Trên tia Ax lấy điểm M.. Đường thẳng qua O vuông góc với BM cắt CD tại E.. Tia AE cắt BM tại F.. Chứng minh rằng điểm F luôn nằm trên một tia cố định khi M M khác A di động trên tia Ax..
Trang 1SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH
Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
Đề số 6
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
Năm học 2008 - 2009
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 18/6/2008
Câu 1: (1,5 điểm).
Chứng minh bất đẳng thức:
a a a
2
1
1
với a > 0.
Câu 2: (3,0 điểm).
Giải các phương trình sau:
a)
9
6 11 3
2
2 2
x x x
x
x x
Câu 3: (1,5 điểm).
Cho x ≥ 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x x y
2
1
3
Câu 4: (2,5 điểm).
Một đường tròn tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm giữa A và B Tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) tại D, (D khác C) Trên tia Ax lấy điểm M Đường thẳng qua O vuông
góc với BM cắt CD tại E Tia AE cắt BM tại F Chứng minh rằng điểm F luôn nằm trên một tia
cố định khi M (M khác A) di động trên tia Ax.
Câu 5: (1,5 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) với x > 1, y > 1 sao cho 3x1 chia hết cho y đồng thời y
3 1 chia hết cho x.
-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI Môn thi: TOÁN (dành cho lớp chuyên Toán)
Câu 1: (1,5 điểm).
Với a > 0 ta có:
a a
a a
1
1 1
<
a a
1 1
1,0 0,5
Câu 2: (3,0 điểm).
a) Điều kiện x ≠ ± 3 Khi đó ta có:
9
6 11 3
2
2 2
x x x
x
2x(x + 3) = x2 + 11x – 6
x2 – 5x + 6 = 0 (*)
Phương trình (*) có ∆ = (–5)2 – 4.1.6 = 25 – 24 = 1 > 0
1
1
Do đó phương trình (*) có hai nghiệm là
1 2
1 ) 5 (
1
1 2
1 ) 5 (
2
Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì x1 = 3 không thỏa mãn nên phương trình đã
cho có một nghiệm x = 2.
0,25
0,5
0,5 0,25 b) Ta có 2 2 1 3 2 2 1
x
x
x 1 2 1 1
x 1 2 2
2 2 1
2 2 1
x
x
2 1
2 3
x
x
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 3 2, x 1 2
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
Câu 3: (1,5 điểm).
Ta có
x x y
2
1
3
2
5 2
1 2
x x
x
2
1 2 2
1 2
2 2
1
x x
x
và
2
5 2
5
x (do x ≥ 1).
Do đó
2
7 2
5
y
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 1
Vậy GTNN của y là
2
7
, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1.
0,25
0,5 0,25 0,25 0,25
Câu 4: (2,5 điểm).
Kẻ qua E đường thẳng song song với BM cắt Ax và AB theo thứ tự tại G và H
Ta có GH EO (1)
Suy ra DOEG, EOHC là các tứ giác nội tiếp được
Từ đó DOG DEG CEH COH
Ta lại có DO = CO Do đó ∆DOG = ∆COH
Suy ra OG = OH Kết hợp với (1) suy ra GE = EH
Lại có GH// MB nên dễ thấy BF = MF
0,5 0,25 0,5 0,25 0,25
Trang 3Vì vậy nếu I là trung điểm của AB thì FI // Ax.
Mà Ax cố định và I cố định nên suy ra F luôn luôn nằm trên tia Iy cố định song
song với Ax. (đpcm)
0,5 0,25
Câu 5: (1,5 điểm).
Dễ thấy x ≠ y vì x > 1, y > 1 Không giảm tính tổng quát ta giả sử x > y.
Đặt 3y + 1 = px Vì x > y suy ra 3x > 3y + 1 = px p < 3 p {1, 2}
Nếu p = 1 thì x = 3y + 1 3x + 1 = 9y + 4 y 4 y y {2, 4}
+ Nếu y = 2 x = 7
+ Nếu y = 4 x = 13
Nếu p = 2 2x = 3y + 1 2(3x + 1) = 6x + 2 = 3(3y + 1) + 2 = 9y + 5
Vì 3x + 1 y 9y + 5 y y = 5 x = 8
Vậy ta có các nghiệm là (7, 2), (2, 7), (8, 5), (5, 8), (4, 13), (13, 4).
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25