Vế trái là số nguyên chẵn còn vế phải là số nguyên lẻ... Không có hình vẽ nếu đúng cho 1/3 số điểm.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THẠCH HÀ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN-NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán, Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 10/10/2013
Bài 1:
a) Cho các số a, b, c thỏa mãn: a = b = c
2012 2013 2014 Chứng minh rằng: ( − ) ( − = − ) ( )2
b) Cho A = 2012 + 2013 + 2014 và B = 2009 + 2011 + 2019 Hãy so sánh A với B
Bài 2:
a) Tìm các số nguyên dương a, b thỏa mãn: a+b+1=ab
b) Tìm các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a b− + − + − + − =b c c d d a 2013
Bài 3:
a) Giải phương trình:
( )
+
2 2
2
4x
x 2 b) Cho đa thức: f x ( ) = x3 − 3x2 + 3x 3 +
Chứng minh rằng: <
Bài 4: Cho ∆ ABC có 3 góc đều nhọn và góc ·BAC=450; h ai đường cao BD
và CE cắt nhau tại H Gọi I là trung điểm DE Kẻ EM vuông góc với AC (M ∈
AC), DN vuông góc với AB (N ∈ AB) O là giao điểm của EM và DN.
a) Tứ giác EHDO là hình gì?.
b) Chứng minh rằng: HC = 2NO
c) Chứng minh rằng đường thẳng HI đi qua trọng tâm của ∆ ABC
Bài 5: Cho hai số thực a, b khác 0, thỏa mãn: 2 + 2 + =
2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S ab 2013 = +
Hết
-Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Bài 1:
a)
b)
Ta có = = = ( ) ( ) ( )−− = −− = −−
2012 2013 2014 1 1 2 Từ đó suy ra
( − = −)
2 a b a c ; 2 b c( − = −) a c ⇒ ( − ) ( − = −) ( )2
4 a b b c a c
2012 2009
2012 2009 2019 2014
2013 2011
2013 2011 2019 2014 Cộng theo vế hai BĐT trên ta được:
+
5
2019 2014 Suy ra A > B
2 điểm 1đ 1đ
2 điểm 0,75đ 0,75đ
0,5đ
Bài 2:
a)
Ta có: a+b+1=ab↔(a-1)(b-1)=2 (1)
Do a, b nguyên dương, nên (1) suy ra: a-1 nguyên dương và là ước của 2
Từ đó suy ra: a-1=1 hoặc a-1=2
Với a-1=1→a=2; b=3
Với a-1=2→a=3, b=2
Trả lời: (a; b)=(2; 3) hoặc (3; 2)
2 điểm 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b)
Với số thực x bất kì thì ≥
+ =
2x nÕu x 0
x x
0 nÕu x < 0 Do đó x x là một số+ nguyên chẵn khi x ∈ Z
Mặt khác: a b− + − + − + − =b c c d d a 2013 ⇔
− + − + − + − + − + − + − + − =
a b a b b c b c c d c d d a d a 2013 Vế trái là
số nguyên chẵn còn vế phải là số nguyên lẻ
Vậy không có các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn đề ra
2 điểm 0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 3:
a)
ĐKXĐ: x ≠ -2 Ta có
2
x
x 2 = −x 2
2
x
= −
+ ÷ + ÷
2
2
4x 4x x
x 2 x 2
2
2
2
x
+ ÷ +
+
2 điểm 0,5đ
0,5đ 0,5đ
Trang 3Đặt
2 x y
x 2 = + ta có phương trình:
2
y +4y 12 0− = ⇔ ( )2 y 2
y 2 16
y 6
=
+ = ⇔ = − Với y = 2 ⇒ x2 2 ( )2
2 x 2x 4 0 x 1 5 x 1 5
x 2 = ⇒ − − = ⇔ − = ⇔ = ± +
(TMĐK)
Với y = -6 ⇒ x2 2 ( )2
6 x 6x 12 0 x 3 3
x 2 = − ⇒ + + = ⇔ + = −
Vậy phương trình có nghiệm x 1= ± 5
Ta có: ( ) = 3− 2+ + = −( )3+
f x x 3x 3x 3 x 1 4
⇒ =÷ +
2014 1
2013 2013 ;
2013 1
2012 2012 Do 1 < 1
2013 2012
⇒ 1 3 + <4 1 3 +4
2013 2012 ⇒ ÷< ÷
2014 2013
2013 2012
0,5đ
2 điểm 1đ 0,5đ 0,5đ Bài 4:
a)
b)
Theo bài ra ta có ∆ADB, ∆AEC vuông cân,
do đó nhận DN và EM làm trung tuyến,
suy ra M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB
Tứ giác EHDO là hình bình hành (do các cạnh đối
song song) nên HO đi qua trung điểm I của ED
và EO = HD Lại có hai tam giác NOE và DHC
vuông cân (do · · 0
NEO HCD 45= = ) nên
HC HD 2 EO 2 2NO= = =
Gọi G là giao điểm của CN và HO Do NO // CH
nên theo hệ quả của định lí Thales ta có
CG CH
2
GN = NO= mà CN là trung tuyến của ∆ABC, suy ra G là trọng tâm
của ∆ABC
Vậy đường thẳng HI đi qua trọng tâm G của ∆ABC
4 điểm
1đ
1đ
1đ
1đ
2 điểm
1đ
1đ Bài 5:
Ta có = + − + + − + + = − + − + +
2
2
≥ ab + 2 Do đó ab ≤ 2 ⇒ S ≤ 2015
2 điểm
0,5đ
A
D E
M N
H
IG O
0
45
Trang 4Vậy GTLN của S là 2015 đạt được khi
− =
− =
1
a
2 Mặt khác:
= + − + + + − + = − ÷ + + ÷ − +
2
2
≥ -ab + 2 ⇒ ab ≥ -2 ⇒ S ≥ 2011
Vậy GTNN của S là 2011 đạt được khi
− =
+ =
1
a
2
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Lưu ý: - Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Vẽ hình sai không chấm Không có hình vẽ nếu đúng cho 1/3 số điểm