CHUYEN DE BDHSG 7

1/Chứng minh ∆IMN= ∆IPQ 2/Chứng minh OI là tia phân giác của góc xOy 3/OI là tia đường trung trực của MP,... Trên tia đối của tia AB lấy một điểm N sao cho góc ACN = góc ACO.. Chứng minh

Chuyên đề: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (buổi 2).

Bài 1: Tìm phân số a

b biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và mẫu thì giá trị của phân số đó không thay đổi ?

Mở rộng: Với một phân số bất kỳ ab ta cộng thêm vào a số x, cộng thêm vào b số y

Hãy tìm quan hệ của x và y để giá trị của phân số ab không thay đổi sau khi cộng ?

Bài 2: Cho a b c;

b = = c a CMR: a = b = c; với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa.

Bài 3: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c

b c c a a b + + + Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?

Bài 4: Cho tỉ lệ thức: ab =dc ; Chứng minh rằng :

a) 5a 3b 5c 3d5a 3b 5c 3d

  ; với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa.

Bài 7: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 1 2 3 2008

Bài 14: Cho 2002 số tự nhiên, trong đó cứ 4 số bất kỳ trong chúng đều lập nên một tỉ lệ thức.

CMR: trong các số đó luôn luôn tồn tại ít nhất 501 số bằng nhau.

Bài 15: Có 130 học sinh thuộc ba lớp 7A, 7B, 7C của một trờng cùng tham gia trồng cây

Mỗi học sinh của 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng đợc 2 cây, 3 cây, 4 cây

Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh tham gia trồng cây biết rằng số cây trồng đợc của

ba lớp bằng nhau ?

Hớng dẫn giải chuyên đề Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (buổi 2) Bài 11:

Ta có : cd ab

d c

b a

= +

+

2 2

2 2

( ) (( )()( )) c d

b a d c d c

b a b a cd

ab d

c

b a d cd c

b ab a

cd

ab

.

2

2 2

2

2

2 2

2

2 2

= + +

+ +

⇒

= +

+

= + +

+ +

( )

c b

a ad cb ad ac cb ca bd

ca

bd ca db da

bd bc ad ac

cb ca b a d

d c b d

= +

+

= +

+

= +

Bài 14: Nhận xét: Trong 2002 số đã cho chỉ nhận nhiều nhất 4 giá trị khác nhau

Thật vậy: Giả sử có nhiều hơn 4 giá trị khác nhau, ta gọi a 1 < a 2 < a 3 < a 4 < a 5 là 5 số khác nhau bất kỳ.

Khi đó với 4 số đầu tiên ta có: a 1 a 2 khác a 3 a 4 ;

a 1 a 3 khác a 2 a 4 ; Chỉ có thể a 1 a 4 = a 2 a 3 (1) Nhng khi đó với 4 số a 1 , a 2 , a 3 , a 5 thì cũng có a 1 a 5 = a 2 a 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a 1 a 4 = a 1 a 5 suy ra a 4 = a 5 vô lý.

Vậy có ít nhất 2002 div 4 + 1= 501 số bằng nhau.

Chuyên đề: luỹ thừa của một số hữu tỉ.

Bài 1: Dùng 10 chữ số khác nhau để biểu diễn số 1 mà không dùng các phép tính cộng, trừ,

Bài 3: Cho x ∈ Q và x ≠ 0 Hãy viết x 12 dới dạng:

a) Tích của hai luỹ thừa trong đó có một luỹ thừa là x 9 ?

b) Luỹ thừa của x 4 ?

c) Thơng của hai luỹ thừa trong đó số bị chia là x 15 ?

Bài 6: Tìm x biết rằng:

a) (x – 1) 3 = 27; b) x 2 + x = 0; c) (2x + 1) 2 = 25; d) (2x – 3) 2 = 36; e) 5 x + 2 = 625; f) (x – 1) x + 2 = (x – 1) x + 4 ; g) (2x – 1) 3 = -8 h) 1 2 3 4 5 .30 31.

x x x x

x

+ +

Chuyên đề: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.

Bài 1: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau:

a) a = |a|; b) a < |a|; c) a > |a|;

Bài 4: Tìm giá trị của các biểu thức sau:

a) B = 2|x| - 3|y| với x = 1/2; y = -3.

b) C = 2|x – 2| - 3|1 – x| với x = 4;

Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:

a) |a| + a; b) |a| - a; c) |a|.a; d) |a|:a;

a) |x| + |y| = 20; b) |x| + |y| < 20.

Bài 9: Điền vào chỗ trống ( ) các dấu … ≥,≤,=để các khẳng định sau đúng với mọi a và b

Hãy phát biểu mỗi khẳng định đó thành một tính chất và chỉ rõ khi nào xảy ra dấu

b

a b a

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = (x + 2)/|x| với x là số nguyên.

Bài 13: Cho |a – c| < 3, |b – c| < 2 Chứng minh rằng: |a – b| < 5.

Bài 14: Đa biểu thức A sau đây về dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối:

A = |2x + 1| + |x - 1| - |x – 2|.

Bài 1: Cho tam giỏc ABC cú độ dài cỏc cạnh bằng 3cm,4cm,5cm.Chứng minh rằng

tam giỏc ABC vuụng

Bài 2: Cho tam giỏc ABC cú độ dài cỏc cạnh bằng 6cm,8cm,10cm.Chứng minh rằng

tam giỏc ABC vuụng

Bài 3:Độ dài cỏc cạnh gúc vuụng của một tam giỏc vuụng tỉ lệ với 8 và 15, cạnh

huyền dài 51cm Tớnh độ dài hai cạnh gúc vuụng

Bài 4: Tam giỏc ABC cú gúc A tự, Cˆ= 300; AB = 29, AC = 40 Vẽ đường cao AH,

tớnh BH.

Bài 5: Cho ∆ ABC, trung tuyến AM cũng là phõn giỏc

a/ Chứng minh rằng ∆ ABC cõn

b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tớnh BC

Bài 6 Trờn hỡnh 3 cho à àB C D+ + =à 3600 Chứng minh AB // ED

Bài 7: Trong hỡnh 1 cho MN // PQ Tỡm số đo gúc B

CD

EHỡnh 3M

Bài 8:Cho góc xOy Trên tia Ox lấy M, N Trên tia Oy lấy P, Q sao cho OM = OP, PQ

= MN Chứng minh :

a ∆ OPN = ∆ OMQ

b ∆ MPN = ∆ PMQ

c Gọi I là giao điểm của MQ và PN Chứng minh ∆ IMN = ∆ IPQ

d Chứng minh OI là tia phân giác của góc xOy

e OI là tia đường trung trực của MP

g c/m MP//NQ

Bài 9 Cho tam giác ABC có A 90µ = 0 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và

AB Trên tia đối của tia MB lấy K sao cho MK = MB Trên tia đối của tia NC lấy I sao cho NI = NC Tính ·ACK

Chứng minh IB//AC, AK//BC

Chứng minh A là trung điểm của IK

Bài 10 Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC Vẽ F

sao cho E là trung điểm của DF Chứng minh :

Bài 11 Cho tam giác ABC Vẽ các đường tròn (C; AB) và (A; BC) Chúng cắt nhau

tại D ( B và D ở hai bên đường thẳng AC) Nối B với D Chứng minh :

a ∆ ABC = ∆ CDA b ∆ ABD CDB = c AB//CD d AD//BC

Bài 12 Cho AC cắt BD tại trung I điểm mỗi đoạn, chứng minh :

a ∆ IAB = ∆ ICD b ∆ CAD = ∆ ACB c ∆ ABD = ∆ CDB

Bài 13 Cho góc xOy Trên tia Ox lấy M, N Trên tia Oy lấy P, Q sao cho OM = OP,

PQ = MN Chứng minh :

a)∆OPN= ∆OMQ b)∆MPN = ∆PMQ

c) Gọi I là giao điểm của MQ và PN

1/Chứng minh ∆IMN= ∆IPQ

2/Chứng minh OI là tia phân giác của góc xOy

3/OI là tia đường trung trực của MP,

3/Cho biết AB = 6cm; OA = 5 cm Tính OH?

Bài 15 : Cho ∆ ABC vuông tại A Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH ⊥

AC Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK Chứng minh :

1/AB // HK 2/∆AKI cân 3/·BAK =·AIK 4/∆AIC = ∆AKC

Bài 16 : Cho ABC cân tại A Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia

CB lấy điểm E sao cho BD = CE Chứng minh:

a) ADE cân

b) ABD = ACE

Bài 17: Cho tam giác ABC có góc B = 900, vẽ trung tuyến AM Trên tia đối của tia

MA lấy điểm E sao cho ME = MA Chứng minh:

a) ∆ABM = ∆ECM b) AC > CE. c) góc BAM > góc MAC

Bài18 : Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy

điểm E sao cho AD = AE Gọi M là giao điểm của BE và CD

Chứng minh:

a) BE = CD b) BMD = CME c)AM là tia phân giác của góc BAC

Bài 19: Cho ∆ ABC có Bˆ+Cˆ=600, phân giác AD Trên AD lấy điểm O Trên tia đối

của tia AC lấy điểm M sao cho góc ABM = góc ABO Trên tia đối của tia AB lấy một điểm N sao cho góc ACN = góc ACO Chứng minh rằng:

a/ AM = AN b/ ∆ MON là tam giác đều

Bài 20: Cho tam giác ABC có ∠B = 800 ; C =400 Tia phân giác của góc A cắt bc ở D

a/ Tính góc BAC , góc ADC

b/ Gọi E là mọt điểm trên cạnh Ac sao cho AE = AB

Chứng minh : ▲ABD = ▲AED

c/ Tia phân giác của góc B cắt AC tại I Chứng minh BI // DE

Bài 21: Cho tam giác ABC ( AB < AC) có AM là phân giác của góc A.(M thuộc

BC).Trên AC lấy D sao cho AD = AB

a Chứng minh: BM = MD

b Gọi K là giao điểm của AB và DM Chứng minh: ∆DAK = ∆BAC

c Chứng minh : ∆AKC cân

Suy ra góc M = 450 Tam giác ACM cân tại M nên đường cao xuất phát từ M

(MK)cũng là đường phân giác

Nên góc CMK = 450 : 2 = 27,50.mà tam giác CMK vuông tại K suy ra góc KCM =

900-27,50=62,50

Vậy tam giỏc cõn ABC phải cú gúc ở đỏy = 62,50

Bài 23:Tam giỏc ABC cú AB > AC Từ trung điểm M của BC vẽ một đường thẳng

vuụng gúc với tia phõn giỏc của gúc A, cắt tia phõn giỏc tại H, cắt AB, AC lầm lượt tại E và F Chứng minh rằng:

a/ BE = CF

AC AB

ACAB

BˆBCˆAE

Mˆ

Bài 24: Cho ∆ABC cõn tại A = 1080 Gọi O là một điểm nằm trờn tia phõn giỏc của gúc C sao cho gúc CBO = 1200 Vẽ tam giỏc đều BOM (M và A cựng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh rằng:

a/ Ba điểm C, A, M thẳng hàng b/ Tam giỏc AOB cõn

Bài 25.Cho tam giác đều AOB, trên tia đối của tia OA, OB lấy theo thứ tự các điểm

C và D sao cho OC = OD.Từ B kẻ BM vuông góc với AC, CN vuông góc với BD Gọi

P là trung điểm của BC.Chứng minh:

a.Tam giác COD là tam giác đều b.AD = BC c.Tam giác MNP là tam giác đềuBài 26 Cho tam giác cân ABC, AB = AC, đờng cao AH Kẻ HE vuông góc với AC Gọi O là trung điểm của EH, I là trung điểm của EC Chứng minh:

1/IO vuông góc vơi AH 2/AO vuông góc với BE

Bài 27.Cho tam giác nhọn ABC Về phía ngoài của tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF ở B và C.Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho

AI = BC Chứng minh:

1/Tam giác ABI bằng tam giác BEC 2/BI = CE và BI vuông góc với CE

3/Ba đờng thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại một điểm

Bài 28 Cho tam giỏc ABC vuụng ở C cú A 60à = 0 Tia phõn giỏc của gúc BAC cắt BC

ở E Kẻ EK⊥AB, BD⊥AE Chứng minh :

1/AC = AK và AE vuụng gúc với CK 2/KA = KB

3/EB > AC 4/AC, BD, KE cựng đi qua một điểm

Bài 29 Cho tam giỏc DEF cõn tại D cú DE = DF = 5cm, EF = 8cm M, N lần lượt là

trung điểm DF và DE Kẻ DH ⊥ EF.

1/Chứng minh EM = FN và DEM DFNã = ã

2/Giao điểm của EM và FN là K Chứng minh KE = KF

3/Chứng minh DK là phõn giỏc của gúc EDF

4/Chứng minh EM, FN, AH đồng quy

5/Tớnh AH

Bài30 Cho gúc vuụng xOy, điểm A thộc tia Ox, B thuộc Oy Đường trung trực của

OA cắt Ox tại D, đường trung trực của OB cắt Oy ở E Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đú Chứng minh :

1/CE = OD 2/CE vuụng gúc với CD

Bài 31 Cho tam giác ABC vuơng tại A Đường phân giác BE Kẻ EH vuơng gĩc với

BC Gọi K là giao điểm của AB và HE Chứng minh :

a ∆ ABE = ∆ HBE b BE là đường trung trực của AH

Bài 33 Cho tam giác ABC cân tại A trên hai cạnh AB, AC và về phía ngồi tam giác

vẽ các tam giác đều ADB, AEC

1/Chứng minh BE =CD

2/ Kẻ phân giác AH của tam giác cân Chứng minh BE, CD, AH đồng quy

Bài 34 Cho ·xOy nhọn Trên tia Ox lấy điểm A và trên tia Oy lấy B sao cho OA = OB

Kẻ đường thẳng vuơng gĩc với Ox tại A cắt Oy tại D Kẻ đường thẳng vuơng gĩc với

Oy tại B cắt Ox tại C Giao điểm của AD và BC là E Nối CE, CD

1/Chứng minh OE là phân giác của gĩc xOy 2/Chứng minh tam giác ECD cân 3/Tia OE cắt CD tại H Chứng minh

Bài 35 Cho tam giác ABC vuơng tại A Kẻ AH ⊥ BC Kẻ HP vuơng gĩc với AB và

kéo dài để cĩ PE = PH Kẻ HQ vuơng gĩc với AC và kéo dài để cĩ QF = QH

1/Chứng minh ∆APE= ∆APH, AQH∆ = ∆AQF

2/Chứng minh E, A, F thẳng hàng và A là trung điểm của EF

3/Chứng minh BE//CF

4/Cho AH = 3cm, AC = 4cm Tính HC, EF

Bài 36 Cho ∆ ABC cân tại A (µA< 90 0), vẽ BD ⊥AC và CE ⊥AB Gọi H là

giao điểm của BD và CE

1/Chứng minh : ∆ ABD = ∆ ACE 2/Chứng minh ∆ AED cân

3/Chứng minh AH là đường trung trực của ED

4/Trên tia đối của tia DB lấy K sao cho DK = DB Chứng minh ECB DKC· =·

Bài 37 Cho đoạn thẳng BC I là trung điểm BC Trên đường trung trực của BC lấy

điểm A khác I

1/Chứng minh ∆ AIB = ∆ AIC

2/Kẻ IH⊥AB; IK⊥AC Chứng minh tam giác AHK là tam giác cân

3/Chứng minh HK//BC

Bài 38 Cho tam giác ABC cân tại A Trên tia đối của tia BA lấy D, trên tia đối của tia

CA lấy E sao cho BD = CE Vẽ DH và EK cùng vuơng gĩc với BC Chứng minh :1/HB = CK 2/AHB AKC· =· 3/HK//DE 4/∆ AHD = ∆ AKE

5/ I là giao điểm của DC và EB, chứng minh AI ⊥ DE

Bài 39.Cho tam giác ABC cân tại A (A 90µ < 0) Kẻ BD ⊥ AC,CE ⊥ AB.BD và CE cắt

nhau tại I

1/Chứng minh ∆ BDC = ∆ CEB

2/So sánh IBE vµ ICD· ·

3/Tam giác IBC là tam giác gì ? Vì sao ?

1/ Tam giác DEF đều

2/Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại M Chứng minh tam giác AMC đều

3/Chứng minh MC ⊥ BC

4/Tính DF và BD biết AD = 4cm

Bài 41 Cho góc nhọn xOy Điểm H nằm trên tia phân giác của góc xOy Từ H dựng

các đường vuông góc HA,HB xuống hai cạnh Ox và Oy (A thuộc Ox và B thuộc Oy) a) Chứng minh tam giác HAB là tam giác cân

b) Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với OH

Chứng minh BC ⊥Ox

c) Khi góc xOy bằng 600, chứng minh OA = 2OD

Bài 42 Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH Biết AB = 5 cm,

BC = 6 cm

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH?

b) Chứng minh hai góc ABG và ACG bằng nhau

c) *Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng ba điểm A, G, H thẳng hàng

Bài 43:Cho ∆ABC vuông ở C, có µA= 600 , tia phân giác của góc BAC

cắt BC ở E, kẻ EK vuông góc với AB (K∈AB), kẻ BD vuông góc AE (D∈AE)

Chứng minh:

a) AK = KB

b) AD = BC

Bài 44: Cho ∆ABC có AC > AB, trung tuyến AM Trên tia đối của tia MA lấy

điểm D sao cho MD = MA Nối C với D

a Chứng minh ·ADC > ·DAC Từ đó suy ra: ·MAB> ·MAC

b Kẻ đường cao AH Gọi E là một điểm nằm giữa A và H So sánh HC và

Bài 46: Cho ∆ABC (Â = 900) ; BD là phân giác của góc B (D∈AC)

Trên tia BC lấy điểm E sao cho BA = BE

a) Chứng minh DE ⊥ BE

b) Chứng minh BD là đường trung trực của AE

c) Kẻ AH ⊥ BC So sánh EH và EC

Bài 47: Cho ∆ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE ⊥ BC ( E∈BC ) Gọi F là

giao điểm của AB và DE Chứng minh rằng:

a) BD là trung trực của AE

c Vẽ M, N sao cho AB, AC lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HM, HN

Chứng minh tam giác MAN là tam giác cân

Bài 49 : Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B có số đo bằng 600 Vẽ AH vuông góc với BC ,( H∈BC)

a So sánh AB và AC; BH và HC;

b Lấy điểm D thuộc tia đối của tia HA sao cho HD = HA Chứng minh rằng

hai tam giác AHC và DHC bằng nhau

c Tính số đo của góc BDC

Bài 50 : Cho góc nhọn xOy, trên 2 cạnh Ox, Oy lần lượt lấy 2 điểm A và B sao cho

OA = OB, tia phân giác của góc xOy cắt AB tại I

a) Chứng minh OI ⊥AB

b) Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với OI

Chứng minh BC⊥ Ox

Bài51 Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ trung tuyến AM Từ M kẻ ME vuông g

với AB tại E, kẻ MF vuông góc với AC tại F

a Chứng minh ∆CFM =∆ BEM

b Chứng minh AM là trung trực của EF

c Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng

vuông góc với AC tại C, hai đường thẳng này cắt nhau tại D Chứng

minh rằng ba điểm A, M, D thẳng hàng

Bài 52: Cho tam giác ABC có µA= 900 , AB =8cm , AC =6cm

a Tính BC

b Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 2 AEcm = , trên tia đối của tia AB

lấy điểm D sao cho AD AB = Chứng minh ∆BEC = ∆DEC

c Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC

Đề số 1:

đề thi học sinh giỏi huyện

Môn Toán Lớp 7

(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dơng:

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm

đối diện nhau trên một đờng thẳng

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia

đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI =

CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E Chứng minh: AE

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ :

3n+ − 2n+ + − 3n 2nchia hết cho 10

a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1: :

5 4 6 Biết rằng tổng các bình phương của ba

Cho tam giác ABC cân tại A có µ 0

A 20 = , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC) Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M Chứng minh:

a) Tia AD là phân giác của góc BAC

Bµi 2 Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm)

+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013

Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 ≤ x ≤ 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1

+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013

Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 ≤ x ≤ 2007

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm

đối diện nhau trên một đờng thẳng (4 điểm mỗi)

Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đờng thẳng, ta có:

1 11

y x 1

y 12

x 1

12 y

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia

đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho

CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi)

Đờng thẳng AB cắt EI tại F

∆ABM = ∆DCM vì:

AM = DM (gt), MB = MC (gt), ãAMB = DMC (đđ) => BAM = CDM

=>FB // ID => ID⊥AC

Và FAI = CIA (so le trong) (1)

IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) => ∆CAI = ∆FIA (AI chung)

=> IC = AC = AF

(3)

và E FA = 1v

(4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ :

3n+ − 2n+ + − 3n 2nchia hết cho 10

D B

A

H

I

F E

M

c) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1: :

5 4 6 Biết rằng tổng cỏc bỡnh phương của ba

Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú à 0

A 20 = , vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC) Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M Chứng minh:

c) Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC

d) AM = BC

……… Hết ………

Đáp án đề 2 toán 7 Bài 1:(4 điểm):

a) (2 điểm)

Vậy 3n+ 2 − 2n+ 2 + − 3n 2nM 10 với mọi n là số nguyên dương.

Bài 2:(4 điểm)

a) (2 điểm)

( )

1 23

1 23

1 72

3 3

1 52

x x

C I

Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ ·MAC = ·MEB

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )

Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c )

Suy ra ·AMI = ·EMK

Mà ·AMI + ·IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )

·BME là góc ngoài tại đỉnh M của ∆HEM

Nên ·BME = ·HEM + ·MHE = 15o + 90o = 105o

( định lý góc ngoài của tam giác )

Bài 5: (4 điểm)

a) Chứng minh ∆ADB = ∆ADC (c.c.c)

suy ra DAB DAC· =·

Do đó ·DAB= 20 : 2 10 0 = 0

b) ∆ABC cân tại A, mà µA= 20 0(gt) nên

· (180 0 20 ) : 2 80 0 0

ABC= − =

∆ABC đều nên ·DBC= 60 0

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ·ABD= 80 0 − 60 0 = 20 0

Tia BM là phân giác của góc ABD

nên ·ABM = 10 0

Xét tam giác ABM và BAD có:

AB cạnh chung ; BAM· =·ABD= 20 ; 0 ·ABM =DAB· = 10 0

200

M A

D

Vậy: ∆ABM = ∆BAD (g.c.g)

suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nờn AM = BC

Đề số 3:

đề thi học sinh giỏi

Môn Toán Lớp 7

(Thời gian làm bài 120 phút)

Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a 4≤

Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng

AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC

+

+ +

DAC = BAE ( cïng b»ng 900 + BAC )

Ta l¹i cã: AC = AE (gt) ( 3) Tõ (1),(2) vµ (3) => ABC = EMA ( ®pcm)

c/ KÐo dµi MA c¾t BC t¹i H Tõ E h¹ EP ⊥ MH

(Thời gian làm bài 120 phút)

1 3 3

1

2003 2

3

12

5 5 2

1 4

3 3 2

+

+ +

a

a

a là số nguyênb- Tìm số nguyên x,y sao cho x - 2xy + y = 0

Câu 3 ( 2 điểm)

a- Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c (b+d) thì

d

c b

1.a Thực hiện theo từng bớc đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm

1.b Thực hiện theo từng bớc đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm

Ta có :

1

3 2

+

+ +

3 ) 1 (

+ +

= +

+ +

a

a a

a a

vì a là số nguyên nên

1

3 2

+

+ +

+

+ +

1 2

1 2 1

y

x x

1 2

1 2 1

y

x x

y

Vậy có 2 cặp số x, y nh trên thoả mãn điều kiện đầu bài

0,25

0,250,25

0,253.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)

Hay ad=bc Suy ra

d

c b

a = ( ĐPCM)

0,5

0,53.b Giả sử số có 3 chữ số là aaa=111.a ( a là chữ số khác 0)

Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :

a a

n

n

37 3 111 2

) 1 ( + = = Hay n(n+1) =2.3.37.a

Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và

= +

n n

không thoả mãn Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó 666

2

) 1 (n+ =

n

thoả mãn Vậy số số hạng của tổng là 36

0,25

0,25

0,54