng cao tính chia hết trong N
2.kĩ năng: Thành thạo các dạng toán sử dụng dấu hiệu chia hết trong N
3.Thái độ: nghiêm túc ôn luyện.
3 Dấu hiệu chia hết cho 11 :
Trang 92 TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng, mét hiÖu, mét tÝch.
- NÕu
m b
m a
M
M
m b
m a
M
M
m b
m a
• Trong n s t nhiên liên ti p có m t s chia h t cho nố ự ế ộ ố ế
• Tích n s t nhiên liên ti p chia h t cho n!ố ự ế ế
Trang 104. CMR với mọi số nguyờn a biểu thức sau:
a) a(a – 1) – (a +3)(a + 2) chia hết cho 6
b) a(a + 2) – (a – 7)(a -5) chia hết cho 7
c) (a2 + a + 1)2 – 1 chia hết cho 24
d) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 (mọi n chẵn)
5. CMR với mọi số tự nhiờn n thỡ biểu thức:
1.Kiến thức: Củng cố và nâng cao dạng toán đồng d thức
2.kĩ năng: Thành thạo các dạng toán sử dụng các tính chất của đồng d thức
3.Thái độ: nghiêm túc ôn luyện.
II.Chuẩn bị
Gv: Su tầm các STK
HS: ôn lại tính chất đồng d thức đã đợc ôn trong đợt thi Giải toán bằng máy tính bỏ túi
III.Nội dung:
I.Lớ thuyết đồng dư:
a) Định nghĩa : Cho số nguyên m > 0 Nếu 2 số nguyên a, b cho cùng số d khi chia cho m
thì ta nói a đồng d với b theo môđun m
Trang 11d) a b≡ (mod )m ⇒ac bc≡ (mod )mc) M t s h ng ộ ố ằ đ ng th c:ẳ ứ
Trang 12(thời gian thực hiện khoảng 60 phút)
I.M
ục tiêu
1.Kiến thức: Củng cố và nâng cao dạng toán về quy nạp toán học
2.kĩ năng: Thành thạo các dạng toán về quy nạp toán học
3.Thái độ: nghiêm túc ôn luyện.
B 1 : Kiểm tra mệnh đề đỳng với n = 1?
B 2 : Giả sử Mệnh đề đỳng với n = k ≥ 1 Chứng minh mệnh đề đỳng với n = k + 1
II.VÍ DỤ:
1. Chứng minh rằng với mọi số nguyờn dương n thỡ:
2 2 1
7n+ +8 n+ M57Giải:
Vỡ 7 + 8 ( giả thiết qui nạp) và 57.8 M 57
A k+1
M
57 Vậy theo nguyờn lớ qui nạp A = 7 + 8 M 57.
*Chỳ ý: Trong trường hợp tổng quỏt với n là số nguyờn và n
n 0 Thỡ ta kiểm tra mệnh đề đỳng khi n = n 0 ?
Trang 14-Ngày soạn:
Ngày dạy:
Chuyên đề 5.BẤT ĐẲNG THỨC Cễ – SI VÀ CÁC HỆ QUẢ
(thời gian thực hiện khoảng 90 phút)
I.M
ục tiêu
1.Kiến thức: Củng cố và nâng cao dạng toán áp dụng bất đẳng thức Côsi
2.kĩ năng: Thành thạo các dạng toán về chứng minh đẳng thức
3.Thái độ: nghiêm túc ôn luyện.
+ = Do ab 2 Hay + 2 Đẳng thức xảy ra khi a = b
5. Chứng minh: .(Với a.b < 0)
Trang 15+ - = = 0 + Đẳng thức xảy ra khi a = b.
7. Chứng minh rằng:
Giải:
2(a +b +c) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) 0
2(a +b +c) 2(ab+bc+ca) Hay a +b +c ab+bc+ca Đẳng thức xảy ra khi a = b;b = c;c = a a = b= c.
• Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0
• Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với một số khác 0 thích hợp
Trang 162 2
c c
a a
b a
c c
b b
a
+
≥ +
b bc
+ +
≥ + +
(Với a,b,c > 0)
===========o0o===========
HƯỚNG DẪN:
Bài 1: Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B
(Nếu không nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác).Với các BĐT có dấu
2 2
y y
Trang 17Bài 9:
.x 2 – xy + y 2 -3x – 3y + 3 = ( ) (2 )( ) ( )2
11
Bài 10: Tương tự bài 9
A - B =
ab
b a a
b
+
−+
−9
3
( Với a,b > 0)
bc bc
Chuyên đề 6 TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
(thời gian thực hiện khoảng 90 phút)
I.M
ục tiêu
1.Kiến thức: Củng cố và nâng cao dạng toán tìm giá trị lớn nhất- nhỏ nhất
2.kĩ năng: Thành thạo các dạng toán tìm giá trị lớn nhất- nhỏ nhất
3.Thái độ: nghiêm túc ôn luyện.
Trang 18I: DẠNG
• Nếu a > 0 :
2 2
4 a
Khi
b x=
4. Tìm GTLN của C = -3x - y + 8x - 2xy + 2.
Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + 2 = 10 - 10.
GTLNC = 10 khi:
Trang 19Chuyên đề 7 Chứng minh đẳng thức bằng các bất đẳng thức đã biết
(thời gian thực hiện khoảng 90 phút)
I.M
ục tiêu
1.Kiến thức: Củng cố và nâng cao dạng toán chứng minh bất đẳng thức
2.kĩ năng: Thành thạo các dạng toán chứng minh bất đẳng thức
3.Thái độ: nghiêm túc ôn luyện.
Trang 20*GT: Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên)
1 a2 + b2 ≥ 2 ab
(a,b>0) (BĐT Cô-si)
2 (a +b)2 ≥4ab
3. 2(a2 +b2)≥(a+b)24.
0,
;
2 >
≥+ a b a
b b a
5.
0,
;411
6 a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
7 ( )2 ( 2 2)( 2 2)
y x b a by
b a y
b x
c b a z
c y
b x
a
++
++
≥++
2 2
2 2
Ví dụ 9:Chứng minh
c b a b
ca a
bc c
ab
++
≥++
(Với a,b,c > 0)
Giải:2A - 2B =
c b a b
ca a
bc c
ab
22222
b c a
c c
a b b
c c
b a
Áp dụng bất đẳng thức
0 ,
a
.Ta có:2A - 2B ≥a(2−2) (+b 2−2) (+c 2−2) ≥0.Vậy A ≥
B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0
Trang 21Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1 Chứng minh rằng :
8 2 1
Giải:
2 2
2 2 2
2 2
42
12
12
22
22
1
y xy x
y x xy y
x xy y
b b
c c
a a
c c
b b
a
++
≥++ 22 222
2
a c
b b
a c
b
b
a
2
22
2 2
2
=
≥ +
b a
c c
b a
c c
b
.2 22
2 2
2
=
≥+
c b
a a
c b
a a
c
2
22
2 2
2
=
≥ +Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
a
b b
c c
a a
c c
c c
a a
c c
b
b
a
++
≥++
2 2
2
2
2 2
2
2
2
22
+
c b a c b a
2. Cho các số dương a,b,c biết a.b.c = 1 Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)≥ 8
3. Cho các số a,b biết a + b = 1 Chứng minh rằng
12
12
13
13
13
1
b a c a c b c b a a c c b b
21
Trang 229. Cho a,b,c là 3 số dương
c ac
b bc
++
≥++
10. Cho a,b,c là 3 số dương
2 2
a b
c c a
b c b
+
++
++
++
+
c a c
b c b
; 0
22
112
1
2
11
1
++++
+++++
a
c c
b a
c c
a a
b b a
2. Áp dụng (a + 1) ≥ 2a
3. a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) ≥ 0 b) Áp dụng câu a
8. + ≥ ; + ≥ ; + ≥
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được Đpcm
9. Ta có: + = ( + ) ≥ 2
Trang 23a b
c c
b a ab
c ac
.2
b c
a a
c b bc
a ab
.2
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trờn ta được đpcm Đẳng thức xỏy ra khi và chỉ khi a = b = c.(Hóy kiểm tra lại)
10.Áp dụng BĐT
z y x
c b a z
c y
b x
a
++
++
≥++
2 2
2 2
++
+
c a c
b c b a
13.Áp dụng BĐT ở vớ dụ 6 cho 3 số
4 4
.Nhõn từng thừa số của 3 BĐT suy ra ĐPCM
15.A cú 2n + 1 số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT
0,
;41
Với từng cặp số hạng thớch hợp sẽ cú đpcm
1.Kiến thức: Củng cố và nâng cao dạng toán về biến đổi phân thức
2.kĩ năng: Thành thạo các dạng toán biến đổi phân thức
3.Thái độ: nghiêm túc ôn luyện.
Trang 24• Ví dụ 1 :
a. Rút gọn Biếu thức 2 6
9124
=
a a
a a
a a
−
+ +
− +
+ +
2
2 2
8 : 5 , 0 1
2 5
,
(a ≠ ±
2.)Giải:
9124
=
a a
a a
32232
+
=
a
a a
a a
a a
a a a a a
a a
a a
++
=
−
++
−+
++
2
28
22
422
22
8:5
,
0
1
25
,
0
3
2 3
2
( ) ( ) ( ) a(a ) a
a a
a a
a a
a
2
22
24
22
422
−
++
=
• Ví dụ 2 : Thực hiện phép tính:
xy y
x
y x y
x
xy y x A
2
: 2 3 2 32
2
2 2
−+
+
−
−+
=
.( Với x ≠ ±
y)Giải:
2 2
2 2
2 2
2
3 3 2
2
2
2
2 :
y x y
x y x
xy y x xy y
x
y x y
x
xy y
−
⋅ +
−
− +
=
− +
3 4
+
−+
−
+++
=
x x x x
x x x A
2
1
2 2 3 4
3 4 2
3 4
3 4
+
−++
−
+++
=+
−+
−
+++
=
x x x x x
x x x x
x x
x
x x x
1
1 1
1 1
1 1 1
1
1 1
2
2 2
2
2 2
2 2
3 2
−
+
− +
=
+ +
−
+ +
= +
− + +
−
+ + +
=
x
x x
x
x
x x
x
x x x
x x x
x x
x
x
x x
x
Trang 258 7 6 5
a a a a
a a a a
3 2 13
2 3
8 7 6 5 8
8
1 2 3
8 7 6
5
8 7 6 5
8 7 6 5 8 7 6 5
8 7 6 5
20071
1
11
1111
=
⇒
=+++
+++
=
+++
+++
=+++
+++
=
+++
+++
=+++
+++
B a
a a a
a a a a
a a a
a a a a a a
a a
a
a a a
a
a a a a
a a a a a
a a a
a a a a
B
• Ví dụ 5 : Tính giá trị biếu thức :
2
2 :
25 10
25
2 2
−
−
y y
y x x
x x
.Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy -
3
−
x
.Giải:
3
y
x x
5 5 2
2 :
25 10
25
2 2
x
x x y
y
y x x
2 8 5
2 2 2
2 2 2
++
−
−
++
++
x a a a x
x a a a x
không phụ thuộc vào x
634222
2 3 4 5
−+
+
−
−+
−
x x
x x x x x
25
Trang 26b a b
a c c
−
−
−+
+
x x x x
32
66
32
32
−
−
−
−+
+
=
x
x y
x xy
xy y
x xy
y x A
2 2
2
2
3 :
2
2 4
4 2
2
x x
x x x
x x
x x
4
16 1
8 1
4 1
2 1
1 1
1
x x
x x
2 2
2
9
19
191
a a a
c b a
bc a
c c b
53
+
−+
−
−
b a
a b b a
b a
biết:
09
&
053
10a2 − b2− ab= a2 −b2 ≠
Trang 2722. Cho a + b + c = 1 và 1
2 2
y a
x
=
=
Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0
b.Nếu a3 + b3 + c3 = 1 Tính giá trị của a,b,c
23. Bài 11 : Cho Biếu thức : 3 1
5 1 3
1 2
+
− +
a A
a. Tính giá trị của A khi a = -0,5
b. Tính giá trị của A khi : 10a2 + 5a = 3
24. Chứng minh nếu xyz = 1 thì:
11
11
11
1
=++
+++
++
ab bn an a b
a ab
b ab a
b a
ab a
33
96
3529
3
2
2 2
2
2 2
2 2
−+
4
113
112
11
1
8 5
1 5 2
1
+
− + + +
2 3 2
−
− +
−
a
a a
a
Biết a là nghiệm của Phương trình :
1 1 3
c a
b
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
30. Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số dương thỏa điều kiện: a + b = 1 thì :
3
2 1
b b
a
31. Thực hiện phép tính:
A = ( )( ) ( )( ) (y z)(x z)
xy z z
y y x
xz y z
x y x
yz x
++
−+
++
−+
++
2
27
Trang 2832. Rút gọn biểu thức : A = a b c
abc c
b
++
−+
−
x x
x x
x
x x
x
1
11
1:1
2
2 2
34. Rút gọn rồi Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007
A =
xy y
y x
x
xy y
y x
x
2)6()6(
)3(2)5()5(
++++
−+
+++
35. Cho 3 số a,b,c ≠
a c b b
b c a c
c b
2 2
2
2
4.2
4.2
4
y xz
y zx x yz
x yz z xy
z xy A
+
−+
−+
2 2
2 2 2
1
111
11
a a
a a x
a a a x
x a a a x
+
−
++
=++
−
−
++
++
6 3 4 2 2
2
2 3 4 5
− +
+
−
− +
−
x x
x x x x x
+
− +
=
x
x x
15 (a b)(a c) a b c a
c b
Trang 29a.Rút gọn B = ( 1)( 10) ( 1)
1010
999
10
2 2
−+
+
x x
x
x x
x x x
1
10
110
;11
1
2
2
x x
x x
x
lx x
x x
b n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 [ ( ) ]4
1+
= n n
96
32
66
32
32
−
−
−
−+
+
=
x
x y
x xy
xy y
x xy
y x A
( 3)( 3)( 2)
09
96
32
66
32
32
2
2
++
−
−
−
−+
+
=
y x x x
x y
x xy
xy y
x
xy
y x
18
a.A =
3
42
3:
2
24
42
3 2
2 2
x
x x x
x x
x x x
b.A > 0
30
7
x
x x
a.A =
32 16
8 4
321
161
81
41
21
11
1
x x
x x
x x
1 9
1 9 1
2 2
2 2
2 2
−
=
+
− +
a a
a a
29
Trang 3020. S = ( )( ) ( )( ) (b c)(a b)
ac a
c b a
bc a
c c b
−+
−
=
a c c b b a
a c c b b a a
c c b b a
a c ac c b bc b a
ab
21. Từ:
2 2
2 2 2
2 2
9
6153
33
53
2
b a
b ab a
b a
a b b a
b a
−+
−
−
(2)Thế (1) vào (2) ; A = - 3
y a
z y x c
z b
y a
x
+ +
= + +
+ +
yz yz
y
y yz
y
zx z yz
y xy
x
++
+++
+++
=
++
+++
++
+
11
1
1
1
11
11
1
25. Chứng minh :
a b
b a ab an a bn
ab bn an a b
a ab
b ab a
b a
ab a
−
+
=+
−
−
++
−
+
33
39
6
3529
3
2
2 2
2
2 2
2 2
2
Trang 311 1 3
1 1 2
1 1
3996
19992
1999.1998
11998
4.3.2
1999
5.4.3.1998
4.3.2
1997
3.2
113
1
8
15
15
12
131
2313
1
8.5
15.21
−+
−
=
+
−+++
n
n n
n
n n
28.
1822
21712
−
a
a a
a A
−
52
;1
5
;13
;01
13
2
A a
a
A A a
a a
11
2 2
2
=
−+
−+
c b ab
b a c
a b
c a
21
2 2 2
2 3
−+
−
=+
a
a b a
b b
a
y z x
x z
x y x
yz x
+
−+
=++
−2
z y x
y z
y y x
xz y
+
−+
=++
−2
x z y
z z
y z
x
xy z
+
−+
=++
−2
Cộng từng vế được A = 0
32. A = a b c
abc c
b
++
−+
.( a b c ) ( a b c ab bc ca )
abc c
Trang 3234. A =
y x y x xy
y y x
x
xy y
y x
x
+++
−+++
=+
+++
−++++
6
16
2)6()6(
)3(2)5()5(
a c b b
b c a c
c b
Suy ra:
22
b c a c
c b a
a c b b
b c a c
c b
=========o0o=========