Mô Phỏng :Mô Hình ising

Một số kiến thức về thống kêNhiệt độ tức thì● Nhiệt độ đo được bằng thực nghiệm là nghiệt độ trung bình theo thời gian ● Trong mô phỏng có thể tính nhiệt độ từ một trạng thái vi mô của h

Mô hình Ising

Một số kiến thức về thống kê

Một số kiến thức về thống kêKhông gian pha

● Xét một hệ cổ điển N hạt

● Trạng thái của hệ được xác định bởi tọa độ r và xung lượng p của tất cả các hạt

● Không gian pha: 6N biến, Γ = (r,p) hoặc (q,p)

● Sự thay đổi trạng thái theo thời gian tuân theo các

phương trình cơ học cổ điển

˙q k= ∂ H

∂ p k , ˙p k=−∂ H

∂ q k

H =K V p

● Chuyển động của hệ theo thời gian mô tả bởi một quỹ đạo trong không gian pha Γ(t)

● Do tính tất định của các phương trình Newton, quỹ đạo này không bao giờ cắt chính nó!

● Poincare: nếu đợi đủ lâu thì hệ có thể quay trở về trạng thái ban đầu!

– Poincare recurrence time > tuổi vũ trụ đối với

hệ vĩ mô

Một số kiến thức về thống kê

● Đại lượng đo được A(Γ)

● Giá trị đo được bằng thực nghiệm là giá trị trung bình theo thời gian

● Gibbs: lấy trung bình theo tập hợp với phân bố cần thiết!

– ρ(Γ): mật độ xác suất trạng thái ở điều kiện vĩ mô

– số hệ trong tập hợp không thay đổi theo thời gian

– tập hợp chuyển động theo thời gian trong không

gian pha như một chất lỏng có độ nén bằng 0!

Một số kiến thức về thống kê

● Khi t vô cùng lớn, ta có tập hợp cân bằng:

– khi đó, ρ không phụ thuộc thời gian!

– và ta có

from any other point

accessible from outside

∂ 

∂t =0

〈 A〉 time =〈 A〉 ens

Một số kiến thức về thống kê

● Trọng số & hàm phân hoạch:

– tùy thuộc vào cách lấy trọng số ta có các tập hợp khác

nhau

– Mô phỏng Monte Carlo: cho phép tạo ra một tập hợp

các trạng thái theo mật độ xác xuất ρ cho trước, khi

Một số kiến thức về thống kêTập hợp vi chính tắc

● N,V,E = constants

● Phương pháp động lực học phân tử (MD): tạo ra tập vi chính tắc (E=constant), đồng thời bảo toàn xung lượng tổng cộng

Một số kiến thức về thống kêĐịnh luật đẳng phân

● Mỗi bậc tự do ứng với kích thích năng lượng kT

Một số kiến thức về thống kêNhiệt độ tức thì

● Nhiệt độ đo được bằng thực nghiệm là nghiệt độ trung bình theo thời gian

● Trong mô phỏng có thể tính nhiệt độ từ một trạng thái vi mô của hệ

Một số kiến thức về thống kêÁp suất tức thì

● Từ trạng thái vi mô của hệ có thể tính được áp suất tức thì

Một số kiến thức về thống kêNhiệt dung riêng

Mô hình Ising

• Mô hình Ising là gì? Vì sao nó

quan trọng?

• Mô hình Ising là mô hình toán

học được đặt theo tên của nhà

Vật lý Ernst Ising (Người Đức)

• Mô hình Ising là mô hình dùng để mô tả hiện tượng chuyển pha sắt từ mà chỉ sử dụng các spin-up và down

Mô hình Ising

• Ising đã giải bài toán 1D năm 1924 trong luận

văn Tiến sĩ của mình (thuần tuý Toán) Trường hợp mạng vuông 2D có thể giải chính xác được bằng giải tích (Onsager, 1944)

• Đến nay, bài toán về mô hình Ising được áp dụng trong rất nhiều lĩnh vực: vật lý, sinh học (liên

quan đến từ) đến các vấn đề xã hội (mô hình đơn giản 2 lựa chọn)

• Mô hình Ising là mô hình chuẩn để thử xem một thuật toán trong khuôn khổ áp dụng của mô hình

Sắt từ

Các domain từ sắp xếp thẳng hàng theo một hướng

Thông thường, các domain không

sắp xếp thẳng hàng theo một hướng Tuy nhiên, các domain có thể được ép

Tại nhiệt độ thấp thì cấu hình ổn định là cấu hình với tất cả spin

đều hướng lên hoặc hướng xuống (2 cấu hình)

Nhiệt độ Curie (nhiệt độ tại đó toàn

bộ tính sắt từ biến mất)

Với sắt là 1043 K Điểm tới hạn: là điểm xảy ra sự chuyển pha (loại II)

Giản đồ pha

Nhiệt độ thấp Nhiệt độ cao

Mô hình

Universality Class – là một lớp của các hệ Vật lý có

chung một tính chất động mà không phụ thuộc vào các

tính chất động lực của hệ Ví dụ: hệ hợp kim 2 chất, hệ

2 chất lỏng trộn lẫn, hay hệ siêu chảy của Helium trong

3 chiều đều thuộc vào một lớp

Mô hình Ising chỉ sử dụng các vector UP và DOWN

nhưng lại mô tả được rất nhiều pha khác nhau của vật chất

- Hợp kim 2 chất

- Trộn 2 chất lỏng

- Chất lỏng và khí trộn lẫn

- Siêu chảy của Helium

- Hiện tượng siêu dẫn trong kim loại

Mô hình Ising

Giải tích Ising – 1924

Giải tích mô hình Ising 1 chiều

The partition function is given by

The partition function is given by

• Giả sử có chuỗi 1 chiều gồm N spin với điều kiện biên tuần hoàn Mỗi spin tương tác với lân cận gần nhất và chịu tác động của trường ngoài B Ta có thể viết năng lượng tương tác như sau:

• Với điều kiện biên tuần hoàn

Giải tích mô hình Ising 1 chiều

The partition function is given by

• Hàm phân hoạch (partition function)

The partition function is given by

• Hàm phân hoạch có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau

• Đây là tích của các ma trận 2x2

Giải tích mô hình Ising 1 chiều

The partition function is given by

SiSi+1 − B

N

! i=1

• Thực vậy, ta định nghĩa ma trận P như sau:

• Với S và S’ độc lập nhận các giá trị +/- 1 Ta

có các phần tử ma trận như sau:

Giải tích mô hình Ising 1 chiều

• Biểu thức cho ma trận P sẽ được viết là

The partition function is given by

its matrix elements are given by

Giải tích mô hình Ising 1 chiều

With these definitions, we can write the partition function in the form

trace of the N th power of a matrix is a consequence of the periodic boundary condition

Eq (5) The eigenvalue equation is

• Biểu thức của hàm phân hoạch sẽ là:

With these definitions, we can write the partition function in the form

trace of the N th power of a matrix is a consequence of the periodic boundary condition

Eq (5) The eigenvalue equation is

Solving this quadratic equation for λ gives

là hai trị riêng của P với

Giải tích mô hình Ising 1 chiều

With these definitions, we can write the partition function in the form

trace of the N th power of a matrix is a consequence of the periodic boundary condition

Eq (5) The eigenvalue equation is

trace of the N th power of a matrix is a consequence of the periodic boundary condition

Eq (5) The eigenvalue equation is

Solving this quadratic equation for λ gives

$

%

(17) 3

With these definitions, we can write the partition function in the form

trace of the N th power of a matrix is a consequence of the periodic boundary condition

Eq (5) The eigenvalue equation is

• Phương trình trị riêng

• Thực vậy, hàm Z với vết bậc N của ma trận là

hệ quả của điều kiện biên tuần hoàn

Giải tích mô hình Ising 1 chiều

With these definitions, we can write the partition function in the form

With these definitions, we can write the partition function in the form

trace of the N th power of a matrix is a consequence of the periodic boundary condition

Eq (5) The eigenvalue equation is

• Giải phương trình trị riêng ta có

trace of the N th power of a matrix is a consequence of the periodic boundary condition

Eq (5) The eigenvalue equation is

Solving this quadratic equation for λ gives

Giải tích mô hình Ising 1 chiều

• Trong giới hạn động lực học, chỉ có trị riêng lớn hơn liên quan Ta có thể viết lại năng

lượng tự do như sau:

With these definitions, we can write the partition function in the form

Giải tích mô hình Ising 1 chiều

With these definitions, we can write the partition function in the form

trace of the N th power of a matrix is a consequence of the periodic boundary condition

Eq (5) The eigenvalue equation is

With these definitions, we can write the partition function in the form

where λ+ and λ− are the two eigenvalues of P with λ+ ≥ λ − The fact that Z is the

trace of the N th power of a matrix is a consequence of the periodic boundary condition

Eq (5) The eigenvalue equation is

Solving this quadratic equation for λ gives

Now back to the general case with B %= 0 Notice that λ − /λ+ ≤ 1 where equality is in

the case of J = B = 0 In the thermodynamic limit (N → ∞), only the larger eigenvalue

λ+ is relevant To see this, we use (λ−/λ+) < 1 and write the Helmholtz free energy per

Giải tích mô hình Ising 1 chiều

The magnetization per spin is

For the one-dimensional model the tendency for alignment always loses out, becausethere are not enough nearest neigbors However, in higher dimensions, there are enough

nearest neighbors and a ferromagnetic transition can occur

The method of transfer matrices can be generalized to two and higher dimensions,

Ising model exactly for the zero field case, and found a finite temperature ferromagneticphase transition This is famous and is known as the Onsager solution of the 2D Ising

model No one has found an exact solution for the three dimensional Ising model

Applications of the Ising ModelThe Ising model can be mapped into a number of other models Two of the better

known applications are the lattice gas and the binary alloy

Lattice GasThe term lattice gas was first coined by Yang and Lee in 1952, though the interpreta-

tion of the model as a gas was known earlier A lattice gas is defined as follows Consider

a lattice of V sites (V = volume) and a collection of N particles, where N < V Theparticles are placed on the vertices of the lattice such that not more than one particlecan occupy a given site, and only particles on nearest-neighbor lattice sites interact The

● Mô hình Ising trong 1D không có chuyển pha (Tc=0)

● Trong 2D và 3D, xảy ra chuyển pha loại 2 tại nhiệt độ Tc

– T < Tc: xảy hiện tượng cảm ứng từ tự phát , hệ nằm ở pha

Nhiệt dung riêng Độ nén đẳng nhiệt

Nội năng

dU =T dS −P dV

Định luật 1

Nhiệt dung riêng Độ cảm từ đẳng nhiệt

Nội năng

Định luật 1

Chuyển pha

● Khi xuất hiện kì dị trong các đại lượng nhiệt động

● Liên quan tới các điểm 0 của hàm phân hoạch ở giới hạn nhiệt động

● Thường liên quan tới thay đổi đối xứng của hệ

(symmetry breaking)

● Phân loại chuyển pha:

– Chuyển pha loại 1: đạo hàm bậc nhất của năng lượng

tự do bị gián đoạn

– Chuyển pha loại 2: đạo hàm bậc nhất của năng lượng

tự do liên tục, đạo hàm bậc cao hơn bị gián đoạn hoặc tiến tới vô cùng.

Lý thuyết chuyển pha Landau

F =F0+a2m2+a4m4

a2= NJz2 (1−β J z)

● Hàm tương quan spin-spin

– Tại nhiệt độ Tc, độ dài tương quan bằng vô cùng:

Tại T=Tc tồn tại các cụm spin ở mọi kích cỡ!!

● Xảy ra gần nhiệt độ tới hạn Tc

● Mang tính phổ quát (universality):

– các chất khác nhau có tính chất như nhau tại Tc, ví dụ hệ

khí lỏng và hệ sắt từ mô tả bởi mô hình Ising

– không phụ thuộc vào đặc tính vi mô của hệ

– phụ thuộc mạnh vào số chiều

● Các chỉ số tới hạn (critical exponents):

Các hiện tượng tới hạn

t =(T −T c )/T c

C H ∼∣t∣−α

M ∼(−t)β

χT ∼∣t∣−γξ∼∣t∣−ν

r d−2+η

nhiệt độ rút gọn

Mô hình Ising 2 chiều

● Onsager (1944) cho lời giải giải tích chính xác:

ν=1

Chúc các em hoàn thành bài tập nhóm tốt!