Chuyên đề giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

+ Xét 1 bài toán khác sau khi đã tìm xong giá tr max, min.

CHUYÊN LUY N THI T T NGHI P THPT

MÔN: TOÁN BIÊN SO N: T TOÁN – TT B I D NG V N HÓA HOCMAI.VN CHUYÊN : GIÁ TR L N NH T VÀ GIÁ TR NH NH T C A HÀM S

- Chuyên đ này s trình bày cho các b n các ph ng pháp tìm giá tr l n nh t c a hàm s nh : dung đ o hàm đ tìm GTLN, GTNN ; dùng ph ng pháp chi u bi n thiên hàm s , pp mi n giá tr …

- Các b n s n m v ng đ c các pp th ng g p đ tìm GTLN, GTNN b ng cách dùng hàm s

- nh ngh a có 2 ph n và ko đ c xem nh ph n nào Nói v y vì các b n h c sinh

th ng b qua ph n th 2 trong đ nh ngh a Nói rõ h n:T F(x)≤ M x M thì ch a th suy ra M = max F(x)

Vì th : Max F(x,y,z) = 6 v i x,y,z ∈D

Chúng tôi nói r ng b n đã sai Vì sao?

Max F(x) = 12 Min F(x) = -20

Trong VD này:

+ Giá tr l n nh t c a F(x) trên mi n > giá tr c c đ i c a hàm s

+ Giá tr nh nh t c a F(x) trên mi n < giá tr c c ti u c a hàm s

Nh v y ta có th nói r ng: Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a m t hàm s trên mi n D mang tính toàn c c; còn giá tr c c đ i, giá tr c c ti u c a hàm s mang tính đ a ph ng

Dân gian có câu: “ X mù th ng ch t làm vua” Có th l y câu ví von này làm VD

ch ng minh cho tính đ a ph ng c a giá tr c c đ i

b S d ng đ o hàm đ tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a m t hàm s :

- o hàm là công c duy nh t đ tìm c c đ i, c c ti u c a hàm s

- tìm Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a m t hàm s F(x) trên mi n D ta có th s

d ng đ o hàm và k t h p v i vi c so sánh giá tr c c đ i, c c ti u v i các giá tr đ c bi t (ta

g i đó là các giá tr t i h n)

- Giá tr t i h n này th ng là giá tr t i đ u mút các đo n (mà trên đó c n tìm Giá tr l n

nh t và giá tr nh nh t c a m t hàm s ) ho c là giá tr c a hàm s t i các đi m mà không

t n t i đ o hàm

- L c đ chung c a ph ng pháp s d ng đ o hàm đ tìm Giá tr l n nh t và giá tr nh

nh t c a m t hàm s F(x) trên mi n D cho tr c nh sau:

+ Tìm đ o hàm F’(x) và t đó tìm c c đ i, c c ti u c a F(x) (d nhiên ta ch quan tâm

t i c c đ i, c c ti u thu c mi n D)

+ So sánh giá tr c c đ i, c c ti u v i các giá tr t i h n trên mi n D

+ T đó suy ra đ c k t lu n c n tìm

1 Các bài toán đ n thu n tìm GTLN và GTNN c a m t hàm s :

Ví d 1: Cho x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0 Tìm Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c:

Ta có: F’(t) = 2t -

2

3t

Giá tr l n nh t c a P đ t đ c khi t = 3 <=> 3x

= 3 <=> x = 1, y = 0 Giá tr nh nh t c a P đ t đ c khi

t = 33

2 <=> 3x = 3 3

2

Suy ra: x= log3 3 3

Nh VD trên mi n xác đ nh c là: 0 ≤ x ≤ 1 Khi chuy n sang bi n t m i (do t= 3x

Tìm giá tr max, min c a hàm s trên R

áp d ng công th c Cos2u= 1 – 2sin2u, ta có th đ a hàm s F(x) v d ng:

(Do [-1,1] ∈[-π

2,π

2] nên ta có đi u trên)

Bài toán đ a v tìm giá tr max, min c a hàm s :

Min F(t) = Min {F(Sin1); F(-Sin1)}

t ≤ Sin1 = Min {-2Sin21 – Sin1 + 2; -2Sin21 + Sin1 + 2 }

x ∈R t ≤ Sin1 = -2Sin21 – Sin1 + 2

Giá tr nh nh t c a F(x) đ t đ c khi t = - Sin1 = Sin(-1)

Giá tr l n nh t c a F(x) đ t đ c khi nào, các b n t tính

2 Bài toán giá tr l n nh t, giá tr nh nh t ch a tham s :

- Trong các bài toán này, giá tr max, min c a m t hàm s F(x) trên m t mi n D s ph thu c vào tham s m Khi m bi n thiên, nói chung các giá tr này c ng thay đ i C n nh n

m nh r ng ph ng pháp dùng đ o hàm t ra có hi u l c rõ r t v i lo i bài toán này

- Có 2 lo i bài toán chinhs th ng g p:

+ Tìm giá tr max, min c a hàm s F(x) trên mi n D theo tham s m

+ Xét 1 bài toán khác sau khi đã tìm xong giá tr max, min

Chúng ta hãy xét các VD sau:

Ví d 3: Cho hàm s :

y = Sin4x + Cos4x + m SinxCosx, V i x ∈R

Tìm giá tr max, min c a hàm s và bi n lu n theo m?

Xét bài toán tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s f(x) …? M t mi n D cho…? G i

yo là m t giá tr tùy ý c a f(x) trên D, thì h sau đây (c a x) ( ) 0 (1) có nghi m

Tùy d ng c a h (1) (2) mà ta có các đi u ki n có nghi m t ng ng Trong nhi u tr ng

h p, đi u ki n y (sau khi bi n đ i) đ a đ c v d ng α ≤ y0 ≤β(3) Vì yo là m t giá tr b t

kì c a f(x), nên t (3) ta có ( ) ; ( )

Min f x α Max f x β

∈ = ∈ = Nh v y khi s d ng ph ng pháp này đ tìm giá tr l n nh t c a m t hàm s , th c ch t ta đã qui v vi c tìm đi u ki n đ m t

ph ng trình (th ng làm có thêm đi u ki n ph ) có nghi m

3− 5≤s inx-2cosx+3≤ +3 5, x∀ , nên f(x) xác đ nh xác đ nh trên toàn R G i yo là m t giá

tr tùy ý c a f(x), ta có ph ng trình sau (c a x) 0 2 sin osx+1(1)

N u thay yo = 2 vào (2) ta có 5cosx = 5 <=> cosx = 1 <=> x= 2kπ V y Maxf(x) đ t đ c

khi x=2kπ,k∈Z(Xét t ng t cho Min(fx)

Thí d 2

Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s :

2 2

Max P=Max Max P, Max P , (1)

Min P=Min Min P, Min P (2)

−

=+

9

2'( ) t

3 9 3 4

Bài 3: ( i h c-Cao đ ng kh i A.2003)

Cho x y z, , >0 à x+y+z v ≤1 Tìm giá tr nh nh t c a 2 2 2

Bài 6: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a: 2 22 1

7

x y P

x y

=+ + ; x y, ∈R