HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

Các nghiệm này chính là hai số cần tìm... Vậy không có hai số nào có tổng bằng 1 và tích bằng 5... BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM... Chuyên đề Tổ Toán.

Trang 2

Viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai.

KIỂM TRA BÀI CŨ

Giải phương trình: 2x2 - 5x + 3 = 0

Trang 3

Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1 Hệ thức Vi-et Nếu pt bậc hai ax2 + bx + c = 0

có nghiệm thì ta có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:

Hãy tính x1+ x2 , x1.x2

?1

1 2

-b +Δ + (-b) - Δ -2b -b

x

a

b -Δ b - (b - 4ac) 4ac

c

x x

a

Giải

=

1 2

a

×

1 2

a

Phrăng-xoa Vi-et (1540-1603) nhà Toán học nổi tiếng người Pháp đã phát hiện ra mối liên

hệ giữa các nghiệm và các hệ

số của phương trình bậc hai vào đầu thế kỉ XVII, ngày nay

nó được phát biểu thành một định lí mang tên ông.

F.Viète

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của

pt ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

a) Định lí Vi- et

Trang 4

1 Hệ thức Vi-et

Bài 25 (SGK) : Đối với mỗi pt sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có) Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (…)

b) Áp dụng

∆ =

x1+ x2 = , x1 x2 =

a ) 2x2 - 17x + 1 = 0

(-17)2 – 4.2.1 = 281 > 0

1 2

17

…

Nếu x1, x2 là hai nghiệm

của pt ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

thì

=

1 2

x + x -b

a

×

1 2

x x = c

a

∆ =

x1+ x2 = , x1 x2 =

c ) 8x2 - x + 1 = 0

(-1)2 – 4.8.1 = -31 < 0

…

∆ =

x1+ x2 = , x1 x2 =

Phương trình vô nghiệm

Trang 5

HOẠT ĐỘNG NHÓM

Nhóm 1 và nhóm 2( Làm ?2 )

Cho phương trình 2x2 - 5x + 3 = 0 a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a+b+c

b) Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của phương trình

c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x2

Nhóm 3 và nhóm 4 ( Làm ?3 )

Cho phương trình 3x2 + 7x + 4 = 0

a) Chỉ rõ các hệ số a, b, c của phương trình và tính a – b + c b) Chứng tỏ x1= -1 là một nghiệm của phương trình

c) Tìm nghiệm x2

Nếu x1, x2 là hai nghiệm

của pt ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

thì

b) Áp dụng

=

1 2

x + x -b

a

×

1 2

x x = c

a

Trang 6

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của pt

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

a) a = 2 ; b = -5 ; c = 3

a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0 b) Thay x = 1 vào phương trình ta được 2.12 + (-5).1 + 3 = 2 + (-5) + 3 = 0

Vậy x1 = 1 là một nghiệm của ph/trình c) Ta có 1 2 2

?2

Tổng quát 1: Nếu pt ax2 + bx + c = 0

(a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì pt có một

nghiệm x1=1, còn nghiệm kia là

2

c x

a

=

1 2

x + x -b

a

×

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

Ho¹t §éng nhãm

Trang 7

Ho¹t §éng nhãm

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

a) a = 3 ; b = 7 ; c = 4

a - b + c = 3 - 7 + 4 = 0 b) Thay x = -1vào phương trình ta được 3.(-1)2 + 7.(-1) + 4 = 3 - 7 + 4 = 0

Vậy x1 = -1 là một nghiệm của ph/trình c) Ta có 1 2 2

?3

2

c x

a

=

2

c x

a

= −

(a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì pt có một

nghiệm x1=-1, còn nghiệm kia là

=

1 2

x + x -b

a

×

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

Trang 8

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

a) -5x2 + 3x + 2 = 0 b) 2004x2 + 2005x +1 = 0

b) 2004x2 + 2005x + 1 = 0

có a = 2004 , b = 2005 , c = 1

⇒ a – b + c = 2004 – 2005 +1 =

2= - 1

2004

a) -5x2 + 3x + 2 = 0 có a = -5, b =3, c = 2

⇒ a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0

Vậy x1 =

x

−

Giải

=

1 2

x + x -b

a

×

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

2

c x

a

=

2

c x

a

= −

Trang 9

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

=

1 2

x + x -b

a

×

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

2

c x

a

=

2

c x

a

= −

Tổng quát: (SGK)

2.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Giả sử hai số cần tìm có tổng bằng S và tích bằng P Gọi một

số là x thì số kia là S - x

Theo giả thiết ta có phương trình:

x (S – x) = P

hay x2 – Sx + P = 0 (1)

Nếu ∆ = S2 – 4P ≥ 0 thì phương trình (1) có nghiệm Các nghiệm này chính là hai số cần tìm

Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

phương trình x2 – Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số đó là S2 - 4P ≥ 0

Trang 10

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

a) Định lí vi- et

=

1 2

x + x -b

a

×

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

Điều kiện để có hai số đó là S2 -

4P ≥ 0

ÁP DỤNG

Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng

180

Giải:

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình: x2 _ 27x + 180 = 0

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12

2

Ta có:

Trang 11

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

=

1 2

x + x -b

a

×

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

4P ≥ 0

ÁP DỤNG

Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5

Giải

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình : x2- x + 5 = 0

Ta có Δ= (-1)2 - 4.1.5 = -19 < 0

⇒ Phương trình vô nghiệm.

Vậy không có hai số nào có tổng bằng 1 và tích bằng 5

?5

Trang 12

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

=

1 2

x + x -b

a

×

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

4P ≥ 0

ÁP DỤNG

Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình x2 - 5x + 6 = 0

Giải

Vì 2 + 3 =5 ; 2.3 = 6 nên x1= 2, x2= 3 là hai nghiệm của phương trình đã cho

Trang 13

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

=

1 2

x + x -b

a

×

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

4P ≥ 0

Bµi 27 (SGK) :Dùng hệ thức Vi-ét

để tính nhẩm các nghiệm của phương trình x2 – 7x + 12 = 0

Giải

Δ = (7)2 - 4.1.12 = 49 - 48 = 1 > 0

Vì 3 + 4 = 7 và 3 4 = 12 nên x1=3, x2= 4 là hai nghiệm của

phương trình đã cho

ÁP DỤNG

Trang 14

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

=

1 2

x + x -b

a

×

1 2

x x = c

a

b) Áp dụng

4P ≥ 0

Hai số u và v là hai nghiệm của phương trình x2 – 32x + 231 = 0

∆ ' = (-16)2– 1.231 = 25 > 0 ⇒ = 5

x1 = 16 + 5 = 21, x2 = 16 – 5 = 11 Vậy u = 21, v = 11

hoặc u = 11,v = 21

'

∆

Bài 28a (SGK)

Tìm hai số u và v biết:

u + v = 32 , u.v = 231

Giải

ÁP DỤNG

Trang 15

5x2 - 9x + 4 = 0 ⇒ x1 = ; x2 =

2x2+ 3x + 1 = 0 ⇒ x1 = ; x2 =

x2 - 5x + 6 = 0 ⇒ x1 = ; x2 =

2x2 + x + 5 = 0 ⇒

x2 + 3x - 10 = 0 ⇒ x1 = ; x2 =

1

2

3

4

5

Phương trình vô nghiệm

-1

3 2

− 1

2

4 5

1

x1 = ; x2 = .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Trang 16

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Chọn câu trả lời đúng:

B

A

C

D

x2 - 2x + 5 = 0

x2 + 2x – 5 = 0

x2 - 7x + 10 = 0

x2 + 7x + 10 = 0

sai

úng

Đ

Sai

Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình nào ?

Trang 17

HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ

tích các nghiệm theo m: x2 + 2(m-1)x + m2 = 0

- Tính Δ theo m rồi tìm điều kiện để pt cĩ nghiệm (Δ ≥ 0)

- Áp dụng hệ thức Vi-et để tính tổng và tích các nghiệm theo m

- Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết tổng và tích

- Nắm vững cách nhẩm nghiệm khi a + b + c = 0 ; a – b + c = 0 và khi tổng và tích của hai nghiệm (S và P) là những số nguyên

cĩ giá trị tuyệt đối khơng quá lớn

* BTVN : 25bd, 26, 28bc, 30 (SGK) 38, 41 (SBT)

Trang 18

Chuyên đề Tổ Toán

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	8,46 MB