Đây là một bộ tài liệu hay, có chất lượng cao, giúp các thầy cô trong việc giảng dạy và giúp các em học sinh củng cố và nâng cao kiến thức và luyện thi. Hy vọng bộ tài liệu sẽ giúp ích cho các thầy cô trong việc bồi dưỡng HSG và giúp các em học sinh học tập tốt bộ môn và luyện thi đạt kết quả tốt.
Trang 1ur
ur
1
M
M2
A LÝ THUYẾT
I Tọa độ
1 Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đơi một vuơng gĩc với nhau với ba vectơ đơn vị i jr ur ,
(ri = =rj 1).
2 u x yuur( ; )⇔uur=x ir+y juur; M(x;y)⇔OMuuuuur=OMuuuuur uuuuur1+OM2=xir+y juur
3 Tọa độ của vectơ: cho ( ; ), ( '; ') u x y v x yr r
a u vr r= ⇔ =x x y y'; = ' b u vr r± = ±(x x y y'; ± ')
c kur=( ; )kx ky d u v xxur r = '+yy'
e u vr⊥ ⇔r xx'+yy' 0= f ur = x2+ y2 ,vr = x′2+y′2
g cos ,( )
=
ur r
r r
r r
u v u v
u v .
4 Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA), B(xB;yB)
a.uuurAB=(x B −x y A; B − y A) b. ( ) (2 )2
AB= x −x + y − y
c G là trọng tâm tam giác ABC ta cĩ:
GA GB GC O+ + =
uuur uuur uuur ur
3
OA OB OC
OGuuur= uuur uuur uuur+ + ⇒ xG=
3
A B C
x +x +x
; yG=
3
A B C
y +y + y
d M chia AB theo tỉ số k: MA kMBuuur= uuur⇒ ;
x = + y = +
e) Tứ giác ABCD là hình bình hành AB DCuuur uuur=
h) Tính chất đường phân giác:
Gọi AD, AE lần lượt là đường phân giác trong và ngồi của gĩc A (D∈ BC; E∈ BC), ta cĩ:
AC
DC = −
uuur uuur ; EB AB
AC
EC =
uuur uuur
k) Diện tích ∆:
* Công thức tính diện tích tam giác ABC với : uuurAB
= (x1;y1), ACuuur = ( x2;y2) thì S =
2
1
| x1y2 – x2y1|
abc
R
(Với a, b, c là ba cạnh, h là đường cao thuộc cạnh a, a 1( )
2
p= a b c+ + , R và r lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp ∆ABC)
g/ →u cùng phương với →u' ⇔
'
'
y y
x x
= xy’ – x’y = 0
-A,B,C phân biệt thẳng hàng khi 1 1
AB k AC
uuur uuur
, với uuurAB
= (x1;y1), ACuuur = ( x2;y2), k≠0
II Phương trình đường thẳng
1 Một đường thẳng ∆ được xác định khi biết một điểm M(x0;y0) và một vectơ pháp tuyến ( ; )
nr = A B hoặc một vectơ chỉ phương ur=( )a b; ta cĩ thể chọn ur =(a B b= ; = −A)
x
j
Trang 2*Phương trình tổng quát A x x( − 0)+B y y( − 0) = ⇒0 Ax By C+ + =0.
*Phương trình tham số: 0
0
x x at
y y bt
= +
, (t∈R) .M∈ ∆ ⇔( ) M x( 0+at y; 0+bt)
*Phương trình đường thẳng qua M(x0;y0) có hệ số góc k: y k x x= ( − 0)+y0
* Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA), B(xB;yB): A A
B A B A
2 Khoảng cách từ một điểm M(x M;yM) đến một đường thẳng ∆:Ax By C+ + =0 là:
( , ) Ax M 2By M2 C
d M
∆ =
Hoặc dựng đường thẳng qua M vuông góc cắt∆ tại H thì d M( ,∆ =) MH
3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng
0 :
0 :
2 2 2 2
1 1 1 1
= + +
∆
= + +
∆
c y b x a
c y b x a
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 và∆2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình
= + +
= + +
0
0 2 2 2
1 1 1
c y b x a
c y b x a
(I)
Chú ý: Nếu a2b2c2 0≠ thì :
2
1 2
1 2
1 2 1
2
1 2
1 2
1 2 1
2
1 2
1 2 1 //
c
c b
b a a
c
c b
b a a b
b a a
=
=
⇔
∆
≡
∆
≠
=
⇔
∆
∆
≠
⇔
∆
∩
∆
4 Góc giữa hai đường thẳng
*Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và∆2của (I) có VTPT → →
2
1 và n
n được tính theo công thức:
2 2
2 1
2 2
2 1
2 1 2 1 2
1
2 1 2
1 2
1
|
|
|
||
|
|
| ) , cos(
)
,
cos(
b b a a
b b a a n
n
n n n
n
+ +
+
=
=
=
∆
→
→
→
→
hoặc tính theo véc tơ chỉ phương thay
nr
bằng ur
* Góc giữa hai đường thẳng:(∆): y = k1x + b và (∆’): y = k2x + b’ là:
1 2
( ; ')
k k
k k
−
∆ ∆ =
+ (Công thức tan)
III Phương trình đường tròn
1 Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r.
Phương trình:
Dạng 1: ( ) (2 )2 2
x a− + y b− =r Dạng 2: x2+y2−2ax−2by d+ =0, điều kiện a2 +b2 − >d 0 và r= a2 +b2 −d Tâm I(a;b)
a n
∆
(C)
r
∆
I
M
Trang 32 Điều kiện để đường thẳng ∆: Ax By C+ + =0 (1) tiếp xúc với đường tròn (C) là:
( , ) Aa Ba C2 2
+ Đôi khi ta xét b= 0 thay xét trực tiếp và sau đó xét b 0≠ thì đường thẳng (1) thành y kx b= + hoặc
0
kx y b− + = thì bài toán đơn giản hơn
* Nếu a2 + b2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phtr: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
* Nếu a2 + b2 – c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phtr: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M 0 .
Tiếp tuyến tại điểm M0(x0 ; y0) của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình: M x y( ; )∈ ∆
IM M Muuuur uuuuuur0 O =0 ta có (x – x0) (x0 – a)+ (y – y0) (y0 – b)= 0
hoặc x x y y a x x0 + 0 − ( + 0)−b y y( + 0)+ =c 0
0 ( 0 ) 0 0 0 0 0 0
IM IM IM− = ⇔ IM IM IM−uuuur= ⇔ x −a x a− + y −b y b− =R
uuuur uuur uuuur uuuuruuur
IV Ba đường conic
Elip
1 Phương trình chính tắc:
a +b = , (a>b>0).
2 Các yếu tố: c2 =a2 −b2, a> c>0.,a>b>0
Tiêu cự: F1F2=2c; Độ dài trục lớn A1A2=2a Độ dài trục bé B1B2=2b.
Hai tiêu điểm F1(−c;0 ,) F c2( );0
Bốn đỉnh: 2 đỉnh trên trục lớn A1(−a;0 ,) A a2( );0 ,
2 đỉnh trên trục bé B1(0;−b B), 2( )0;b
Tâm sai: e c 1
a
= <
Bán kính qua tiêu điểm: M(x y )thuộc (E) thì 0; 0 1 1 0
MF r a ex
MF r a ex
= = +
3 Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: A2a2+B2b2=C2 hoặc dùng điều kiện nghiệm kép của ph trình hoành độ hoặc tung độ giao điểm
Hyperbol
1 Phương trình chính tắc:
a −b = , (a> b>0).
2 Các yếu tố: c2 =a2 +b2, c>a>0.
Tiêu cự: F1F2=2c; Độ dài trục thực A1A2=2a Độ dài trục ảo B1B2=2b.
Hai tiêu điểm F1(−c;0 ,) F c2( );0
Hai đỉnh: đỉnh trên trục thực A1(−a;0 ,) A a2( );0 ,
Bán kính qua tiêu điểm: M(x y )thuộc (H) :0; 0
x
y
F2
F1
B
2
B1
A2
A1
O M
y= b
ax
y=- b
ax
B1
B2
A2
F2
A1
F1
O
y
x
Trang 4x ≥athì 1 0
c
a c
a
0
x ≤ −a thì
c
a c
a
hoặc tổng quát:
c
a c
a
Hai đường tiệm cận: y b x
a
= ±
Tâm sai:e c 1
a
= >
3 Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với hypebol là: A2a2−B2b2=C2
Parabol
1 Phương trình chính tắc: y2 =2px , (p>0 gọi là tham số tiêu).
2 Các yếu tố:
Một tiêu điểm ;0
2
p
F
, đường chuẩn 2
p
x= −
B BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH x y: − + =1 0, phân giác trong BN: 2x y+ + =5 0.Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
Hướng dẫn:
+ Do AB⊥CH nên AB: x y+ + =1 0
Giải hệ: 2 5 0
1 0
x y
x y
+ + =
+ + =
ta có (x; y)=(-4; 3).
Do đó: AB∩BN= −B( 4;3)
+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thì ' A ∈BC
- Phương trình đường thẳng (d) qua A và
Vuụng gúc với BN là (d): x−2y− =5 0
Gọi I =( )d ∩BN Giải hệ: 2 5 0
x y
x y
+ + =
− − =
Suy ra: I(-1; 3)⇒A'( 3; 4)− −
+ Phương trình BC: 7 x y+ +25 0= Giải hệ: 7 25 0
1 0
x y
x y
− + =
13 9
C − −
( 4 13 / 4) (3 9 / 4)
4
Suy ra: 1 ( ; ) 1.3 2 450 45
ABC
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD
có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1 :x−y−3=0 và
0 6 :
2 x+y− =
d Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox Tìm toạ độ
các đỉnh của hình chữ nhật
Hướng dẫn:
B2
F2
y
x
O
A H
N
Trang 5A B I
Ta cú: d1∩d2 =I Toạ độ của I là nghiệm của hệ:
=
=
⇔
=
−
+
=
−
−
2 / 3 y
2 / 9 x 0
6
y
x
0
3
y
x
2
3
; 2
9
I Do vai trũ A, B, C, D nờn giả sử M là trung điểm
2
3 2
9 3 2 IM 2 AB
2 2
=
+
−
=
=
2 3
12 AB
S AD 12
AD AB
Vỡ I và M cựng thuộc đường thẳng d1 ⇒d1 ⊥AD
Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuụng gúc với d1 nhận n(1;1) làm VTPT nờn cú PT:
0 3 y x 0 ) 0 y
(
1
)
3
x
(
Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:
= +
−
=
− +
2 y
3 x
0 3 y x
2 2
±
=
−
−
=
⇔
=
− +
−
+
−
=
⇔
= +
−
+
−
=
⇔
1 3 x
x 3 y 2 ) x 3 ( 3 x
3 x y 2 y 3
x
3 x
y
2 2
2 2
=
=
⇔
1 y
2 x hoặc
−
=
= 1 y
4 x Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)
2
3
;
2
9
I là trung điểm của AC suy ra:
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
2 1 3 y y 2 y
7 2 9 x x 2 x
A I C
A I C
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nờn ta cú B( 5; 4)
Vậy toạ độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hỡnh chữ nhật ABCD cú tõm 1
( ;0) 2
I
Đường thẳng AB cú phương trỡnh: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A õm Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật đú
HƯỚNG DẪN
+) ( , ) 5
2
d I AB = ⇒AD = 5 ⇒ AB = 2 5 ⇒ BD = 5
+) PT đường trũn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4
+) Tọa độ A, B là nghiệm của hệ:
2 2
2
( 2; 0), (2; 2)
2
0
x y
x
x y
y
⇒C(3;0), ( 1; 2)D − −
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng 3
2 và trọng tâm thuộc đờng thẳng ∆: 3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C
H
ớng dẫn :
Ta có: AB = 2 , M = ( 5; 5
2 −2), pt AB: x – y – 5 = 0
S ABC∆ = 1
2d(C, AB).AB =
3
2 ⇒ d(C, AB)= 3
2 Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= 1
2
⇒ d(G, AB)= (3 8) 5
2
t− t− −
= 1
2 ⇒t = 1 hoặc t = 2
Trang 6⇒G(1; - 5) hoặc G(2; - 2)
Mà CMuuuur=3GMuuuur⇒C = (-2; 10) hoặc C = (1; -4)
Bài 5:
Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 2 2 1
x + y = và đờng thẳng ∆:3x + 4y =12 Từ điểm M bất kì trên ∆ kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB Chứng minh rằng đờng thẳng AB luôn đi qua một điểm
cố định
H
ớng dẫn:
Gọi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2)
Tiếp tuyến tại A có dạng 1 1 1
xx + yy = Tiếp tuyến đi qua M nên 0 1 0 1 1
x x + y y = (1)
Ta thấy tọa độ của A và B đều thỏa mãn (1) nên đờng thẳng AB có pt 0 0 1
xx + yy =
do M thuộc ∆ nên 3x0 + 4y0 =12 ⇒4y0 =12-3x0 ⇒ 4 0 4 0
4
4
xx + y − x =
Gọi F(x;y) là điểm cố định mà AB đi qua với mọi M thì
(x- y)x0 + 4y – 4 = 0 { 0 { 1
4 x y − = y 4 0 x y = 1
Vậy AB luôn đi qua điểm cố định F(1;1)
Bài 6:
Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng : 3∆ x−4y+ =4 0 Tỡm trờn ∆ hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tớch tam giỏc ABC
bằng15
Hướng dẫn:
1 Gọi ( ;3 4) (4 ;16 3 )
A a + ⇒B −a −
Khi đú diện tớch tam giỏc ABC là
2
ABC
S = AB d C→ ∆ = AB
Theo giả thiết ta cú
2
0 2
a a
a
=
−
Vậy hai điểm cần tỡm là A(0;1) và B(4;4)
Bài 7:
1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elớp
x y
E + = và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) Tỡm trờn (E) điểm C cú hoành độ và tung độ dương sao cho tam giỏc ABC cú diện tớch lớn nhất
Hướng dẫn:
Ta cú PT đường thẳng AB:2x+3y=0
Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi đú ta cú
1
x + y = và diện tớch tam giỏc ABC là
ABC
x y
Dấu bằng xảy ra khi
2
2
x
x y
y
Vậy (3 2; 2)
2
Bài 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0
và (d2): 4x + 3y - 12 = 0
Tỡm toạ độ tõm và bỏn kớnh đường trũn nội tiếp tam giỏc cú 3 cạnh nằm trờn (d1), (d2), trục Oy
Trang 7Hướng dẫn:
Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta cú A(3 ;0)
Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta cú B(0 ; - 4)
Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta cú C(0 ;4)
Gọi BI là đường phõn giỏc trong gúc B với I thuộc OA khi đú ta cú I(4/3 ; 0), R = 4/3
Bài 9:
Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0 Lập phương trỡnh đường trũn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xỳc với đường thẳng (d)
Hướng dẫn:
Giả sử phương trỡnh cần tỡm là (x-a)2 + (x-b)2 = R2
Vỡ đường trũn đi qua A, B và tiếp xỳc với d nờn ta cú hệ phương trỡnh
(1 )
− − =
0 1 2
a b R
=
⇔ =
Vậy đường trũn cần tỡm là: x2 + (y - 1)2 = 2
Bài 10 :
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trũn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 cú tõm I và đường thẳng ∆: mx + 4y = 0 Tỡm m biết đường thẳng ∆ cắt đường trũn (C) tại hai điểm phõn biệt A,B thỏa món diện tớch tam giỏc IAB bằng 12
Hướng dẫn :
Đường trũn (C) cú tõm I(1; m), bỏn kớnh R = 5
Gọi H là trung điểm của dõy cung AB
Ta cú IH là đường cao của tam giỏc IAB
IH = ( , ) | 2 4 | | 5 |2
d I
+
2
25
m
+ + Diện tớch tam giỏc IAB là
3
3
m
m
= ±
= ±
B i 11: à
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1),B(−2;5), đỉnh C nằm trên đờng thẳng
0
4=
−
x , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng 2x−3y+6=0 Tính diện tích tam giác ABC
H
ớng dẫn:
Ta có C=(4;y C) Khi đó tọa độ G là
3
2 3
5 1 , 1 3
4 2
G G
y y
y
trên đờng thẳng 2x−3y+6=0 nên 2−6− y C+6=0, vậy y C =2, tức là
)
2
;
4
(
=
C Ta có AB=(−3;4),AC=(3;1), vậy AB=5, AC= 10 , AB.AC =−5
2
1
2
−
=
−
2 15
Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;−1),B(1;−2), trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng x+ y−2=0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5
H
ớng dẫn:
I
∆
H 5
Trang 8Vì G nằm trên đờng thẳng x+ y−2=0 nên G có tọa độ G=(t;2−t) Khi đó AG=(t−2;3−t),
)
1
;
1
(− −
=
AB Vậy diện tích tam giác ABG là
( ) 2[( 2) (3 ) ] 1
2
1
2
−
− +
−
=
−
2
3
2t− Nếu diện tích tam giác ABC bằng 13,5 thì diện tích tam giác ABG bằng 13,5:3=4,5 Vậy
5
,
4
2
3
2
=
−
6
=
t hoặc t=−3 Vậy có hai điểm G : G1=(6;−4),G2=(−3;−1) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên x C =3x G−(x a+x B)và y C =3y G−(y a + y B)
Với G1 =(6;−4) ta có C1= ( 15 ; − 9 ), với G2=(−3;−1)ta có C2 = ( − 12 ; 18 )
Bài 13.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 và đờng thẳng d
có phơng trình x + y + m = 0 Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông
H
ớng dẫn :
Từ phơng trình chính tắc của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB,
AC tới đờng tròn và AB⊥ AC=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3⇒IA=3 2
=
−
=
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔
7
5 6
1 2
3 2
1
m
m m
m
Bài 14:
Trong mp (Oxy) cho đường thẳng (∆) cú phương trỡnh: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (-1;2);
B (3;4) Tỡm điểm M∈(∆) sao cho 2MA2 + MB2 cú giỏ trị nhỏ nhất
Hướng dẫn :
M∈∆ ⇒M t(2 +2; ),t AMuuuur=(2t+3;t−2),BMuuuur=(2 1;t− t−4)
2AM +BM =15t + +4t 43= f t( )
Min f(t) = 2
15
f −
=> M
;
15 15
Bài 15:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trũn (C) cú phương trỡnh:
x +y + x− =
Tia Oy cắt (C) tại A Lập phương trỡnh đường trũn (C’), bỏn kớnh R’ = 2 và tiếp xỳc ngoài với (C) tại A
Hướng dẫn:
A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, gọi (C’) cú tõm I’
Pt đường thẳng IA : 2 3
y t
=
= +
, 'I ∈IA => I’( 2 3 ; 2t t+2),
1
2
AI = I A⇔ = =>t I
uur uuur
(C’): ( )2 ( )2
x− + −y =
Bài 16:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD cú cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chộo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chộo AC đi qua điểm M(2;1) Tỡm toạ độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật
Hướng dẫn:
BD∩AB B= (7;3), pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = 0
A AB∈ ⇒ A a+ a C BC∈ ⇒C c − c a≠ c≠ ,
Trang 9I = 2 1; 2 17
a c+ + a− +c
I∈BD⇔3c a− − = ⇔ = − ⇒18 0 a 3c 18 A c(6 −35;3c−18)
M, A, C thẳng hàng MA MCuuur uuuur,
cùng phương => c2 – 13c +42 =0 7( )
6
c loai c
=
=
c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3)
Bài 17:
Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình ( ) 2 2
C x +y − y− = và
C x +y − x+ y+ = Lập phương trình tiếp tuyến chung của ( )C và 1 ( )C2
Hướng dẫn:
( ) ( )C1 :I1 0; 2 ,R1=3;( )C2 :I2(3; 4 ,− ) R2=3
Gọi tiếp tuyến chung của ( ) ( )C1 , C2 là ∆:Ax By C+ + =0(A2+B2≠0)
∆ là tiếp tuyến chung của ( ) ( )C1 , C2
;
∆ =
Từ (1) và (2) suy ra A=2B hoặc 3 2
2
C=− +
Trường hợp 1: A=2B
Chọn B= ⇒ = ⇒ = − ±1 A 2 C 2 3 5⇒ ∆: 2x y+ − ±2 3 5 0=
Trường hợp 2: 3 2
2
C =− +
Thay vào (1) được
Bµi 18:
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
( ) :C x + – 2 – 2 1 0,y x y + = ( ') :C x2+ y2+4 – 5 0x = cùng đi qua M(1; 0) Viết phương
trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ') C C lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB.
Hướng dẫn:
+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và R=1, ' 3R = , đường thẳng (d)
a x− +b y− = ⇔ax by a+ − = a +b ≠
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.
Khi đó ta có: MA=2MB⇔ IA2−IH2 =2 I A' 2−I H' '2 ( )2 ( )2
1 d I d( ; ) 4[9 d I d( '; ) ]
IA IH>
9
4 d I d( '; ) d I d( ; ) 35 4 a b 35
2 2
2 2
36
a b
a b
−
+
Dễ thấy b≠0 nên chọn 1 6
6
= −
= ⇒ =a
b
Kiểm tra điều kiện IA IH> rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn
Bài 19:
Trang 10Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực
tâm (1;0)H , chân đường cao hạ từ đỉnh B là (0; 2) K , trung điểm cạnh AB là M(3;1).
Hướng dẫn:
+ Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận
( 1; 2)
HK = −
uuur
làm vtpt và AC đi qua K nên
(AC x) : −2y+ =4 0. Ta cũng dễ có:
(BK) : 2x y+ − =2 0.
+ Do A AC B BK∈ , ∈ nên giả sử
(2 4; ), ( ; 2 2 )
A a− a B b − b Mặt khác M(3;1)là
trung điểm của AB nên ta có hệ:
Suy ra: (4; 4), (2; 2).A B −
+ Suy ra: uuurAB= − −( 2; 6), suy ra: (AB) : 3x y− − =8 0
+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận HAuuur=(3; 4), suy ra:
(BC) : 3x+4y+ =2 0
KL: Vậy : (AC x) : −2y+ =4 0,(AB) : 3x y− − =8 0, (BC) : 3x+4y+ =2 0
Bài 20: (đề 2010)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: 3 x y+ =0 và d2: 3x y− =0 Gọi (T)
là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại
B Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3
2 và điểm A có hoành độ dương
Hướng dẫn:
Ta thấy d d tạo với Oy góc 1, 2 0
30 Từ đó · 0 · 0
AOB= ACB=
ABC
OA= AB= ⇒A −
OC= OA= ⇒C− −
Đường tròn (T) đường kính AC có:
2 3
AC
I− − R= =
Phương trình (T):
1 2
2 3
Bài 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng
đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B
và C, biết điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
Hướng dẫn:
Gọi ∆là đường thẳng đi qua trung điểm của AC và AB
Â