Bài thuyết trình: CHƯƠNG 6: CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM

Các tính chất của năng lượng và hàm sóng của electron trong nguyên tử Hydro sẽ được khảo sát một cách chi tiết.. • Sau khi học xong chương này, sinh viên sẽ nắm được cách giải phương

Cơ học lượng tử Quantum mechanics

NHÓM 6 NGUYỄN THỊ HỒNG VY

CHƯƠNG 6 CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM

Particle motion in the radial

Giới thiệu-Introduction

• Trong chương trước, sinh viên đã tìm hiểu về

phương trình schrodinger Đến chương này sẽ

tìm hiểu về phương trình Schrodinger của hạt

trong trường xuyên tâm với hệ tọa độ sử dụng là

hệ tọa độ cầu Bài toán thực tế ứng với trường

hợp này là bài toán nguyên tử Hydro và các ion

tương tự Các tính chất của năng lượng và hàm

sóng của electron trong nguyên tử Hydro sẽ

được khảo sát một cách chi tiết.

• Sau khi học xong chương này, sinh viên sẽ nắm

được cách giải phương trình trị riêng của toán tử

mômen toàn phần và của toán tử năng lượng

trong trường xuyên tâm Sinh viên cũng sẽ giải

được các bài toán liên quan đến xung lượng,

năng lượng và hàm sóng của electron trong

nguyên tử Hydro

• In the previous subject, we learned about

Schrodinger’s equation In this subject will learn about Schrodinger equation of particle

in the case of radial coordinate system used with the spherical coordinates The real math problem in this case is the problem of hydrogen atoms and ions similar.The nature

of energy and electron wave function of hydrogen atoms will be examined in detail.

• After completing this subject, We will

understand how to solve the equation of the operator torque eigenvalues and full of energy operators in the radial.We will also solve the problems related to energy and momentum of the electron wave functions of hydrogen atoms.

Chương 6 Chuyển động của hạt trong trường

1.3 Các đặc điểm của hạt chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm

2.Phương trình

Schrodinger trong trường xuyên tâm

2.1 Phương trình bán kính và phương trình góc

2.2 Khảo sát phương trình bán kính

3.Bài toán nguyên

tử Hydro và các ion tương tự

3.1 Giá trị

âm của năng lượng electron trong nguyên tử

3.3 Kết luận về bài toán nguyên tử Hydro và các ion tương tự Hydro

3.2 Năng lượng và hàm sóng của electron trong nguyên

tử Hydro

và các ion tương tự

4.Sự phân bố

electron trong nguyên tử Hydro

4.1 Sự phân bố electron theo bán kính

4.2 Sự phân bố electon theo góc

5.Bài tập

Content

Nội dung

§1 :TOÁN TỬ MÔMEN XUNG LƯỢNG

Inherent angular momentum operators 1.1 Khái niệm trường xuyên tâm (The concept of the radial)

Một trường lực được gọi là đối xứng xuyên tâm khi lực tác dụng tại một điểm trong trường thỏa mãn các điều kiện sau:

• Đi qua một điểm cố định là tâm của trường.

• Thế năng ứng với lực chỉ phụ thuộc vào khoảng cách từ hạt đến tâm

trường

Khi nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm có một

đại lượng động lực đóng vai trò rất quan trọng đó là mômen xung

lượng Trước khi khảo sát chi tiết ta cần nghiên cứu cụ thể toán tử

mômen xung lượng

1.2 Toán tử momen xung lượng

Trong chương này ta sẽ sử dụng tọa độ cầu cho bài toán của hạt chuyển động trong trường xuyên tâm Ta quan tâm đến hai thành phần cơ bản của toán tử mômen xung lượng Đó là toán tử hình chiếu mômen xung lượng lên trục z (z) và toán tử mômen xung lượng toàn phần (2)

Trong chương II, ta đã biết các thông tin về toán tử z, đó là:

Dạng:

Trị riêng:

Hàm riêng chuẩn hóa: trong đó

•  

Trong tọa độ cầu, dạng của toán tử này là: với là phần góc của

toán tử Laplace và có dạng:

Ta chứng minh được , nghĩa là các toán tử và giao hoán với nhau, vì vậy chúng có hàm riêng chung, ta gọi hàm này là

•  

a) Trị riêng của toán tử

Trước hết, ta đưa ra hai toán tử bậc thang (ladder operater), có dạng sau:

và

Ta chứng minh được các hệ thức sau

Tác dụng hệ thức toán tử lên hàm ta được:

•  

Từ phương trình trị riêng , ta tính được:

Số hạng là hàm riêng của toán tử ứng với trị riêng Từ đó ta thấy toán tử tác dụng lên hàm làm cho trị riêng của toán tử thay đổi một đơn vị của : Như vậy ta có thể viết:

và Toán tử vì thế được gọi là toán tử nâng (raising operator), toán tử gọi là toán tử hạ (lowering operator)

Vì trị riêng của một toán tử là hữu hạn nên giá trị m phải hữu hạn Giả sử ta đặt thì

•  

Bây giờ ta tác dụng toán tử lên hàm :

Phương trình này chính là phương trình trị riêng của toán tử ứng với hàm riêng Như vậy, trị riêng của toán tử là:

, với

Ta thấy rằng, ứng với 1 giá trị của thì có nhiều giá trị của

nhưng giá trị cực đại của thì bằng , như vậy

•  

b) Hàm riêng của toán tử

Ta đã biết toán tử , toán tử , vì vậy chúng hàm riêng chung Đây là một hàm điều hòa cầu có dạng phụ thuộc vào góc và góc Ta ký hiệu hàm này là

Phương trình trị riêng của toán tử và là:

Vì chỉ phụ thuộc vào góc nên hàm riêng bằng tích của hai hàm phụ thuộc vào 2 biến và riêng biệt:

trong đó là hàm riêng của toán tử Để tìm dạng cụ thể của ta chỉ cần tìm dạng của

•  

Thay dạng của vào phương trình trị riêng của toán tử , ta được:

Để giải phương trình, ta dùng phương pháp đổi biến số.

Đặt , lúc đó , phương trình (*) trở thành:

So sánh với phương trình cho đa thức Legendre liên kết:

Ta thấy có dạng là một đa thức Legendre liên kết:

, trong đó là đa thức Legendre được xác định bởi công thức Rodrigues:

•  

Từ đó ta được dạng tổng quát của hàm cầu chuẩn hóa với các giá trị xác định của

và :

()

Ta đã tìm được trị riêng của toán tử phụ thuộc vào số lượng tử m và trị

riêng của toán tử phụ thuộc vào số lượng tử ,trong đó và ,

Như vậy với một giá trị của thì có giá trị của

Điều này có nghĩa là ứng với một giá trị xác định của bình phương mômen xung lượng thì hình chiếu của nó lên trục z có giá trị Vì trục z được định hướng một cách bất kỳ nên với một giá trị của thì hình chiếu của mômen xung lượng lên trục x hoặc trục y cũng có giá trị.

•  

1.3 Các đặc điểm chuyển động của hạt trong

trường xuyên tâm

Ta nghiên cứu các đặc điểm chuyển động của hạt khối lượng trong trường xuyên tâm với thế năng Hamiltonian của hạt ở trạng thái dừng là :

Dạng của toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu là:

Thay vào biểu thức Hamiltonian ta được

•  

Ta chứng minh được rằng toán tử giao hoán với toán tử và

Như vậy, các hệ mô tả bởi Hamiltonian có thể ở trong các trạng thái dừng có giá trị xác định của năng lượng, bình phương

mômen xung lượng và hình chiếu của mômen xung lượng Mặt khác, ở Chương V ta thấy rằng mômen xung lượng ( và ) của hạt trong trường xuyên tâm là các tích phân chuyển động Đây chính là hệ quả của tính đối xứng cầu của trường xuyên tâm

•  

§2 PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM

Schrdinger equation in the radial 2.1 Phương trình bán kính và phương trình góc

Phương trình Schrodinger của hạt ở trạng thái dừng là:

Thay vào (6.26) ta được phương trình:

Do biến số r độc lập với hai biến số nên hàm sóng

có thể viết ở dạng phân ly biến số:

Thay dạng của hàm sóng (6.28) vào (6.27) :

hàm bán kính hoặc

hàm xuyên tâm

hàm góc

Chia hai vế của (6.29) cho RY

Từ đó ta được hai phương trình:

α

Phương trình bán kính

Phương trình

góc

Phương trình trị riêng của toán tử

2.2 Khảo sát phương trình bán kính

Đặt

Phương trình bán kính

Có dạng giống

Nếu

Nghĩa là

0Giả sử thế năng của hạt là

Cho trường hợp r>0 Và thế năng vô hạn khi r ->0

§3 BÀI TOÁN NGUYÊN

TỬ HYDRO VÀ CÁC

ION TƯƠNG TỰ

Problem hydrogen atoms and ions similar

_Nguyên tử hydro và các ion tương tự mang điện tích +2e ở hạt nhân và có một electron bay xung quanh hạt nhân Lực tương tác giữa electron và hạt nhân là lực hút tĩnh điện, có công thức là:

-Vì hạt nhân có khối lượng lớn khối lượng của

electron nên bài toán này có thế quy về bài toán một hạt, đó là chuyển động của electron trong

trường Coulomb của hạt nhân đứng yên ( ta thay

= me)

+ [ E + - ]u(r) = 0 (*)

•  

3.1 Giá trị âm cực năng lượng electron trong nguyên tử:

-Ta khảo sát ý nghĩa thế năng hiệu dụng trong phương trình bán kính

-Sự biểu diễn Ueff theo r có thể biểu diễn bằng đồ thị:

-Từ đồ thị của Ueff theo r ta thấy:

+Nếu E>0 thì hạt chuyển động từ vô cùng đến phản xạ

tại biên rồi lại đi xa vô cùng Trường hợp này ứng với

chuyển động một chiều bị giới hạn một phía

+Nếu E<0 thì hạt sẽ chuyển động trong giới hạn trong

khoảng rA đến rB Trường hợp này ứng với hạt chuyển

động trong giếng thế giới hạn bởi rA và rB

3.2 Năng lượng và hàm sóng của electron trong nguyên tử Hydro

và các ion tương tự:

-Bây giờ ta sẽ giải phương trình (*) cho electron trong nguyên tử hydro

và các ion tương tự trong trường hợp năng lượng âm

-Để tiện cho việc giải phương trình, ta đưa vào các đại lượng không

-Chuyển sang biến số mới, phương trình (*) trở thành:

(**)

-Ta xét dạng tiệm cận của u( trên những khoảng cách lớn.

+Khi , ta có thể bỏ qua hai số hạng tỉ lệ với 1/ và rồi viết phương trình như

sau:

-Để đơn giản ta kí hiệu: Phương trình trở thành:

-Phương trình có hai nghiệm riêng là

•  

-u(r) phải hữu hạn mọi nơi nên ta chỉ lấy nghiệm với dấu trừ Vậy:

+Khi , phương trình (**) trở thành:

-Nghiệm của phương trình có dạng: Thay và vào phương trình

trên tìm được hai giá trị của s là ; Do điều kiện giới nội của hàm sóng

ta chọn , từ đó

•  

Trong trường hợp tổng quát nghiệm của phương trình (**):

(1)

+ hữu hạn khi và

-Thay biểu thức (1) vào phương trình (**), ta sẽ được

phương trình đạo hàm theo tương đương như sau: (2)

•  

-Nghiệm của phương trình này có dạng chuỗi:

-/ Tính các đạo hàm ,

-Rồi thay vào (2) ta được:

+- +

•  

-Đặt Suy ra thì ivà k thì i Do đó số hạng của tổng trên là: +Số hạng đầu là:

-Do đó phương trình trên trở thành:

-Các là độc lập nên các hệ số của từng số hạng phải Tức là:

•  

-Để cho hữu hạn, ta phải ngắt chuỗi ở 1 số hạng nào đó nghĩa là nó phải trở thành đa thức Giả sử ta chọn bậc của đa thức là nr thì , từ đó: ( là số nguyên dương)

-Từ đó suy ra:

•  

*Tìm hàm sóng ứng với giá trị năng lượng :

- Hàm sóng ψ( r, ϴ, ϕ) = R(1) ( ϴ, ϕ), trong đó ( ϴ, ϕ) chính là

hàm cầu có dạng:

( ϴ, ϕ)=

-Hàm R(r) là nghiệm của phương trình bán kính

Ta đã đặt , với là nghiệm của phương trình:

•  

- Định nghĩa đa thức La-guerre bởi công thức sau:

-Có thể thu được đa thức La-guerre nhờ hàm sinh ( generatirf function)

-Lấy đạo hàm theo s, ta được công thức thu hồi:

-Tương tự phép lấy đạo hàm theo p cho ta:

•  

- Phương trình vi phân bậc thấp nhất chỉ chứa có dạng

-Tiếp theo ta được đa thức La-guerre liên kết được định nghĩ như sau:

-Đạo hàm phương trình trên lần theo , ta thấy thỏa phương trình:

PT: (2)

•  

+Ta thấy có dạng một đa thức nếu: và Như vậy: Thay vào (1) và

chuyển lại biến ta được:

(3)

+Hệ số được xác định từ điều kiện chuyển hóa:

•  

-Thay dạng của vào (3) và dùng điều kiện trực giao của đa thức La-guerre liên kết ta tìm được:

( được gọi là bán kính Bohr thứ nhất)

•  

-Một vài dạng của bán kính cho trường hợp nguyên tử Hydro

3.3 Kết luận về bài toán nguyên tử hydro và các ion tương tự hydro:

a/Lượng tử hóa năng lượng:

-Công thức năng lượng như sau: Trong đó: là hằng số Ridberg

-Với ứng với nguyên tử hydro Mức năng lượng thấp nhất của nguyên tử là ứng với Do đó mức năng lượng thấp nhất của nguyên tử hydro

-Ta thấy càng lớn thì mức năng lượng của nguyên tử càng cao và càng

gần nhau hơn khi thì

Như vậy:

+ Khi thì giá trị năng lượng của nguyên tử là gián đoạn.

+ Khi ( tức electron tự do) thì giá trị năng lượng của nguyên tử là liên tục.

•  

Sơ đồ mức năng lượng của electron có thể giải thích sự hình thành quang phổ vạch của nguyên tử hydro.

b/Sự suy biến của năng lượng:

- Mỗi mức năng lượng trong trường xuyên tâm đều suy biến theo

số lượng tử, mức bậc suy biến là Do với cho trước, có thể nhận các giá trị 0, 1, 2 mà với mỗi giá trị thì nhân mà giá trị khác

nhau nên bậc suy biến của mỗi mức bằng:

•  

-Ngoài suy biến theo số lượng tử như trường xuyên tâm, trường Coulomb còn có thêm suy biến theo số lượng tử Sự suy biến theo gọi là suy biến ngẫu nhiên hay suy biến Coulomb và là đặc điểm của trường Coulomb.

•  

§4 SỰ PHÂN BỐ ELECTRON TRONG NGUYÊN TỬ HYDRO

The distribution of electrons in hydrogen atoms

• Mật độ xác xuất tìm electron chung quanh hạt nhân nguyên tử tại

một điểm có tọa độ (r,,) là :

nlm ( r,,) = |nlm ( r,,) |2

• Xác suất để tìm electron trong phần tử thể tích dV lân cận điểm (r,,)

có tọa độ trong khoảng

• Mật độ xác suất tìm hạt trong khoảng bán kính từ : r  r + dr

dWnlm (r,,) = |Rnl(r)|2 r2dr

• Do điều kiện chuẩn hóa của hàm cầu nên tích phân theo góc bằng

đơn vị = 1

• Từ đó công thức tính mật đồ xác suất tìm hạt theo bán kính sẽ là :

nl (r) = = |Rnl(r)|2 r2

•  

4.1 Sự phân bố electron theo bán kính

• Thay biểu thức của hàm bán kính ứng với các giá trị cụ thể của n và l

ta sẽ được biểu thức của nl (r) ứng với các trạng thái khác nhau của electron

• Mật độ xác xuất theo góc có nghĩa là theo các hướng trong không gian ,

trong trường hợp bán kính trải dài từ 0 đến Xác suất tìm electron sẽ bằng :

• Thay biểu thức của hàm cầu với các giá trị cụ thể của l và m ta được biểu

thức của lm (,) ứng với các trạng thái nhau của electron

• Kết hợp sự phân bố theo bán

kính và theo góc ta được sự

phân bố xác suất của electron trong không gian chung

quanh hạt nhân nguyên tử

biễu diễn sự phân bố toàn

phần nlm ( r,,) = |nlm ( r,,) |2

•  

Hàm phân bố xác suất toàn phần trong

không gian ba chiều Độ sáng mỗi điểm trên hình vẽ tỉ lệ với xác suất tìm điện tử tại điểm

đó

§5 Bài tập Bài 1

Thế (**) vào (*), ta được:

 Ta có :

T

• In the chapter, we illustrate the

separation of the

three-dimensional Schrodinger equation

in the Descarter coordinate system

by a few simple examples

Describe the general properties of

motion in a spherically symmetric

field (radial field) with the V

interractions only dependent on

the distance r from the force field

to the particle.

Schrodinger equation for a one

dimensional Schrodinger equation

contains only a single r-variable, to

solve problems such as free

particles,potential wells bridge, the

hydrogen atom problem

KẾT LUẬN

việc tách biến phương trình Schrodinger ba chiều trong hệ tọa

độ Descarter qua một vài thí dụ đơn giản Trình bày về các tính chất tổng quát của chuyển động trong trường có đối xứng cầu (trường xuyên tâm) với thế tương tác V chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r từ tâm lực tới hạt.

chiều về phương trình Schrodinger một chiều chỉ chứa một biến số r duy nhất, để giải quyết các bài toán như hạt tự do, giếng thế cầu, bài toán nguyên tử Hydro.

Thank you for your attention

Thank you for your attention