Bài giảng toán thống kê

I. TỔNG THỂ VÀ MẪU 1.1. Tổng thể . Trong thực tế và trong khoa học chúng ta thường phải khảo sát một tập hợp có rất nhiều phần tử. Chẳng hạn khảo sát chiều cao của thanh niên Việt nam thì mọi thanh niên Việt nam đều là đối tượng cần khảo sát hay khảo sát nang suất của giống lúa A thì đối tượng khảo sát là mọi thửa ruộng trồng giống lúa A. Trong lý thuyết toán thống kê, người ta gọi các tập hợp đó là tổng thể (còn gọi là tập hợp chính hoặc đám đông). Số lượng các cá thể của tổng thể gọi là kích thước của tổng thể, thường ký hiệu bằng chữ in hoa N.

Bài giảng TOÁN THỐNG KÊ

Mục lục

Chương 4 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN MỞ ĐẦU VỀ THỐNG KÊ 3

I TỔNG THỂ VÀ MẪU 3

1.1 Tổng thể 3

1.2 Mẫu 3

1.3 Các phương pháp lấy mẫu 3

II BỐ TRÍ MẪU VÀ PHÂN PHỐI MẪU 3

2.1 Sắp xếp số liệu 3

2.2 Biểu diễn hình học của mẫu 5

III CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU 5

3.1 Trung bình mẫu 5

2.2 Phương sai mẫu 5

2.3 Phương sai hiệu chỉnh của mẫu 6

IV MẪU NGẪU NHIÊN 8

4.1 Mẫu ngẫu nhiên 8

4.2 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên 8

4.3 Thống kê 8

V MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT DÙNG TRONG TOÁN THỐNG KÊ 8

5.1 Các định lý về phân phối chuẩn 8

5.2 Phân phối khi-bình phương (2) 9

5.3 Phân phối Student 9

5.4 Phân phối Fisher-Snedecor 10

5.5 Phân vị mức 1 –  10

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 11

Chương 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 12

Khái niệm về bài toán ước lượng tham số 12

I ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 12

1.1 Định nghĩa 12

1.2 Các loại ước lượng 12

1.3 Các ước lượng điểm thường gặp 13

1-/ Trung bình mẫu ngẫu nhiên: 13

2-/ Phương sai mẫu ngẫu nhiên hiệu chỉnh: 13

3-/ Tần suất 14

II ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 14

2.1 Định nghĩa 14

2.2 Ước lượng kỳ vọng (giá trị trung bình) của phân phối chuẩn 15

a) Trường hợp biết phương sai D(X) = 2 15

b) Trường hợp không biết phương sai 2 16

2.3 Ước lượng xác suất (tỷ lệ) 17

2.4 Ước lượng phương sai của phân phối chuẩn 17

2.5 Kích thước mẫu cần thiết 19

Chương 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 22

I GIẢ THUYẾT, ĐỐI THUYẾT 22

1.1 Giả thuyết, đối thuyết 22

1.2 Quy tắc kiểm định giả thuyết 22

1.3 Các loại sai lầm 23

II CÁC BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH THAM SỐ 23

2.1 Kiểm định kỳ vọng của biến chuẩn 23

a) Trường hợp biết phương sai 2 23

b) Trường hợp chưa biết phương sai 2 24

c) Chú thích: 25

2.2 Kiểm định một xác suất (tỷ lệ) 27

2.3 Kiểm định sự bằng nhau của kỳ vọng hai biến chuẩn, mẫu độc lập 28

a) Trường hợp biết σv và σv 28 2 x 2 y b) Trường hợp không biết σv và σv 29 2 x 2 y c) Chú ý 30

2.4 Kiểm định sự bằng nhau của kỳ vọng hai biến chuẩn, mẫu theo cặp 31

2.5 Kiểm định sự bằng nhau của phương sai hai biến chuẩn 32

2.6 Kiểm định sự bằng nhau của hai xác suất (so sánh hai tỷ lệ) 33

III MỘT VÀI KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ 34

3.1 Kiểm định luật phân phối xác suất 34

a) Trường hợp các pi đã biết 35

b) Trường hợp các pi phụ thuộc các tham số chưa biết 36

3.2 Kiểm định sự độc lập của hai đặc tính định tính 37

BÀI TẬP CHƯƠNG 6 40

Chương 7 TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY TUYẾN TÍNH 45

I MẪU THỐNG KÊ HAI CHIỀU 45

1.1 Biến ngẫu nhiên hai chiều 45

1.2 Mẫu thống kê hai chiều 45

a) Nếu mẫu nhỏ (n nhỏ) 45

b) Nếu mẫu lớn và có nhiều số liệu trùng nhau 45

c) Nếu mẫu lớn và các số liệu ít trùng nhau 45

II HỆ SỐ TƯƠNG QUAN 46

2.1 Sự liên hệ tương quan 46

2.2 Hệ số tương quan lý thuyết 46

2.2 Hệ số tương quan mẫu 47

2.3 Kiểm định sự tương quan 48

III HỒI QUY TUYẾN TÍNH 49

3.1 Hàm hồi quy lý thuyết 49

3.2 Hàm hồi quy tuyến tính mẫu 50

3.3 Dự báo theo phương trình hồi quy 52

BÀI TẬP CHƯƠNG 7 54

CÁC BẢNG SỐ 57

Bảng1: Giá trị hàm phân phối chuẩn tắc 57

Bảng 2: Phân vị Student 58

Bảng 3: Phân vị khi bình phương 59

Bảng 4: Phân vị Fisher – Snedecor mức 0,05 60

Chương 4 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN MỞ ĐẦU VỀ THỐNG KÊ

I TỔNG THỂ VÀ MẪU

1.1 Tổng thể

Trong thực tế và trong khoa học chúng ta thường phải khảo sát một tập hợp có rất nhiềuphần tử Chẳng hạn khảo sát chiều cao của thanh niên Việt nam thì mọi thanh niên Việt namđều là đối tượng cần khảo sát hay khảo sát nang suất của giống lúa A thì đối tượng khảo sát làmọi thửa ruộng trồng giống lúa A Trong lý thuyết toán thống kê, người ta gọi các tập hợp đó làtổng thể (còn gọi là tập hợp chính hoặc đám đông)

Số lượng các cá thể của tổng thể gọi là kích thước của tổng thể, thường ký hiệu bằng chữ

in hoa N

1.2 Mẫu

Do tổng thể quá lớn, và hơn nữa có nhiều nghiên cứu phải phá huỷ đối tượng nghiên cứu,chẳng hạn khi định lượng hàm lượng của một loại thuốc chữa bệnh nào đó bằng phương pháphoá học

Bởi vậy cần chọn ra n phần tử của tổng thể để nghiên cứu, n phần tử được chọn đó gọi làmột mẫu có kích thước n (hay mẫu có dung lượng n)

Kích thước mẫu thường rất nhỏ so với kích thước của tổng thể (n << N)

Tập hợp tất cả các mẫu có kích thước n có thể lấy được từ tổng thể gọi là không gian mẫu

có kích thước n

Nếu đặc tính cần nghiên cứu là đặc tính định lượng X, ký hiệu xi là giá trị của X đo được ở

cá thể thứ i của mẫu thì được bộ số liệu (x1, x2, , xn) Bộ số liệu (x1, x2, , xn) gọi là một mẫuthống kê kích thước n của X Dễ thấy khi đó đặc tính cần nghiên cứu X là một biến ngẫu nhiên

1.3 Các phương pháp lấy mẫu

Mục đích chọn mẫu là từ kết quả khảo sát các phần tử của mẫu để đưa ra kết luận cho cảtổng thể Vì thế mẫu phải đại diện cho cả tổng thể Muốn vậy mọi phần tử của tổng thể đều cócùng khả năng được chọn vào mẫu, nói cách khác việc chọn mẫu phải dựa trên nguyên tắc ngẫunhiên

Các phương pháp cụ thể xem trong SGK (trang 97, 97)

II BỐ TRÍ MẪU VÀ PHÂN PHỐI MẪU

Nếu các số liệu thu thập được có nhiều giá trị giống nhau thì đếm số các giá trị giống nhau

và xếp các số liệu thành bảng hai dòng Chẳng hạn trong n giá trị thu được chỉ có k giá trị khácnhau là x1, x2, …, xk (trong đó xi < xi + 1) và có ni giá trị xi thì xếp thành bảng:

Bảng trên gọi là mẫu có tần số

Thí dụ: Đo chiều cao của 20 thanh niên thấy có: 5 người cao 165 cm, 2 người cao 167, 3

người cao 164, 4 người cao 166, 2 người cao 163 và 1 người cao 168 Khi đó ta có bảng:

Gọi xmin, xmax tương ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các số liệu thu thập được và giả

sử ta chia các số liệu thành k khoảng Khi đó đại lượng:

k

xx

h max mingọi là độ rộng của lớp

Đặt x0  xmin; xi = x0 + ih, i = 1, 2, …, k sao cho xk  xmax Mỗi khoảng (xi – 1, xi] được gọi

là một lớp (chú ý rằng cũng có thể chọn lớp là [xi – 1,xi)) Đếm các giá trị thuộc các lớp và xếpthành bảng:

Giá trị giữa lớp gọi là giá trị đại diện của lớp

Bảng trên gọi là mẫu phân lớp

Thí dụ: Cân thử 40 con gà 3 tháng tuổi được kết quả (đơn vị tính kg/con):

1,20 1,26 1,21 1,17 1,19 1,25 1,22 1,22 1,19 1,18 1,25 1,19 1,22 1,201,21 1,21 1,20 1,20 1,25 1,18 1,24 1,15 1,23 1,21 1,22 1,24 1,18 1,231,21 1,18 1,16 1,17 1,20 1,15 1,18 1,22 1,21 1,23 1,26 1,24

ni 2 1 2 5 3 5 6 5 3 3 3 2

2.2 Biểu diễn hình học của mẫu

Có thể lập bảng tần suất cho mẫu có tần số:

III CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU

Sau khi sắp xếp lại các số liệu, ta thường phải tính các số đặc trưng của mẫu Sau đây làmột số số đặc trưng chính của một mẫu thống kê

2

n

1 n

x

x x

x (4.1)Nếu mẫu cho có tần số:

2 1

k k 2

2 1

n

1 n

n n

x n

x n x n

x (4.1a)

Nếu mẫu là phân lớp thì tính như mẫu có tần số, nhưng tính theo giá trị đại diện của lớp(giá trị giữa lớp)

Trung bình mẫu đặc trưng cho độ lớn của các số liệu quan sát được

2.2 Phương sai mẫu

Số phương sai của mẫu thống kê (x1, x2, …, xn) là số: s*2 = 





n

1 i

2

i x ) x ( n

1

(4.2) Biến đổi (4.2) được:

7 (7/40)

5 (5/40)

3 (3/40)

0 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 X

s*2 =

 2 n

1 i

2 i 2

2 n

1 i i n

1 i

2 i 2

n

1 i i n

1 i

2

n

1n

xx

nxn

1xn

2 i

i ( x x ) n

n

1

(4.3) Biến đổi (4.3) được:

s*2 =

 2 k

1 i

2 i i 2

2 n

1 i

n

1 i i i

2 i i 2

k

1 i i i k

1 i

2 i

n

1n

xnx

nnxnn

1xnn

Căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn của mẫu và ký hiệu là s*: s  * s * 2

2.3 Phương sai hiệu chỉnh của mẫu

Số phương sai hiệu chỉnh của mẫu thống kê (x1, x2, …, xn) là số: s2 = s *2

1 n

2

i x ) x ( 1 n

1

(4.4)

Biến đổi (4.4) được: s2 =  

1 n

x n x )

1 n ( n

x x

1 i

2 i

2 n

1 i i n

1 i

2 i

2 i

i ( x x ) n

1 n

1

(4.5)

1 n

x n x n )

1 n ( n

x n x

n

1 i

2 i i

2 k

1

i i i

k

1 i

2 i i

Nếu coi trung bình mẫu x là tâm của dãy số liệu thu thập được thì đại lượng ei = xi  x

là độ lệch giữa xi và x, nó cho biết xi gần hay xa tâm x Bởi vậy phương sai mẫu cũng nhưphương sai mẫu hiệu chỉnh và các độ lệch chuẩn là đặc trưng cho độ phân tán các số liệu quansát được quanh giá trị trung bình mẫu x

Chú ý rằng sau này chúng ta chỉ dùng phương sai hiệu chỉnh của mẫu s 2 mà không dùngphương sai mẫu s*2 Điều này sẽ được lý giải ở chương sau

Phương sai, độ lệch chuẩn cũng như phương sai hiệu chỉnh, độ lệch chuẩn hiệu chỉnh đặctrưng cho độ phân tán của các số liệu quanh giá trị trung bình mẫu

Thí dụ 1 Tính các số đặc trưng của mẫu (số liệu của thí dụ 1 trong 2.1)

Giải: Thường dùng các công thức (4.1a), (4.2a) hoặc (4.3a), (4.4a) hoặc (4.5a) để tính các

số đặc trưng của mẫu Khi đó cần phải tính dung lượng mẫu n và các tổng: x, x2 Có hai cáchtính các tổng này:

x  = 1,203 Phương sai mẫu: s*2 = ( 1 , 203 )2

40

9216 , 57

 = 0,00083  độ lệch chuẩn: s* = 0,0288

Phương sai mẫu hiệu chỉnh: s2 =

39

) 203 , 1 ( 40 9216 ,

57  2 = 0,00085  s = 0,0292

IV MẪU NGẪU NHIÊN

4.1 Mẫu ngẫu nhiên

Xét mẫu lượng n của biến ngẫu nhiên X Gọi Xi là biến ngẫu nhiên chỉ giá trị của X ở cáthể thứ i của mẫu thì được bộ biến ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn)

Bộ các biến ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn) gọi là mẫu ngẫu nhiên của X

Do việc khảo sát các cá thể trong mẫu là độc lập nên các biến ngẫu nhiên Xi trong mẫungẫu nhiên được coi là độc lập với nhau và cùng phân phối xác suất với X

Người ta còn nói mẫu thống kê (x1, x2, …, xn) là một thể hiện hay là một mẫu cụ thể củamẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn)

4.2 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Cũng như mẫu thống kê (x1, x2, …, xn) của biến ngẫu nhiên X, với mẫu ngẫu nhiên(X1, X2, …, Xn) cũng có các đặc trưng của nó Đó là là:

Trung bình mẫu ngẫu nhiên:

n

X X

n

1 i i

* S

n

1 i

2 i

X X S

n

1 i

2 i 2

Như vậy các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên là các thống kê

Vì các thống kê là các hàm của các biến ngẫu nhiên nên nó cũng là các biến ngẫu nhiên vàtrong toán thống kê nó được khảo sát như mọi biến ngẫu nhiên khác, nghĩa là nó cũng có luậtphân phối xác suất cũng như các số đặc trưng của nó

V MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT DÙNG TRONG TOÁN THỐNG KÊ

5.1 Các định lý về phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn đã được trình bày trong chương 2, ở đây chỉ nêu thêm một số vấn đề vềphân phối chuẩn

Với phân phối chuẩn có một số kết luận sau:

~ N(0, 1)2) Nếu các biến X1, X2, …, Xn độc lập và cùng

phân phối chuẩn N(, 2) , thì:

f(t)

/2 /2 -t(/2) O  t(/2) t

Đồ thị hàm mật độ biến Chuẩn

1 i i

1XEn

1Xn

1 i

1Xn

1DXD

2 2 2 n

1 i i 2

n

1 i i

3) Nếu X~ N(x, x ), Y~ N(y, y ) thì X  Y ~ N(x  y, x + y ) (vì D(X  Y) =D(X) + D(Y))

4) Trong toán thống kê thường phải tìm số u(/2) (còn ký hiệu là u/2) sao cho:

| X

|

P , với  đã cho với X ~ N(, 2)

Khi đó biểu thức đã cho là tương đương với: 2(u/2) – 1 = 1 –   (u/2) = 1– /2 Từ

đó số u(/2) được tìm bằng cách tra ngược bảng phân phối chuẩn: Tìm số 1 – /2 ở giữa bảng,dóng theo hàng và cột lên cột đầu tiên và hàng đầu tiên là số u(/2)

Thí dụ: u(0,025) = 1,96; u(0,05) = 1,645

5.2 Phân phối khi-bình phương ( 2 )

Định nghĩa: Nếu X1, X2, …, Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối chuẩn tắc thì

n

2 2

2 1

5.3 Phân phối Student

Định nghĩa: Nếu X, X1, X2, …, Xn là các biến ngẫu nhiên chuẩn tắc và độc lập với nhau

thì biến ngẫu nhiên

2 i

X n 1

X T

có phân phối Student với n bậc tự do Ký hiệu T ~ t(n)

Phân phối Student là phân phối đối xứng (đường

cong mật độ xác suất là đối xứng qua trục tung) Đồ thị

của hàm mật độ xác suất của biến Student có dạng

giống như đồ thị hàm mật độ xác suất của biến chuẩn

tắc, nhưng ít nhọn hơn (n càng lớn thì đường cong mật

độ xác suất càng nhọn)

f(q)

n1

n2 

O  2 (,n2) q 2222

Trong toán thống kê thường gặp biểu thức xác suất:

P(|T| > t(/2, n) ) = , với  đã cho

trong đó T ~ t(n) phải tìm t(/2, n) (hay t/2, n)

Khi đó số t(/2, n) được tìm trong bảng phân phối Student ở giao của cột , dòng n

Thí dụ: t(0,025; 15) = 2,131; t(0,05; 15) = 1,753

Người ta chứng minh được rằng khi n lớn thì phân phối Student n bậc tự do là xấp xỉ phânphối chuẩn tắc Trong thực tế, nếu n > 30 thì phân phối Student n bậc tự do được coi là phânphối chuẩn tắc Vi thế:

t(0,025; 31) = t(0,025;35) = t(0,025; n) = 1,96, n31 (tra ở dòng cuối của bảng Student) t(0,05; 31) = t(0,05;35) = t(0,05; n) = 1,645, n31 (tra ở dòng cuối của bảng Student)

5.4 Phân phối Fisher-Snedecor

Định nghĩa: Nếu X1, X2, …, Xn và Y1, Y2, …, Ym là các biến ngẫu nhiên chuẩn tắc và độc

lập với nhau thì biến ngẫu nhiên

2 i

n

1 i

2 i

Y n

X m

F gọi là biến ngẫu nhiên Fisher với n, m bậc tự do

(Quy luật phân phối xác suất của F gọi là quy luật Fisher với n, m bậc tự do, chú ý bậc tự docủa tử số đọc trước) và ký hiệu F ~ F(n, m)

Trong toán thống kê thường gặp biểu thức xác suất:

P(F > F(,n,m) ) = , với  đã cho

trong đó F ~ F(n,m) và phải tìm F(,n,m) (hay F, n, m)

Khi đó số F(,n,m) được tìm trong bảng phân phối

khi-bình phương ở giao của cột n, dòng m, bảng 

( F

(Các số trong dấu ngoặc đơn là số của bài tập tương ứng trong sách giáo khoa)

1 (1)Điều tra năng suất lúa (X tạ/ha) trên 10 thửa ruộng được bảng số liệu sau:

O F(,n1,m1) fF

Đồ thị hàm mật độ biến Fisher

n,m bậc tự do

2 Trọng lượng X (kg/con) của 25 con lợn xuất chuồng cho bởi bảng sau:

a) Lập biểu đồ tần số và tần suất,

b) Lập hàm phân phối mẫu,

c) Tính các số đặc trưng của mẫu

Chương 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

Khái niệm về bài toán ước lượng tham số

Giả sử khi nghiên cứu biến ngẫu nhiên X tồn tại trong một tập hợp chính nào đó, chúng ta

đã biết quy luật phân phối xác suất của X, tuy nhiên còn tham số  nào đó của X chưa xác địnhđược giá trị, ta phải tiến hành xác định giá trị của  bằng một mẫu thống kê (x1, x2,…,xn) của X

Bài toán xác định giá trị (gần đúng) của tham số  như vậy gọi là bài toán ước lượng tham số .

Về mặt lý thuyết, bài toán được giải quyết trên cơ sở mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn) của

X, và sau đó thay các biến ngẫu nhiên Xi bằng giá trị cụ thể xi của nó có trong mẫu cụ thể (x1,x2,

…,xn) ta được đáp số cụ thể

Có hai phương pháp ước lượng:

1- Ước lượng điểm của : chỉ ra  = 0 nào đó

2- Ước lượng khoảng của : Chỉ ra khoảng [1, 2] sao cho P(1 ≤  ≤ 2) = P với Pđược cho trước thì khoảng [1, 2] gọi là khoảng ước lượng (hay khoảng tin cậy) của  và P gọi

là độ tin cậy của khoảng ước lượng [1, 2]

I ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

1.1 Định nghĩa.

Giả sử cần ước lượng tham số  của đại lượng ngẫu nhiên X

Một thống kê (một hàm) của mẫu ngẫu nhiên G = G(X1, …, Xn) dùng thay thể cho  gọi làmột ước lượng của tham số 

Khi thay (X1, …, Xn) bằng một mẫu cụ thể (x1, …, xn) vào thống kê G thì được một giá trị

cụ thể G0 = G(x1, …, xn) G0 gọi là ước lượng điểm của 

Dễ thấy G là biến ngẫu nhiên (vì nó là hàm của các biến ngẫu nhiên)

Với định nghĩa như trên sẽ có rất nhiều ước lượng cho tham số , bởi vậy phải có các tiêuchuẩn để lựa chọn ước lượng cho tham số 

1.2 Các loại ước lượng

Người ta phân loại các ước lượng điểm như sau:

1-/ Ước lượng không chệch: Ước lượng G của tham số  gọi là ước lượng không chệchnếu kỳ vọng của nó bằng chính , nghĩa là: E(G) = 

Ý nghĩa: Giả sử  ˆ là ước lượng không chệch của  Ta có:

E(G ) = E(G) – E() =    = 0Vậy ước lượng không chệch là ước lượng có sai số trung bình bằng 0

2-/ Ước lượng hiệu quả: Ước lượng Gcủa tham số  gọi là ước lượng hiệu quả nếu nó làước lượng không chệch có phương sai nhỏ nhất:

D(G) đạt min trong mọi ước lượng không chệch của 

3-/ Ước lượng vững: Ước lượng G của tham số  gọi là ước lượng vững nếu khi tăngdung lượng mẫu thì G sẽ dần (theo xác suất) đến :

       , >0Một ước lượng điểm là chấp nhận được nếu nó đồng thời là ước lượng không chệch, ướclượng hiệu quả và ước lượng vững

1.3 Các ước lượng điểm thường gặp.

Với mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn) của X, trong đó Xi là các biến ngẫu nhiên độc lập cócùng phân phối xác suất với X và giả sử E(X) = , D(X) = 2 Ta có:

a-/ Trung bình mẫu ngẫu nhiên: 





n

1 i i

X n

1 X E n

1 X n

1 E ) X (

Vậy, trung bình mẫu X là ước lượng không chệch của kỳ vọng E(X)

Chúng ta thừa nhận X là ước lượng hiệu quả và là ước lượng vững của 

b-/ Phương sai mẫu ngẫu nhiên hiệu chỉnh:

2 i 2

1 n

1

* S 1 n

n S

là ước lượng không chệch, đồng thời là ước lượng hiệu quả và ước lượng vững của phương saiD(X) = 2 của tổng thể X

Thật vậy: Trước hết xét phương sai mẫu: S*2 =   





n

1 i

2

X n

2

i X ) X ( n

2

X ( n

i

2

X ( n

1 i

2

n

1 ) X ( n

1 ) X ( n

1

i i n

1 i

1 n

1 i

2 2

X ( n

2 2

X ( n

1

n

1 i

2

X ( E n

1 i

E = E S * 2

1 n

n

n

1 n 1 n

n





 = 2

Vậy phương sai hiệu chỉnh S2 của mẫu là ước lượng không chệch của phương sai D(X) = 2của tổng thể X.

Ta thừa nhận phương sai hiệu chỉnh S2 của mẫu cũng là ước lượng vững và ước lượng hiệuquả của D(X) = 2

Chú ý: Vì phương sai mẫu S*2 là ước lượng chệch của D(X) = 2 nên không dùng để ướclượng 2 Phải ước lượng D(X) bằng phương sai hiệu chỉnh S 2 của mẫu.

c-/ Tần suất là ước lượng vững, đồng thời là ước lượng hiệu quả và ước lượng vững của

II ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

2.1 Khoảng tin cậy Độ tin cậy

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có tham số  chưa biết Tìm khoảng [1, 2] chứa  sao choP(1 ≤  ≤ 2) = P, với P là xác suất cho trước

Từ ước lượng điểm G = G(X1, X2, , Xn) chấp nhận được của , ta tìm quy luật phân phốixác suất của G, từ đó tìm được các thống kê G1 = G1(X1, X2, , Xn) và G2 = G2(X1, X2, , Xn)sao cho:

P(G1    G2) = P (5.1)

Vì P gần bằng 1, nên biến cố (G1    G2) hầu như xảy ra

Với mẫu thống kê cụ thể (x1, x2, …, xn) của X, ta tính được:

1 = G1(x1, x2, …, xn), 2 = G2(x1, x2, …, xn)Vậy, với P cho trước, ta xác định được khoảng (1, 2) chứa  sao cho:

P(  [1, 2]) = P

- Khoảng [1, 2] gọi là khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng của tham số 

- Số P gọi là độ tin cậy của khoảng tin cậy

- Đại lượng |1  2| gọi là độ rộng của khoảng tin cậy

Chú ý: Với cùng độ tin cậy P, khoảng ước lượng (1, 2) có độ rộng càng nhỏ càng tốt.Cùng độ tin cậy P có rất nhiều 1, 2 thỏa mãn (5.1), do đó có rất nhiều khoảng tin cậy khácnhau nên cần phải chọn khoảng nào có độ rộng nhỏ nhất.

2.2 Ước lượng kỳ vọng (giá trị trung bình) của phân phối chuẩn

Bài toán: Giả sử X là biến ngẫu nhiên chuẩn N(, 2), trong đó M(X) =  chưa biết Hãytìm khoảng tin cậy của  với độ tin cậy P cho trước từ mẫu thống kê (x1, x2, …, xn) của X

Giải: Như đã biết trong phần I, trung bình mẫu của mẫu ngẫu nhiên 





n

1 i i

X n

1

lượng điểm chấp nhận được của 

Có hai trường hợp xảy ra:

a) Trường hợp biết phương sai D(X) =  2

n

| X

u n

| X

| X

| P

Ta thừa nhận việc chọn u/2 như vậy cho khoảng tin cậy của  có độ rộng nhỏ nhất

Thí dụ 1: Biết chiều dài của một loại sản phẩm là lượng ngẫu nhiên chuẩn N(; 4) Đo

chiều dài của 25 sản phẩm tính được chiều dài trung bình x = 99,82mm Hãy tìm khoảng tincậy  (độ dài trung bình của sản phẩm) với độ tin cậy 0,95

Giải: Theo giả thiết có  = 2, tra bảng chuẩn được u0,025 = 1,96

Từ đó có khoảng tin cậy cần tìm:

[99,82 – 1,96 2

25 ; 99,82 +

21,96

25 ]  [99,036; 100,604]

b) Trường hợp không biết phương sai  2

Khi đó ước lượng 2 bằng phương sai mẫu hiệu chỉnh   

2 i

1 n 1

n S

| X

| X

; 2 / ( t

| X

Với mẫu cụ thể (x1, x2, …, xn) thì tính trung bình mẫu x , phương sai hiệu chỉnh s2 của mẫu

và được khoảng tin cậy cụ thể:

Giải: Trước hết, tính các số đặc trưng của mẫu

Dung lượng mẫu: n = 2 + 5 + 6 + 4 + 2 + 1 = 20

) 3 , 196 ( 29 , 1927

Tra bảng Student được t(0,025; 19) = 2,093

Vậy khoảng tin cậy cần tìm là:

[9,815 – 2,093 0,0319

20 ; 9,815 +

0,03192,093

20 ]  [9,731; 9,899] (đồng/sản phẩm)

2.3 Ước lượng phương sai của phân phối chuẩn

Bài toán: Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên chuẩn N(, 2), trong đó D(X) = 2 chưa biết.Hãy tìm khoảng tin cậy của 2 với độ tin cậy P

2 i

1 n

0319 , 0 19

; 144 , 30

0319 , 0 19

 (0,0201; 0,0599)

Thí dụ 2: Kết quả đo đường kính các viên bi kim loại (X mm) như sau:

X: 5,13 5,31 4,92 4,83 4,92 5,05 5,34 4,93 Giả sử các kết quả đo là lượng ngẫu nhiên chuẩn N(, 2), hãy tìm khoảng tin cậy 95%

Giải:

Từ số liệu đã cho tính được: xi = 40,93; xi2 = 204,5777 nên:

2

2 8.204,5777 40,83s

0364 , 0 7

; 013 , 16

0364 , 0 7

 (0,0159; 0,1508)

2.4 Ước lượng xác suất (tỷ lệ)

Bài toán: Giả sử mỗi cá thể trong tổng thể có đặc tính A với xác suất p (tỷ lệ cá thể có

đặc tính A là p) (p chưa biết) Hãy tìm khoảng tin cậy của p với độ tin cậy P cho trước

Giải: Ở 1.3c đã chứng minh được tần suất F các cá thể có tính chất A trong mẫu ngẫu

nhiên là ước lượng điểm của xác suất p

Chọn thống kê:

n pq

p

F 

thì

n pq

u n pq

| p F

|pF

|P

pq u

| p f

;n

)1(uf

2 2

Thí dụ 1: Kiểm tra 200 sản phẩm thấy có 25 sản phẩm có khuyết tật Hãy tìm khoảng tin

cậy tỷ lệ sản phẩm có khuyết tật với độ tin cậy 0,95

Giải: Tần suất sản phẩm có khuyết tật là: 0 , 125

200

25

f  

Ở đây  = 1 – 0,95 = 0,05 Tra bảng chuẩn được u0,025 = 1,96

Khoảng tin cậy cần tìm của tỷ lệ sản phẩm có khuyết tật là:

Thí dụ 2: Để biết tỷ lệ người tiêu dùng ưa thích một loại sản phẩm mới, người ta hỏi ý kiến

400 người và có 252 người trả lời là thích Hãy ước lượng tỷ lệ người thích loại sản phẩm đóvới độ tin cậy 0,90

Giải: Tần suất số người thích loại sản phẩm mới là: 0 , 63

400

252

f  

Ở đây  = 1 – 0,90 = 0,10 Tra bảng chuẩn được u0,05 = 1,645

Khoảng tin cậy cần tìm của tỷ lệ người ưa thích sản phẩm đó là:

2.5 Kích thước mẫu cần thiết

Trong nhiều trường hợp ta cần phải xác định dung lượng n của mẫu để với độ tin cậy P đãcho sao cho độ rộng của khoảng tin cậy (kỳ vọng hoặc xác suất) không quá 2 với  cho trước.Khi ấy:

 Trường hợp ước lượng kỳ vọng thì độ rộng của khoảng tin cậy là

2

2un



nên có:

2 2 2

Thí dụ: Biết X~N(, 0,16) Để độ chính xác của ước lượng khoảng với độ tin cậy 0,95

của  không quá 0,5 thì cần lấy mẫu có bao nhiêu cá thể?

Giải: Tra bảng chuẩn được: u0,025 = 1,96

Từ đó: n ≥

21,96.0,40,25

= 9,83Vậy phải lấy mẫu có ít nhất là 10 cá thể

Trường hợp ước lượng xác suất thì độ rộng của khoảng tin cậy là

2

p(1 p)2u

n



nên có:

2 / 2 2 2

Thí dụ: Để đánh giá tỷ lệ đồng ý trong một cuộc thăm dò ý kiến về một vấn đề nào đó sao

cho độ rộng của khoảng tin cậy của tỷ lệ ủng hộ không vượt quá 0,06 thì cần hỏi ý kiến baonhiêu người?

Giải:

Từ đó:

n ≥

2 2

1.964.0,03 = 1067,11Vậy cần hỏi ít nhất 1068 người

BÀI TẬP CHƯƠNG 5

1 (12)Đo một đại lượng 15 lần bằng một dụng cụ đo không có sai số hệ thống, tính được x=19,25 Biết sai số X ~ N(; 0,4) Hãy tìm khoảng tin cậy của kỳ vọng  với độ tin cậy 0,95

Đs: [18,93; 19,57]

2 (9)Trọng lượng X của các gói mì ăn liền tuân theo phân phối chuẩn Kiểm tra 20 gói mì tính

được x = 78,0g; s = 2,5 g Với độ tin cậy 0.95 hãy tìm khoảng tin cậy của E(X)

Với độ tin cậy 0,95, hãy:

a) Tìm khoảng tin cậy của trung bình 

b) Tìm khoảng tin cậy của phương sai 2

Đs: a) x = 2,67; s 2 = 0,0927; [2,53; 2,81]; b) [0,0536; 0,1977]

5 (5)Biết trọng lượng X (g/quả) của trứng gà có phân phối chuẩn N(, 25) Cân một mẫu gồm

100 quả trứng ta có kết quả sau:

a) Với độ tin cậy 0,95 tìm khoảng tin cậy của trọng lượng trứng trung bình 

b) Trứng có khối lượng lớn hơn 170 g là trứng loại một Với độ tin cậy 0,95 hãy tìmkhoảng tin cậy của tỷ lệ trứng loại một

Đs: a) x = 170,85; s 2 =65,1793; [169,27; 172,43]; b) f = 0,45; [0,3525; 0,5475] (hoặc [0,3561; 0,5476] nếu giải bất phương trình)

6 (11)Đo độ chịu lực X (kg/cm2) của 250 mẫu bê tông ta có kết quả sau:

Biết X có phân phối chuẩn N(, 2)

Hãy tìm khoảng tin cậy của  và khoảng tin cậy của 2 với độ tin cậy 0,98

Đs: x = 35; s 2 = 10,8889;  [32,06; 37,94]; 2 [4,5232; ;46,4349]

8 (10)Kiểm tra 1000 mẫu máu một loại gia cầm có 120 mẫu chứa vi rút gây bệnh A Hãy tìm

khoảng tin cậy của tỉ lệ gia cầm chứa vi rút gây bệnh A với độ tin cậy 0,95

Đs: f = 0,12; [0,0999; 0,1401] (hoặc [0,1013; 0,1416], nếu giải bất phương trình)

9 (19)Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với phương sai 0,04 Tối thiểu phải điều

tra bao nhiêu mẫu để với độ tin cậy 0,95 độ rộng của khoảng tin cậy không quá 0,12

Đs: Ít nhất 43

10 (20)Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu mẫu bệnh phẩm để với độ tin cậy 0,95 độ rộng của

khoảng tin cậy tỉ lệ người mắc bệnh  0,05

Đs: 1537

11 (14)Để khảo sát mức tiêu thụ xăng trung bình của một loại ô tô người ta cho chạy thử 20 xe

loại này trên đoạn đường 100km Mức xăng tiêu thu tương ứng cho bởi bảng sau:

Số xe ni 3 4 6 5 2Hãy tìm khoảng tin cậy của mức xăng tiêu thụ trung bình với độ tin cậy 0,95, biết X là biếnchuẩn.

Đs: x = 8,475; s 2 = 0,3809; [8,186; 8,764]

12 (13)Trọng lượng X của một giống lợn khi xuất chuồng là một biến ngẫu nhiên chuẩn Một

mẫu ngẫu nhiên gồm 9 con lợn đến thời gian xuất chuồng có trọng lượng cho bởi bảng sau:

129,8; 121,2; 138,6; 125,4; 122,6; 139,8; 129,9; 130,3; 125,8

Hãy tìm khoảng tin cậy của trọng lượng trung bình E(X) và của phương sai D(X) với độ tincậy 0,95

Đs: x = 129,27; s 2 = 42,0375; E(X) [124,29; 134,25]; D(X) [19,1784; 154,2631]

13 (22)Kiểm tra 200 con gà tại một trại thấy có 80 con mắc bệnh A Hãy tìm khoảng tin cậy

của tỉ lệ gà mắc bệnh A ở trại gà nói trên với độ tin cậy 0,95

Đs: f = 0,4; [0,3321; 0,4679] (hoặc [0,3346; 0,4692] nếu giả bất phương trình)

14 (22)Biết đặc trưng X có phân phối chuẩn N(; 0,09) Hỏi dung lượng mẫu tối thiểu là bao

nhiêu để với độ tin cậy 0,95 có thể tin rằng độ rộng của khoảng tin cậy của  không vượtquá 0,5

Đs: 6

15 (24)Tỉ lệ người có nhóm máu O ở một tộc người là p Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu người

để với độ tin cậy 0,95 độ rộng của khoảng tin cậy của p không vượt quá 0,02

Đs: 9604

Chương 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ

I GIẢ THUYẾT, ĐỐI THUYẾT

1.1 Giả thuyết, đối thuyết

Giả thuyết là một mệnh đề (một câu khẳng định) về một vấn đề chưa biết nào đó.

Khi nghiên cứu một (hoặc nhiều) biến ngẫu nhiên ta có thể nêu lên một giả thuyết nào đóliên quan đến biến ngẫu nhiên đó

Khi đã nêu một giả thuyết thì cần phải xây dựng các tiêu chí để đánh giá giả thuyết đó cóđược chấp nhận hay không Trong toán thống kê phải dựa vào các mẫu thu được để đưa ra kếtluận có chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết đã nêu Việc này gọi là kiểm định giả thuyết thống kê

Giả thuyết nêu lên để kiểm định gọi là giả thuyết không hay giả thuyết gốc, ký hiệu H0.Tuy nhiên, khi kết luận là bác bỏ giả thuyết H0 đã nêu thì cần phải chấp nhận một giả thuyết

khác Bởi vậy trong bài toán kiểm định thống kê phải có thêm một giả thuyết khác giả thuyết

H 0 gọi là đối thuyết H 1

Cặp giả thuyết H0, đối thuyết H1 được nêu ngay từ đầu bài toán kiểm định giả thuyết

Kết luận của bài toán kiểm định giả thuyết thống kê có dạng:

- Hoặc chấp nhận H0

- Hoặc bác bỏ H0, khi đó phải chấp nhận H1

Nếu giả thuyết H0 là về tham số của luật phân phối xác suất của một hay nhiều biến ngẫu

nhiên thì bài toán gọi là kiểm định tham số, nếu giả thuyết H0 không phải là tham số thì bài

toán gọi là kiểm định phi tham số.

1.2 Quy tắc kiểm định giả thuyết

Giả sử phải kiểm định cặp giả thuyết H0, đối thuyết H1 liên quan đến biến ngẫu nhiên X.Khi ấy, từ mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn) của X, ta chọn thống kê:

Z = Z(X1, X2, …, Xn) (6.1)

có liên quan đến cặp giả thuyết H0, H1

Đại lượng ngẫu nhiên Z gọi là tiêu chuẩn kiểm định cặp giả thuyết H0, đối thuyết H1.Gọi  là tập xác định của biến ngẫu nhiên Z

Sau đó tìm quy luật phân phối xác suất của Z và với số  > 0 đủ nhỏ cho trước ta xác địnhmiền W   sao cho:

P(Z  W) =  (6.2)

Vì  đủ nhỏ nên sự kiện (Z  W) là khó xảy ra trong thực tế (nguyên lý xác suất nhỏ)

Miền W xác định như vậy gọi là miền bác bỏ giả thuyết H0

Số  gọi là mức ý nghĩa của kiểm định

Đặt: W   \ W

Miền W gọi là miền chấp nhận giả thuyết H0

Dễ thấy xác suất chấp nhận giả thuyết H0 là: P(Z  W) = 1 – 

Sau khi xây dựng được thống kê Z, cũng như miền chấp nhận giả thuyết Wvà miền bác bỏgiả thuyết W thì được quy tắc kiểm đinh:

Từ mẫu cụ thể (x1, x2, …, xn) ta tính được giá trị thống kê thực nghiệm ZT của Z

 Nếu ZTW thì kết luận bác bỏ H0 và chấp nhận H1;

 Nếu ZT  W  ZT Wthì kết luận chấp nhận H0 (và đương nhiên H1 bị bác bỏ)

1.3 Các loại sai lầm

Khi tiến hành kiểm định cặp giả thuyết, đối thuyết H0, H1 có thể mắc hai loại sai lầm sau:

Sai lầm loại một: Bác bỏ giả thuyết H0 khi H0 đúng

Người ta tính được xác suất của sai lầm loại một là  ( là mức ý nghĩa của kiểm định)

Sai lầm loại hai: Chấp nhận giả thuyết H0 khi H0 sai

Gọi  là xác suất của sai lầm loại hai, thì 1 –  gọi là lực lượng của tiêu chuẩn kiểm định ZMột quy tắc kiểm định là tốt nếu cả hai loại sai lầm đều có xác suất nhỏ Tuy nhiên điều đó

là khó thực hiện, hơn nữa nếu giảm  thì có nguy cơ là tăng  và ngược lại, mặt khác do sai lầmloại một là dễ kiểm soát hơn do đó người ta thường chọn trước  như là một ngưỡng hợp lý

Từ đó thấy rằng chấp nhận một giả thuyết không có nghĩa là giả thuyết đó hoàn toàn đúng

hay bác bỏ một giả thuyết không có nghĩa đó là giả thuyết đó hoàn toàn sai Nói cách khác, kết luận của kiểm định giả thuyết chỉ là một quy tắc hành động chứ không phải là một chứng

minh tính đúng hay sai của một giả thuyết

II CÁC BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH THAM SỐ

Giả sử đã biết luật phân phối của biến ngẫu nhiên X, nhưng chưa biết giá trị của tham số trong luật phân phối đó Khi đó có thể nêu giả thuyết H0:  = 0, trong đó 0 là một số đã cho.Với giả thuyết H0:  = 0 có thể chọn một trong 3 đối thuyết H1 sau:

- H1:   0 và gọi là đối thuyết hai phía

- H1:  > 0 và gọi là đối thuyết phải

- H1:  < 0 và gọi là đối thuyết trái

Hai đối thuyết sau ( > 0 và  > 0) gọi chung là đối thuyết một phía

Bài toán kiểm định với đối thuyết hai phía gọi bài toán kiểm định hai phía

Bài toán kiểm định với đối thuyết một phía gọi bài toán kiểm định một phía

Chú thích:

Khái niệm kiểm định hai phía hay kiểm định một phía là do:

 Nếu miền bác bỏ giả thuyết H0 nằm ở hai bên miền chấp nhận thì gọi là kiểmđịnh hai phía

 Nếu miền bác bỏ giả thuyết H0 nằm ở một bên miền chấp nhận thì gọi là kiểmđịnh một phía

2.1 Kiểm định kỳ vọng của biến chuẩn

Bài toán: Giả sử biến ngẫu nhiên X~N(, 2), trong đó chưa biết giá trị của M(X) = 

Từ mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn) ta xây dựng quy tắc kiểm định giả thuyết H0:  = 0 với cácđối thuyết khác nhau ở mức ý nghĩa 

a) Trường hợp biết phương sai  2

Khi đó nếu H0 đúng, thống kê Z =





n

1 i i

X n

1

X là biến ngẫu nhiên chuẩn

tắc, do đó với  đã cho, nếu đối thuyết là:

a1) H1:   0 thì tìm số u/2 từ bảng chuẩn sao cho: P(| Z | > u/2) = 

Vậy có miền bác bỏ giả thuyết H0 là: W = {|Z| > u/2}  (–,–u/2)  (u/2, )

a2) H1:  > 0 thì tìm số u từ bảng chuẩn sao cho: P(Z > u) = 

a3) H1:  < 0 thì tìm số u từ bảng chuẩn sao cho: P( Z < – u) = 

Vậy có miền bác bỏ giả thuyết H0 là: W = (–,–u)

Vậy có quy tắc kiểm định:

Quy tắc 1: Từ mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) thực hiện các bước sau để kiểm định giả thuyết H0: 

= 0 với các đối thuyết H1 khác nhau khi đã biết 2 ở mức :

- Bước 1: Tính trung bình mẫux,

- Bước 2: Tính thống kê thực nghiệm: ZT =





x ( 0 , (6.3)

- Bước 3: Tra bảng và kết luận

Kết luận Chấp nhận HBác bỏ H 0 | ZT |  u/2 ZT  u ZT  – u

0 | ZT | > u/2 ZT > u ZT < – u (Các bài toán kiểm định giả thuyết H0:  = 0 với đối thuyết H1:  > 0 (hoặc  < 0) đượcgọi là các bài toán kiểm định một phía)

Thí dụ: Kiểm tra đường kính X (mm) của 25 viên bi được chọn ngẫu nhiên từ một dây

chuyền sản xuất bi tự động tính đượcx = 9,98 (mm) Biết X ~ N(; 0,0004) Với mức ý nghĩa0,05 hãy cho biết bi sản xuất ra có đạt tiêu chuẩn quy định về đường kính là 10 mm

(Tiến hành kiểm định cả hai phía và một phía)

Giải:

1-/ Kiểm định hai phía: Ta có H0:  = 10 và H1:   10

Ta phải kiểm định giả thuyết H0: E(X) = 10 với đối thuyết H1: E(X)  10, mức ý nghĩa0,05

Tính thống kê thực nghiệm: ZT = ( 9 , 98  10 ) 0,000425 = – 5,00

Tra bảng chuẩn được: u0,025 = 1,96

Vậy, H0 bị bác bỏ, chấp nhận H1: Đường kính các viên bi là không đạt tiêu chuẩn

2-/ Kiểm định một phía: Ta có H0:  = 10 và H1:   10

Vẫn tính lượng thống kê thực nghiệm như trên (ZT = –5,00)

Tra bảng chuẩn được: u0,05 = 1,645

Vậy H0 bị bác bỏ, chấp nhận H1: Đường kính các viên bi là nhỏ hơn tiêu chuẩn

b) Trường hợp chưa biết phương sai  2

Khi đó lấy phương sai hiệu chỉnh của mẫu ngẫu nhiên: S2 =   

2

X 1 n

1

thay chophương sai D(X) (ước lượng D(X) bằng S2) và

Nếu H0 đúng, thống kê Z = 0  0 2

S

n X

n S

là biến Student n – 1 bậc tự do, do đó với

 đã cho, nếu đối thuyết H1 là:

b1) H1:   0 thì tìm số t/2, n –1 từ bảng Student sao cho: P(| Z | > t/2, n –1) = 

Vậy có miền bác bỏ giả thuyết là: W ={|ZT| > t/2, n – 1 }  (–,–t/2, n –1)  (t/2, n –1, )b2) H1:  > 0 thì tìm số t, n –1 từ bảng Student sao cho: P( Z > t, n –1) = 

Vậy có miền bác bỏ giả thuyết là: W = (t/2, n –1, )

b3) H1:  < 0 thì tìm số t, n –1 từ bảng Student sao cho: P( Z < – t, n –1) = 

Vậy có miền bác bỏ giả thuyết là: W = (–,–t, n –1)

Vậy có quy tắc kiểm định:

Quy tắc 2: Từ mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) thực hiện các bước sau để kiểm định giả thuyết H0: 

= 0 với các đối thuyết H1 khác nhau khi chưa biết  ở mức 

- Bước 1: Tính trung bình mẫux và phương sai hiệu chỉnh s2 của mẫu,

- Bước 2: Tính thống kê thực nghiệm: ZT = x  0 sn hay ZT =  0 2

c) Chú thích: Việc tiến hành kiểm định hai phía hay một phía là tuỳ thuộc vào giá trị

trung bình mẫux tính được và số 0 đã cho:

 Nếux  0 thì tiến hành kiểm định hai phía

 Nếux << 0 thì tiến hành kiểm định một phía với H1:  < 0

 Nếux >> 0 thì tiến hành kiểm định một phía với H1:  > 0

Thí dụ 1: Kết quả điều tra giá bán mặt hàng A tại 10 cửa hàng như sau (đơn vị nghìn đồng

một sản phẩm):

15,0; 14,7; 14,8; 15,1; 14,8; 15,2; 15,0; 14,7; 15,1; 15,2Biết giá bán trung bình của mặt hàng này năm trước là 14,8 nghìn đồng/ sản phẩm

Giả sử giá bán là lượng ngẫu nhiên chuẩn Với mức 0,05 có thể coi mặt hàng A là tăng giá

Giải: Gọi X là giá bán mặt hàng A, ta phải kiểm định giả thuyết H0: E(X) = 14,8 với đốithuyết H1: E(X) > 14,8

Ta có: Dung lượng mẫu: n = 10,

Tổng của X: x = 15 + 14,7 + 14,8 + … + 15,2 = 149,6

Tổng của X2: x2 = 152 + 14,72 + 14,82 + … + 15,22 = 2238,36

Từ đó: x = 14910,6 = 14,96; s2 =

9 10

6 , 149 36 , 2238

= 0,0382

Lượng thống kê: ZT = (14,96 – 14,8) 0,038210 = 2,588

Tra bảng Student được: t(0,05; 9) = 1,833

Vậy, Bác bỏ H0, chấp nhận H1: Có thể coi mặt hàng A là tăng giá

Thí dụ 2: Kiểm tra ngẫu nhiên trọng lượng X (gam) của các gói mỳ ăn liền có trọng lượng

quy định 75 gam được kết quả:

Giả sử trọng lượng các gói mỳ là lượng ngẫu nhiên chuẩn Với mức ý nghĩa  = 0,05, cóthể coi trọng lượng các gói mỳ là đạt trọng lượng quy định? (Tiến hành kiểm định hai phía vàkiểm định một phía)

Tra bảng Student được t(0,025; 27) = 2,025

Kết luận: Bác bỏ H0, chấp nhận H1: Trọng lượng trung bình các gói mỳ không đúng quyđịnh

2) Kiểm định một phía: Giả thuyết H0: E(X) = 75; đối thuyết H1: E(X) < 75

Tính toán như trên được ZT = – 3,00

Tra bảng Student được t(0,1; 27) = 1,703

Kết luận: Bác bỏ H0, chấp nhận H1: Trọng lượng trung bình các gói mỳ thấp hơn quy định

Thí dụ 3: Một máy tiện tự động được lập trình để tiện ra các chi tiết có đường kính 1,5

cm Để kiểm tra người ta đo thử đường kính của 40 chi tiết và tính đượcx = 1,506 cm và s =0,02 Giả sử đường kính các chi tiết là lượng ngẫu nhiên chuẩn N(, 2) Ở mức 0,05, hãy kiểmđịnh:

a) Giả thuyết H0:  = 1,5 với đối thuyết H1:   1,5

b) Giả thuyết H0:  = 1,5 với đối thuyết H1:  > 1,5

Giải: Từ giả thuyết đã cho, ta có:

ZT = (1,506 – 1,5)0,4002 = 1,897a) Tra bảng Student được t(0,025; 39) = 1,96  Chấp nhận H0: Các chi tiết đạt yêu cầu.b) Tra bảng Student được t(0,05; 39) = 1,645  Chấp nhận H1: Các chi tiết đạt có đườngkính lớn hơn yêu cầu

(Hai kết luận trong a) và b) là khác nhau do mắc các sai lầm (loại một hoặc loại hai) trong đó)

2.2 Kiểm định một xác suất (tỷ lệ)

Bài toán: Giả sử mỗi cá thể trong tổng thể có đặc tính A với xác suất p chưa biết (tỷ lệ cá thể

có đặc tính A bằng p) Lấy mẫu dung lượng n, thấy có k cá thể có đặc tính A

Chúng ta xây dựng quy tắc kiểm định giả thuyết H0: p = p0 với các đối thuyết khác nhau ởmức ý nghĩa 

Tiêu chuẩn kiểm định

Mẫu ngẫu nhiên trong bài toán này là lượng ngẫu nhiên X chỉ số cá thể có đặc tính A trong

n cá thể

Nếu H0 đúng, thì X là số cá thể có đặc tính A trong n cá thể là biến ngẫu nhiên nhị thứctham số n, p0 Khi n lớn (n  100) và p0 không quá nhỏ hoặc quá lớn (0,01 < p0 < 0,99) thì:

Do đó thống kê Z =

n

)q1(p

pF

0 0

F



Từ đó với mức  đã cho, nếu đối thuyết H1 là:

a) H1: p  p0 thì tìm từ bảng chuẩn số u/2 sao cho: P(| Z | > u/2) = 1 – 

Vậy miền bác bỏ giả thuyết H0 là: W = (–,–u/2)  (u/2, )

b) H1: p > p0 thì tìm số u từ bảng chuẩn sao cho: P(Z > u) = 

Vậy có miền bác bỏ giả thuyết H0 là: W = (u, )

c) H1: p < p0 thì tìm số u từ bảng chuẩn sao cho: P( U < – u) = 

Vậy có miền bác bỏ giả thuyết H0 là: W = (–,–u)

Vậy có quy tắc kiểm định:

Quy tắc 3 Từ mẫu cụ thể có k cá thể có tính chất A trong n cá thể quan sát thì thực hiện

các bước sau để kiểm định giả thuyết H0: p = p0 với các đối thuyết H1 khác nhau ở mức 

- Bước 1: Tính tần suất cá thể có tính chất A từ mẫu đã cho f =

n k

- Bước 2 Tính lượng thống kê thực nghiêm: ZT =  

 0

0

n p

Chú thích: Việc tiến hành kiểm định hai phía hay một phía là tuỳ thuộc vào giá trị tần

suất f tính được và số p0 đã cho:

- Nếu f  p0 thì tiến hành kiểm định hai phía

- Nếu f << p0 thì tiến hành kiểm định một phía với H1: p < p0

- Nếu f >> p0 thì tiến hành kiểm định một phía với H1: p > p0

Thí dụ: Theo báo cáo của phân xưởng thì tỷ lệ sản phẩm loại một của phân xưởng là 90%.

Kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm do phân xưởng đó sản suất thấy có 172 sản phẩm loại một

Ở mức 0,05 hãy cho nhận xét về báo cáo tỷ lệ sản phẩm loại một của phân xưởng là phù hợphay thấp hơn thực tế?

Giải: Gọi p là tỷ lệ sản phẩm loại một của phân xưởng, bài toán đã nêu là kiểm định giả

thuyết H0: p = 0,9 với đối thuyết H1: p < 0,9 ở mức 0,05 Ta có

Tần suất sản phẩm loại một theo mẫu: f =

200

172

= 0,86Lượng thống kê ZT = (0,86 – 0,9) 0,2009.0,1 = –1,8856

Tra bảng chuẩn được u0,05 = 1,645

Vậy: H0 bị bác bỏ, chấp nhận H1: Tỷ lệ sản phẩm loại một theo báo cáo là thấp hơn thực tế

2.3 Kiểm định sự bằng nhau của kỳ vọng hai biến chuẩn, mẫu độc lập

Bài toán: Giả sử X~N(x, x ) và Y~N(y, y ), trong đó x, y chưa biết Hãy kiểm định giảthuyết H0: x = y với các đối thuyết H1 khác nhau ở mức ý nghĩa 

Các đối thuyết H1 là: xy (1 phía); x>y; x<y (2 phía) Có thể coi x>y; x<y là một

vì chỉ cần coi X là Y và Y là X thì đối thuyết này trở thành đối thuyết kia và ngược lại

X n

1

n

2 x

Y m

1

m

2 y



)



m n , (

N

~ Y X

2 y

2 x y x

Y X

Bởi vậy, với mức  đã cho, nếu đối thuyết H1 là:

a1) H1: x  y thì tìm u/2 từ bảng chuẩn sao cho P(| Z | > u/2) = 1 –  Từ đó có:Miền bác bỏ giả thuyết H0 là: W = (– , – u/2)  (u/2, )

a2) H1: x > y thì tìm u từ bảng chuẩn sao cho P(Z > u) = 1 –  Từ đó có:

Miền bác bỏ giả thuyết H0 là: W = (u, )

Vậy có quy tắc kiểm định

Quy tắc 4 Từ hai mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) của X và (y1, y2, , yn) của Y thực hiện cácbước sau để kiểm định giả thuyết H0: x = y với đối thuyết H1 khác nhau khi biết x và y:

- Bước 1: Tính các trung bình mẫux vày từ các mẫu đã cho

- Bước 2: Tính thống kê thực nghiệm: ZT = 2

x

2

y n m

m n ) y x (

b) Trường hợp không biết σv và σv 2 x 2 y

Khi đó, ước lượng x và y tương ứng bằng phương sai hiệu chỉnh của mẫu X và mẫu Y:

2 i

2

1 n

2 i

2

1 m

1 S

) Trường hợp 1: các mẫu là lớn (n  30 và m  30)

Khi đó, người ta chứng minh được thống kê Z =

m

S n S

Y X

2 y

2

x 



 N(0,1), nếu H0 đúng

Bởi vậy, ở mức  đã cho, với các đối thuyết H1 khác nhau thì miền chấp nhận giả thuyết

H0, miền bác bỏ giả thuyết H0 và các quy tắc kiểm định tương ứng giống như trong 2.3a (Quytắc 4 nhưng thay x bằng sx và y bằng sx )

) Trường hợp 2: có mẫu nhỏ (hoặc n < 30, hoặc m < 30) và σv 2 xσv 2 y

Giả thuyết x = y =  và được ước lượng bằng phương sai chung:

2 m n

S ) 1 m ( S ) 1 n ( 2

m n

) Y Y ( )

X X ( S

2 y

2 x

m

1 i

2 i n

1 i

2 i 2

S n S

Y X

Miền bác bỏ giả thuyết H0 là: (u, )

Vậy có quy tắc kiểm định

Quy tắc 5 Từ hai mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) của X và (y1, y2, , yn) của Y thực hiện cácbước sau để kiểm định giả thuyết H0: x = y với các đối thuyết H1 khác nhau khi không biết x

s ) 1 m ( s ) 1 n ( 2x 2y

m n ) y x (

Thí dụ 1: Điều tra năng suất của cùng một giống lúa tại hai địa phương như sau:

Địa phương A: Điều tra 40 hộ, tính được năng suất trung bìnhx = 52,37 tạ/ha và sx = 2,4326 Địa phương B: Điều tra 35 hộ, tính được năng suất trung bìnhy = 53,22 tạ/ha và sy = 3,2574Giả sử năng suất lúa tại các địa phương là lượng ngẫu nhiên chuẩn

Với mức ý nghĩa 0,05, hãy kiểm định giả thuyết H0: Năng suất lúa trung bình ở hai địaphương là như nhau; với các đối thuyết H1:

a) Năng suất lúa trung bình ở hai địa phương là khác nhau

b) Năng suất lúa trung bình ở địa phương A là thấp hơn địa phương B

Giải: Ta có lượng thống kê:

ZT = (52,37 – 53,22 ) 40.3,257440.3535.2,4326

a) Tra bảng chuẩn được u0,025 = 1,96  Có thể coi năng suất lúa trung bình ở hai địaphương là khác nhau (bác bỏ H , chấp nhận H)

b) Tra bảng chuẩn được u0,05 = 1,645  Có thể coi năng suất lúa trung bình ở địa phương

A là thấp hơn năng suất lúa trung bình ở địa phương B (bác bỏ H0¸ chấp nhận H1)

Với mức  = 0,05, có thể coi độ tăng trọng trung bình của hai phương pháp nuôi là nhưnhau không?

Giải: Từ mẫu của X, Ta có:

n = 6; x = 15,5 + 17,7 + 18,9 + 16,2 +15,3 +17,5 = 101,1

x2 = 15,52 + 17,72 + 18,92 + 16,22 + 15,32 + 17,52 =1713,53

Từ đó: x = 16,85; sx = 1,999

Tương tự, tính được: m = 8;y = 17,775; sy = 1,645

Từ đó có phương sai chung: s2 =

12

645 , 1 7 999 , 1

= 1,7925Lượng thống kê ZT = (16,85 – 1,999) (6 86).18,7925

Tra bảng Student được t(0,025; 12) = 2,179

Vậy, chấp nhận H0: Độ tăng trọng trung bình của hai phương pháp nuôi lợn là như nhau

2.4 Kiểm định sự bằng nhau của kỳ vọng hai biến chuẩn, mẫu theo cặp

Bài toán: Giả sử X~N(x, x ) và Y~N(y, y ), trong đó x, y chưa biết và cần so sánh xvới y ở mức  (kiểm định H0: x = y) Trong điều kiện có thể, hai mẫu thống kê của X và của

Y được khảo sát trên cùng một mẫu gồm n cá thể, mỗi cá thể thứ i của mẫu đều được xác định

cả giá trị xi của X và cả giá trị yi của Y Như vậy ta có n cặp số (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) Các

số liệu thu được theo cặp thường trình bày thành bảng như sau:

để thực hiện hai quy trình chăm sóc khác nhau

Thực hiện hai phương pháp xác định hàm lượng một chất nào đó trên cùng n mẫu vật cũng

là bố trí thí nghiệm từng cặp; …

Khi đó mẫu ngẫu nhiên là n cặp biến ngẫu nhiên (X1, Y1), (X2, Y2), …, (Xn, Yn)