tài liệu lý thuyết tín hiệu

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TÍN HIỆU 1.1 Tín hiệu và thông tin: Từ tín hiệu có nguồn gốc từ tiếng Latin: signum dùng để chỉ một vật thể, một dấu hiệu, một phần tử của ngôn ngữ hay một biểu tượn

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TÍN HIỆU 1.1 Tín hiệu và thông tin:

Từ tín hiệu có nguồn gốc từ tiếng Latin: signum dùng để chỉ một vật thể, một dấu hiệu, một phần tử của ngôn ngữ hay một biểu tượng đã được thừa nhận để thể hiện một tin tức

Khái niệm tín hiệu: là sự biểu hiện vật lý của tin tức mà nó mang từ nguồn tin đến nơi nhận tin

Phương cách biểu diễn tín hiệu: tín hiệu điện: dòng điện hay điện áp

Cách biểu diễn hay truyền đạt tín hiệu: mô hình toán học

Khái niệm thông tin: là nội dung mà tín hiệu thể hiện Như vậy, thông tin này ngẫu nhiên (không được biết trước và nó mang tin tức)

Tóm lại: tín hiệu mang tin tức là tín hiệu ngẫu nhiên, mô hình toán học Tín hiệu là các quá trình ngẫu nhiên thực hay phức Trong một tín hiệu chứa nhiều thông tin, nhưng trong một thông tin không thể chứa được nhiều tín hiệu

Khái niệm nhiễu: nhiễu là một dạng tín hiệu mà nơi nhận tin không cần quan tâm

Ví dụ: thông tin từ máy điện thọai, tín hiệu audio thu được từ micro

Quy ước: tín hiệu ký hiệu là S (Signal)

1.2 Phân loại tín hiệu:

1.2.1 Tín hiệu vật lý và mô hình lý thuyết:

-Tín hiệu vật lý: là một tín hiệu vật lý thực hiện được phải thỏa mãn các yêu cầu: +Năng lượng hữu hạn

+Biên độ hữu hạn +Phổ hữu hạn

1.2.2 Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên: mô hình toán học

Tín hiệu xác định (mô hình toán học biết trước): là tín hiệu mà quá trình biến thiên của nó đựơc biểu diễn bằng một hàm thời gian hoàn toàn xác định, hay có mô hình toán học được biết trước

Ví dụ: tín hiệu hình sin, xung vuông

Tín hiệu ngẫu nhiên: là tín hiệu mà quá trình biến thiên của nó không được xác định, hay mô hình toán học không được biết trước

Ví dụ: tín hiệu ngẫu nhiên Lưu ý: tín hiệu hình sin với pha ban đầu không biết trước là tín hiệu ngẫu nhiên

1.2.3 Tín hiệu năng lượng- tín hiệu công suất: năng lượng của tín hiệu

Chia tín hiệu làm 2 loại: năng lượng hữu hạn và công suất trung bình hữu hạn

+ Tín hiệu năng lượng hữu hạn: là tín hiệu mà có quá trình biến thiên theo thời gian giới hạn:

±∞

→ x (t) 0

Lim

+ Tín hiệu công suất: là tín hiệu mà có quá trình biến thiên theo thời gian không giới hạn

x(t)

t

t o

x(t)

t t

t

t

x(t)

Định nghĩa bằng công thức: =

±∞

→ x (t)

Lim

Ví dụ: cho các tín hiệu sau:

e t

x1( )= ,

t t

x2( )=1, t

e t

Hãy cho biết tín hiệu nào là tín hiệu năng lượng và tín hiệu nào là tín hiệu công suất?

1.2.4 Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc:

Tín hiệu liên tục: là tín hiệu có biên độ biến thiên liên tục theo thời gian

Tín hiệu rời rạc là tín hiệu có biên độ biến thiên không liên tục theo thời gian Ví dụ: xung vuông

1.3 Tín hiệu xác định:

1.3.1 Các thông số đặc trưng của tín hiệu xác định:

1.3.1.1 Tích phân tín hiệu:

Định nghĩa: cho tín hiệu x(t) là tín hiệu xác định, tồn tại trong khoảng thời gian +∞

<

<

∞

∫

+∞

∞

−

= x t dt

x] ( )

Lưu ý: chỉ có ý nghĩa với những tín hiệu mà giá trị tích phân của nó là hữu hạn

Ví dụ 1: cho tín hiệu

t t x

2

1 )

Giải:

Aùp dụng công thức (1.1), ta được:

∞ +

∞

− +∞

∞

−

+∞

∞

t dt t x

2

1 2

1 )

( ]

Ví dụ 2: cho tín hiệu x(t) như hình vẽ

x(t)

t

π

2 sin

Tính tín phân x(t) biết T1, T2 là các thông số biết trước

Giải:

Aùp dụng công thức (1.1), ta được:

2 1

2 cos 2

1 2

sin )

( ]

T

t tdt

dt t x

π π

∫

∞

−

+∞

∞

−

−

=

=

=

[cos2 2 cos2 1]

2

1 ]

−

1.3.2 Trị trung bình của tín hiệu:

Công thức:

1 2

2

1

) (

t t

dt t x x

t

t

−

= ∫

Ví dụ 3: cho tín hiệu t

T t

sin )

Giải:

T

tdt T t

t

dt t x x

T t

∫

=

−

1 2

2 sin )

(

2

1

π

0

2 cos

−

=

T

t T

T

π Nếu tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T, ta có công thức (1.3):

∫+

=

T t

t dt t x T x

0

0

) (

1.3.3 Năng lượng tín hiệu:

Công thức:

[ ] +∞∫

∞

−

=

= x x t dt

Ví dụ 4: cho tín hiệu

t t x

2

1 )

Giải:

Aùp dụng công thức (1.4), ta được:

t dt

t x x

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

=

∞

−

2

1

2 2

2

2

1 )

(

[ ]

8

1 1 4

1

1

−

=

E x

Bài tập về nhà: tính năng lượng của các tín hiệu sau:

T t

sin )

T t

cos )

1.3.4 Công suất trung bình:

Công thức:

1 2

2 2

2

1

) (

t t

dt t x x

P

t

t

∫

Lưu ý: tín hiệu tuần hoàn chu kỳ T thì ta áp dụng công thức (1.6)

∫+

=

=

T t

t

T x P

0

0

) (

2

Ví dụ 5: cho tín hiệu x(t)=2sin200πt Tính giá trị công suất trung bình của tín hiệu này

Giải:

1

s

T =

⇒ Aùp dụng công thức (1.6), ta được:

∫

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

=

=

T T

T dt t T

x P

0 0

2 2

4

400 cos 1 1 )

200 sin 2 (

4

1 400

sin 4

1 4

1

0 0

2

= +

=

T

t T x

Bài tập về nhà: tính công suất trung bình các tín hiệu sau:

T

cos

T

sin

1.4 Phân tích phổ tín hiệu:

Có 4 cách phân tích tín hiệu:

+phân tích miền thời gian +phân tích tương quan +phân tích thống kê

t

x6(t)

A

T/2 T 3T/2

t

0 T/2 T 3T/2

x2(t)

1

+ Phân tích phổ (phân tích miền tần số) Trong đó, hai phương pháp phân tích miền thời gian và phân tích phổ là quan trọng Phân tích miền thời gian là quá trình phân tích đã được xét ở các mục trên

Phân tích phổ tín hiệu là quá trình phân tích tín hiệu dưới dạng miền tần số

Đặc điểm phân tích phổ: phân tích nhiều loại tín hiệu, là một cơ sở phân tích được nghiên cứu đầy đủ và biểu diễn qua các cách phân tích khác Phân tích phổ là một công cụ phân tích tín hiệu thông tin dùng trong điện thoại, phát thanh, phát hình, …

Nhiệm vụ: nghiên cứu các tính chất tín hiệu qua phân tích cấu trúc tần số như: hình dáng, vị trí, bề rộng phổ, … trên thang đo tần số

Lưu ý: phân tích tần số cho ta tin tức về tín hiệu nhanh hơn phân tích thời gian, đặc biệt đối với các tín hiệu gồm nhiều thành phần tần số

Công cụ phân tích là chuỗi lượng giác và chuỗi phức Fourier

1.4.1 Biến đổi tương đương Fourier của tín hiệu:

Công thức:

∑∞

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ +

=

1 0

2 sin 2 2

cos 2 1

) (

n

n

T

n T

t T

n T T

t

Trong đó: x(t) là tín hiệu xác định trong khoảng thời gian (0,T)

T

T

∫

= 0

α

dt t T t

x T

T

0

2 cos ) (

α

dt t T t x T

T

0

2 sin ) (

β Công thức (1.7) được rút gọn lại như sau:

∑∞

=

+ +

=

1

0 0

) (

n

n

a a

t

T a

T

∫

= 0

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

=

=

∫

∫

dt t n t x T b

dt t n t x T a

T n

T n

0

0

0

0

sin ) ( 2

cos ) ( 2

ω

ω

là các hệ số AC

Với

T

π

Nhận xét: bất kỳ một tín hiệu xác định nào trong khoảng thời gian thì đều được biến đổi tương đương thành tổng các thành phần Dc và AC có hài tần số từ thấp đến cao

1.4.2 Phổ của tín hiệu:

Cho tín hiệu x(t) với mọi t, ta được:

( )ω ϕ ω

) ( )

( )

∞

−

) (ω

( )ω

Nhận xét: phổ tín hiệu thể hiện sự biến thiên về tần số và công suất tín hiệu

Lưu ý:

α α

α

sin

α α

α

sin

1(t) là hàm đơn vị

⎩

⎨

⎧

<

>

0 0

0 1

t t

Ví dụ 6: cho tín hiệu x(t)=e−αt1(t) Tính giá trị phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu

Giải:

dt e e dt e e dt e t e dt e t x

∞

−

−

− +∞

∞

−

−

− +∞

∞

−

=

0

0

1

0 ).

( 1 )

( )

t

x(t)

1

∞ + +

−

+∞

+

−

+∞

−

−

+

−

=

=

) (

0

) (

0

1

1 )

t j dt

e dt e e

ω α ω

ω α ω

α

j e

im l t j

+

−

∞

→

1 1

)

Giá trị phổ biên độ:

2 2

2 2

2

1 )

(

ω α ω

α

ω ω

α

α ω

+

= +

+ +

=

X

Giá trị phổ pha:

α

ω ω

tg

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

∠

α

ω ω

ϕ( ) arctg

Bài tập về nhà: tính giá trị và vẽ phổ pha, phổ biên độ của các tín hiệu sau:

a)

⎩

⎨

⎧

<

>

=

0

0 )

(

t e

t e

e t

t t

α

α α

1.4.3 Một số công thức tín hiệu xác định và các ký hiệu:

1.4.3.1 Tín hiệu năng lượng có thời hạn hữu hạn:

t

x2(t)

1

-T T

t

-T/2 T/2

x1(t)

1

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

<

=

>

=

∏

=

2

1 1

2

1 2

1 0

) ( ) (

t t

t t

t x

⎩

⎨

⎧

≤

−

>

= Λ

=

1 1

1 0

) ( ) (

t t

t t

t x

1.4.3.2 Tín hiệu năng lượng có thời hạn vô hạn:

1) Hàm mũ suy giảm:

⎩

⎨

⎧

<

≥

0 0

0 )

(

t

t e

t x

t

α

2) Tín hiệu hàm Sa:

( )

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

≠

=

=

0 1

0

sin )

(

0

0 0

t

t t

t t

Sa t

ω ω

t

x(t)

t

x(t)

1

-1 1

t

-T/2 T/2

x(t)

1

3) Tín hiệu Sa2:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

≠

=

=

0 1

0

sin )

0 0 2

0 2

t

t t

t t

Sa t

ω ω

4) Tín hiệu Gausse:

2 )

x = −π

1.4.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier:

Tính chất 1: tính chẳn và lẻ:

) ( ) (

) ( ) (

ω ϕ ω ϕ

ω ω

−

−

=

= X X

t

x(t) 1

t

x(t)

1

0 0

0 0

0 0

3 2

2 3

ω

π ω

π ω

π ω

π ω

π ω

−

t

x(t)

1

0 0

0 0

0 0

3 2

2 3

ω

π ω

π ω

π ω

π ω

π ω

−

Nếu

) ( ) (

) ( ) (

ω

ω

−

↔

−

↔

X t x

X t x

Tính chất 3: định lý về tính tuyến tính của phổ:

Cho

) ( ) (

) ( ) (

ω

ω

Y t y

X t x

↔

↔

Tính chất 4: tính chất đối xứng:

Tính chất 5: định lý về đồng dạng:

a

t

Tính chất 6: định lý dịch chuyển trong miền thời gian

Vậy dịch chuyển tín hiệu trong miền thời gian không làm méo tín hiệu

Tính chất 7: định lý dịch chuyển trong miền tần số (định lý điều chế tín hiệu)

⎣

⎡

<

+

↔

>

−

↔

−

0 )

( )

(

0 )

( )

(

0 0

0 0

0

0

ω ω

ω

ω ω

ω

ω

ω

X e

t x

X e

t x

t j

t j

[ ( ) ( )]

2

1 cos

) (t ω0t↔ X ω−ω0 +X ω+ω0

x

[ ( ) ( )]

2

1 sin

)

j t t

x

Tính chất 8: định lý vi phân trong miền tần số:

( )( ) ; 1,2,3,

)

d

X d t x t

n n

n

ω ω

Tính chất 9: định lý vi phân trong miền thời gian:

,

3 , 2 , 1 );

( ) ( ) (

=

dt

t x

n

n

ω ω

Nhận xét:

- Tính chất này làm tăng phổ biên độ đối với tần số lớn; ngược lại, làm giảm phổ biên độ đối với tần số nhỏ

- Riêng phổ pha sau mỗi lần vi phân sẽ tăng lên một lượng

2

π với f>0; ngược lại sẽ giảm một lượng

2

π với f<0

Tính chất 10: tích phân trong miền thời gian:

) (

1 )

ω τ

j d x

t

↔

∫

∞

−

∞

−

∞

→

t

t im x d

Tính chất 11: tích chập trong miền thời gian

) ( ) ( ) (

* ) (t y t X ω Y ω

Dấu * biểu thị phép tích chập

Nhận xét: chập 2 tín hiệu trong miền thời gian bằng tích phổ 2 tín hiệu trong miền tần số

Tính chất 12: tích chập trong miền tần số:

[ ( )* ( )]

2

1 ) ( )

t y t

Tính chất này thường sử dụng trong điều chế tín hiệu

+∞

∞

−

↔

−

= ( ) *( τ) τ (ω) *(ω)

Tính chất 14: định lý về hàm tự tương quan:

∫

+∞

∞

−

↔

−

) ( )

( )

Nhận xét: phổ hàm tự tương quan là bình phương biên độ của tín hiệu

Tính chất 15: định lý về tích vô hướng:

+∞

∞

−

+∞

∞

−

dt t y t

2

1 )

( )

+∞

∞

−

+∞

∞

−

dt t

2

1 )

(

bằng tích phân của bình phương biên độ phổ

1.4.5 các ví dụ về phổ của tín hiệu (các cặp biến đổi Fourier thông thường):

+

↔

ω α

α

j t

e t

ω α

α

α

+

↔

− t

e

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2

T TSa T

0 0

0

2ω

ω ω

π

ω t Sa

Ta không thể tính trực tiếp từ định nghĩa

Aùp dụng định lý đối xứng, ta có:

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2

T TSa T

∏⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞

→

=

0

0

2 )

(

ω

ω π

ω

ω Sa t t

X

∏⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞

→

0 0

ω ω

π

ω t Sa

Trong đó:

2 2

0 '

0

ω

ω =T =

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

→

0 '

0

' 0

2ω

ω ω

π

ω t Sa

∏⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞

→

⇒

0 0

0

2ω

ω ω

π

ω t Sa

5)

2

TSa T

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ Λ

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ Λ

↔

0 0

0 2

2 )

(

ω

ω ω

π

ω t Sa

Lưu ý: suy từ phổ xung tam giác và áp dụng định lý đối xứng Ngoài ra, người ta có thể áp dụng định lý tích chập trong miền tần số để chứng minh

1.4.6 Phổ Fourier giới hạn (phổ của tín hiệu công suất không tuần hoàn):

1(t), sgn(t),…

- Phổ Fourier giới hạn được định nghĩa bởi giới hạn của một dãy tín hiệu nào đó, dùng để biểu diễn tín hiệu không có phổ Fourier

t t

x t

lim

0 α α

ω ω

ω

α

⇒

lim

Cách biến đổi:

e−α

e−α hay t2

e−α

1) δ(t)↔1 )

(t

Dùng định lý đối ngẫu chứng minh

3)

ω

j

sgn ↔

4)

ω ω

πδ

j

1 ) (

2

1 2

1 ) (

) (ω

X

π

x(t)

1

) (ω

X

x(t)

1 -1

) (ω

X

π2

x(t)

1

t

)

(t

δ

ω

) (ω

X

1

5) 2 2

0 0 0

2 ) (

2 ) ( 1 cos

α ω

ω ω

ω δ

π ω ω δ

π ω

− + + +

−

t t

0

0 0

0

2 ) (

2 ) ( 1 sin

ω ω

ω ω

ω δ

π ω ω δ

π ω

− + + +

−

↔

j j

t t

e