BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dụng để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụ thể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc có nhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa…)

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRI LN NN

1)Cho x, y, z  0 và x2  y2  z2  3 Chứng minh:

3 2 2

GIẢI

Ta có: VT + 3 =

0.25

VT



1

4 2



1

4 2



6

0.25

6 3

2 2

( Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1)

2)Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx  2xyzxyz

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).

GIẢI

Ta có xy yz xz 2xyz 1 1 1 2

Tương tự ta có 1 1 1 1 1 x 1 z 1 2 (x 1)(z 1) (2)

Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được ( 1)( 1)( 1) 1

8

8 x  y z 2

3 Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện 2x2y2 xy1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

P xy





 .

G

5

3

xy  x y  xy  xy xy ĐK: 1 1

  

Suy ra :  

2

P

2 2

7

'

2 2 1

P

t

 



 , ' 0P   t 0( ),th t1(kth)

P P  

    và  0 1

4

KL: GTLN là 1

4 và GTNN là

2

15( HSLT trên đoạn

1 1

;

5 3



4)Với mọi số thực dương x y z; ; thỏa điều kiện x y z  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: P x y z 2 1 1 1

G

Áp dụng BĐT Cô-si : 18x 2 12

x

  (1) Dấu bằng xãy ra khi 1

3

x 

Tương tự: 18y 2 12

y

  (2) và 18z 2 12

z

  (3)

Mà: 17x y z  17 (4) Cộng (1),(2),(3),(4), ta có: P 19

1 19

3

P  x  y z KL: GTNN của P là 19

5 Chứng minh a2 b2 c2 12 ab bc ca a b c

G

Ta có:

2 2

Tương tự: 2 1

2

b

2

c

c a   (3)

Cộng (1), (2), (3), ta có: a2 b2 c2 12 ab bc ca a b c

6)Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1x y z114 CMR:

1

2 x y z x     2 y z x y     2 z

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

+Ta có : 2 1 14 2.( 1 1 )

x y z    x y z  ; 21 1 14 2( 1 )

x  y z   y x z  ; 1 2 1 14 2( 1 )

x y   z z y x 

+ Lại có : 1 1 1( 1);

x y  4 xy

1 1 1( 1);

y z  4 yz

1 1 1( 1);

x z  4 xz

cộng các BĐT này ta được đpcm

7) Cho a, b, c0 và a2b2c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

GIẢI

3 2 2

3 2 2 3

1 1

c c c

b b b

a

















2 4

1 1

2 1

2 2

4

2 2 2

b

a b

a











2 4

1 1

2 1

2

2 2

2 2

c

b c











2 4

1 1

2

1

2

2 2

2 2

a

c a









6 3

6 3

6

2 16

3 2 16

3 2 16

3 a  b  c



6 2 2 2

9 ) (

2 2 2

3 2

2

3











2

3 2 2

3 2 2

9 2 2

3 2 2

9



 P

Để PMin khi a = b = c = 1

8 Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.Chứng minh rằng :

2

GIẢI

Ta có :VT =( a b c ) ( b2 c2 a2 ) A B

2

3

2

a b b c c a

a b b c c a

a b b c c a A

1

1 2

2

a b b c c a

Từ đó tacó VT 3 1 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3

9 Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn : x +3y+5z  3 Chứng minh rằng:

4 625



z



x



y

GIẢI

Bất đẳng thức

 2 42

x

9

4 9

y

2

2

25

4 25

z

z   45

VT    2    )2 

5

2 3

2 2 ( ) 5 3

(

z y x z y

x

2 3

) 5 3 (

36 )

5 3 (.

9

z y x z

y

Đặt t = 3 (x 3y 5z) 2

3

5 3 )

5 3 (

3









  

 x y z z

y

x do đó t  1

Điều kiện 0 < t 1 XÐ hàm số f(t)= 9t +

t

36t 27t 2 36 t 27

Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y=

3

1

; z=

5

1

10 Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1] Chứng minh rằng

xy  yz  zx x y z 

GIẢI

Để ý rằng xy1  x y   1 x 1 y0;

và tương tự ta cũng có 1

1

  





  



Vì vậy ta có:

3

1 zx+y 1

5 1

5

x y z

x

x



11.Cho a, b, c là ba cạnh tam giác Chứng minh

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

2

a

GIẢI

Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên:

a b c

b c a

c a b

 





 



  



Vế trái viết lại:

2

VT

Ta có: x y z z x y z  2z x y  2z z

y z  x y z z x    x y z 

2

x y z

 

a

12xyz Cho hai số dương x y, thỏa mãn: x y 5.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 2

4

P xy

GIẢI

Cho hai số dương x y, thỏa mãn: x y 5.

P



P bằng 3

2 khi x1;y4 Vậy Min P =

3 2

Lưu ý:

Có thể thay y 5 x sau đó tìm giá trị bé nhất của hàm số 3 5 3 5

( )

g x



13 Cho x, y, z 0thoả mãn x+y+z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

16

P

x y z



 

GIẢI

Trước hết ta có: 3 3  3

4

x y

x y   (biến đổi tương đương)   x y  2 x y  0

Đặt x + y + z = a Khi đó    

 

(với t = z

a, 0 t 1)

Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t0;1 Có

9

f t   t   t  f t    t

Lập bảng biến thiên

 

 0;1 

64 inf

81

t



81 đạt được khi x = y = 4z > 0

14 Chứng minh: x y z 1 1 1 12

  với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn 1;3 

GIẢI

1 t 3 t 1 t 3 0 t 4t 3 0 t 4

t

Suy ra : x 3 4 ; y 3 4 ; z 3 4

2

Q

              

15.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số yx1ln x.

GIẢI

TXĐ: D 0; ; y' lnx x 1

x



y’= 0 x1 ; y(1) = 0 vìy lnx x 1

x



Khi 0 < x < 1  y' 0 ; khi x > 1  y' 0

KL: miny = 0x1

16 Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1] Chứng minh rằng

xy  yz  zx x y z 

GIẢI

Để ý rằng xy1  x y   1 x 1 y0;

và tương tự ta cũng có 1

1

  





  



Vì vậy ta có:

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

3

1 zx+y 1

5 1

5

x y z

x

x



vv

17 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2xyz + y2xyz + z2xyz  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Giải

P

Vậy GTNN là Pmin = 3

2 khi x = y = z

P  

18 Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a b c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9 c

GIẢI

Theo cô – si có 222b2c3 23 a b c   Tương tự …6

Đặt u 2 ;3 ; 4 ,a b c v2 ;3 ;4 , wc  a b  2 ;3 ; 4b c a M u  v  w

w 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c

Vậy M 3 29 Dấu bằng xảy ra khi a b c  1

19 Cho x, y, z 0thoả mãn x+y+z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

16

P

x y z



 

GIẢI

Trước hết ta có: 3 3  3

4

x y

Đặt x + y + z = a Khi đó    

 

(với t = z

a, 0 t 1)

Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t0;1 Có

9

f t   t   t  f t    t

Lập bảng biến thiên

 

 0;1 

64 inf

81

t



81 đạt được khi x = y = 4z > 0

2xyz0.Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x (y z)2 y (z x)2 z (x y)2

yz zx xz

GIẢI

Ta có :

x x y y z z

P

y z z x x y

      (*)

Nhận thấy : x 2 + y 2 – xy  xy x, y  

Do đó : x 3 + y 3  xy(x + y) x, y > 0 hay

2 2

x y

x y

y  x   x, y > 0 Tương tự, ta có :

2 2

y z

y z

z  y   y, z > 0

2 2

z x

z x

x  z   x, z > 0 Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:

P  2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1

3 Vì vậy, minP = 2

2xyz1 Cho x, y, z 0thoả mãn x+y+z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

16

P

x y z



 

Trước hết ta có: 3 3  3

4

x y

x y   (biến đổi tương đương)   x y  2 x y  0 Đặt x + y + z = a Khi đó    

 

(với t = z

a, 0 t 1)

Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t0;1 Có

9

f t   t   t  f t    t

Lập bảng biến thiên

 

 0;1 

64 inf

81

t



81 đạt được khi x = y = 4z > 0

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

2xyz2xyz.Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh:  3 3 3

2

b c c a a b

* Ta cm với a, b > 0 có a3 + b3  a2b + ab2 (*)

Thật vậy: (*)  (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b)  0

 (a + b)(a - b)2  0 đúng

Đẳng thức xẩy ra khi a = b

* Từ (*)  a3 + b3  ab(a + b)

b3 + c3  bc(b + c)

c3 + a3  ca(c + a)

 2(a3 + b3 + c3 )  ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)

* Áp dụng BĐT co si cho 3 số dương ta có:

13

1

1

1 1 1

a b c = 3

abc (2)

* Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được BĐT cần cm

Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c

2xyz3 Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x2y2z2 xyz Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

xy z

z zx y

y yz x

x P











P x x xy y y zx z z xy











Vì x;y;z 0, Áp dụng BĐT Côsi ta có: P2 x x2yz 2 y y2zx 2 z z2xy =



















xy zx yz

2 2 2

4

1









  



























xyz

z y x xyz

xy zx yz y

x x z z

y

2 2 2 2

1 2

1 1 1 1 1 1

1

4

1

12 12













xyz xyz

Dấu bằng xảy ra  xyz 3 Vậy MaxP =

2 1

2xyz4 Cho x,y  R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của  3 3  2 2

( 1)( 1)

P



Đặt t = x + y ; t > 2 Áp dụng BĐT 4xy  (x + y)2 ta có

2

4

t

xy 

3 2

(3 2) 1

P

xy t



  Do 3t - 2 > 0 và

2

4

t xy

  nên ta có

2

3 2

2 2

(3 2) 4

2 1

4

P

t



 



 

Xét hàm số

2

4



  f’(t) = 0  t = 0 v t = 4

t

2 4 +

f’(t)

- 0 +

f(t)

8

Do đó min P = (2;min ( )) f t = f(4) = 8 đạt được khi 4 2



2xyz5.Cho x  0, y  0, x y   1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T

2

  khi đó

T



Đặt

2 1

t

2

3 2

3 1

t

 

 

 24 2     

3

1

t

t



Vậy

1; 2    

t f t f







2

x y   Hay min T  2 khi 1

2

x y  

2

f (t) t 2t 1, t

f '(t) t 2 0 t

f (t) f ( )

2 16

Vậy : min

2xyz6.Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức S = (4x 2xyz + 3y)(4y 2xyz + 3x) + 2xyz5xy.

G. S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy

= 16x2y2 – 2xy + 12

Đặt t = x.y, vì x, y  0 và x + y = 1 nên 0  t  ¼

Khi đó S = 16t2 – 2t + 12

S’ = 32t – 2 ; S’ = 0  t = 1

16 S(0) = 12; S(¼) = 25

2 ; S (

1

16) =

191

16 Vì S liên tục [0; ¼ ] nên : Max S = 25

2 khi x = y =

1 2

Min S = 191

16 khi

x 4

y 4









 



hay

x 4

y 4









 



2xyz7 Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:

x y 3x z 33 x y x z y z        5 y z  3.

Giải:

Từ giả thiết ta có:

x2 + xy + xz = 3yz  (x + y)(x + z) = 4yz

Đặt a = x + y và b = x + z

Ta có: (a – b)2 = (y – z)2 và ab = 4yz

Mặt khác

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b)2

 2(a2b ) a b2   2ab

= 2 (a b)  22ab a b 2ab

= 2 (y z)  22yz y z 24yz

= 2 (y z)  24yz y z  2

 4(y z) y z 2   2 2(y z) 2 (1)

Ta lại có:

3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z)

3(y + z)2 (y + z) = 3(y + z)3 (2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

2xyz8 Cho a, b, c0 và a2b2c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

3 2 2

3 2 2 3

1 1

c c c

b b b

a

















2 4

1 1

2 1

2 2

4

2 2 2

b

a b

a











2 4

1 1

2 1

2

2 2

2 2

c

b c











2 4

1 1

2

1

2

2 2

2 2

a

c a









6 3

6 3

6

2 16

3 2 16

3 2 16

3 a  b  c



6 2 2 2

9 ) (

2 2 2

3 2

2

3











2

3 2 2

3 2 2

9 2 2

3 2 2

9



 P

Để PMin khi a = b = c = 1

29.Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện 1 1 1 2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).

Ta có 1 1 1 2

x yz  nên

Tương tự ta có 1 1 1 1 1 x 1 z 1 2 (x 1)(z 1) (2)

Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được ( 1)( 1)( 1) 1

8

8 x  y z 2

30 Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng

1 1 1 1

§Æt x=a3 y=b3 z=c3 th× x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, do a+b>0 vµ a2+b2-abab

 a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0



a  b 1 ab a b c  

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

T¬ng tù ta cã

c 1 bc a b c

b      ,

a 1 ca a b c

Céng theo vÕ ta cã

a  b 1+ 3 13

c 1

b   + 3 13

a 1

c  



1

1

a b c  c a b   DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1