BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Một hạt có khối lượng m, điện tích q dương, bắt đầu chuyển động với vận tốc v theo hướng song song với trục ox trong một từ trường đều có cảm ứng từ B= ax x ≥ 0..
Trang 1CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT TRONG TRƯỜNG ĐIỆN – TỪ A.CƠ SỞ LÝ THUYẾT
B BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Một hạt có khối lượng m, điện tích q dương, bắt đầu chuyển động với vận tốc v theo hướng song
song với trục ox trong một từ trường đều có cảm ứng từ B= ax (x ≥ 0)
Hãy xác định độ dịch chuyển cực đại của hạt theo trục Ox
Giải: Ta thấy hạt chỉ chuyển động trong mặt phẳng Oxy.
Gọi v rt là vận tốc của hạt tại thời điểm t Do tác dụng của lực Lorentz Furt =qB vur urÙ t vuông góc với v rtnên
công của FL = 0, động năng của hạt đựơc bảo toàn
Ta có:
mv2 mv2 mv2 v v
0
2 =2 +2 ® £ = v t.
* Theo định luật II Newton có qBvx = ma y
® Thay B = ax ;
x
dx v
dt
= ® qaxdx = mdvy
y
xdx m dv
y
mv
qa qa
Vậy xmax = mv
qa
2
Bài 2: Một điện tử (electron), chuyển động vào trong từ trường đều có
cảm ứng từ Bur với vận tốc vr0
vuông góc với cảm ứng từ Bur khu vực từtrường có tiết diện ngang là đường (hình) tròn bán kính R0, hướng
vận tốc đi vào từ trường đến điểm A và qua tâm O tiết diện ngang của
từtrường Đặt màn (E) vuông góc với OA và cách O một khoảng là b
(hình vẽ) Xác định độlệch của hạt đập trên màn (E) so với khi không
có từ trường Từ đó xét trường hợp v0 khá lớn so với R0 và B
Giải: Lực từ tác dụng lên ê là lực Lorentz làm ê chuyển động trên 1
cung tròn tâm O’ bán kính R, sau khi ra khỏi từ trường electron
chuyển động thẳng đến đập ở M trên màn IM = y là độ lệch của tia
trên màn Gọi C là điểm ê ra khỏi từ trường Dựa vào hình vẽ ta có:
MOI AO'C= = α
α π − α α
2
α
⇒ =
O
x
y
vy
vx
vt B
Trang 20 R
tan
α
⇒ =
Mặc khác bán kính chuyển động của hạt: mv0
R eB
0
eBR tan
α
→ = (1)
Từ hình vẽ: y OI tan= α =b tanα, áp dụng công thức lượng giác:
0 0
2 tan
(mv ) (eBR )
1 tan
2
α
α = α =
−
−
Khi v0 đủ lớn so với B và R0, thì từ (1), suy ra: 0
0
2eBR tan
mv
α =
0
2beBR
y tan
mv
= α =
Bài 3: Một từ trường đều có cảm ứng từ B=2.10 ( )− 2 J đặt vào khoảng không
gian giữa 2 mặt phẳng P và Q song song với nhau, cách nhau 1 đoạn d=2(cm)
Một electron có vận tốc ban đầu bằng 0 được tăng tốc bởi 1 điện áp U rồi sau đó
được đưa vào từ trường nói trên tại 1 điểm A trên mặt phẳng P theo phương
vuông góc với mặt phẳng (P) Hãy xác định thời gian electron chuyển động
trong từ trường và phương chuyển động của electron khi nó ra khỏi từ trường
trong các trường hợp sau đây? Cho e =1,6.10 ( );−19 C m e=9,1.10 (−31 Kg)
a) U =3,52(kV)
b) U =18,88(kV)
Giải: * Sau khi được tăng tốc trong điện trường, vận tốc của electron khi bắt đầu vào từ trường là v
Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có: 1 2 2
2
e U
m
* Khi vào từ trường, electron chịu tác dụng của lực Loren tác dụng lên electron có phương và chiều như hình vẽ
Vì F l en→or ⊥→v nên quĩ đạo chuyển động của electron là đường tròn và lực Loren đóng vai trò là lực hướng
tâm ⇒F l enor =F huongtam e vB mv2 R mv
Thay (*) vào (**) ta được : R m 2e U 1 2mU
d
Q P
A
v e
d
Q P
A
v B
Trang 3a) Khi U =3,52kV =3,52.10 ( )3 V ⇒ =R 1(cm)
Do R < d nên quĩ đạo chuyển động của electron là nửa đường tròn, bán kính R= 1(cm) và ra khỏi từ
trường tại điểm A’, ngược với điểm vào từ trường
Thời gian electron bay trong từ trường là 1 2 9.10 ( )10
2
b) U =18,88kV =18,88.103V ⇒ =R 2,3cm d> =2cm Nên electron ra
khỏi từ trường tại 1 điểm trên mặt phẳng Q theo phương lệch với
phương ban đầu 1 góc α xác định bởi :
0 2
2,3
d
R
α = = = ⇒ =α
Do đó cung AB có độ dài bằng 1/6 chu vi đường tròn
Nên thời gian electron bay trong từ trường là :
t=1 26. πv R =3πe B m =3.10 ( )−10 s
Bài 4: Các electron qua O vào một miền D rộng L, trong đó có một từ trường đều không đổi Ta xem
ngoài miền D, từ trường bằng 0 Giả thiết bề rộng L của miền thỏa mãn: L << mv
eB
0 = R hay:
w
= << với v0 là vận tốc ban đầu của các electron cách O một đoạn D + L
2 có đặt một màn huỳnh quang
a) Xác định tung độ yP của điểm P tại đó electron ra khỏi miền D và góc α hợp bởi véctơ vận tốc của electron tại điểm đó với trục Ox
b) Suy ra vị trí của điểm chạm I trên màn
c) Xác minh rằng giá trị của véctơ PI® đi rất gần điểm Q có hoành độ L 2 với những giả thiết nêu
trên
Cho L = 1cm; hiệu điện thế tăng tốc V = 10KV; B = 3mT và D =
20cm
Giải:
a) Trong miền D quỹ đạo của electron là một cung tròn tâm C
(xC = 0 và yC = R = mv
eB
Tại điểm P electron ra khỏi từ trường
Floren
d
Q P
A
v
B α α
O
vB R
0
→
v
T
x
I
P α α
C
O
L Q
Trang 4có: yP = R(1 – cosα)
XP = Rsinα (vì α nhỏ)
R
sina
Þ =
P
L
z
1 cos
sin
a
a
» = =
P
eBL y
mv
2
0
2
Þ =
Áp dụng số: v0 = eV
m s m
1 2
6
2
59,3.10 ( / )
æ ö ÷
α = eBL
rad mv
0
89.10- 5,11
R = 11,2cm; L
R = 0,09 Þ yP = 0,445 mm
b) Điểm chạm I có tung độ:
yx = yP + D L
-= = eBL mv
0
Þ yI = 1,78 (cm)
R
2 2 2
= = Þ Đường thẳng PI đi qua điểm O ở giữa OT
Bài 5: Một chùm electron được phun ra từ một sợi dây đốt nóng
K và được gia tốc nhờ một điện áp U cho đến khi chui lọt qua
một lỗ nhỏ trên một màn chắn nối đất Hiệu điện áp gia tốc U
phải bằng bao nhiêu để sau khi được gia tốc các electron đi theo
đường tròn cách đều hai bản của một tụ điện trụ Bán kính các
bản tụ điện trụ là R1 và R2 , hiệu điện thế giữa chúng là U0
Giải: Gọi v là vận tốc sau khi gia tốc thì : 1 2
2
= (1)
Để các electron chuyển động theo quỹ đạo tròn bán kính r, lực điện trường đóng vai trò lực hướng tâm:
1 2
e E
+ (2)
K
U R2
R1
Trang 5trong đó E là cường độ điện trường tại nơi có bán kính R 1 R 2
r 2
+
= Thay mv2 theo (1) được
1 2
4eU
e E
= + (3) Mặt khác, cường độ điện trường E trong tụ điện trụ và hiệu điện thế U0 giữa hai bản tụ điện liên hệ với mật độ điện tích dài λ trên ống trụ trong theo các hệ thức:
( )
E
πε π ε + và
2 0
0 1
R
λ
= πε
0 2
1 2
1
2U E
R
R R ln
R
=
Thay vào (3) ta được
0 2 1
U U
R 2ln R
=
Bài 6: Một hạt có khối lượng m và điện tích q chuyển động với vận tốc có độ lớn không đổi trong một
vùng không gian có ba trường đôi một vuông góc nhau: đó là từ trường Bur = (0,B,0), điện trường Eur = (E,0,0) và trọng trường gr
Tại một thời điểm nào đó, người ta tắt điện trường và từ trường Biết rằng động năng cực tiểu sau đó có giá trị bằng một nửa động năng ban đầu của hạt Tìm các hình chiếu của vectơ vận tốc của hạt trên phương ba trường tại thời điểm tắt điện trường và từ trường
Giải: Lực tổng hợp Fur
do điện trường và trọng trường tác dụng lên hạt là không đổi cả về độ lớn và về hướng Lực Lorentz không sinh công (tức cũng không làm thay đổi độ lớn vận tốc của hạt), do đó hạt phải chuyển động trong mặt phẳng vuông góc với lực Fur (nếu không, độ lớn vận tốc của hạt sẽ thay đổi) Vector cảm ứng từ cũng nằm trong mặt phẳng này, do đó hạt chuyển động thẳng, tức là tổng hợp tất cả
các lực tác dụng lên hạt bằng không Ta viết điều kiện này cho hình chiếu trên trục x:
2
d x
m qE qv B
dt = − = ; suy ra: z
E v B
Khi tắt điện trường và từ trường, hạt sẽ chuyển động hướng lên với vận tốc ban đầu v0 chỉ trong trọng trường Tại thời điểm đạt tới độ cao lớn nhất, hạt có động năng cực tiểu và vận tốc có phương nằm ngang Vì trọng trường không ảnh hưởng đến vận tốc theo phương ngang của hạt nên vận tốc này cũng
chính là thành phần nằm ngang vn của vận tốc v0 Theo đề bài, động năng ban đầu lớn hơn 2 lần động năng cực tiểu sau khi tắt điện trường và từ trường, tức là 2 2 2 2
0 n z 2 n
v =v +v = v , suy ra: vz = v n Do đó:
0
2
B
Khi hạt chuyển động trong các trường chéo nhau lúc đầu, các lực tác dụng lên hạt cân bằng nhau,
đặc biệt theo trục z ta có:
Trang 6mg =qv B hay x .
m g v
q B
Thành phần vận tốc theo phương y tìm được từ điều kiện:
0
Thay (1), (2), (3) vào (4), ta được:
2 2
y
v
Bài 7: Có một chùm tia ion có mật độ đều, mang điện tích dương có dạng một hình trụ dài bán kính R.
Mỗi ion trong chùm có điện tích q, khối lượng m, chuyển động với vận tốc v Chứng minh rằng, tại bề mặt của chùm, mỗi ion chịu tác dụng của một hợp lực hướng ra phía ngoài chùm, tìm độ lớn của hợp lực tác dụng lên mỗi ion theo I, v, c, q Với I là cường độ dòng điện tạo bởi chùm và c là vận tốc ánh sáng Giải: + Do hình trụ dài nên bỏ qua tác dụng của hai đáy hình trụ
+ Do tính đối xứng nên Eur vuông góc mặt bên hình trụ và Eur có độ lớn như nhau ở mọi điểm của mặt ngoài
+ Gọi n là mật độ ion
j là mật độ dòng điện
Ta có: j n q v . I 2 n I2
Áp dụng định lí O – G :
0
E πRl
ε
=
Với Q n R l= π 2 suy ra :
0 2
I E
Rv
πε
= và Eur hướng ra ngoài.
Lực điện trường tác dụng lên ion ở mặt ngoài:
0 2
d
qI
Rv
πε
= =
+ Từ trường tại bề mặt : Áp dụng định lí Ampe: 0
0 2
2
I
R
µ
π µ
π
= → =
Lực Lorentz tác dụng lên q: 0
2
L
qv I
R
µ π
= = + Hợp lực tác dụng lên q hướng ra ngoài:
2 2
e L
Với 2
0 0
1
c
µ ε
=
Trang 7Bài 8: Xiclôtrôn là máy gia tốc hạt tích điện đầu tiên của vật lý hạt nhân
(1931) Nó gồm có hai hộp rỗng có dạng trụ nửa hình tròn gọi là các D,
đặt cách nhau một khoảng rất nhỏ (khe) trong một buồng đã rút hết
không khí (hình vẽ) Các D được nối với hai cực của một nguồn điện sao
cho giữa hai D có một hiệu điện thế với độ lớn U xác định, nhưng dấu lại
thay đổi một cách tuần hoàn theo thời gian với tần số f nào đó Một nam
châm điện mạnh tạo ra một từ trường đều, có vectơ cảm ứng từ Bur vuông
góc với mặt các D (mặt phẳng hình vẽ) Giữa hai thành khe của xiclôtrôn
có một nguồn phát ra hạt α (khối lượng mα) với vận tốc ban đầu là
7
0
v =10 m / s vuông góc với khe, lúc ấy người ta điều chỉnh nguồn điện để cho D bên phải tích điện âm,
D bên trái tích điện dương Sau đó hạt α chuyển động với vận tốc tăng dần cho đến khi đủ lớn thì nó được lái ra ngoài cho đập vào các bia để thực hiện các phản ứng hạt nhân
Cho mα = 6,64.10-27kg, điện tích nguyên tố e =1,6.10-19C, B = 1T, U = 2.105V
a Chứng minh rằng trong lòng các D quỹ đạo của hạt α là nửa đường tròn Tìm mối liên hệ của bán kính quỹ đạo vào khối lượng, vận tốc, điện tích của hạt α và vào cảm ứng từ B Với chiều đi của hạt α như trong hình vẽ thì Bur hướng ra trước hay sau mặt phẳng hình vẽ?
b Nếu lần nào đi qua khe hạt α cũng chuyển động cùng chiều với điện trường do U sinh ra thì lần nào nó cũng được tăng tốc Để có sự đồng bộ này, f phải thoả mãn điều kiện gì và lấy giá trị bằng bao nhiêu? Tính vận tốc vn của hạt α khi đi trên nửa đường tròn thứ n và bán kính Rn của nửa đường tròn đó Nếu bán kính của nửa đường tròn cuối là 0,5m thì hạt α đã chuyển động được khoảng bao nhiêu vòng? Tính vận tốc trước khi ra ngoài của nó?
Giải:
a Trong lòng D chỉ có từ trường tác dụng, lực Lorenxơ lên hạt F 2ev Br = r∧r, e 0> là điện tích nguyên tố
Lực Lorentz F vr ⊥r nên là lực hướng tâm m v2
2evB R
Suy ra quỹ đạo của hạt α là nửa vòng tròn, bán kính R m v
2eB
α
= (1)
Br
hướng từ phía trước ra phía sau (đi vào) mặt phẳng hình vẽ
b Hạt α đi được một vòng thì U phải đổi chiều 2 lần, tức là chu kì chuyển động của hạt α và chu kì đổi chiều của U phải bằng nhau
T 2 R m f 1 eB , 2 f 2eB
α
α
π π
= = → = = ω = π = ÷
∼
⊥D D
Bia
Trang 8
19 27
eB 1, 6.10 1
m 3,14.6,64.10
−
− α
π
Cứ mỗi một lần đi qua khe, hạt α lại thu thêm được một động năng bằng 2eU Như vậy nếu hạt α qua khe lần thứ n và đi trên nửa vòng tròn n, động năng của hạt α tăng thêm một lượng 2neU Động năng ban đầu của hạt là 2
1
2 α
= Như vậy động năng của hạt α khi đi trên nửa vòng tròn n là
= + = + = Vận tốc của hạt α khi đi trên nửa vòng tròn n là
2
4neU
mα
= + (3)
Theo (1) bán kính của nửa vòng tròn n là
2 0 n
n
4neU
m
m v R
α
α α
+
Từ (4) suy ra
n
α
α
Số vòng mà hạt α đã chuyển động là ≈ 12
Từ (3) suy ra sau 12 vòng, vận tốc của hạt α là v 2, 4.10 m / s≈ 7
C BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 9: Trong hệ tọa độ Oxyz có trục Oy hướng thẳng đứng lên trên, đặt đồng thời hai trường giao nhau là
điện trường đều có vectơ cường độ điện trường E (0,E,0)ur= và từ trường đều có vectơ cảm ứng từ
B (0,B,0)ur= Tại gốc tọa độ O, người ta đặt một hạt có khối lượng m và điện tích q, sau đó buông nó ra với vận tốc ban đầu vr0 =(v ,0,0)0 Hãy xác định tọa độ của hạt theo các trục Ox, Oy, Oz sau khoảng thời gian bằng n lần chu kì chuyển động của nó và góc α hợp bởi vectơ vận tốc của hạt với trục Oy ở thời điểm đó Bỏ qua tác dụng trọng lực
n
Bv tan
2 nE
α = π
Bài 10: Một thanh cứng mảnh cách điện đặt thẳng đứng cố định trên mặt bàn Người ta lồng vào đó một
điện tích điểm có khối lượng m, tích điện q, điện tích có thể trượt dọc theo thanh Tại đầu thanh tiếp xúc với mặt bàn đặt một điện tích điểm Q Coi ma sát trên thanh rất nhỏ Xác định trạng thái cân bằng của điện tích điểm q và tần số góc đặc trưng của nó trong trạng thái đó
Trang 9Đs : 0mg
2 g
πε
ω =
Bài 11: Trong một dự án xây dựng nhà máy điện, người ta đề xuất
phương án sử dụng các dòng hải lưu ở biển và từ trường trái đất
Người ta sẽ ngâm hai bản kim loại thẳng đứng, khoảng cách giữa hai
bải là ℓ, tiết diện mỗi bản là S vào trong nước biển Nước biển có điện
trở suất ρ, dòng nước giữa hai bản cực chảy từ tây sang đông với tốc độ là v Từ trường ở khu vực đó coi như là đều và có hướng từ nam tới bắc, cảm ứng từ là B Tìm công suất cực đại có thể nhận được khi mạch ngoài nối với tải R
Đs:
2 2 max
B v S P
4
= ρ l
Bài 12: Một chùm proton đi vào một vùng không gian có bề rộng d và có từ
trường đều B1 Sau đó proton đi tiếp vào vùng không gian cũng có chiều rộng
d nhưng từ trường B2 = 2B1
Lúc đầu, Proton có vận tốc vuông góc với véctơ cảm ứng từ B và
vuông góc với mặt biên của vùng không gian có từ trường Xác định:
a Giá trị của hiệu điện thế V0 để tăng tốc cho proton sao cho hạt proton
đi qua được vùng đầu tiên
b Hiệu điện thế V0 sao cho proton đi qua được vùng thứ hai
Đs: a 12 2
0
qB d V
2m
> ; b
2 2 1 0
qB d
V 9
2m
>
Bài 13: Một hạt có khối lượng m, điện tích q > 0 chuyển động trong một từ trường biến thiên có tính đối
xứng trụ với trục đối xứng ∆ Cảm ứng từ tại một điểm cách trục ∆ một khoảng r có phương gần như song song với trục ∆ và có độ lớn là B(r) n
r
α
= (với α là hằng số dương, 0 < n < 1) Hạt chuyển động trong mặt phẳng vuông góc với trục ∆ Bỏ qua tác dụng của các lực khác so với lực từ Hạt chuyển động tròn đều trên quỹ đạo bán kính R với tâm O nằm trên trục ∆ Giả thiết ban đầu hạt ở điểm A cách trục ∆ một khoảng R1 và có vận tốc hướng theo phương bán kính ra xa trục Biết rằng, trong quá trình chuyển động, khoảng cách cực đại từ hạt tới trục ∆ là R2 Tìm vận tốc ban đầu của hạt
Đs:
2 n 2 n
v
mR (2 n)
α −
=
−
Trang 10Bài 14: Một quả cầu kim loại rỗng có bán kính trong r và bán kính ngoài R Coi môi trường bên trong quả
cầu là đồng nhất Điện tích quả cầu là q1.Trên đường nối tâm dọc theo bán kính quả cầu có hai hạt giống nhau, mỗi hạt có điện tích q2 được đặt bên trong và bên ngoài vỏ cầu Các hạt luân phiên va chạm với bề mặt trong và ngoài vỏ cầu Tại thời điểm hạt va chạm với bề mặt bên trong vỏ cầu, động năng của nó là K
và áp suất trung bình của hạt lên bề mặt bên trong vỏ cầu là p Coi va chạm là hoàn toàn đàn hồi Tìm áp suất trung bình của hạt lên bề mặt bên ngoài vỏ cầu Biết các hạt có điện tích cùng dấu
Đs:
2
1 2
0
= ÷ + ÷÷
πε
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Electricity and Magnetism, Edward M Purcell, Harvard University, McGraw-Hill, 1985
2 Задачи по общей физике, Иродов И.Е, Наука, 1979
3 Физика в задачах, Г.Ф.Меледин, Наука, 1990
4 Bài tập Điện học, Quang học, Vật lí hiện đại, Vũ Thanh Khiết, Nxb Giáo Dục, 2010
5 Bồi dưỡng học sinh giỏi vật lí THPT – Điện học 2, Vũ Thanh Khiết, Nxb Giáo Dục, 2009
6 Các đề thi học sinh giỏi vật lí quốc gia các năm
7 Một số đề thi Olympic vật lí các nước
8 Tạp chí Kvant
9 Tạp chí Vật lí tuổi trẻ