Xác định dấu của các biểu thức sau: a.. Xét dấu của các biểu thức sau: a.. Xét dấu của các biểu thức a.. Cho biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại.. Cho biết m
Trang 1CHƯƠNG VI LƯỢNG GIÁC
Bài 1 Xác định dấu của các biểu thức sau:
a A = sin 50° cos (–300°) b B = sin 215° tan 21π
7
c C = cos4π.sin tanπ 4π.cot9π
Bài 2 Cho 0° < α < 90° Xét dấu của các biểu thức sau:
a sin (α + π/2) b cos (α – 45°) c cos (270° – α)
d cos (2α + 90°) e sin (α + 270°)
Bài 3 Cho tam giác ABC Xét dấu của các biểu thức
a A = sin A + sin B + sin C b B = sin A sin B sin C
c C = cosA.cos cosB C
2 + 2+ 2 Bài 4 Cho biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại
a cos a = 4/5; với 270° < a < 360°, tính các giá trị sin a, tan a, cot a
b sin a = 5/13; với π/2 < a < π, tính các giá trị cos a, tan a, cot a
c tan a = 3; với π < a < 3π/2, tính các giá trị sin a, cos a, cot a
d cot a = 2; với π < a < 3π/2, tính các giá trị sin a, cos a, tan a
e Cho cos α = –12/13; và π/2 < α < π Tính sin 2α, cos 2α, tan 2α
f Cho cot α = 2 và 0 < α < π/4 Tính sin 2α, cos 2α, tan 2α
g Cho sin 2α = –5/9 và π/2 < α < π Tính sin α, cos α, tan α
h Cho cos 2α = 5/13 và 3π/2 < α < 2π Tính sin α, cos α, tan α
Bài 5 Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức
a Tính A cot a tan a
cot a tan a
+
=
− với sin a = 3/5 và 0 < a < π/2
b Tính B sin a 2sin a.cos a 2cos a22 22
2sin a 3sin a.cos a 4cos a
=
c Tính C sin a 5cos a3 3
sin a 2cos a
+
=
− với tan a = 2
d Tính D cot a 3tan a
2cot a tan a
+
=
+ với cos a = –2/3
Bài 6 Cho sin a + cos a = 5/4 Tính giá trị các biểu thức sau:
a A = sin a cos a b B = sin³ a + cos³ a
Bài 7 Cho tan a + cot a = 5 Tính giá trị các biểu thức sau:
a A = tan² a + cot ² a b B = tan³ a + cot³ a
Trang 2Bài 8 Cho 3sin x cos x4 4 3
4
+ = Tính A = sin4 x + 3cos4 x
Bài 9 Cho 3sin x cos x4 4 1
2
− = Tính B = sin4 x + 3cos4 x
Bài 10 Cho sin x + cos x = 1
5 Tính sin x, cos x, tan x, cot x Bài 11 Cho tan x + cot x = 4 Tính sin x, cos x, tan x, cot x
Bài 12 Rút gọn các biểu thức sau:
a A = cos (π/2 + x) + cos (3π + x) + sin (x + π/2)
b B = 2cos x – 3cos (π – x) + 5sin (7π/2 – x) + tan (π + x)
c C = 2sin (π/2 + x) + sin (5π – x) + sin (3π/2 + x) + cos (π/2 + x)
d D = cos (5π – x) – sin (3π/2 + x) + tan (3π/2 – x) + cot (3π – x)
e E = 2sin 2a sin 4a
2sin 2a sin 4a
− +
Bài 13 Tính giá trị các biểu thức
a A sin( 328 ).sin 958 cos( 508 ).cos( 1022 )
cot 572 tan( 212 )
−
b B = cos 20° + cos 40° + cos 60° + + cos 160° + cos 180°
c C = cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + + cos² 180°
d D = sin 20° + sin 40° + sin 60° + + sin 360°
Bài 14 Chứng minh các đẳng thức sau:
a sin4 x + cos4 x = 1 – 2cos² x sin² x
b sin6 x + cos6 x = 1 – 3cos² x sin² x
c sin8 x + cos8 x = 1 – 4sin² x cos² x + 2 sin4 x cos4 x
d (cot² x – cos² x)(tan² x – sin² x) = cos² x sin² x
e 1 + sin x + cos x + tan x = (1 + cos x)(1 + tan x)
f sin x cos x 1 2cos x
1 cos x sin x cos x 1
g tan a 1 cot a22 22 1 tan a2 4 2
1 tan a cot a tan a cot a
2 2
sin a cos a 1 cot a sin a cos a cos a sin a 1 cot a
+
i 1 sin a2 cos a2 sin a.cos a
1 cot a 1 tan a
2
2
sin a sin a cos a
sin a cos a sin a cos a tan a 1
+
Bài 15 Cho sin x cos a4 4 1
a + b = a b
+ với a, b > 0 Chứng minh rằng
sin x cos x 1
a + b = (a b)
+
Bài 16 Rút gọn các biểu thức sau:
Trang 3a A = (tan x + cot x)² – (tan x – cot x)² b B = cos x cos x.cot x22 22 22
sin x sin x.tan x
+ +
c C = (x sin a – y cos a)² + (x cos a + y sin a)²
Bài 17 Chứng minh các biểu thức độc lập đối với x
a A = (sin4 x + cos4 x – 1)(tan² x + cot² x + 2)
b B = 6sin x 3cos x 14 6 4 4
sin x cos x 3cos x 1
c C = tan x cos x cot x sin x2 2 2 2 2 2
sin x cos x
Bài 18 Cho tam giác ABC Chứng minh:
a sinA B cosC
2+ = 2 b cos (A + B – C) = –cos 2C
c cos 3A B C sin 2A
2
Bài 19
a Tính tan (α + π/3) nếu sin α = 3/5 và π/2 < α < π
b Tính cos (π/3 – α) nếu sin α = –12/13 và 3π/2 < α < 2π
c Tính sin (a – b), cos (a + b), tan (a + b) biết sin a = 8/17, tan b = 5/12, 0 < a, b < π/2
d Tính tan a + tan b, tan a, tan b nếu 0 < a, b < π/2; a + b = π/4 và tan a tan b = 3 – 2 2 Từ đó suy
ra giá trị a và b
Bài 20 Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
a A = sin² 20° + sin² 90° + sin² 100° + sin² 140°
b B = tan 20° tan 80° + tan 80° tan 140° + tan 140° tan 20°
c C = cot 225 cot 79 cot 71
cot 259 cot 251
+
°
d D = tan 15° + cot 15°
Bài 21 Chứng minh
a tan x tan y 2sin(x y)
cos(x y) cos(x y)
+
b tan x tan(x π) tan(x π) tan(x 2π) tan(x 2π) tan x 3
c cos(x π) cos(x π) cos(x π) cos(x 3π) 2(1 3)
d (cos 70o+cos50 )(cos 230o o+cos 290 )o +(cos 40o+cos160 )(cos320o o+cos380 ) 0o =
e tan x.tan 3x tan 2x tan x2 2 22
1 tan 2x.tan x
−
=
−
Trang 4Bài 22 Chứng minh
a 2tan a = tan(a + b) nếu sin b = sin a cos (a + b)
b tan a tan b = 1
3
− nếu cos (a + b) = 2cos (a – b) Bài 23 Cho tam giác ABC Chứng minh
a sin C tan A tan B
cos A.cos B = + với A, B ≠ 90°
b tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C với ABC không là tam giác vuông
c cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1
d tanA.tanB tan tanB C tan tanC A 1
e cotA cotB cotC cotA.cot cotB C
f cosA.cos cosB C sinAsin cosB C sinAcos sinB C cosAsin sinB C
Bài 24 Cho tam giác ABC Chứng minh:
a tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 với ABC nhọn
b tan² A + tan² B + tan² C ≥ 9 với ABC nhọn
c tanA tanB tanC 3
2 + 2+ 2 ≥
Bài 25
a Tính cos 2x, sin 2x, tan 2x biết cos x = 5
13
− ; π < x < 3π/2
b Tính cos 2x, sin 2x, tan 2x nếu tan x = 2
Bài 25 Tính giá trị của biểu thức
a A = cos 20° cos 40° cos 60° cos 80°
b B = sin 10° sin 50° sin 70°
c C cos cosπ 4π.cos5π
=
d D = cos 10° cos 50° cos 70°
e E = sin 6° sin 42° sin 66° sin 78°
f F = cos2π.cos4π.cos8π.cos16π.cos32π
g G = sin 5° sin 15° sin 25° sin 75° sin 85°
h H = cos 10° cos 20° cos 30° cos 70° cos 80°
i I = cos π cos2πcos3πcos4πcos5πcos6πcos7π
Trang 5j J sin π cos π cosπ
16 16 8
=
Bài 27 Chứng minh
n
P cos cos cos cos
a
2
b Q cos2n 1π .cos2n 12π cos2n 1nπ 1n
2
c R cos 2π cos 4π cos 2nπ 1
Bài 28 Chứng minh các hệ thức:
a sin x.cos x3 cos x.sin x3 1sin 4x
4
sin cos cos x(sin x 4)
c tan(π x) 1 sin 2x
4 cos 2x
+
sin 2x
e 1 1 1 1 1 1cos x cosx
2 2 2 2 2 2+ + + = 8 với 0 < x < π/2
Bài 29 Chứng minh:
a 4cos x.cos(π x) cos(π x) cos3x
3− 3+ = b 4sin x.sin(π x)sin(π x) sin 3x
3− 3+ =
Áp dụng tính:
A = sin 10° sin 50° sin 70° và B = cos 10° cos 50° cos 70°
Bài 30 Biến đổi thành tích:
a 1 – 3 tan² x b sin 2x + sin 4x + sin 6x
c 3 + 4 cos 4x + cos 8x d sin 5x + sin 6x + sin 7x + sin 8x
e 1 + sin 2x – cos 2x – tan 2x f cos 2x + sin 2x + 1
Bài 31 Rút gọn các biểu thức sau:
a A cos 7x cos8x cos9x cos10x
sin 7x sin 8x sin 9x sin10x
=
sin15x 2sin12x sin 9x B
cos15x 2cos12x cos9x
=
c C 1 cos x cos 2x cos3x2
cos x 2 cos x 1
=
Bài 32 Tính giá trị của các biểu thức sau:
a B tan π tan7π
sin10 −cos10
c C = tan 9° – tan 27° – tan 63° + tan 81°
Bài 33 Tính giá trị của các biểu thức sau:
Trang 6a A = sin π sin7πsin13πsin19πsin25π
b B = 16 sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° sin 90°
c C = cos2π cos4π cos6π 1
7 + 7 + 7 +2
d D = 2(cosπ cos2π cos3π
7− 7 + 7 )
e E = cos2π cos4π cos6π cos8π
5 + 5 + 5 + 5
f F = cos π cos3π cos5π cos7π cos9π
11+ 11+ 11+ 11 + 11
Bài 34 Chứng minh
a tan 20° – tan 40° + tan 80° = 3 3
b tan 30° + tan 40° + tan 50° + tan 60° = 8 3
3 cos 20°
Bài 35 Tính các tổng sau:
a A = cos α + cos 3α + cos 5α + + cos (2n – 1)α; với α ≠ kπ
b B = sinπ sin2π sin3π sin(n 1)π
−
c C = cosπ cos3π cos5π cos(2n 1)π
−
cos a.cos 2a cos 2a.cos3a+ + +cos 4a.cos5a với a = π/5
e E = (1 1 )(1 1 )(1 1 ) (1 1n 1 )
cos x cos 2x cos3x cos 2 − x
Bài 36 Tính n x x2 xn
P cos cos cos
n
sin x x
2 sin 2 Bai 37 Tính n 2 a 2 a2 a n 1 2 an n 1a
S tan tan a 2 tan tan 2 tan tan
−
−
S tan a 2 tan
2
Bài 38 Chứng minh các đẳng thức sau:
a 1 2sin 2x 1 tan 2x2
1 sin 4x 1 tan 2x
1 sin 2x cos 2x tan 4x
cos 4x sin 2x cos 2x
−
+
c tan 6x – tan 4x – tan 2x = tan 2x tan 4x tan 6x
d sin 7x 1 2cos 2x 2cos 4x 2cos 6x
Trang 7e cos 5x cos 3x + sin 7x sin x = cos 2x cos 4x
Bài 39 Cho sin (2a + b) = 5 sin b Chứng minh: 2 tan(a b) 3
tan a
Bài 40 Cho tan (a + b) = 3 tan a Chứng minh: sin (2a + 2b) + sin 2a = 2 sin 2b
Bài 41 Cho tam giác ABC Chứng minh:
a sin A sin B sin C 4cosA cosB cosC
b cos A cos B cos C 1 4sinAsin sinB C
c sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
d cos² A + cos² B + cos² C = 1 – 2 cos A cos B cos C
e sin² A + sin² B + sin² C = 2 + 2 cos A cos B cos C
Bài 42 Tìm các góc của tam giác ABC biết B – C = π/3 và 2 sin B sin C = 1
Bài 43 Chứng minh điều kiện cần và đủ để ΔABC vuông là
a cos 2A + cos 2B + cos 2C = –1 b b c a
cos B cos C+ =sin B.sin C Bài 44 Chứng minh điều kiện cần và đủ để ΔABC cân tại C là sin A sin B 1(tan A tan B)
cos A cos B 2
+
Bài 45 Chứng minh bất đẳng thức
a sin A + sin B + sin C ≤ 3 3
2 HD: cộng thêm sin (π/3)
b cos A + cos B + cos C ≤ 3/2 HD: cộng thêm cos (π/3)
c 8cos A cos B cos C ≤ 1 HD: Biến đổi cos A cos B cos C – 1/8 về dạng hằng đẳng thức