(Sáng kiến kinh nghiệm) để giúp học sinh có tài liệu học tập ,luyện tập cho kiểu bài toán này,giáo viên có tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy

Lí do chọn đề tài: Trong chương trình toán lớp 10 học sinh được học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bước đầu biết vận dụng kiến thức cơ bản vào giải một số bài tập trong sách g

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TĨNH GIA II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG BÀI

TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG.

Người thực hiện : Nguyễn Thị Thu Hà Chức vụ : Giáo viên

Đơn vị công tác : Trường THPT Tĩnh Gia 2 SKKN thuộc môn : Toán

MỤC LỤC

`I MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Trong chương trình toán lớp 10 học sinh được học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bước đầu biết vận dụng kiến thức cơ bản vào giải một số bài tập trong sách giáo khoa như lập phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, đường elip…và các bài toán về góc, khoảng cách Bài toán tọa độ trong mặt phẳng luôn xuất hiện trong đề thi đại học các năm trước và đề thi THPT quốc gia hai năm gần đây Tuy nhiên bài toán này trong đề thi THPT quốc gia ngày càng nâng dần mức độ khó, đòi hỏi học sinh phải định hướng tốt, tư duy tìm được điểm “mấu chốt” của bài toán

Chủ đề về tam giác là chủ đề rộng được khai thác rất nhiều trong các đề thi Để giải quyết tốt được bài toán về tam giác nói riêng và bài toán tọa độ phẳng nói chung đòi hỏi học sinh phải nắm vững tính chất hình học và khai thác tốt tính chất hình học đó Trong nhiều bài toán các em còn phải mày mò tìm ra được tính chất hình học ẩn trong bài toán- đó là điểm “mấu chốt” để giải quyết bài toán Trong quá trình học tập và ôn thi THPT quốc gia rất nhiều học sinh lúng túng không giải được bài toán này Đặc biệt việc sử dụng tính chất đường phân giác sẽ giải quyết được các bài toán liên quan rất dễ dàng và nhanh gọn Trong quá trình dạy học và

ôn luyện cho lớp 10A2 năm học 2017-2018,và lớp 10B9 năm học vừa rồi tôi nhận thấy việc vận dụng tính chất của đường phân giác sẽ giúp học sinh giải nhanh và chính xác được các bài toán về tọa độ của điểm ,phương trình đường thẳng trên hệ trục tọa độ Oxy mà giả thiết bài toán có liên quan đến phương trình đường phân giác Vì vậy tôi chọn đề tài : “Sử dụng tính chất đường phân giác trong bài toán hình học tọa độ phẳng ”để giúp học sinh có tài liệu học tập ,luyện tập cho kiểu bài toán này,giáo viên có tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy

2 Mục đích nghiên cứu:

Trên cơ sở nghiên cứu đề tài: “Sử dụng tính chất đường phân giác trong bài toán hình học tọa độ phẳng ” cùng quá trình ôn luyện cho học sinh, tôi mong muốn giúp học sinh định hướng và khai thác tốt tính chất hình học cũng như tìm được tính chất hình học ẩn trong bài toán để giải quyết được bài toán về tam giác, từ đó các

em có thể giải quyết được các bài toán tọa độ phẳng nói chung, giúp các em có thể đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT quốc gia và nâng cao hơn nữa chất lượng dạy học Toán

3 Đối tượng nghiên cứu:

Cách định hướng khai thác tính chất hình học của tam giác để giải bài toán về tam giác trong hình học tọa độ phẳng Oxy

4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết

II NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận:

Hình học phẳng được xây dựng từ các đối tượng như điểm, đường thẳng, tam giác, tứ giác, đường tròn,elip,parabol,hypebol… Từ lớp 7 các em đã được học về các tam giác đặc biệt, các đường trong tam giác và tính chất của chúng Bài toán tọa độ trong mặt phẳng liên quan mật thiết tới kiến thức hình học phẳng mà các em

đã biết ở lớp dưới Khi giải một bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng ta cần phải đọc kỹ đầu bài, vẽ hình chính xác, phân tích giả thiết của bài toán, định hướng bài toán cho biết gì, cần phải làm gì Đặc biệt là khai thác tính chất hình học của bài toán.Việc sử dụng tính chất đặc trưng hợp lý sẽ tạo ra lời giải “đẹp” cho bài toán

2 Thực trạng vấn đề:

Đứng trước những bài toán hình học tọa độ phẳng như vậy học sinh thường lúng túng không xác định được đường lối, phương pháp giải, nhiều học sinh không tránh khỏi tâm trạng hoang mang, mất phương hướng Các em cho rằng nhiều dạng toán như thế thì làm sao nhớ hết các dạng toán và cách giải các dạng toán đó, nếu bài toán không thuộc dạng đã gặp thì không giải được Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có thể sự thử nghiệm đó sẽ có kết quả nhưng hiệu suất giải toán sẽ không cao Với thực trạng đó để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán hình học tọa độ trong mặt phẳng nói chung và bài toán về tam giác nói riêng người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen định hướng lời giải: ta cần phải làm gì, giả thiết bài toán cho ta biết điều gì, đặc biệt khai thác tính chất đặc trưng hình học của bài toán để tìm lời giải.Đặc biệt trong các bài toán liên quan đến đường phân giác ,việc sử dụng tính chất mà tôi đề cập dưới đây sẽ tạo cho học sinh có đường lối rõ ràng khi giải quyết bài toán

3.Giải pháp thực hiện:

Trước hết, yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng, đường tròn, kiến thức về tọa độ của vectơ và của điểm Với mỗi bài toán cụ thể yêu cầu học sinh vẽ hình chính xác, bởi nhiều bài toán từ trực quan hình

vẽ ta có thể chỉ ra tính chất của hình và định hướng tìm cách giải Với mỗi dạng toán đó tôi đưa ra một số tính chất đặc trưng mà các bài toán hay sử dụng, các ví dụ

cụ thể, phân tích định hướng cách giải, trình bày lời giải, đặc biệt là bước phân tích định hướng tìm lời giải, thông qua đó giúp học sinh tư duy và vận dụng để giải bài toán khác một cách tốt nhất

* Kiến thức liên quan tới đường phân giác trong:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi AD là đường phân giác trong góc A (D BC ); M là trung điểm BC; phân giác AD cắt (O) tại điểm thứ hai là E

Tính chất 1: Ta có tỉ lệ: DC BD  AC AB

Tính chất 2: Nếu điểm N thuộc đường thẳng AB thì

điểm N’ đối xứng với N qua AD sẽ thuộc đường AC

Tính chất 3: E là điểm chính giữa cung BC và OE vuông góc với BC tại trung điểm M của BC

Đặc biệt với tính chất 2 sẽ được sử dụng vào tất cả các bài toán tọa độ để có hiệu quả lới giải cao nhất

* Bài tập minh họa:

Bài tập 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2),đường trung tuyến BM và đường phân giác trong CD có phương trình lần lượt là:

2x y   1 0;x y   1 0 Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh CD

( Đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư phạm Hà Nội -2005)

A

D

E

M

 Định hướng:

Từ giả thiết ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm C

Gọi E là điểm đối xứng với A qua CD Tìm được tọa độ điểm E

Theo tính chất của đường phân giác thì E nằm trên đường thẳng BC

Từ đó viết được đường thẳng BC

 Lời giải:

Gọi M a( ; 2  a 1) Do M là trung điểm của AC nên C(2a   1; 4a 4)

Mặt khác Cnằm trên CD nên ta có phương trình: 2a  1 4a   4 1 0   a 3 Vậy C( 7;8) 

Gọi E là điểm đối xứng của A qua đường thẳng CD Ta dễ dàng tìm được E( 1;0) 

M D O A

E N N'

Theo tính chất của đường phân giác thì E nằm trên đường thẳng BC.Nên đường thẳng BCđi qua 2 điểm E và C và có phương trình là:

1 0

7 1 8 0

   4x3y 4 0

Vậy phương trình đường thẳng BC là : 4x 3y  4 0

Bài tập 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H( 1; 1)   , đường phân giác trong của góc A có phương trình : x y   2 0và đường cao kẻ từ B có phương trình:4x 3y  1 0

( Đề thi tuyển sinh Cao đẳng Cộng đồng Vĩnh Long -2004)

 Định hướng:

Ta biết phương trình đường phân giác trong góc A và

tọa độ điểm H thuộc cạnh AB nên có thể tìm được tọa

độ điểm H’ đối xứng với H qua phân giác AD và H’

thuộc AC Khi đó ta lập được phương trình cạnh AC

đi qua H’ và vuông góc với BK nên tìm được tọa độ

điểm A Từ đó tìm được tọa độ điểm C

 Lời giải:

Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua phân giác AD

PT đường thẳng HH’ đi qua H và vuông góc với AD là: x+y+2=0

Tọa độ trung điểm I của HH’ là nghiệm của hệ:

( 2 ; 0 ) ( 3 ; 1 )

0 2 0

2    ' 

















H I y

x

y

x

Đường thẳng AC đi qua H’ và vuông góc với BK nên có PT: 3x 4y 13 0 

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: ( 5 ; 7 )

0 2 0 13 4 3

A y

x y x



















Điểm C thuộc AC nên gọi 3 13

4

a

C a 

4

17 3 8 ) 1 ( 6 0 HA  a  a   a 

3 4

C 

3 4

C 

Bài tập 3:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC

biết hình chiếu vuông góc của C lên AB là H( 1; 1)   phương trình đường phân giác trong của góc A là x y   2 0 ,phương trình đường cao kẻ từ B là 4x 3y  1 0

(Đề thi tuyển sinh Đại học khối B -2008)

I C

K

D H'

I A

H

D K

 Định hướng:

Gọi K là điểm đối xứng với H qua đường phân giác AD.Khi đó K nằm trên đường thẳng AC.Từ đó viết được phương trình đường thẳng AC.Tìm được tọa độ điểm A

Do CH là đường cao nên viết được phương trình đường thẳng CH

Do C là giao điểm của CH và AC nên tìm được tọa độ điểm C

 Lời giải:

Gọi K là điểm đối xứng của H qua đường thẳng AD

Phương trình đường thẳng HK là x y   2 0

Gọi I ADHK Tọa độ I là nghiệm của hệ : 2 0

2 0

x y

x y

  



   

  I( 2;0)

Do I là trung điểm của HK nên K( 3;1) 

Theo tính chất của đường phân giác thì K thuộc đường thẳng AC

Phương trình đường thẳng AC là: 3x 4y 13 0 

Do A AC AD nên tọa độ A là nghiệm của hệ :    3x y x  4y2 013 0A(5;7)

Do CH vuông góc với AH nên phương trình đường thẳng CH là : 3x 4y  7 0

Do CACCH nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ :   33x x44y y 13 07 0 (19; 10)

9 3



Vậy (19; 10)

9 3

Bài tập 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;3)đường phân giác trong góc A có PT:x y   1 0, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I ( )

2

3

; 2

Viết phương trình cạnh BC biết diện tích tam giác ABC bằng hai lần diện tích tam giác IBC

( Tài liệu tham khảo trêndiễn đàn toán học)

 Định hướng:

Trong bài toán này vẫn cho phương trình đường phân giác trong góc A nhưng không biết điểm nằm trên hai cạnh AB hoặc AC (khác điểm A) Vậy việc sử dụng tính chất đối xứng của đường phân giác trong bài toán này như thế nào ? Hay phải

sử dụng tính chất ẩn gì ở đây nữa? Vấn đề bài toán là ở chỗ này

Kéo dài phân giác trong góc A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D ta có D là điểm chính giữa cung BC  ID  BC Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC ta lập được, suy ra tọa độ điểm D Do BC  ID nên viết được dạng của phương trình đường thẳng BC Sử dụng tiếp giả thiết thứ hai

để tìm phương trình cạnh BC

 Lời giải:

Gọi D là giao điểm của đường phân giác trong góc A với

đường tròn (C) ngoại tiếp ABC

Ta có IA 25

Đường tròn (C) có tâm I và bán kính IA

nên có phương trình:

) 254

2

3 ( ) 2 (x 2  y 2 

Tọa độ giao điểm D là nghiệm của hệ:

)

2

; 2 ( 4 25 ) 2 ( ) 2 ( 0 1

2



















D y

x y x

Ta có BAD DAC  => D là điểm chính giữa cung BC => BC  ID

( ; 2) 2

ID  



Do BC  ID nên phương trình đường thẳng BC có dạng : 3x+4y+m=0

Mặt khác : SABC 2SIBC d A BC( ; ) 2 ( ; d I BC)

24 12 0

2

16

m

m



Vậy phương trình đường thẳng BC là 3x 4y 0hoặc 3x 4y 16 0 

Bài tập 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A và phân giác ngoài góc B lần lượt là (d1): x 2và (d2):x y   7 0

I A

D

Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C của tam giác ABCbiết ( 1;1)

2

; J(2;1)lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC

(Tài liệu tham khảo trên diễn đàn giáo viên toán)

 Định hướng:

Giả thiết bài toán cho biết PT đường phân giác ngoài góc B, vậy sử dụng giả thiết này như thế nào?

Vì J tâm đường tròn nội tiếp ABC, ta có thể lập được phương trình đường phân

giác trong góc B (đi qua J và vuông góc với phân giác ngoài)

Từ đó tìm được tọa độ điểm B

Suy ra phương trình đường tròn (C )ngoại tiếp ABC

( Tâm I và bán kính IB)

Rồi suy ra tọa độ điểm A

Để tìm tọa độ điểm C ta sử dụng tính chất của

đường phân giác trong góc A tìm điểm A’ là giao

điểm của phân giác trong góc A với đường tròn (C)

Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với IA’

Do C là giao của BC với đường tròn (C) nên tìm được tọa độ điểm C

 Lời giải:

Đường phân giác ngoài góc B đi qua J và vuông góc với (d2) :x y   7 0 nên có phương trình:

x y  1 0.

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: 1 0 ( 3; 4)

7 0

x y

B

x y

  



   

 Đường tròn ngoại tiếp ABCcó tâm ; 1 )

2

1 (

2

R IB  Phương trình đường tròn (C) : ) ( 1 ) 1254

2

1 (x 2  y 2 

Tọa độ giao điểm A là nghiệm của hệ:   















) 4

; 2 ( 6

; 2 ( 4 125 ) 1 ( ) 2 ( 2

2

x x

*) Với A(2;6)

Gọi A’ là giao điểm của đường phân giác trong gócA(2;6)với đường tròn (C)

Ta có A'(2; 4)  ' 5

( ; 5) 2

IA

   Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với IA’

nên có phương trình x 2y  5 0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 2 2

(5;0)

0 ( ) ( 1)

C y

  

      

A

A'

*) Với A(2; 4)   A'(2;6) phương trình BC: x 2y 11 0 

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 2 2

( 3; 4)

( ) ( 1)

C y

  

       

(loại vì C B )

Vậy A(2;6) , B( 3; 4)  , C(5;0)

Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC vuông tại A,có đỉnh ( 4;1)

C  đường phân giác trong của góc A có phương trình : x y   5 0.

Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh

A có hoành độ dương

( Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2010)

 Định hướng:

Gọi D là điểm đối xứng với C qua đường phân giác ,khi đó D thuộc đường thẳng

AB.Nghĩa là tam giác ACD vuông tại A nên A nằm trên đường tròn đường kính

CD.Từ đó tìm được tọa độ điểm A.Khi đó viết được phương trình AB.Sử dụng giả thiết còn lại tìm được tọa độ điểm B và viết được phương trình đường thẳng BC  Lời giải:

Gọi D là điểm đối xứng của C qua đường phân giác của góc A

Phương trình đường thẳng CD là :x y   5 0

Gọi I là trung điểm của CD ,tọa độ của I là nghiệm

   

     

Theo tính chất của đường phân giác nên Dthuộc AB

.Do đó tam giác ACD vuông tại A nên A nằm trên

đường tròn đường kính CD có phương trình là :

I D

B

Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ : 2 2

4 1

5 0 ( 5) 32 4

9

x y

x y

y

  



 

  



     





Do A có hoành độ dương nên A(4;1)  AC  8

Do S ABC  24 AB 6

Phương trình đường thẳng AD là : x 4

Gọi B(4; )t Do AB 6 nên 2 7

( 1) 36

5

t t

t





     



(4;7) (4; 5)

B B



  



Do AD là đường phân giác trong nên  AB AD, cùng hướng nên B(4;7)

3x 4y 16 0 

 Nhận xét:

Với 6 bài tập trên ta đều sử dụng tính chất hình học có sẵn trong bài toán là tính chất đối xứng của đường phân giác trong của tam giác.

Bài tập 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A Điểm H(5;5)là hình chiếu vuông góc của A lên BC Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC

thuộc đường thẳng d:x 7y 20 0  Đường thẳng chứa trung tuyến AM của tam giác ABC đi qua K( 10;5)  Tìm tọa độ các đỉnh A B C, , biết điểm B có tung độ dương

( Tài liệu tham khảo trên mạng Internet)

 Định hướng:

Bài toán cho biết đường phân giác trong góc A của ABC nhưng không biết điểm thuộc cạnh AB AC, mà biết điểm H là chân đường vuông góc kẻ từ A lên BC và đường trung tuyến AM đi qua điểm K Vậy ba giả thiết này có mối liên hệ gì với nhau?

Từ giả thiết ABCvuông tại A ta chứng minh được đường phân giác trong gócA cũng là phân giác trong góc HAK Đó chính là tính chất hình học ẩn trong bài

toán

Đến đây ta sử dụng tới tính chất đường phân giác trong để giải bài toán

 Lời giải:

Gọi D là chân đường phân giác trong góc A (MBC)

Do AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM MC

  MAC cân tại M nên MAC MCA 

Mà MCA HAB  (cùng phụ với ABH )

MAC HAB

Lại có BAD DAC  HAD DAM  

 AD là đường phân giác trong góc HAK

Gọi H’ là điểm đối xứng với Hqua ADthì

H’thuộc AM

Đường thẳng d đi qua H và vuông góc với

ADcó phương trình7x y  40 0 

Tọa độ giao điểm I của d và AD là nghiệm của hệ:

7 20 0 (26 18; )

x y

I

x y







M I

B

A

C H

H'