GIÁO ÁN CASIO PHẦN DÃY SỐ

CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ I MỤC TIấU: Kiến thức: Học sinh nắm được quy luật về dóy số Tớnh được giỏ trị của dóy số theo yờu cầu của bài toỏn ớc đoán về các tính chất của dãy số tính đơn điệ

Trang 1

Ngày giảng:……… CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

I MỤC TIấU:

Kiến thức:

Học sinh nắm được quy luật về dóy số

Tớnh được giỏ trị của dóy số theo yờu cầu của bài toỏn

ớc đoán về các tính chất của dãy số (tính đơn điệu, bị chặn ),

dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số, tính hội tụ, giới hạn của dãy

Kỹ năng: Rốn luyện kỹ năng giả cỏc bài toỏn về cỏc dạng trờn

Thỏi độ: Rộn tớnh cẩn thận, nhanh, chớnh xỏc

II PHƯƠNG TIỆN DẠY HOC

GV: Mỏy chiờu, bảng phụ, cỏc dạng toỏn, mỏy tớnh cầm tay

HS: Mỏy tớnh cầm tay, đồ dung học tập, bảng phụ, nhỏp, sỏch vở

III TIẾN TRèNH DẠY HỌC

A Ổn định tổ chức:………

B Kiểm tra bài cũ:………

………

C Bài giảng

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ

Giải thích:

1

: ghi giá trị n =

1 vào ô nhớ

1 :

tính un = f(n) tại giá trị

(khi bấm dấu bằng

thứ lần nhất) và thực

hiện gán giá trị ô nhớ

thêm 1 đơn vị:

1 (khi bấm dấu

I/ Lập quy trình tính số hạng của dãy số:

1) Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát:

trong đó f(n) là biểu thức của

n cho trớc

Cách lập quy trình:

- Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ : 1

un = f(n), n  N *

Trang 2

bằng lần thứ hai).

* Công thức đợc lặp lại

mỗi khi ấn dấu

GV Nêu phơng pháp

giải

HS Thực hanh bấm trên

máy và viết quy trình

bấm máy vào vở

HS Ghi kết quả tính

đợc

Giải thích:

- Khi bấm: a

màn hình hiện u1 = a

và lu kết quả này

- Khi nhập biểu

thức f(un) bởi phím

, bấm dấu lần

thứ nhất máy sẽ thực

hiện tính u2 = f(u1) và

lại lu kết quả này

- Tiếp tục bấm dấu

ta lần lợt đợc các số

- Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ

1

- Lặp dấu bằng:

Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu của dãy số

(un) cho bởi:

Giải:

- Ta lập quy trình tính un nh sau:

1 5 2

1

- Lặp lại phím: .

Ta đợc kết quả: u 1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55.

2) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:

trong đó f(un) là biểu thức của

un cho trớc

- Nhập giá trị của số hạng u1: a

Trang 3

hạng của dãy số u3, u4

giải

Dạng 2

HS Tìm cách lập

trình theo lý thuyết

Thực hanh bấm trên

đợc

- Nhập biểu thức của un+1 = f(un) :

( trong biểu thức của un+1 chỗ nào có

un ta nhập bằng )

- Lặp dấu bằng:

Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số

(un) cho bởi:

Giải:

- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng

của dãy số nh sau: 1 (u 1)

2 1 (u 2)

- Ta đợc các giá trị gần đúng với 9 chữ số

thập phân sau dấu phảy: u 1 = 1 u8 = 1,414215686

u2 = 1,5 u 9 = 1,414213198

u3 = 1,4 u 10 = 1,414213625

u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552

u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564

u6 = 1,414285714 u13 =

Trang 4

giải

Dạng 3

Giải thích: Sau khi

thực hiện

B a C

trong ô nhớ là u 2 = b,

máy tính tổng u 3 := Ab

+ Ba + C = Au2 + Bu1

+ C và đẩy vào trong ô

nhớ , trên màn hình

là: u 3 : = Au2 + Bu1 + C

Sau khi thực hiện:

C

máy tính tổng u 4 :=

Au3 + Bu2 + C và đa

vào ô nhớ Nh vậy

khi đó ta có u4 trên

màn hình và trong ô

nhớ (trong ô nhớ

vẫn là u3)

Sau khi thực hiện:

C

máy tính tổng u 5 :=

Au4 + Bu3 + C và đa

1,414213562 u7 = 1,414201183 u14 = = u20 = 1,414213562

Ví dụ 2: Cho dãy số đợc xác định bởi:

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên

Giải:

- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số nh sau:

3 (u 1)

3 (u 2)

(u 4 = 3)

Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u 4 = 3

là số nguyên

3) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:

* Cách 1:

Và lặp lại dãy phím

Trang 5

vào ô nhớ Nh vậy

khi đó ta có u5 trên

màn hình và trong ô

nhớ (trong ô nhớ

vẫn là u4)

Tiếp tục vòng lặp ta

đợc dãy số u n+2 = Aun+1

+ Bun + C

HS Tìm cách lập

đợc

GV:

Hoặc có thể thực

hiện quy trình:

4

5

ta cũng đợc kết

quả nh trên

*Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên,

ta có thể sử dụng chức năng để lập lại dãy lặp bởi quy trình sau (giảm đợc 10 lần bấm phím mỗi khi tìm một số hạng của dãy số), thực hiện quy trình sau:

A B C

Lặp dấu bằng:

* Cách 2: Sử dụng cách lập công thức

C

Lặp dấu bằng: .

Ví dụ : Cho dãy số đợc xác định bởi:

Hãy lập quy trình tính un

Giải:

- Thực hiện quy trình:

Trang 6

giải

Dạng 4

HS: Nghe tự ghi vào vở

HS Tìm cách lập

đợc

giải

Một số dạng bài toán về

dãy số

3 4 5

ta đợc dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290,

61167, 244666, 978671

4) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng:

* Thuật toán để lập quy trình tính số hạng của dãy:

- Sử dụng 3 ô nhớ: : chứa giá trị của n : chứa giá trị của un : chứa giá trị của un+1

- Lập công thức tính un+1 thực hiện gán :

= + 1 và := để tính số hạng tiếp theo của dãy

- Lặp phím :

Ví dụ : Cho dãy số đợc xác định bởi:

Hãy lập quy trình tính un

Trong đó

là

kí hiệu của biểu thức un+1 tính theo

Trang 7

HS Tìm cách lập

đợc

HS Tìm cách lập

Giải:

1

ta đợc dãy:

II/ Sử dụng MTBT trong việc giải một số dạng toán về dãysố:

1) Lập công thức số hạng tổng quát:

Phơng pháp giải:

- Lập quy trình trên MTBT để tính một số số hạng của dãy số

- Tìm quy luật cho dãy số, dự đoán công thức số hạng tổng quát

- Chứng minh công thức tìm đợc bằng quy nạp

Ví dụ 1: Tìm a2004 biết:

Giải:

- Trớc hết ta tính một số số hạng đầu của

Trang 8

đợc

giải

Một số bài toán về giới

hạn và tính hội tụ của

dãy số

dãy (an), quy trình sau:

1

- Ta đợc dãy:

- Từ đó phân tích các số hạng để tìm quy luật cho dãy trên:

a1 = 0 a2 = a3 =  dự đoán công thức số hạng tổng quát:

a4 =

* Dễ dàng chứng minh công thức (1) đúng



Ví dụ 2 : Xét dãy số:

(1)

đúng với mọi n  N* bằng p2 quy nạp

Trang 9

HS Tìm cách lập

đợc

Cách giải khác: Từ

kết quả tìm đợc một

số số hạng đầu của

dãy,ta thấy:

- Với n = 1 thì

A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6

+ 1 = 25 = (2a2 - 1) 2

Chứng minh rằng số A = 4an.an+2 + 1 là số chính phơng

Giải:

- Tính một số số hạng đầu của dãy (an) bằng quy trình:

2 1

- Ta đợc dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,

55,

- Tìm quy luật cho dãy số:

 dự đoán công thức số hạng tổng quát:

* Ta hoàn toàn chứng minh công thức (1)

Từ đó: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2

Trang 10

A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10

+ 1 = 121 = (2a3 - 1) 2

A = 4a3.a5 + 1 = 4.6.15

+ 1 = 361 = (2a4 - 1) 2

Từ đó ta chứng

minh A = 4an.an+2 + 1 =

(2an+1 - 1)2 (*)

Bằng phơng pháp

quy nạp ta cũng dễ

dàng chứng minh đợc

(*)

giải

Hãy tim: P(x)

giải bài 1

 A là một số chính phơng

2) Dự đoán giới hạn của dãy số:

2.1 Xét tính hội tụ của dãy số:

Bằng cách sử dung MTBT cho phép ta tính

đợc nhiều số hạng của dãy số một cách nhanh chóng Biểu diễn dãy điểm các số hạng của dãy

số sẽ giúp cho ta trực quan tốt về sự hội tụ của dãy số, từ đó hình thành nên cách giải của bài toán

Dự đoán giới hạn của dãy số:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng dãy số (un), (n =

1, 2, 3 ) xác định bởi:

có giới hạn Tìm giới hạn đó

Giải:

2

ta đợc kết quả sau (độ chính xác 10-9 ):

1 1,41421356

2 1,84775906

3 1,96157056

4 1,99036945

5 1,99759091

6 1,99939763 16 1,999999999

Trang 11

HS

- Thay n=0,1,2,3,4 tính

đợc các giá trị U0 , U1 ,

U2 , U3 , U4

- Thay n=0, 1, 2, 3, 4

vào và áp dụng câu 1

ta có hệ PT

- Giải hệ PT trên máy

tính ta đợc a, b, c và

có công thức truy hồi

HS Tự viết quy trình

bấm máy

GV Giới thiệu cách 1

Cách 1: Dùng phơng

pháp biến đổi:

Ta có: đặt a= ;

b= , suy ra Un+1=

; Un= và

a+b=4; a.b=1

Ta có Un+2= =

= [(a+b) (an+1-bn+1)-an+1.b+a.bn+1]

= [(a+b)(an+1-bn+1

)-a.b (an-bn)]=(a+b)

7

7 1,99984940

8 1,99996235

9 1,99999058

1

Dựa vào kết quả trên ta nhận xét đợc:

1) Dãy số (un) là dãy tăng 2) Dự đoán giới hạn của dãy số bằng 2

Các bài tập luyện tập Bài 1:

Cho Un= với n=0, 1 , 2 , 3 , 4…

1 Tính các giá trị U0 , U1 , U2 , U3 , U 4

U0=0 U1=1 U2=4 U3=15 U4=56

2.) Lập công thức truy hồi tính Un+2 theo Un+1và

Un

3.) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un+2

theo Un+1 và Un

Giải:

1 Thay n=0,1,2,3,4 ta đợc U0=0, U1=1 , U2=4 , U3=15 , U4=56

2.Cách 2:Dùng phơng pháp quy nạp:

Giả sử ta có công thức truy hồi tính Un+2 theo Un+1 và Un là Un+2 =aUn+1 +bUn+c

Thay n=0, 1, 2, 3, 4 vào và áp dụng câu 1 ta có

hệ PT sau:

Un+2=4U n+1 - U n

Trang 12

Un+1- Un

Vậy công thức truy

hồi là Un+2=4 Un+1- Un

GV Tơng tự bài 2a tự

giải bài 2b

Bài 2.

Cho Un=

với n=0, 1, 2, 3, 4…

1.) Tính các giá trị U0 ,

U1 , U2 , U3 , U4

2 Lập công thức truy

hồi tính Un+2 theo Un+1

và Un

3 Lập quy trình bấm

phím liên tục tính Un+2

theo Un+1 và Un

HS; Tự giải bài 2 cho

kết quả

Bài 3

Cho dãy số Un đợc xác

định nh sau:

U1= 1; U2= 3; Un=

U2 n-1- Un-1 Un-2 (với n ³

3)

a) Lập quy trình tính

Un

b) áp dụng tính U7

Bài 4.

Cho dãy số sắp thứ tự

,biết

<=> giải hệ ( bấm

máy tính) ta đợc Vậy công thức truy hồi là Un+2=4Un+1- Un

3 Quy trình bấm phím liên tục tính Un+2 theo Un+1 và Un

áp dụng câu 2 Ta có Un+2=4 Un+1- Un Trên máy fx-500MS hoặc fx-570MS:

1 SHIFT ST

O A X 4 - 0 SHIFT STO B ( đợc U2=4)

Sau đó lặp lại dãy phím:

( đợc U3=15)

( đợc U4=56)

( đợc U5=209)

………

Hoặc một quy trình khác:

(Khởi tạo giá trị U0=0, U1=1)

Sau đó lặp lại dãy phím:

( đợc U2=4)

( đợc U3=15)

( đợc U4=56)

……….

(1)

Trang 13

và

Bài 5.

Cho dãy số sắp thứ tự

biết:

a)Tính

b).Viết qui trình bấm

phím liên tục để tính

giá trị của với

c) Sử dụng qui trình

trên, tính giá trị của

Bài 6:

Cho

( nếu n lẻ,

nếu n chẵn, n là số

nguyên )

a).Tính chính xác dới

dạng phân số các giá

b) Tính giá trị gần

đúng các giá trị:

c).Nêu qui trình bấm

phím để tính giá trị

của

Bài 7: Cho dãy số xác

Bài 3.

Bài giải

a) Quy trình:

1 Shift Sto A Shift Sto M 3 Shift Sto B M=M+1:A=B 2 -BA:

M=M+1:B=A 2 -AB

b) áp dụng: U7=1’819’863’936

Bài 4.

Bài giải

, tính đợc Gán 588 cho A, gán 1084 cho B, bấm liên tục các phím: (,(─), 2, Alpha, A, +, 3, Alpha, B, Shift, STO, C

Lặp lại: (,(─), 2, Alpha, B, +, 3, Alpha, C, Shift, STO, A

(Theo qui luật vòng tròn: ABC, BCA,

CAB,

Bài 5.

Bài giải

a) Gán 1; 2; 3 lần lợt cho A, B, C Bấm liên tục các phím: 3, Alpha, A, , 2, Alpha, B, , Alpha,

C, Shift, STO, D, ghi kết quả u4

Lặp lại thêm 3 lợt: 3, Alpha, B, , 2, Alpha, C, , Alpha, D, Shift, STO, A, (theo qui luật vòng tròn ABCD, BCDA, CDAB, ) Bấm phím trở về lợt 1, tiếp Shift_copy, sau đó bấm phím "=" liên tục và đếm chỉ số

b) Nêu phép lặp c) Dùng phép lặp trên và đếm số lần ta đợc:

, nếu n chẵn

Trang 14

định bởi:

a) Tính giá trị của

b) Gọi là tổng của

số hạng đầu tiên của

dãy số Tính

Bài 6:

Bài giải

a).Giải thuật: 1 STO A, 0 STO D, ALPHA D, ALPHA =, ALPHA D + 1, ALPHA : , ALPHA A, ALPHA =, ALPHA

A + (-1)(D-1) x ((D-1)D2 Sau đó bấm = liên tiếp, theo dõi số đếm D ứng với chỉ số của uD,

ta đợc:

u30  0.8548281618

Bài 7: Bài giải

u10 = 28595 ; u15 = 8725987 ; u21 =

9884879423 S10 = 40149 ; S15 = 13088980 ; S20 = 4942439711

Qui trình bấm phím:

1 STO A, 2 STO B, 3 STO M, 2 STO D, ALPHA D, ALPHA=, ALPHA D+1, ALPHA : , ALPHA C, ALPHA =, 3 ALPHA A, +, 2 ALPHA B, ALPHA : , ALPHA M, ALPHA =, ALPHA M + ALPHA C, ALPHA : ALPHA A, ALPHA =, ALPHA B, ALPHA : , ALPHA B, ALPHA =, ALPHA C, ALPHA : ,

ALPHA D, ALPHA=, ALPHA D+1, ALPHA : , ALPHA C, ALPHA =, ALPHA 2 ALPHA A, +, 3 ALPHA B, ALPHA : , ALPHA M, ALPHA =, ALPHA

M + ALPHA C, ALPHA : ALPHA A, ALPHA =, ALPHA B, ALPHA : , ALPHA B, ALPHA =, ALPHA

C, sau đó bấm = liên tiếp, D là chỉ số, C là uD ,

M là SD

Bài 8 Cho dóy số với số hạng tổng quỏt được cho bởi cụng thức :

Trang 15

Bµi 10.

Cho

víi n= 0, 1, 2…

a) LËp c«ng thøc

tÝnh theo

vµ

b) LËp quy tr×nh

bÊm phÝm liªn tôc

tÝnh

theo vµ

với n = 1, 2, 3, ……, k,

…

a) Tính u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8 b) Lập công thức truy hồi tính un+1theo un và un-1 2) Cho hai dãy số với các số hạng tổng quát được cho bởi công thức :

với n = 1, 2, 3, ……, k, …

a) Tính b) Viết quy trình ấn phím liên tục tính và theo và

Bài 9 (6 điểm) 1) a) U1 = 1 ; U2 = 12 ; U3 = 136 ; U4 = 1536 ; U5 = 17344

U6 = 195840 ; U7 = 2211328 ; U8 = 24969216 b) Xác lập công thức : Un+1 = 12Un – 8Un-1

2)a) u5 = -767 và v5 = -526; u10 = -192547 và v10 = -135434

u15 = -47517071 và v15 = -34219414;

u18 = 1055662493 và v18 = 673575382

2 điểm u19 = -1016278991 và v19 = -1217168422 b) Qui trình bấm phím:

1 Shift STO A, 2 Shift STO B, 1 Shift STO D, Alpha D Alpha = Alpha D +1, Alpha :,C Alpha = Alpha A, Alpha :, Alpha A Alpha = 22 Alpha B - 15 Alpha A, Alpha :, Alpha

B, Alpha =, 17 Alpha B - 12 Alpha C, = = =

1 điểm

Bµi 10.

§S a)

b) 2 SHIFT STO A 6 SHIFT STO B ALPHA A ALPHA = 6 ALPHA B – 2 ALPHA A ALPHA : ALPHA B ALPHA = 6 ALPHA A – 2ALPHA

B LÆp d·y = = …

Trang 16

Bài 11

Cho dãy số : U = Với

a) Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy số này

b) Lập một công thức truy hồi để tính U theo U và U

c) Lập qui trình bấm phím liên tục tính U trên máy tính Casio

a) Kết quả đúng

b) Trình bày đủ các bớc, ra kết quả đúng (U

= 3U - U +2)

c) Lập qui trình bấm phím đúng

Bài 12: (2 điểm)

Cho dóy số a1 = 3, a2 = 4, a3 = 6, ……, a n+1 = a1 + n

a) Số thứ 2007 của dóy số trờn là số nào?

b) Tớnh tổng của 100 số hạng đầu tiờn của dóy số trờn?

Bài giải

a) Ta cú : a1= 3 = 3 + , a2= 4= 3 + ,…, an= 3 + ,

an+1= an +n =3 +

Do đú : a2007 = 3 + = 2013024

b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiờn của dóy số trờn Ta cú:

S = 300 + (100.99 + 99.98 + … + 3.2 + 2.1)

S = 300 +

S = 300+ (101.100.99-100.99.98+ 100.99.98-99.98.97+…+4.3.2-3.2.1+3.2.1)

S = 300+ 101.100.99 = 166950.

Bài 13 Cho dóy số:

Trang 17

(Biểu thức có n tầng số) Tính giá trị chính xác của và giá trị gần đúng của

Bài giải

Gọi ta có quy luật về mối liên hệ giữa các số hạng của dãy số

; Bấm phím liên tiếp(570MS) hoặc và bấm phím liên tiếp (570ES)

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	866,5 KB