Trong phạm vi bài báo này chúng tôi muốn giới thiệu ứng dụng một phần tử tương thích vào nghiên cứu động lực học bài toán tấm đó là phần tử LCCT12 tuân theo các giả thiết tấm mỏng của Ki
Trang 1PHAÂN TÍCH ẹOÄNG LệẽC HOẽC KEÁT CAÁU TAÁM SệÛ DUẽNG
PHAÀN TệÛ TệễNG THÍCH LCCT12
Leõ Kieàu
Trửụứng ủaùi hoùc Kieỏn truực Haứ Noọi
Vấn đề:
Baứi baựo naứy trỡnh baứy moọt trong những caựch phaõn tớch ủoọng lửùc hoùc taỏm
sửỷ duùng phửụng phaựp phaàn tửỷ hửừu haùn vụựi phaàn tửỷ tửụng thớch ‘Linear
Curvature Compatible Triangle’ (LCCT12) Đồng thời bài báo cũng trình
bày caựch tieỏp caọn cuỷa phaàn tửỷ LCCT12 vụựi baứi toaựn ủoọng lửùc hoùc ửựng duùng lyự thuyeỏt taỏm moỷng cuỷa Kirchhoff Caực lụứi giaỷi soỏ veà taàn soỏ dao
ủoọng rieõng cuỷa moọt soỏ daùng baứi toaựn taỏm minh hoaù hieọu quaỷ sửỷ duùng cuỷa
daùng phaàn tửỷ naứy
1 Giụựi Thieọu
Nghieõn cửựu veà baứi toaựn taỏm luoõn coự yự nghúa lụựn lao cho vieọc ửựng duùng vaứo caực keỏt caỏu đang đợc dùng chung quanh chuựng ta: saứn nhaứ, vaựch, naộp hoaởc ủaựy bunker, hoà nửụực… Caực tớnh toaựn giaỷi tớch truyeàn thoỏng phaàn lớn dửùa treõn lyự thuyeỏt taỏm moỷng cuỷa Kirchhoff vụựi giaỷ thuyeỏt veà maởt trung bỡnh khoõng bieỏn daùng ủaừ ủửụùc phaựt trieồn duứ raỏt toỏt vụựi caực lụứi giaỷi cuỷa Ritz, Reyleigh, Leựvy, Navier… dửụựi daùng chuoói nhửng cuừng chổ giụựi haùn vụựi moọt soỏ ủieàu kieọn bieõn nhaỏt ủũnh vaứ phaàn lụựn chổ laứ duứng ủeồ tỡm ra noọi lửùc maứ thoõi ẹoỏi vụựi phaõn tớch ủoọng lửùc hoùc baứi toaựn taỏm thỡ caực nghieõn cửựu giaỷi tớch dửùa treõn ủũnh luaọt Newton, phửụng trỡnh coõng aỷo… coứn haùn cheỏ hụn nửừa vỡ caực khoự khaờn toaựn hoùc Moọt soỏ caực phửụng phaựp xaỏp xổ nhử phửụng phaựp bieỏn phaõn, Galerkin… cuừng ủửụùc phaựt trieồn ủeồ giaỷi quyeỏt caực khoự khaờn cuỷa caực phửụng phaựp truyeàn thoỏng tuy nhieõn cuừng gaởp phaỷi caực khoự khaờn tửụng tửù Moọt soỏ caực keỏt quaỷ coự theồ tỡm trong [5,11,13] Cuứng vụựi sửù phaựt trieồn cuỷa coõng ngheọ maựy tớnh hieọn nay, caực tieỏp caọn sửỷ duùng phửụng phaựp soỏ nhử phaàn tửỷ hửừu haùn, phaàn tửỷ bieõn, phửụng phaựp khoõng phaàn tửỷ (meshless)… ủaừ ủửụùc nghieõn cửựu aựp duùng vaứ cho keỏt quaỷ toỏt Caực khoự khaờn vỡ khoỏi lửụùng tớnh toaựn nhieàu ủaừ ủửụùc maựy tớnh vụựi toỏc ủoọ vaứ khaỷ naờng xửỷ lyự cao giaỷi quyeỏt Trong taỏt caỷ caực phửụng phaựp soỏ thỡ phửụng phaựp phaàn tửỷ hửừu haùn coự theồ ủửụùc xem nhử moọt coõng cuù raỏt maùnh ủeồ giaỷi quyeỏt haàu heỏt taỏt caỷ caực baứi toaựn cụ hieọn nay ủaởc bieọt
Trang 2là bài toán tấm Trong phương pháp này bµi to¸n tiếp tục được chia thµnh nhiều mô hình khác nhau như mô hình cân bằng, mô hình tương thích… và mỗi mô hình đều có ưu khuyết điểm khác nhau
Trong phạm vi bài báo này chúng tôi muốn giới thiệu ứng dụng một phần tử tương thích vào nghiên cứu động lực học bài toán tấm đó là phần tử LCCT12 tuân theo các giả thiết tấm mỏng của Kirchhoff Phần tử này cũng đã được c¸c t¸c gi¶ Hùng [9,10] và Dương [8] nghiên cứu áp dụng tính toán nội lực và một số đánh giá sai số lời giải cho bài toán tấm và vỏ
Chúng tôi giới thiệu cách tiếp cận của phần tử LCCT12 và một số các
ví dụ tính toán, so sánh với một số các kết quả đã có hiện nay để đánh giá hiệu quả của ph¬ng ph¸p phần tử này trong tính toán động lực học tấm
2 Phần tử LCCT12
Hình 1: Phần tử tương thích LCCT12 với 16 bậc tự do
Phần tử ‘Linear Curvature Compatible Triangle’LCCT12 ban đầu có
16 bậc tự do trên biên (hình 1), nhưng với những giả thuyết và biến đổi phần tử ‘LCCT-12’ sẽ giảm xuống còn 12 bậc tự do trên biên:
Hàm chuyển vị của từng phần tử có thể được biểu diễn qua các bậc tự
do của nút và hàm dạng:
Trong đó: N : là ma trận hàm dạng.
q : là vector chuyển vị nút
Trong phần tử ngoài chuyển vị của các góc wi còn có các góc xoay của mỗi góc phần tử
0(3) m
k
j
i
1
2
3
4
0
1 2
3
4
1
(2)
3
(1)
2
6
n
w
w1
w4
w3
w2
y1
x1
y2
x2
y3
x3
y4
x4
5
n
w
7
n
w
8
n
w
6
n
w
Trang 3i 1 i
y
w
với i = 1, 2, 3, 4 (2)
i 2 i
x
w
Không những thế còn có góc xoay tại 3 nút ở giữa các cạnh 5, 6, 7,
8
i n i
n
w
với i = 5, 6, 7, 8 (4) Chuyển vị nút của phần tử bây giờ được biểu diễn qua các phần tử con
w(k)(x,y) = N(k)(x,y).q(k) (5) Chuyển vị nút của phần tử con 1
0 0 0 6 3 3 3 2 2 2 ) 1
q(1) là vector bao gồm 10 thành phần chuyển vị, ta sử dụng hàm đa thức nội suy bậc ba 10 thành phần của Lagrange [11] cho một phần tử con và được biểu diễn trong hệ tọa độ tự nhiên L L 1 , L 2 , L 3 như sau:
P
Trong đó:
] L L L L L L L L L L L L L L L L L L
3 1
2 3 1
2 2 3
2 2 3
2 1 2
2 1
3 3
3 2
3 1
P
T
Đối với các phần tử con k = 1 4 thì hàm dạng sẽ được biểu diễn bằng
)
L
(
N Từ công thức (6) ta suy ra vector chuyển vị toàn bộ các nút q là:
T
w
| w
w w
w
E
T
R q
q |
2.1 Ma trận độ cứng phần tử
m e m
T V
T m
Trong đó: m là số phần tử con m = 1, 2, 3, 4
2
1 0 0
0 1
0 1
) 1 ( 12
Et
3
; [ B ] ( )[ N ]
2.2 Ma trận khối lượng phần tử
m e
A
j i j i 1
T 0
m e
y
N y
N x
N x
N I N N I
Trong đó:
Trang 4m : Số phần tử con m = 1, 2, 3, 4.
I0, I1 : Là mômen quán tính của khối lượng
t dz
I t2
2 t
0
; I t 2 z dz 12t3
2 t
2
: Là khối lượng riêng của vật liệu tấm
2.3 Ghép nối và loại bỏ nút giữa của phần tử
Ta có
E R
) 4 ( 0 ) 4 ( e
) 3 ( 0 ) 3 ( e
) 2 ( 0 ) 2 ( e
) 1 ( 0 ) 1 ( e
) 4 (
) 3 (
) 2 (
) 1 (
q q N N
N N
N N
N N
w w w
w
Chúng ta thiết lập các ma trận theo những điều kiện tương thích trên nút i, j, k, m như sau:
0 q
q B
B
| B B
B B
| B
B
B B
| B B
B B
| B
B
E R
) 1 ( 0 m )
4 ( 0 m )
1 ( m )
4 ( m
) 4 ( 0 k )
3 ( 0 k )
4 ( k )
3 ( k
) 3 ( 0 j )
2 ( 0 j )
3 ( j )
2 ( j
) 2 ( 0 i )
1 ( 0 i )
2 ( i )
1 ( i
(11) Suy ra
) 1 ( 0 m ) 4 ( 0 m
) 4 ( 0 ) 3 ( 0
) 3 ( 0 j ) 2 ( 0 j
) 2 ( 0 i ) 1 ( 0 i
R
) 1 ( m ) 4 ( m
) 4 ( k ) 3 ( k
) 3 ( j ) 2 ( j
) 2 ( i ) 1 ( i
q B B
B B
B B
B B q
B B
B B
B B
B B
(12) Trong đó
) 1 ( 0 m ) 4 ( 0 m
) 4 ( 0 )
3 ( 0
) 3 ( 0 j ) 2 ( 0 j
) 2 ( 0 i ) 1 ( 0 i
3 4 0
) 1 ( m ) 4 ( m
) 4 ( k ) 3 ( k
) 3 ( j ) 2 ( j
) 2 ( i ) 1 ( i
16 x
B B
B B
B B
B B
] B [ , B B
B B
B B
B B
] B
Đặt : [BB]3x3 = [B0]T
3x4[B0]4x3
Vì vậy
4 3 0 3 3
Bằng cách thay (14) vào trong (10), Ta có được hàm chuyển vị như sau:
R )
4 ( 0 ) 4 ( e
) 3 ( 0 ) 3 ( e
) 2 ( 0 ) 2 ( e
) 1 ( 0 ) 1 ( e
) 4 (
) 3 (
) 2 (
) 1 (
q C N N
C N N
C N N
C N N
w w w
w
(15)
Ma trận độ cứng của phần tử có được bằng cách “lấy tổng” độ cứng của 4 phần tử con Tiếp theo sử dụng sự cô đặc tĩnh (static condensation) để giảm các bậc tự do bên trong của phần tử Và sử dụng điều kiện năng
Trang 5lượng toàn phần dừng để tìm ra được ma trận độ cứng phần tử Các thủ tục trên có thể tìm được trong [8]
Ma trận khối lượng m của phần tử được thiết lập như trình tự trên như sau:
4 1 i
) i (
m
EE ER
RE RR
m m
m m m
Trong đó chỉ số R và E trong các ma trận lần lượt dùng để quy định
cho các thành phần của phần tử tam giác tương ứng với các bậc tự do của các nút 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và các bậc tự do bên trong của nút 0 mà đã được giản lược
Với một phần tử, động năng Te có thể được tính như sau:
e
V
e
T e
2
1
Mà như ta đã biết do chuyển vị là hàm thời gian, các điểm của phần tử chuyển động với vận tốc bằng đạo hàm bậc nhất của chuyển vị theo thời
gian t:
Ở đây: q elà vector vận tốc các điểm nút của phần tử
Suy ra:
e e
V
T T
e
2
1 q dV N N q
2
1 T
e
R
R EE ER
RE RR T T R
T R E
R EE ER
RE RR T E
T
q m
m
m m C q q 2
1 q
q m m
m m q q 2
1
T RE ER
T RR
T
q 2
1
Trong đó:
C m C C m m C m
RE ER
T RR
Thực tế thấy rằng phân tích các nút giữa cạnh 5, 6, 7, 8 là phức tạp Tuy nhiên, nếu độ dốc pháp tuyến thay đổi tuyến tính dọc theo cạnh thì nút tại giữa cạnh được bỏ đi và coi góc xoay tại nút giữa là trung bình cộng của góc xoay tại nút i và nút j:
ij yj yi ij xj
xi ij yk ij xk
2
cos 2
sin
Với : k = 5, 6, 7, 8 và ij là góc của các cạnh ij = 12, 23, 34, 41
Trang 6Lúc này đối với phần tử LCCT chỉ còn lại 12 bậc tự do (thay vì 16) nhưng hoàn toàn tương thích với sự ràng buộc về những độ dốc pháp tuyến tuyến tính khác dọc theo các cạnh biên (hình 2)
Hình 2: phần tử LCCT12 sau khi đã giản lược
3 Các ví dụ tính toán
Bản vuông làm bằng vật liệu đẳng hướng có các thông số như sau: kích thước của bản: a = b = 4 m Chiều dày bản: h = 0.1 m Môđun đàn hồi: E = 2.5311109 Kg/m2 Hệ số Poisson: = 0.2 Khối lượng riêng: = 244.8 kg/m3
3.1 Tấm bốn cạnh tựa đơn
y
x
a
Hình 3: Tấm bốn cạnh tựa đơn
Ở ví dụ này chúng ta sẽ xem xét các giá trị tần số vòng của tấm trong
5 mode đầu tiên Chúng ta sẽ so sánh kết quả của phần tử LCCT12 với phần mềm SAP 2000 sử dụng phần tử tấm là thin-plate Ngoài ra còn so sánh với kết quả từ một nghiên cứu trước đây là [14] Ở đây lưới chia 10x10 sẽ được sử dụng Các kết qủa thu được từ các loại phần tử khác
nhau sẽ được so sánh với lời giải giải tích (chính xác) trong [5] như hình 4
và trình bày ở bảng 1 Hai phần tử khác sử dụng lý thuyết Mindlin (tấm dày) cũng được trình bày để tham khảo
1
2
3
4
6
n
w
5
n
w
7
n
w
8
n
w
1
2 3
4
Trang 71,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
9,000
w11 w12 w13 w14 w22
Loại tần số
ố Hùng[ ] - LT MindlinHùng[ ] - LT Kirchhoff
SAP2000 - Thin-plate SAP2000 - Thick-plate Phần tử 'LCCT-12'
Hình 4: Sai số % của các loại phần tử so với lời giải chính xác [5]
Bảng 1: Sai số (%) tần số của các phần tử trong 5 mode dao động đầu tiên so với [5]
STT Các loại phần tử w11 w12=w21 w13=w31 w14=w41 w22
1 Hùng[14] - LT Mindlin 0,496 2,707 8,944 7,292 2,291
2 Hùng[14] - LT Kirchhoff 0,539 0,880 1,034 1,106 2,036
3 SAP2000 - Thin-plate 0,736 1,188 1,372 1,591 2,930
4 SAP2000 - Thick-plate 1,608 1,995 2,341 2,842 4,182
5 Phần tử 'LCCT-12' 0,359 0,527 0,505 0,442 1,433 Có thể thấy rằng, phần tử LCCT12 cho kết quả tốt hơn so với hai phần tử cùng tuân theo lý thuyết Kirchhoff là phần tử số 2 và 3 Phần tử số 4 sử dụng lý thuyết Mindlin cũng cho kết quả đồng dạng với ba phần tử trước và sai khác giữa chúng là không lớn Phần tử số 1 cho kết quả không ổn định,cần chú ý khi sử dụng phần tử này
Chúng ta sẽ xem xét mức độ hội tụ của phần tử LCCT12 bằng việc thay đổi lưới chia phần tử là 2x2; 4x4; 8x8; 16x16 và cũng so sánh với phần tử thin-plate sử dụng trong SAP2000 Ở đây chúng ta chỉ xem xét kết quả của mode dao động đầu tiên w11 Lời giải chính xác trong [5] cho
Trang 8mode này là 116.87 rad/sec Các kết quả tính toán được trình bày ở hình 5 và liệt kê trong bảng 2
Hình 5: Khảo sát độ hội tụ của phần tử LCCT12 – tấm 4 cạnh tựa Bảng 2: Tần số dao động mode đầu tiên với các lưới chia phần tử
SAP2000 - Thin-plate 96,356 111,444 115,517 116,537 SAP2000 - Thick-plate 107,983 112,804 114,562 115,765 Phần tử 'LCCT-12' 127,019 119,794 117,568 117,006
Ta thấy phần tử LCCT12 hội tụ nhanh hơn so với Sap thin-plate Độ hội tụ đến lời giải chính xác khi độ mịn lưới tăng lên của LCCT12 tốt hơn hẳn so với SAP thin-plate Độ hội tụ của phần tử Sap thick-plate cũng rất nhanh Khi hội tụ, kết quả giữa hai loại phần tử tấm dày và mỏng có vẻ không khác nhau lắm Một đặc biệt nữa là LCCT12 tìm đến lời giải chính xác như một cận trên còn Sap thin-plate thì như một cận dưới
3.2 Tấm bốn cạnh ngàm
Ở ví dụ này chúng ta sẽ xem xét bài toán dưới những điều kiện biên khác Cũng giống ví dụ trên, đầu tiên chúng ta cũng sử dụng lưới chia 10x10 phần tử để so sánh các loại phần tử trong 5 mode dao động đầu
Trang 9tiên Các kết qủa thu được từ các loại phần tử khác nhau cũng sẽ được so sánh với lời giải chính xác trong [5] như hình 7 và trình bày ở bảng 3
x
y a
Hình 6: Tấm bốn cạnh ngàm
0,000
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
14,000
Loại tần số
Hùng[ ] - LT Mindlin Hùng[ ] - LT Kirchhoff SAP2000 - Thin-plate SAP2000 - Thick-plate Phần tử 'LCCT-12'
Hình 7: Sai số của các loại phần tử so với lời giải chính xác [5] Bảng 3: Sai số (%) tần số của các phần tử trong 5 mode dao động đầu tiên so với [5]
STT Các loại phần tử w11 w12=w21 w13=w31 w14=w41 w22
1 Hùng[14] - LT Mindlin 1,995 5,906 13,335 5,600 10,657
2 Hùng[14] - LT Kirchhoff 0,948 1,309 1,833 2,842 3,537
3 SAP2000 - Thin-plate 1,352 1,841 2,452 4,177 5,374
4 SAP2000 - Thick-plate 1,746 2,158 2,533 4,360 5,309
5 Phần tử 'LCCT-12' 0,821 0,978 0,434 2,302 2,714 Kết quả cũng tương tự ví dụ trước LCCT12 cho kết quả tốt hơn so với của phần tử số 2 và 3 Phần tử số 1 cho kết quả vẫn không ổn định nên sử dụng phần tử này không hiệu quả
Trang 10Và tiếp theo chúng ta cũng xem xét mức độ hội tụ của phần tử LCCT12 với độ mịn lưới chia phần tử thay đổi: 2x2; 4x4; 8x8; 16x16 và cũng so sánh với phần tử sử dụng trong SAP2000 Ở đây chúng ta cũng chỉ xem xét kết quả của mode dao động đầu tiên w11 Lời giải chính xác trong [5] cho mode này là 213.04 rad/sec Các kết quả tính toán được trình bày ở hình 8 và liệt kê trong bảng 4
Hình 8: Khảo sát độ hội tụ của phần tử LCCT12 – tấm bốn cạnh
ngàm
Bảng 4: Tần số dao động mode đầu tiên với các lưới chia phần tử
SAP2000 - Thin-plate 149,789 197,052 208,598 211,905
SAP2000 - Thick-plate 687,597 216,337 208,294 210,863
Phần tử 'LCCT-12' 224,682 221,221 215,795 213,654
Ở đây LCCT12 cũng hội tụ rất nhanh và khi đạt độ mịn lưới cần thiết thì kết quả gần như đạt chính xác
Các kết luận
Sử dụng phần tử LCCT12 đã cho các kết quả tốt, lời giải số gần như sát với lời giải chính xác Đặc biệt khi so sánh với phần tử sử dụng trong
Trang 11phần mềm rất thông dụng hiện nay ở Việt Nam là Sap2000 khi phân tích động lực học bài toán tấm mỏng lại cho kết quả tốt hơn hẳn LCCT12 đã cho kết quả hội tụ rất nhanh, số bậc tự do của nó cũng ít, do đó nếu sử dụng phần tử này để phân tích sẽ không cần chia lưới mịn và có thể rút ngắn được thời gian phân tích bài toán
Tuy nhiên trong phạm vi bài báo này mới chỉ phân tích bài toán dao động riêng không xét đến hệ số nhớt Các vấn đề dao động khác của bài toán tấm hi vọng sẽ được trình bày trong các nghiên cứu tiếp theo Phân tích dao động bài toán vỏ mỏng là những phát triển mà các tác giả đang thực hiện
Một hướng phát triển tương lai nữa đó là vận dụng lý thuyết tấm dày của Mindlin vào loại phần tử này cũng là những nghiên cứu khá thú vị
Tài liệu tham khảo
[1] A J M Ferreira, C M C Roque et all – "Analysis of Thin Isotropic Rectagular and Circular Plates with Multiquadrics", Strength of Materials, Vol 37, No 2, 2005.
[2] Ansel C Ugural – “ Stresses in Plates and Shell (Second Edition)” New Jersey Institute of
Texhnology – McGraw-Hill Inc – 1999.
[3] Chu Quốc Thắng – “ Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn” NXB KHKT – 1997.
[4] Clough, R.W and C.A Felippa – “ A Refined Quadrilateral Element for the Analysis of Plate Bending Pro Of the Second Conf on Matrix Methods in Structural Mechanics” Wright Patterson Air Force Base, Ohio, 10/1968.
[5] Eduard Ventsel and Theodor Krauthammer - " Thin Plates and Shells : Theory, Analysis, and Applications", Marcel Dekker, 2001.
[6] Hutton – “ Fundamental of Finite Element Analysis” McGram-Hill, 2004.
[7] J H Argyris – “ Energy Theorems of Structural Analysis” Aircraft Engineering, Vol 26,
1954, pp 347-356 and 383-387.
[8] Nguyễn Ngọc Dương – “ Conforming Model And Error Estimation FEM for Plate Bending and Thin Shell Structures” Master thesis of EMMC 9, 10/2005.
[9] Nguyễn Xuân Hùng – “ Ladevèze-type compatibily error assessment for plate bending” Master thesis of EU-EMMC, Đại Học Bách Khoa TPHCM 2/2003.
[10] Nguyễn Xuân Hùng– “ The equilibrium element finite model and error estimation for plate bending” Int Congress Engineering Mechanics Today, Ho Chi Minh City, 08/2004.
[11] O.C.Zienkiewicz, CBE, FRS, FREng and R.T Taylor – “ The Finite Element Method”, MPG Books Ltd, 2000.
[12] R L.Taylor, S Govindjee – “ Solution of clamped rectangular plate problem” UCB/SEMM 09/2002.
[13] S Timoshenko and S Woinowsky-Krieger – “ Theory of Plates and Shells” Mcgraw-Hill, New York, 1959.
[14] Trần Quốc Hùng – " Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên, độ dày, tỉ lệ các cạnh đến đặc trưng động lực học của tấm chữ nhật", Luận văn thạc sĩ của Trường ĐHBK, 2001.
