Tiểu luận đo độ tích phân

CHỦ ĐIỂM 4: TRÌNH BÀY CÁC MỐI QUAN HỆ Bài 1 Đường thẳng Hãy tự làm các yêu cầu sau: 1 Hãy vẽ các đường thẳng sau lên cùng một trang giấy: 2 Hãy xác định độ dốc và tung độ của các đường thẳng sau đây: 3 Hãy tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm (5;6) và song song với: 4 Viết phương trình của đường thẳng có a) độ dốc 8, tung độ 2 b) độ dốc 3 và đi qua điểm (1;0) c) đi qua điểm (2;3) và (1;4) d) có tung độ 8 và đi qua điểm (4;2) 5 Trong mỗi phương trình sau có một biến đã được cho giá trị. Hãy tìm giái trị tương ứng của biến còn lại: Tính liên tục từ những dữ liệu rời rạc Phương trình nói lên mối quan hệ giữa độ Celsius và độ Fahrenheit là: F = 32 + 1.8C trong đó C là nhiệt độ được đo trong độ Celsius và tương tự F là nhiệt độ được đo trong độ Fahrenheit. Từ phương trình này chúng ta có thể xây dựng một bảng giá trị tương ứng giữa C và F từ đó chúng ta có thể xây dựng các cặp được sắp xếp như sau: (0; 32), (25; 77), (50; 122), (75; 167), (100; 212) các cặp được chia theo thứ tự này có thể sau đó được vẽ đồ thị trở lại trong hệ trục tọa độ Đề các được chỉ trong hình H 4.1. Đồ thị gồm có một tập hợp các điểm cô lập – nó được gọi là một đồ thị rời rạc. Đồ thị chỉ miêu tả các điểm thực mà chúng ta có thể vẽ và cũng như chỉ chứa một số lượng thông tin. Nếu chúng ta vẽ nhiều điểm hơn – được tính từ phương trình – chúng ta sẽ có nhiều thông tin trong hình hơn (xem hình H 4.2). Số lượng lớn nhất của thông tin trong đồ thị có thể chứa là đạt được trong khi tất cả các điểm có thể được vẽ sao cho ta nhận được một đường thẳng được chỉ ra trong hình H 4.3. Dĩ nhiên đây là một ý tưởng vì để vẽ đường thẳng với một điểm và tại một thời điểm sẽ gặp khó khăn. Tuy nhiên ý tưởng là những gì chúng ta đang cố gắng để đạt được và đồ thị được vẽ với ý tưởng này được gọi là đồ thị liên tục. Những gì chúng ta làm trong thực tế là vẽ một số hữu hạn các điểm và nối chúng lại với nhau bởi một đường thẳng. Thật ra để vẽ một đường thẳng chúng ta chỉ cần hai điểm. H 4.1 H 4.2 Các đường thẳng Mỗi đường thẳng là có chiều hướng nằm ngang và độ dốc của đường thẳng là một giá trị của góc nghiêng này. Nếu P và Q là hai điểm trên đường thẳng thì độ dốc là tỉ số: Hiệu số tọa độ theo phương thẳng đứng của P và Q nó bằng đơn vị phần trăm sự tăng lên theo hướng thẳng đứng với sự tăng lên theo hướng nằm ngang . Ví dụ, trong hình H 4.4 tọa độ theo phương đứng của các điểm trên đường thẳng tăng lên tương ứng với tọa độ theo phương ngang tăng lên. Độ dốc là 2. Trong hình H 4.5, tọa độ theo phương đứng của các điểm trên đường thẳng không tăng tương ứng với tọa độ theo phương ngang cũng không tăng. Chúng ta gọi là độ tăng âm do đó độ dốc của đường thẳng trong trường hợp này là – 3. Các đường thẳng đặc biệt Trong đường thẳng thẳng đứng trong hình H 4.6, mỗi điểm có giá trị q giống nhau, bằng 3. Đường thẳng được vẽ từ phương trình q = 3. Với mọi giá trị của p, giá trị của q luôn bằng 3. Chú ý rằng đường thẳng này không có độ dốc. Độ tăng theo hướng thẳng đứng luôn xảy ra còn độ tăng theo hướng nằm ngang bằng không và do đó chúng ta không có định nghĩa ước của không. Tương tự cho đường thẳng nằm ngang trong hình H 4.7 được vẽ từ phương trình p = 4 . Chú ý rằng độ dốc của nó bằng khô

CHỦ ĐIỂM 4: TRÌNH BÀY CÁC MỐI QUAN HỆ

Bài 1 Đường thẳng

Hãy tự làm các yêu cầu sau:

1 Hãy vẽ các đường thẳng sau lên cùng một trang giấy:

a) y= − −4x 6 b) y= − +2x 2 c) y 9x 7 d)5x 5y 5= − + =

2 Hãy xác định độ dốc và tung độ của các đường thẳng sau đây:

a) y 2x 1= − b) y= − +4x 2 c)3x 6y 17 d) x y 4+ = − =

3 Hãy tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm (5;-6) và song song với:

a) y 2x 5= − b) y= − +x 1 c) x 4y 2+ = d) x 5y 10− =

4 Viết phương trình của đường thẳng có

a) độ dốc 8, tung độ -2

b) độ dốc -3 và đi qua điểm (1;0)

c) đi qua điểm (2;-3) và (1;4)

d) có tung độ -8 và đi qua điểm (4;2)

5 Trong mỗi phương trình sau có một biến đã được cho giá trị Hãy tìm giái trị tương ứng của biến còn lại:

a) p 8q 10 p 18

c) 2u 3v 4 u 5

d)5r 4s 2 r 2

Tính liên tục từ những dữ liệu rời rạc

Phương trình nói lên mối quan hệ giữa độ Celsius và độ Fahrenheit là:

F = 32 + 1.8C

trong đó C là nhiệt độ được đo trong độ Celsius và tương tự F là nhiệt độ được đo trong độ Fahrenheit Từ phương trình này chúng ta có thể xây dựng một bảng giá trị tương ứng giữa C

và F từ đó chúng ta có thể xây dựng các cặp được sắp xếp như sau:

(0; 32), (25; 77), (50; 122), (75; 167), (100; 212)

các cặp được chia theo thứ tự này có thể sau đó được vẽ đồ thị trở lại trong hệ trục tọa độ Đề các được chỉ trong hình H 4.1 Đồ thị gồm có một tập hợp các điểm cô lập – nó được gọi là một

đồ thị rời rạc Đồ thị chỉ miêu tả các điểm thực mà chúng ta có thể vẽ và cũng như chỉ chứa

một số lượng thông tin Nếu chúng ta vẽ nhiều điểm hơn – được tính từ phương trình – chúng

ta sẽ có nhiều thông tin trong hình hơn (xem hình H 4.2) Số lượng lớn nhất của thông tin trong

đồ thị có thể chứa là đạt được trong khi tất cả các điểm có thể được vẽ sao cho ta nhận được một đường thẳng được chỉ ra trong hình H 4.3 Dĩ nhiên đây là một ý tưởng vì để vẽ đường thẳng với một điểm và tại một thời điểm sẽ gặp khó khăn Tuy nhiên ý tưởng là những gì chúng

ta đang cố gắng để đạt được và đồ thị được vẽ với ý tưởng này được gọi là đồ thị liên tục.

Những gì chúng ta làm trong thực tế là vẽ một số hữu hạn các điểm và nối chúng lại với nhau

bởi một đường thẳng Thật ra để vẽ một đường thẳng chúng ta chỉ cần hai điểm

H 4.1

H 4.2

Các đường thẳng

Mỗi đường thẳng là cĩ chiều hướng nằm ngang và độ dốc của đường thẳng là một giá trị của

gĩc nghiêng này Nếu P và Q là hai điểm trên đường thẳng thì độ dốc là tỉ số:

Hiệu số tọa độ theo phương thẳng đứng của P và Q

a= Hiệu số tọa đo ätheo phương thẳng đứng của P và Q

Hiệu số tọa đo ätheo phương nằm ngang của P và Q

nó bằng đơn vị phần trăm sự tăng lên theo hướng thẳng đứng với sự tăng lên theo hướng nằm ngang Ví dụ, trong hình H 4.4 tọa độ theo phương đứng của các điểm trên đường thẳng tăng lên tương ứng với tọa độ theo phương ngang tăng lên Độ dốc là 2 Trong hình H 4.5, tọa độ theo phương đứng của các điểm trên đường thẳng không tăng tương ứng với tọa độ theo

phương ngang cũng không tăng Chúng ta gọi là độ tăng âm do đó độ dốc của đường thẳng

trong trường hợp này là – 3

Các đường thẳng đặc biệt

Trong đường thẳng thẳng đứng trong hình H 4.6, mỗi điểm có giá trị q giống nhau, bằng

3 Đường thẳng được vẽ từ phương trình q = 3 Với mọi giá trị của p, giá trị của q luôn bằng 3 Chú ý rằng đường thẳng này không có độ dốc Độ tăng theo hướng thẳng đứng luôn xảy ra còn

độ tăng theo hướng nằm ngang bằng không và do đó chúng ta không có định nghĩa ước của không

Tương tự cho đường thẳng nằm ngang trong hình H 4.7 được vẽ từ phương trình p = -4 Chú ý rằng độ dốc của nó bằng không

Đối với bất kỳ sự thay đổi nào theo hướng ngang không làm cho hướng thẳng đứng thay đổi Đối với đường thẳng trong hình H 4.8 thì bất kỳ điểm nào trên đường thẳng đó cũng có hai giá trị s và t bằng nhau Đường thẳng này có phương trình s =t và có độ dốc bằng 1 Phương trình

s = -t cho ta đường thẳng ở hình H 4.9 và có độ dốc bằng -1

Đường thẳng tổng quát

Chúng ta thấy rằng các đường thẳng khác nhau có thể được vẽ từ các phương trình khác nhau Tuy nhiên, tất cả các phương trình này là sự thay đổi của một hình thức tổng quát Một đường thẳng tiêu biểu là được vẽ như trong hình H 4.10

Trong hình H 4.10, cắt trục tung tại điểm chia P với tọa độ (0;b) và có một điểm chia khác Q trên đường thẳng có tọa độ (x0;y0) Ở đây ký hiệu x0 và y0 có chỉ số dưới là 0 được buộc

chặt đến chúng để chứng tỏ rằng điểm Q trên đường thẳng là một điểm cố định và khơng cĩ một điểm biến thiên với tọa độ biến thiên (x;y)

H 4.10

Nếu chúng ta đặt a là độ dốc của đường thẳng thì giữa bất kỳ hai điểm trên đường thẳng

a=Hiệu số tọa đo ätheo phương thẳng đứng của P và Q

Hiệu số tọa đo ätheo phương nằm ngang của P và Q

Thế giá trị của các tọa độ P và Q trong phương trình chúng ta cĩ

0

0

0

0

a

x

−

=

−

−

=

Nhân cả hai vế phương trình cho x0 chúng ta cĩ

ax0 = y0 – b

Cộng b vào cả hai vế phương trình ta cĩ

ax + =b y

Đổi hai vế phương trình này ta cĩ

y = ax +b

Phương trình này thỏa mãn cả hai tọa độ của điểm P và Q Thực vậy, điểm Q chỉ đơn thuần là điển hình của mọi điểm trên đường thẳng, chúng ta bỏ chỉ số dưới 0 và khi đĩ bất kỳ điểm nào trên đường thẳng cũng cĩ tọa độ thỏa mãn phương trình

y = ax + b

Phương trình này được xem là phương trình tổng quát của một đường thẳng, trong đĩ a là

độ dốc và b là tung độ Chú ý rằng phương trình này đồng nhất dạng hình thức với

F = 32 + 1.8 C

trong đĩ các biến C và F thay thế cho x và y Phương trình này cĩ đồ thị là đường thẳng ở hình

H 4.3 với độ dốc a = 1.8 và tung độ là b = 32

Phương trình của một đường thẳng

Phương trình của một đường thẳng

y = ax + b

bao gồm bốn con số Hai biến x và y là giá trị tọa độ của một điểm nằm trên đường thẳng và hai hằng số Các hằng số là độ dốc a và tung độ b Để tìm giá trị của bất kỳ một con số nào chúng

ta cần đến các giá trị của ba đại lượng khác Giá trị của đại lượng thứ tư thu được bằng việc cân bằng phương trình Thỉnh thoảng việc cân bằng phương trình chỉ đơn giản là việc thay thế các con số Ví dụ, nếu phương trình của đường thẳng được cho bởi

y = 5x – 2

và một giá trị của x là 4 khi đĩ giá trị tương ứng của y được tìm thấy bằng việc thế x vào phương trình Khi đĩ

y = (5.4) – 2

= 18

Một số trường hợp khác phương trình có thể cần đến một vài thao tác trước khi có thể tìm được kết quả Ví dụ, trong phương trình trên, chúng ta cho y = 33 làm cách nào để chúng ta tìm x? Việc thay thế đơn giản một phía của dấu = là chưa đủ:

33 = 5x – 2

Chúng ta cần cộng vào phương trình với giá trị cô lập x và thu được một phương trình có dạng

x = một vài số hoặc một vài số = x

Với ví dụ trên chúng ta cộng số 2 vào hai vế phương trình để nhận được

33 + 2 = 5x – 2 + 2

khi đó

35 = 5x

Cuối cùng, chia cả hai vế phương trình cho 5 ta nhận được kết quả

7 = x

Việc cân bằng phương trình có nghĩa là nếu một phép toán số học là được thực hiện trên một vế của phương trình chúng ta cũng phải thực hiện phép toán tương tự trên vế còn lại của phương trình để giữ cho phương trình được cân bằng Ví dụ, nếu

y = ax + b

thì

y – b = ax + b – b

= ax

và

x

− =

= suy ra

x = y b

a

−

Ở đây chúng ta có thể thay đổi vai trò của x và y cho nhau trong phương trình

Dạng biến đổi

Một hình thức khác của phương trình đường thẳng là

px + qy = r

trong đó p, q và r là các hằng số Trong dạng này độ dốc là được cho bởi p

q

− và tung độ là r

q.

Ví dụ, phương trình

3x + 4y = 5

biểu diễn một đường thẳng Để chỉ ra rằng phương trình này có thể được viết lại trong một hình thức tiêu chuẩn của một đường thẳng chúng ta làm như sau:

(1) Trừ 3x vào hai vế phương trình

3x + 4y -3x = 5 – 3x khi đó

4y = 5 – 3x

(2) Chia cả hai vế phương trình bởi 4:

5 3x

−

=

= − Suy ra

−

với phương trình tiêu chuẩn này chúng ta có độ dốc của đường thẳng là 3

4

− và tung độ

là 5

4.

Chúng ý rằng hai đường thẳng

px +qy = r

và

px +qy = s

là song song khi cả hai đường thẳng đều có độ dốc như nhau p

q

− nhưng các tung độ r

q và

s q

là khác nhau

Các ví dụ 1.Vẽ trên cùng một trang giấy các đường thẳng sau và xác định độ dốc và tung độ của chúng:

(a) độ dốc 2, tung độ 3.

(b) độ dốc -3, tung độ 4.

(c) độ dốc 4, tung độ -2.

(d) độ dốc -3/4, tung độ 6 Phương trình dạng tiêu chuẩn là y = (-3/4)x + 6.

2 Xác định độ dốc và tung độ của các đường thẳng sau:

(a) y = 5x – 4 b) y = -7x +8 c) 5x + 2y = 10 d) 2x – 4y = 16 (a) độ dốc 5, tung độ - 4

(b) độ dốc -7, tung độ 8

(c) phương trình 5x + 2y = 10 được viết lại

5

2

= − + đường thẳng này có độ dốc -5/2 và tung độ 5

(d) phương trình 2x – 4y = 16 được viết lại

1

2

= − đường thẳng này có độ dốc ½ và tung độ -4

3 Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm (1;2) và song song với:

(a) y = 9x – 4 b) 3x +7y = 5

(a) Bất kỳ đường thẳng nào song song với đường thẳng y = 9x – 4 đều cùng độ dốc nhưng khác nhau về tung độ Do đó, phương trình cần tìm có dạng:

y = 9x + k Thế các giá trị (1;2) vào phương trình chúng ta có

2 = 9 + k do đó k = -7 Phương trình của đường thẳng cần tìm có dạng:

y = 9x – 7.

(b) Bất kỳ đường thẳng nào song song với đường thẳng 3x +7y = 5 đều cĩ phương trình

3x +7y = k Thế các giá trị (1;2) vào phương trình chúng ta cĩ

3 + 14 = k do đĩ k =17 Phương trình của đường thẳng cần tìm cĩ dạng:

3x + 7y = 17

4 Viết phương trình của các đường thẳng sau:

(a) độ dốc 3, tung độ -5

(b) độ dốc -4 và đi qua điểm (2; -3)

(c) đi qua điểm (1; -1) và (2; 6)

(d) tung độ 6 và qua điểm (10; 8)

(a) y = 3x -5

(b) y = -4x + b Thay (2; -3) vào phương trình ta nhận được:

- 3 = -8 + b do đĩ b = 5 Phương trình của đường thẳng cần tìm là y = -4x +5

(c) y = ax + b Vì đường thẳng đi qua hai điểm (1; -1) và (2; 6) nên độ dốc của đường thẳng

là

a = Hiệu số tung độ

Hiệu số hoành độ

= 6 ( 1)

2 1

− −

− = 7

Khi đĩ phương trình là

y = 7x +b

Thay tọa độ (1; -1 ) vào phương trình

- 1 = 7 + b

Suy ra

b = -8

Cuối cùng phương trình là

y = 7x – 8

(d) Tung độ 6 và đi qua điểm (10; 8) Do đĩ phương trình cĩ dạng:

y = ax + 6

Thay tọa độ (10; 8) vào phương trình

8 = 10a + 6

Khi đĩ

2 = 10a

Suy ra

a = 1

5

Vì vậy phương trình là

y = 1

5x + 6.

5 Trong mỗi phương trình sau giá trị của tung độ được cho Hãy tìm giá trị tương ứng của biến

khác

(a) y = 3x – 4 y = 2

(b) l = - 4 – 2m l = 0

(c) 3a + 4b = -5 b = 1

(d) 6p – 5q = -13 p = 2

(a) y = 3x – 4 y = 2 do đó

2 = 3x – 4 cộng 4 vào hai vế phương trình nhận được

2 + 4 = 3x – 4 + 4 khi đó

6 = 3x

Chia cả hai vế phương trình cho 2 ta nhận được:

2 = x (b) l = - 4 -2m l = 0 do đó

0 = - 4 -2m Cộng 4 vào vế phương trình ta nhận được

0 + 4 = -4 -2m + 4 khi đó

4 = -2m Chia cả hai vế phương trình cho -2 ta có kết quả:

- 2 = m

(c) 3a + 4b = - 5 b = 1 do đó

3a + 4 = -5 Trừ hai vế phương trình cho 4 ta nhận được

3a + 4 – 4 = -5 – 4 khi đó

3a = -9 Chia cả hai vế phương trình cho 3 ta có kết quả

a = - 3

(d) 6p – 5q = - 13 p = 2 do đó

12 – 5q = -13 Trừ hai vế phương trình cho 12 ta nhận được

12 – 5q – 12 = -13 – 12 khi đó

-5q = - 25 Chia cả hai vế phương trình cho -5 ta có kết quả

q = 5

Bài tập

1 Trên cùng một trang giấy hãy vẽ các đường thẳng sau và xác định độ dốc và tung độ của

chúng:

(a) y = 5x – 9 (b) 8x + 9y = 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hệ thống Toán học và Anh ngữ