DE THI HSG MAY TINH 2004-2007

Tính gần đúng diện tích và chu vi của đa giác đều 70 cạnh nội tiếp đ-ờng tròn đơn vị... 2 điểm Tính gần đúng diện tích và chu vi của đa giác đều 60 cạnh nội tiếp đ-ờng tròn đơn vị...

Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 BTTH Thanh Hoá Giải toán bằng máy tính CASIO năm học 2006-2007

Thời gian làm bài : 150 phút

1.) Nếu không nói gì thêm, hãy tính chính xác đến 6 chữ số thập phân

2.) Chỉ ghi kết quả vào ô kết quả và không đ-ợc có thêm ký hiệu gì khác

Tính gần đúng diện tích và chu vi của đa giác đều 70

cạnh nội tiếp đ-ờng tròn đơn vị C ằ 6,281076 (1đ) S ằ 3,137376 (1đ) Bài 4 (2 điểm)

Tính nghiệm gần đúng của ph-ơng trình:

3cos2x + 4sin2x - 2 = 0 x1 ằ 59

046'33"+k1800 (1đ)

x2 ằ -6038'45"+k1800 (1đ) Bài 5 (2 điểm)

Tính gần đúng toạ độ giao điểm của đ-ờng thẳng

x - 2y - 3 = 0 và đ-ờng tròn x2 + y2 = 4 (1,926650; - 0,536675) (1đ)

(- 0,726625; -1,863325)

(1đ) Bài 6 (2 điểm)

Đáp án Đề A

Bài 8 (2 điểm)

Cho tam giác ABC có các đỉnh A(1; 3), B(-5; 2), C(5; 5)

a) Tính giá trị gần đúng độ dài ba cạnh của tam giác

b) Tính gần đúng (độ, phút, giây) số đo của góc A

a)AB ằ 6,082763(0,5đ)

BC ằ 10,440307(0,5đ)

CA ằ 4,472136(0,5đ) b)A ằ 162053'50"(0,5đ) Bài 9 (2 điểm)

Tính gần đúng giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số

CĐ ằ - 0,380832 (1đ)

CT ằ 18,380832 (1đ)

Bài 10 (2 điểm)

Xác định tâm và tính bán kính đ-ờng tròn tiếp xúc với

đ-ờng thẳng y = x - 1 và cả hai nhánh của y = 1

Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 BTTH Thanh Hoá Giải toán bằng máy tính CASIO năm học 2006 -2007

Thời gian làm bài : 150 phút

1.) Nếu không nói gì thêm, hãy tính chính xác đến 6 chữ số thập phân

2.) Chỉ ghi kết quả vào ô kết quả và không đ-ợc có thêm ký hiệu gì khác

Bài 1 (2 điểm)

Tính gần đúng các nghiệm của ph-ơng trình :

2x = 2x + 7 x x12 ằ -3,454386 (1đ) ằ 3,884500 (1đ) Bài 2 (2 điểm)

Tính gần đúng diện tích và chu vi của đa giác đều 60

cạnh nội tiếp đ-ờng tròn đơn vị C ằ 6,280315 (1đ) S ằ 3,135854 (1đ) Bài 4 (2 điểm)

Đáp án Đề B

Bài 8 (2 điểm)

Cho tam giác ABC có các đỉnh A(1; 5), B(-5; 2), C(7; 1)

a) Tính giá trị gần đúng độ dài ba cạnh của tam giác

b) Tính gần đúng (độ, phút, giây) số đo của góc A

a)AB ằ 6,708204 (0,5đ)

BC ằ 12,041595 (0,5đ)

CA ằ 7,211103 (0,5đ) b)A ằ 119044'42" (0,5đ) Bài 9 (2 điểm)

Tính gần đúng giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số

CĐ ằ 0,055728 (1đ)

CT ằ 17,944272 (1đ)

Bài 10 (2 điểm)

Xác định tâm và tính bán kính đ-ờng tròn tiếp xúc với

đ-ờng thẳng y = x + 1 và cả hai nhánh của y = 1

Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi chọn đội tuyển hsg lớp 12 BTTH

Thanh Hoá Giải toán bằng máy tính CASIO năm học 2006

-2007

Thời gian làm bài : 150 phút

Đề Ch ín h t h ức H-ớng dẫn chấm và biểu điểm

Điểm của bài thi (Họ và tên, chữ ký) Các giám khảo Số phách

Cho hàm số y = x3 - 2x2 + x + 4

Tính gần đúng khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu

của hàm số

ằ 0,68293 (5đ)

Bài 4 (5 điểm)

Tính gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác có đỉnh

A(1; 2), B(3; -2), C(4; 5) S ằ 43,63323 (5đ)

Bài 5 (5 điểm)

Tính gần đúng giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát là

Un = sin 1 sin(1 sin1)]

n

ộ - ở

-144424443 Un ằ 0,48903 (5đ) Bài 6 (5 điểm)

Cho (E) 2 2 1

9 4

x + y = ; (d) 2x - 3y = 0 và (d') 3x+ 2y = 0 1) Xác định các giao điểm M, N của (d) với (E) và giao điểm P, Q

của (d') với (E)

2) Tính diện tích tứ giác MPNQ

1) M(1,89737; 1,54919) N(-1,89737; - 1,54919) P( 1,43427; - 1,75662) Q(- 1,43427; 1,75662) (2,5đ)

2) S ằ 11,10984 (2,5đ) Bài 7 (5 điểm)

Cho tứ giác ABCD có diện tích bằng 852,845 cm2 và

AB + AC + CD = 82,6 cm Tính độ dài hai đ-ờng chéo AC và BD AC = 41,3 cm (2,5đ) BD ằ 58,40702 cm (2,5đ)

Bài 8 (5 điểm)

Một ng-ời gửi tiền tiết kiệm 1000 USD vào ngân hàng trong

khoảng thời gian là 10 năm với lãi suất 5% năm Ng-ời đó nhận đ-ợc

số tiền nhiều hơn hay ít hơn bao nhiêu nếu ngân hàng trả lãi suất

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đ-ờng tròn (O; R) Quay tam giác

ABC quanh tâm O một góc 900, ta đ-ợc tam giác A1B1C1

Tính giá trị gần đúng diện tích phần chung của hai tam giác khi

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt

Thanh hoá giảI toán bằng máy tính casio Năm học 2006 - 2007

Cho dãy số { }a n đ-ợc xác định theo công thức:

a1 = 1, a2 = 2, an+2 = 5an+1 + 3an với mọi n nguyên d-ơng Hãy

tính giá trị của a15

a15 = 10755272317 (2 điểm)

Bài 5 (2 điểm)

Cho tấm bìa hình chữ nhật có cạnh là a và b (với b < a) Tính

giá trị gần đúng của cạnh hình vuông mà ta cắt bỏ từ bốn góc của

tấm bìa để tạo nên một hình hộp chữ nhật không có nắp có thể tích

lớn nhất khi biết a = 7 cm, b = 5 cm

Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm C và D sao cho C thuộc

đoạn AD M là một điểm ngoài AB sao cho ã ã

Giả sử diện tích các tam giác AMD và BMC lần l-ợt

là 1,945 và 2,912 Tính diện tích tam giác ABM

S ằ 3,40111 (2 điểm)

Bài 7 (2 điểm)

Cho hình tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a,

SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = 2a Gọi a là mặt phẳng

qua B và vuông góc với SC Tính gần đúng giá trị diện tích của thiết

diện đ-ợc tạo ra khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng a và a = 5 cm

2

1520

a

S =

S ằ 4,84123 cm2 (2 điểm)

Hai tiệm cận của đồ thị (C) cắt nhau tại điểm I Tìm giá trị gần

đúng của hoàng độ điểm M thuộc nhánh phải của đồ thị (C) mà tiếp

tuyến tại M vuông góc với đ-ờng thẳng đi qua các điểm I và M

112

x = +

x0 ằ 1,84090 (2 điểm)

Bài 9 (2 điểm)

Cho nửa vòng tròn bán kính R C là một điểm tuỳ ý trên nửa vòng

tròn, OC chia nửa vòng tròn thành hai hình quạt Trong hai hình quạt nội

tiếp hai vòng tròn, gọi M, N là hai tiếp điểm của hai vòng tròn với đ-ờng

kính của nửa vòng tròn đã cho Tìm gần đúng giá trị nhỏ nhất của MN

khi R = 28,67 cm

min 2 ( 2 1)

MNmin ằ 23,75101 cm (2 điểm)

Bài 10 (2 điểm)

Cho góc tam diện vuông Oxyz đỉnh O Lấy A, B, C lần l-ợt trên

Ox, Oy, Oz sao cho: OA + OB + OC + AB + AC + BC = l (l là một

l-ợng d-ơng cho tr-ớc) Gọi V là thể tích tứ diện OABC Tính gần đúng

giá trị lớn nhất của V khi l = 2,6901 cm

( 2 1)162

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt

Thanh hoá giảI toán bằng máy tính casio Năm học 2006 - 2007

Cho dãy số { }a n đ-ợc xác định theo công thức:

a1 = 1, a2 = 2, an+2 = 4an+1 + 3an với mọi n nguyên d-ơng Hãy

tính giá trị của a15

a15 = 1090820819 (2 điểm)

Bài 5 (2 điểm)

Cho tấm bìa hình chữ nhật có cạnh là a và b (với b < a) Tính

giá trị gần đúng của cạnh hình vuông mà ta cắt bỏ từ bốn góc của

tấm bìa để tạo nên một hình hộp chữ nhật không có nắp có thể tích

lớn nhất khi biết a = 9 cm, b = 7 cm

Trên đoạn thẳng MN lấy hai điểm A và B sao cho A thuộc

đoạn MB E là một điểm ngoài MN sao cho ã ã

AEB= p Giả sử diện tích các tam giác MEB và NEA lần l-ợt là

1,975 và 2,345 Tính diện tích tam giác MEN

S ằ 3,58139(2 điểm)

Bài 7 (2 điểm)

Cho hình tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a,

SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = 2a Gọi a là mặt phẳng

qua B và vuông góc với SC Tính gần đúng giá trị diện tích của thiết

diện đ-ợc tạo ra khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng a và a = 7 cm

2

1520

a

S =

S ằ 9,48881 cm2 (2 điểm)

-Tìm giá trị gần đúng hoành độ của điểm M trên đồ thị của hàm số

sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đ-ờng tiệm cận là nhỏ

nhất

4

4

112112

x x

ộ = +ờờ

ờ = ờở

-x1 ằ 1,84090 (1 điểm)

x2 ằ 0,15910 (1 điểm)

Bài 9 (2 điểm)

Cho nửa vòng tròn bán kính R C là một điểm tuỳ ý trên nửa vòng

tròn, OC chia nửa đ-ờng tròn thành hai hình quạt Trong hai hình quạt nội

tiếp hai vòng tròn, gọi M, N là hai tiếp điểm của hai vòng tròn với đ-ờng

kính của nửa vòng tròn đã cho Tìm gần đúng giá trị nhỏ nhất của MN khi

R = 25,1176 cm

min 2 ( 2 1)

MNmin ằ 20,80810 cm (2 điểm)

Bài 10 (2 điểm)

Cho góc tam diện vuông Oxyz đỉnh O Lấy A, B, C lần l-ợt trên Ox,

Oy, Oz sao cho: OA + OB + OC + AB + AC + BC = l (l là một l-ợng

d-ơng cho tr-ớc) Gọi V là thể tích tứ diện OABC Tính gần đúng giá trị

lớn nhất của V khi l = 1,7092 cm

( 2 1)162

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 btth

Thanh hoá giảI toán bằng máy tính casio Năm học 2005 - 2006

Chú ý: 1 Thí sinh chỉ đ-ợc sử dụng máy tính Casio fx-570MS trở xuống

2 Nếu không nói gì thêm, hãy tính chính xác đến 5 chữ số thập phân

3 Chỉ ghi kết quả vào ô và không đ-ợc có thêm ký hiệu gì khác

4 x x

+

+ -

a, Tính độ dài đoạn thẳng AB

b, Tính a, b nếu đ-ờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A, B

Bài 6 (2 điểm)

Một hình vuông và một tam giác đều cùng nội tiếp một đ-ờng tròn đơn

vị sao cho một cạnh của tam giác song song với một cạnh của hình vuông

Tính diện tích phần chung của tam giác và hình vuông

§Ò bµi KÕt qu¶

Bµi 7 (2 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC biÕt 3 gãc A = 32025', B = 770 25', C =70010’, c¸c

®-êng cao AD, CP vµ BQ TÝnh tû sè diÖn tÝnh tam gi¸c DPQ vµ diÖn tÝch

tam gi¸c ABC

5

3 5

2 5

1

2

3 2

2

2 2

1

3

+

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 btth

Thanh hoá giảI toán bằng máy tính casio Năm học 2005 - 2006

Chú ý: 1 Thí sinh chỉ đ-ợc sử dụng máy tính Casio fx-570MS trở xuống

2 Nếu không nói gì thêm, hãy tính chính xác đến 5 chữ số thập phân

3 Chỉ ghi kết quả vào ô và không đ-ợc có thêm ký hiệu gì khác

4 x x

+

+ -

a, Tính độ dài đoạn thẳng MN

b, Tính a, b nếu đ-ờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm M, N

Bài 6 (2 điểm)

Một hình vuông và một tam giác đều cùng nội tiếp một đ-ờng tròn đơn

vị sao cho một cạnh của tam giác song song với một cạnh của hình vuông

Tính diện tích phần chung của tam giác và hình vuông

§Ò bµi KÕt qu¶

Bµi 7 (2 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC biÕt 3 gãc A = 32025', B = 70010', C = 770 25', c¸c

®-êng cao AD, CP vµ BQ TÝnh tû sè diÖn tÝnh tam gi¸c DPQ vµ diÖn tÝch

tam gi¸c ABC

7

3 7

2 7

1 (

n

23

22

22

1

3

+

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt

Thanh hoá giảI toán bằng máy tính casio Năm học 2005 - 2006

Chú ý: 1 Thí sinh chỉ đ-ợc sử dụng máy tính Casio fx-570MS trở xuống

2 Nếu không nói gì thêm, hãy tính chính xác đến 5 chữ số thập phân

3 Chỉ ghi kết quả vào ô và không đ-ợc có thêm ký hiệu gì khác

+ -

Tính giá trị gần đúng hoành độ của tất cả những điểm nằm trên đồ thị

hàm số đã cho và cách đều hai trục toạ độ

Bài 2 (2 điểm)

Tìm các nghiệm gần đúng của ph-ơng trình 5cosx + 3sinx = 4 2 (kết

quả cho d-ới dạng độ, phút, giây)

Bài 3 (2 điểm)

Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 5 cm, AC = 4cm và góc

A = 46034’25’’

a Tính giá trị gần đúng chu vi tam giác ABC

b Tính giá trị gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác đó

Bài 4 (2 điểm)

Cho hàm số y = 2x3 - 3(a+3)x2 +18ax - 8

Tìm giá trị gần đúng của a để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục

Hãy tìm các giá trị gần đúng a, b của đ-ờng thẳng (d): y = ax + b Biết

rằng đ-ờng thẳng d song song với đ-ờng thẳng (D): 9x - 8y + 8 = 0 và tiếp xúc

với đồ thị (C)

Bài 7 (2 điểm)

Cho tứ diện SABC các góc ASB, ASC, BSC có số đo bằng 900,

SA = 3cm, SB = 4cm và SC = 5cm Hạ SH vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Điểm A(0 ; 4), B(-5 ; 0) hãy tìm giá trị gần đúng hoành độ của điểm

M thuộc đồ thị hàm số sao cho diện tích tam giác MAB nhỏ nhất

Bài 10 (2 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp trong đ-ờng tròn bán kính

R = 5 cm cho tr-ớc Từ B kẻ đ-ờng cao BE Hãy tìm gần đúng giá trị lớn

nhất của đ-ờng cao BE

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt

Thanh hoá giảI toán bằng máy tính casio Năm học 2005 - 2006

Chú ý: 1 Thí sinh chỉ đ-ợc sử dụng máy tính Casio fx-570MS trở xuống

2 Nếu không nói gì thêm, hãy tính chính xác đến 5 chữ số thập phân

3 Chỉ ghi kết quả vào ô và không đ-ợc có thêm ký hiệu gì khác

+ -

Tìm hệ số góc của đ-ờng thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho và

đi qua điểm A(-6 ; 5)

a Tính giá trị gần đúng bán kính đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b Tính số đo (độ, phút, giây) của góc C

Bài 4 (2 điểm)

Cho hàm số y = x3 + ax2 +1

Tìm giá trị gần đúng của a để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3

điểm phân biệt, có hoành độ tạo thành cấp số cộng

Tìm gần đúng giá trị của a, b để cho đ-ờng thẳng (d): y = ax + b là tiếp

tuyến của (C) và d tiếp xúc với (C) tại hai tiếp điểm

+ +

Tìm gần đúng hoành độ của hai điểm M, N thuộc hai nhánh của đồ thị

hàm số sao cho độ dài MN ngắn nhất

Bài 10 (2 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp trong đ-ờng tròn bán kính

R = 7 cm cho tr-ớc Từ B kẻ đ-ờng cao BE Hãy tìm giá trị gần đúng của giá

trị lớn nhất của đ-ờng cao BE

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt

Thanh hoá giảI toán bằng máy tính casio Năm học 2005 - 2006

+ -

Tính giá trị gần đúng hoành độ của tất cả những điểm nằm trên đồ thị

hàm số đã cho và cách đều hai trục toạ độ

x1 ằ - 0,56155(1 điểm)

x2ằ 3,56155 (1 điểm)

Bài 2 (2 điểm)

Tìm các nghiệm gần đúng của ph-ơng trình 5cosx + 3sinx = 4 2 (kết

quả cho d-ới dạng độ, phút, giây)

a Tính giá trị gần đúng chu vi tam giác ABC

b Tính giá trị gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác đó

a (1 điểm) 2p ằ 12,67466 cm

b (1 điểm)

S ằ 20,10675 cm2

Bài 4 (2 điểm)

Cho hàm số y = 2x3 - 3(a+3)x2 +18ax - 8

Tìm giá trị gần đúng của a để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành

16

+ y

Hãy tìm các giá trị gần đúng a, b của đ-ờng thẳng (d): y = ax + b Biết

rằng đ-ờng thẳng d song song với đ-ờng thẳng (D): 9x - 8y + 8 = 0 và tiếp xúc

Đề bài Kết quả

Bài 7 (2 điểm)

Cho tứ diện SABC các góc ASB, ASC, BSC có số đo bằng 900,

SA = 3cm, SB = 4cm và SC = 5cm Hạ SH vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Điểm A(0 ; 4), B(-5 ; 0) hãy tìm giá trị gần đúng hoành độ của điểm

M thuộc đồ thị hàm số sao cho diện tích tam giác MAB nhỏ nhất

xMằ - 2,69600 (2 điểm)

Bài 10 (2 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp trong đ-ờng tròn bán kính

R = 5 cm cho tr-ớc Từ B kẻ đ-ờng cao BE Hãy tìm gần đúng giá trị lớn

nhất của đ-ờng cao BE

BE ằ 7,69800 (2 điểm)

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt

Thanh hoá giảI toán bằng máy tính casio Năm học 2005 - 2006

+ -

Tìm hệ số góc của đ-ờng thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho và

đi qua điểm A(-6 ; 5)

a Tính giá trị gần đúng bán kính đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b Tính số đo (độ, phút, giây) của góc C

Tìm giá trị gần đúng của a để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3

điểm phân biệt, có hoành độ tạo thành cấp số cộng

Tìm gần đúng giá trị của a, b để cho đ-ờng thẳng (d): y = ax + b là tiếp

tuyến của (C) và d tiếp xúc với (C) tại hai tiếp điểm

a = -1,12500 (1 điểm)

b ằ - 0,20988 (1 điểm)

+ +

Tìm gần đúng hoành độ của hai điểm M, N thuộc hai nhánh của đồ thị

hàm số sao cho độ dài MN ngắn nhất

xM ằ 0,41421 (1 điểm)

xN ằ - 2,41421 (1 điểm)

Bài 10 (2 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp trong đ-ờng tròn bán kính

R = 7 cm cho tr-ớc Từ B kẻ đ-ờng cao BE Hãy tìm giá trị gần đúng của giá

trị lớn nhất của đ-ờng cao BE

BE ằ 10,77721

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt

Thanh hoá giảI toán bằng máy tính casio Năm học 2005 - 2006

+ -

Tính giá trị gần đúng hoành độ của tất cả những điểm nằm trên đồ thị

hàm số đã cho và cách đều hai trục toạ độ

x1 = 3 17

2-

ằ - 0,56155 (1 điểm)

x2 = 3 17

2+

ằ 3,56155 (1 điểm)

Bài 2 (2 điểm)

Tìm các nghiệm gần đúng của ph-ơng trình 5cosx + 3sinx = 4 2 (kết

quả cho d-ới dạng độ, phút, giây)

a Tính giá trị gần đúng chu vi tam giác ABC

b Tính giá trị gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác đó

a (1 điểm) 2p ằ 12,67466 cm

b (1 điểm)

S ằ 20,10675 cm2

Bài 4 (2 điểm)

Cho hàm số y = 2x3 - 3(a+3)x2 +18ax - 8

Tìm giá trị gần đúng của a để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành

16

+ y