CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG TỌA ĐỘ VECTƠ GIẢI TOÁN

Vectơ, một công cụ giải toán khá mạnh và đem lại những bất ngờ và thú vị trong lời giải của một số bài toán hay và khó. Chuyên đề nhỏ này xin trình bày 3 nội dung cơ bản sau:Phần I: Sử dụng tọa độ vectơ trong giải toán đại sốPhần II: Sử dụng tọa độ vectơ trong giải toán hình họcPhần III: Sử dụng tọa độ vectơ trong giải toán lượng giác.

Trang 1

THPT CHUYÊN LÀO CAI GV: TRẦN HOÀI VŨ

Phần I: Sử dụng tọa độ vectơ trong giải toán đại số

Phần II: Sử dụng tọa độ vectơ trong giải toán hình học

Phần III: Sử dụng tọa độ vectơ trong giải toán lượng giác

-@ -

I) Sử dụng tọa độ vectơ trong giải toán đại số

1 Sử dụng vectơ trong giải phương trình, bất phương trình

  Khi đó:

iii) Hiển nhiên có được từ ii)

ta có: u 2 0

Chứng minh

(Dễ dàng)

Trang 2

Bình luận : Mấu chốt của việc chọn tọa độ cho hai vectơ trên là gì? Rất đơn giản,

phải thỏa mãn 2 điều kiện:

Một là: Vectơ tổng phải là vectơ không đổi ( có tọa độ cụ thể) và u v  29

Hai là: Hai vectơ chọn phải có tung độ ( hoặc hoành độ) cùng dấu

Trang 3

Bài trên ko giống dạng 2 bài trước, ta tìm hướng giải quyết khác

Trang 4

Hình thức ko khác gì bài số 4, tuy nhiên nếu chỉ làm đơn thuần như bài số 4 thì ko

thể có vế phải được Vì thế phải biến đổi “ nghệ thuật” như sau:

Bình luận: Việc viết ra 2 con số 1 và 2 thật ko tự nhiên chút nào? Mò chăng?

Ta thấy rằng VP ko âm, vì thế ta sẽ viết vế trái như sau:

Trang 5

Bài số 6: Xác định m đề pt sau có nghiệm: 2 2

Từ bài toán trên ta có thể dẫn xuất ra 2 bài toán sau:

( Tất nhiên đáp số ko thay đổi)

+) Bài toán 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Trang 6

Bình luận:

Với 3 cách giải cho ta 3 đáp số?! Cách giải nào đúng? Cách giải nào sai? Sai ở đâu? Nếu sai thì sửa sao cho đúng?

Trang 7

Trang 8

2 Sử dụng vectơ trong bài toán bất đẳng thức và cực trị

Bất đẳng thức và cực trị là một dạng toán hay nhưng lại rất khó Chính vì thế,

chuyên đề nhỏ này cũng chỉ xin giới thiệu một số bài toán hết sức cơ bản và đơn giản nhằm minh họa phương pháp mà thôi!

Bài số 8: Cho các số thực a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức:

Do đó từ hệ điều kiện ta phải có:

Trang 9

0

a b c bc

Trang 10

Trang 11

Bài số 14: Cho a, b, c > 0: ab + bc + ca = abc Tìm GTNN của biểu thức:

Trang 12

Trang 13

II) Sử dụng tọa độ vectơ trong giải toán hình học

Ứng dụng của vectơ trong hình học rất phong phú và đa dạng CĐ nhỏ này chỉ xin nêu lên một số bài toán cơ bản nhất, thường gặp trong các kỳ thi vào ĐH – CĐ Xin bắt đầu bằng một bài toán vô cùng quen thuộc

Bài số 16: Cho tam giác ABC với A(1;1;1), B( 2; -1; 1), C(1; 3; 2)

Viết phương trình đường phân giác trong góc A

Giải

Nếu đây là bài toán trong hình học giải tích

trong mp thì vô cùng đơn giản Có những

cách trong phẳng làm được nhưng trong

KG thì ko thành công Nếu sử dụng vectơ

thì trong cả phẳng và KG đều làm được và

là VTCP phân giác trong AD

góc A của tam giác ABC

+) Nếu đề yêu cầu viết pt đường phân giác tạo bởi góc nhọn giữa 2 đt cắt nhau

d1; d2 thì làm thế nào??? Rất đơn giản: Tính cos( ,u u 1 2)

Nếu cos( ,u u1 2)0

Trang 14

Bài số 17: Cho đường thẳng  :

Trang 15

Bài số 18: Cho mặt phẳng  P : x y  z 40 Tìm điểm M P sao cho

Vậy nếu M là điểm thuộc mp(P) thì có biểu thị tọa độ M theo tham số được ko?

Việc tìm cực trị của hàm f(t,u) thật ko đơn giản!

Vậy thì công cụ vectơ áp dụng vào bài này như thế nào?

a)Xét điểm I tùy ý, ta có:

Trang 16

353

Cho n điểm A A1, 2, ,A và n số thực n  1, 2, ,n:12  n  Khi đó 0

tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn:

1

0

n

i i i

IA





của hệ n điểm A A1, 2, ,A gắn với hệ số n  1, 2, ,n

Bằng cách phân tích:

Trang 17

Đến đây chỉ việc tìm tọa độ điểm I sao cho IA3IB4 IC 0

rồi làm tiếp theo hướng dẫn trên

81

Gọi J là điểm sao cho: JA2JB3JC 0

Trang 18

MA MB MC  MJ

Do đó: 2 MA  MBMC  MA2MB 3MC  6 MG 6 MJ  MG MJ

Vậy: Tập hợp các điểm M là đường trung trực của GJ

Bài số 21: Cho tam giác ABC, M, N là 2 điểm thay đổi thỏa mãn:

MN 4MA MB  2MC

CMR: MN luôn đi qua một điểm cố định

Giải

Gọi I là điểm sao cho: 4IA IB2 IC 0

Trang 19

Cho ABC có G là trọng tâm Một đường thẳng qua G cắt các cạnh AB, AC lần

AM  AN  Giải

Trang 20

III) Sử dụng tọa độ vectơ trong giải toán lượng giác

Sử dụng công cụ vectơ vào giải một số bài toán về lượng giác cho ta những lời giải bất ngờ và rất thú vị

Bài số 25: Cho tam giác ABC Tìm GTLN của biểu thức:

P cosAcosBcosC

Trang 21

*) Bình luận:

Với việc khai triển bất đẳng thức:(xe1  ye2 ze3)2 0

ta nhận được bất đẳng thức sau:

Bài số 26: Cho tam giác ABC Tìm GTNN của biểu thức:

P cos 2Acos 2Bcos 2C

Giải

Nếu gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì rõ ràng ta có thể liên hệ

các góc 2A, 2B, 2C với góc ở tâm O ứng với các góc nội tiếp A, B, C

Trang 22

Suy ra: A, B, C là 3 góc trong tam giác

Bµi sè 28 : Cho tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng:

Trang 23

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài số 29:Chứng minh rằng:

x2  xy  y2+ y2  yz z2 + z2  zxx2  3(x y z), x,y,z > 0

Bài số 30: Chøng minh r»ng víi mäi x ta cã:

Bài số 31:Gi¶ sö hệ phương trình

2 2

z yz y

y xy x

Bài số 34: Chứng minh rằng với mọi tam giác nhọn ABC ta luôn có:

Hướng dẫn

Bài số 35: Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có:

4cos2 x c os2y sin (2 x y)  4sin2 x.sin2 ycos (2 x y)  2

Bài số 36: Với x, y là hai số thực bất kì tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 24

Bài số 37: Cho x là số thực Chứng minh rằng :

Bài số 38: Giải các phương trình sau:

f) sin x  2 sin  2 x  sin x 2 sin  2 x  3

Bài số 39: Cho tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng:

Bài số 40: Cho tam gi¸c ABC vµ sè thùc x Chøng minh r»ng:

, không phụ thuộc vào vị trí của M

MA2 MB2 2MC2 2MO v 

Trang 25

Bài số 44: Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm

b) Viết pt đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng trên

………@

Lµo Cai, ngµy 11 th¸ng 7 n¨m 2011

TrÇn Hoµi Vò

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	386,59 KB