Mô phỏng hiện tượng tán xạ cổ điển

If the particles are coming in with a flux density I number of particles per unit cross-sectional area per unit time, then the number of particles per unit time within the range db of th

Mô phỏng hiện tượng tán xạ cổ điển

• Vai trò của bài toán tán xạ trong Vật lý, vì sao nó quan trọng?

- Trong các thí nghiệm Vật lý, ta rất cần biết rõ cấu trúc của hệ cũng như các tính chất động lực của hệ, như

tương tác, v v Giải bài toán tán xạ sẽ cung cấp cho

chúng ta những thông tin này về hệ

Bài toán tán xạ cổ điển: Lý thuyết

• Tại sao phải giải số?

• Hầu như các quá trình tán xạ thực đều không có

nghiệm giải tích chính xác do dạng của thế phức tạp Chính vì vậy chúng ta phải giải số (mô phỏng)

Bài toán tán xạ cổ điển: Lý thuyết

where σ (θ) is the differential cross section, or the probability of a particle’s

being found in the solid angle element d# = 2π sin θ dθ at the deflection

angle θ

If the particles are coming in with a flux density I (number of particles per

unit cross-sectional area per unit time), then the number of particles per unit

time within the range db of the impact parameter b is 2π I b db Because all the incoming particles in this area will go out in the solid angle element d# with the

"

"

"

" (3.66)

The reason for taking the absolute value of db/dθ in the above equation is that

db/dθ can be positive or negative depending on the form of the potential and the

impact parameter However, σ (θ) has to be positive because it is a probability

We can relate this center-of-mass cross section to the cross section measured

in the laboratory through an inverse coordinate transformation of Eq (3.57)and Eq (3.58), which relates r and rc back to r1 and r2 We will not discussthis transformation here; interested readers can find it in any standard advancedmechanics textbook

Numerical evaluation of the cross section

Because the interaction between two particles is described by a spherically metric potential, the angular momentum and the total energy of the system are

sym-Bài toán tán xạ cổ điển: Lý thuyết

where σ (θ) is the differential cross section, or the probability of a particle’s

being found in the solid angle element d# = 2π sin θ dθ at the deflection

angle θ.

If the particles are coming in with a flux density I (number of particles per

unit cross-sectional area per unit time), then the number of particles per unit

time within the range db of the impact parameter b is 2π I b db Because all the incoming particles in this area will go out in the solid angle element d# with the

"

"

"

The reason for taking the absolute value of db/dθ in the above equation is that

db/dθ can be positive or negative depending on the form of the potential and the

impact parameter However, σ (θ) has to be positive because it is a probability.

We can relate this center-of-mass cross section to the cross section measured

in the laboratory through an inverse coordinate transformation of Eq (3.57) and Eq (3.58), which relates r and rc back to r1 and r2 We will not discuss this transformation here; interested readers can find it in any standard advanced mechanics textbook.

Numerical evaluation of the cross sectionBecause the interaction between two particles is described by a spherically sym-

Bài toán tán xạ cổ điển: Lý thuyết

where σ (θ) is the differential cross section, or the probability of a particle’s

being found in the solid angle element d# = 2π sin θ dθ at the deflection

angle θ.

If the particles are coming in with a flux density I (number of particles per

unit cross-sectional area per unit time), then the number of particles per unit

time within the range db of the impact parameter b is 2π I b db Because all the incoming particles in this area will go out in the solid angle element d# with the

"

"

"

The reason for taking the absolute value of db/dθ in the above equation is that

db/dθ can be positive or negative depending on the form of the potential and the

impact parameter However, σ (θ) has to be positive because it is a probability.

We can relate this center-of-mass cross section to the cross section measured

in the laboratory through an inverse coordinate transformation of Eq (3.57) and Eq (3.58), which relates r and rc back to r1 and r2 We will not discuss this transformation here; interested readers can find it in any standard advanced mechanics textbook.

Numerical evaluation of the cross sectionBecause the interaction between two particles is described by a spherically sym- metric potential, the angular momentum and the total energy of the system are

b: tham số va chạm

• Cũng giả thiết rằng, không có hạt nào bị tán xạ qúa 1 lần Đồng thời, xem rằng các hạt có tốc độ trước và sau tán xạ như nhau

• Do tương tác của bia và hạt, hạt sẽ bị tán xạ Do vậy, có

sự phụ thuộc của góc tán xạ 𝜃 vào tham số b

Bài toán tán xạ cổ điển: Lý thuyết72 Numerical calculus

where σ (θ) is the differential cross section, or the probability of a particle’s

being found in the solid angle element d# = 2π sin θ dθ at the deflection

angle θ.

If the particles are coming in with a flux density I (number of particles per

unit cross-sectional area per unit time), then the number of particles per unit

time within the range db of the impact parameter b is 2π I b db Because all the incoming particles in this area will go out in the solid angle element d# with the

"

"

"

" (3.66)

The reason for taking the absolute value of db/dθ in the above equation is that

db/dθ can be positive or negative depending on the form of the potential and the

impact parameter However, σ (θ) has to be positive because it is a probability.

We can relate this center-of-mass cross section to the cross section measured

in the laboratory through an inverse coordinate transformation of Eq (3.57) and Eq (3.58), which relates r and rc back to r1 and r2 We will not discuss this transformation here; interested readers can find it in any standard advanced mechanics textbook.

Numerical evaluation of the cross section

Because the interaction between two particles is described by a spherically metric potential, the angular momentum and the total energy of the system are

• Tiết diện tán xạ vi phân có mối liên hệ với các hạt đo được bởi detector như sau:

where σ (θ) is the differential cross section, or the probability of a particle’s

being found in the solid angle element d# = 2π sin θ dθ at the deflection

angle θ.

If the particles are coming in with a flux density I (number of particles per

unit cross-sectional area per unit time), then the number of particles per unit

time within the range db of the impact parameter b is 2π I b db Because all the incoming particles in this area will go out in the solid angle element d# with the

"

"

"

" (3.66)

The reason for taking the absolute value of db/dθ in the above equation is that

db/dθ can be positive or negative depending on the form of the potential and the

impact parameter However, σ (θ) has to be positive because it is a probability.

We can relate this center-of-mass cross section to the cross section measured

in the laboratory through an inverse coordinate transformation of Eq (3.57) and Eq (3.58), which relates r and rc back to r1 and r2 We will not discuss this transformation here; interested readers can find it in any standard advanced mechanics textbook.

Numerical evaluation of the cross section

Because the interaction between two particles is described by a spherically metric potential, the angular momentum and the total energy of the system are

sym-b: tham số va chạm

dN

N = n (✓)d⌦

Bài toán tán xạ cổ điển: Lý thuyết

where σ (θ) is the differential cross section, or the probability of a particle’s

being found in the solid angle element d# = 2π sin θ dθ at the deflection

angle θ.

If the particles are coming in with a flux density I (number of particles per

unit cross-sectional area per unit time), then the number of particles per unit

time within the range db of the impact parameter b is 2π I b db Because all the incoming particles in this area will go out in the solid angle element d# with the

"

"

"

The reason for taking the absolute value of db/dθ in the above equation is that

db/dθ can be positive or negative depending on the form of the potential and the

impact parameter However, σ (θ) has to be positive because it is a probability.

We can relate this center-of-mass cross section to the cross section measured

in the laboratory through an inverse coordinate transformation of Eq (3.57) and Eq (3.58), which relates r and rc back to r1 and r2 We will not discuss this transformation here; interested readers can find it in any standard advanced mechanics textbook.

Numerical evaluation of the cross sectionBecause the interaction between two particles is described by a spherically sym-

Bài toán hai hạt

• Bài toán tán xạ có thể được hiểu như là sự tổng hợp của các quá trình tán xạ giữa hai hạt Vì vậy, ta có thể khảo sát tán xạ của riêng hai hạt.

• Với giả thiết thế tương tác V có tính đối xứng cầu:

Khoảng cách giữa hai hạt:

Bài toán tán xạ cổ điển

r c = m 1 r 1 + m 2 r 2

m 1 + m 2

• Chúng ta có thể sử dụng toạ độ tương đối và toạ độ

khối tâm nhờ phép biến đổi sau:

• Nếu ta khảo cđ của hệ với điều kiện

• Bài toán đưa về bài toán 1 hạt cđ trong thế V(r)

• Từ định luật III Newton ta có:

Bài toán tán xạ cổ điển

m¨r = f (r) M¨r c = 0

• Ta thu được hệ phương trình sau:

where σ (θ) is the differential cross section, or the probability of a particle’s

being found in the solid angle element d# = 2π sin θ dθ at the deflection

angle θ.

If the particles are coming in with a flux density I (number of particles per

unit cross-sectional area per unit time), then the number of particles per unit

time within the range db of the impact parameter b is 2π I b db Because all the incoming particles in this area will go out in the solid angle element d# with the

probability σ (θ), we have

2π I b db = I σ (θ) d#, (3.65) which gives the differential cross section as

"

"

"

The reason for taking the absolute value of db/dθ in the above equation is that

db/dθ can be positive or negative depending on the form of the potential and the

impact parameter However, σ (θ) has to be positive because it is a probability.

We can relate this center-of-mass cross section to the cross section measured

in the laboratory through an inverse coordinate transformation of Eq (3.57) and Eq (3.58), which relates r and rc back to r1 and r2 We will not discuss this transformation here; interested readers can find it in any standard advanced mechanics textbook.

Numerical evaluation of the cross section

Because the interaction between two particles is described by a spherically metric potential, the angular momentum and the total energy of the system are

sym-• Nhiệm vụ của chúng ta là tính được tiết diện tán xạ

vi phân σ( 𝜃)

• Tiết diện tán xạ tổng cộng: =

Z

(✓)d⌦

• Góc khối vi phân: d⌦ = 2⇡sin✓d✓

• Giả sử chùm hạt đang đến có cường độ I (số hạt trên một đơn vị diện tích) thì số hạt trong một đơn vị thời gian

trong khoảng vi phân db sẽ là: 2 𝞹Ibdb Toàn bộ chùm hạt

sẽ bị tán xạ trong góc khối dΩ với xác xuất σ( 𝜃) Do đó ta

Tiết diện tán xạ (Tính toán số)

d

d dt

dt dr

˙r = dr

s

2 m

Tiết diện tán xạ (Tính toán số)

d

d dt

dt dr

• Tính:

v 0 =

r

2E m

d dr

Thay vào tìm

Tiết diện tán xạ (Tính toán số)

where σ (θ) is the differential cross section, or the probability of a particle’s

being found in the solid angle element d# = 2π sin θ dθ at the deflection

angle θ.

If the particles are coming in with a flux density I (number of particles per

unit cross-sectional area per unit time), then the number of particles per unit

time within the range db of the impact parameter b is 2π I b db Because all the incoming particles in this area will go out in the solid angle element d# with the

probability σ (θ), we have

2π I b db = I σ (θ) d#, (3.65) which gives the differential cross section as

"

"

"

The reason for taking the absolute value of db/dθ in the above equation is that

db/dθ can be positive or negative depending on the form of the potential and the

impact parameter However, σ (θ) has to be positive because it is a probability.

We can relate this center-of-mass cross section to the cross section measured

in the laboratory through an inverse coordinate transformation of Eq (3.57) and Eq (3.58), which relates r and rc back to r1 and r2 We will not discuss this transformation here; interested readers can find it in any standard advanced mechanics textbook.

Numerical evaluation of the cross section

• Dấu + và - tương đương với hai phần khác nhau của quỹ đạo

Tiết diện tán xạ (Tính toán số)

• Sự thay đổi trong toạ độ cực :

Trong đó, rm là khoảng cách cực tiểu giữa hạt và bia

where σ (θ) is the differential cross section, or the probability of a particle’s

being found in the solid angle element d# = 2π sin θ dθ at the deflection

angle θ.

If the particles are coming in with a flux density I (number of particles per

unit cross-sectional area per unit time), then the number of particles per unit

time within the range db of the impact parameter b is 2π I b db Because all the incoming particles in this area will go out in the solid angle element d# with the

probability σ (θ), we have

2π I b db = I σ (θ) d#, (3.65) which gives the differential cross section as

"

"

"

The reason for taking the absolute value of db/dθ in the above equation is that

db/dθ can be positive or negative depending on the form of the potential and the

impact parameter However, σ (θ) has to be positive because it is a probability.

We can relate this center-of-mass cross section to the cross section measured

in the laboratory through an inverse coordinate transformation of Eq (3.57) and Eq (3.58), which relates r and rc back to r1 and r2 We will not discuss this transformation here; interested readers can find it in any standard advanced mechanics textbook.

Numerical evaluation of the cross section

• Từ đây ta có thể tính góc tán xạ

Tiết diện tán xạ (Tính toán số)

• Sự thay đổi trong toạ độ cực :

Trong đó, rm là khoảng cách cực tiểu giữa hạt và bia

Xác đinh rm như thế nào?

where σ (θ) is the differential cross section, or the probability of a particle’s

being found in the solid angle element d# = 2π sin θ dθ at the deflection

angle θ.

If the particles are coming in with a flux density I (number of particles per

unit cross-sectional area per unit time), then the number of particles per unit

time within the range db of the impact parameter b is 2π I b db Because all the incoming particles in this area will go out in the solid angle element d# with the

"

"

"

" (3.66)

The reason for taking the absolute value of db/dθ in the above equation is that

db/dθ can be positive or negative depending on the form of the potential and the

impact parameter However, σ (θ) has to be positive because it is a probability.

We can relate this center-of-mass cross section to the cross section measured

in the laboratory through an inverse coordinate transformation of Eq (3.57) and Eq (3.58), which relates r and rc back to r1 and r2 We will not discuss this transformation here; interested readers can find it in any standard advanced mechanics textbook.

Numerical evaluation of the cross section

Because the interaction between two particles is described by a spherically metric potential, the angular momentum and the total energy of the system are

Tiết diện tán xạ (Tính toán số)

Tiết diện tán xạ (Tính toán số)

• Áp dụng vào một trường hợp cụ thể là thế Coulomb (thế Yukawa):

Các kỹ thuật mô phỏng cần thiết

Giải phương trình tìm nghiệm

Tìm nghiệm

2 Phương pháp chia đôi (bisection)

4 Phương pháp Newton - Raphson

3 Phương pháp Secant

1 Phương pháp vẽ hình

i v i b c này, ta có th dùng ph ng pháp th , k t h p v i các nh

lý mà toán h c h tr

- Chính xác hoá nghi m: thu h p d n kho ng ch a nghi m h i t c

n giá tr nghi m g n úng v i chính xác cho phép Trong b c này ta

có th áp d ng m t trong các ph ng pháp:

+ Ph ng pháp chia ôi + Ph ng pháp l p

+ Ph ng pháp ti p tuy n + Ph ng pháp dây cung

4.2 Tách nghi m

* Ph ng pháp th :

Tr ng h p hàm f(x) n gi n

- V th f(x)

- Nghi m ph ng trình là hoành giao i m c a f(x) v i tr c x, t ó suy

ra s nghi m, kho ng nghi m

Tr ng h p f(x) ph c t p

- Bi n i t ng ng f(x)=0 <=> g(x) = h(x)

- V th c a g(x), h(x)

- Hoành giao i m c a g(x) và h(x) là nghi m ph ng trình, t ó suy

ra s nghi m, kho ng nghi m

* nh lý 1:

Gi s f(x) liên t c trên (a,b) và có f(a)*f(b)<0 Khi ó trên (a,b) t n t i m t

s l nghi m th c x (a,b) c a ph ng trình f(x)=0 Nghi m là duy nh t

n u f’(x) t n t i và không i d u trên (a,b)

i v i b c này, ta có th dùng ph ng pháp th , k t h p v i các nh

lý mà toán h c h tr

- Chính xác hoá nghi m: thu h p d n kho ng ch a nghi m h i t c

n giá tr nghi m g n úng v i chính xác cho phép Trong b c này ta

có th áp d ng m t trong các ph ng pháp:

+ Ph ng pháp chia ôi + Ph ng pháp l p

+ Ph ng pháp ti p tuy n + Ph ng pháp dây cung

4.2 Tách nghi m

* Ph ng pháp th :

Tr ng h p hàm f(x) n gi n

- V th f(x)

- Nghi m ph ng trình là hoành giao i m c a f(x) v i tr c x, t ó suy

ra s nghi m, kho ng nghi m

Tr ng h p f(x) ph c t p

- Bi n i t ng ng f(x)=0 <=> g(x) = h(x)

- V th c a g(x), h(x)

- Hoành giao i m c a g(x) và h(x) là nghi m ph ng trình, t ó suy

ra s nghi m, kho ng nghi m

* nh lý 1:

Gi s f(x) liên t c trên (a,b) và có f(a)*f(b)<0 Khi ó trên (a,b) t n t i m t

s l nghi m th c x (a,b) c a ph ng trình f(x)=0 Nghi m là duy nh t

n u f’(x) t n t i và không i d u trên (a,b)

Phương Phâp Chia Đôi (Bisection)

1(x), 2(x), 3(x) Khi đó mọi nghiệm dương của phtrình (1) đều nằm

trong khoảng [1/N 1 , N 0 ] và mọi nghiệm âm nằm trong khoảng [-N 2 ,-1/N 3 ]

i v i b c năy, ta có th dùng ph ng phâp th , k t h p v i câc nh

lý mă toân h c h tr

- Chính xâc hoâ nghi m: thu h p d n kho ng ch a nghi m h i t c

n giâ tr nghi m g n úng v i chính xâc cho phĩp Trong b c năy ta

có th âp d ng m t trong câc ph ng phâp:

+ Ph ng phâp chia ôi + Ph ng phâp l p

+ Ph ng phâp ti p tuy n + Ph ng phâp dđy cung

4.2 Tâch nghi m

* Ph ng phâp th :

Tr ng h p hăm f(x) n gi n

- V th f(x)

- Nghi m ph ng trình lă hoănh giao i m c a f(x) v i tr c x, t ó suy

ra s nghi m, kho ng nghi m

Tr ng h p f(x) ph c t p

- Bi n i t ng ng f(x)=0 <=> g(x) = h(x)

- V th c a g(x), h(x)

- Hoănh giao i m c a g(x) vă h(x) lă nghi m ph ng trình, t ó suy

ra s nghi m, kho ng nghi m

* nh lý 1:

Gi s f(x) liín t c trín (a,b) vă có f(a)*f(b)<0 Khi ó trín (a,b) t n t i m t

s l nghi m th c x (a,b) c a ph ng trình f(x)=0 Nghi m lă duy nh t

n u f’(x) t n t i vă không i d u trín (a,b)

Ý tưởng của phương phâp

Phương Pháp Chia Đôi (Bisection)

sao cho f(a) và f(b)

có dấu trái ngước

Phương Pháp Chia Đôi (Bisection)

nghiệm ban đầu ‘a’

Sử dụng phương pháp lặp

Phương Pháp Chia Đôi (Bisection)

nghiệm ban đầu ‘a’

 Khoảng (a,b) sẽ được

chia đôi bằng cách lấy

Phương Pháp Chia Đôi (Bisection)

nghiệm ban đầu ‘a’

Phương Pháp Chia Đôi (Bisection)

nghiệm ban đầu ‘a’

Phương Pháp Chia Đôi (Bisection)

nghiệm ban đầu ‘a’