Chương 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH (TT) ppt

Từ tập sinh fa của Imf, ta sẽ tìm ra một cơ sở của Imf... Định lý: Khi V = Vn thì dim V = dimImf + dimKerf = n 5.4 Toán tử tuyến tính Một ánh xạ tuyến tính từ V vào chính nó được gọi là

Chương 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH (TT)

5.3 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

5.3.1 Mệnh đề:

Cho f L(V, W) Khi đó:

i) Ký hiệu Im(f) = f(V) = không gian ảnh của ánh xạ tuyến tính f

= ảnh của toàn bộ V qua ánh xạ tuyến tính f

ii) Nếu a là một cơ sở của V thì f(a) là một tập sinh của Im(f) = f(V)

Từ tập sinh f(a) của Im(f), ta sẽ tìm ra một cơ sở của Im(f)

iii) Chọn K = { } W thì f-1(K) V

Ký hiệu ker(f) = f-1 ( W) ={ V /f( ) = W }

Muốn tìm cơ sở cho ker(f) ta chỉ cần tìm cơ sở cho không gian lời giải (không gian nghiệm) của hệ phương trình tuyến tính f(x) =

Ví dụ:

f : R4 R4

(u, v, w, t) (u + 2v + 4w – 7t, -3u – 2v + 5t, 2u + v – w – 2t, 3u + v – 3w – t)

Tìm cơ sở cho Im(f)

Chọn một cơ sở a tùy ý của R4, chẳng hạn: ta chọn cơ sở chính tắc như sau:

f( 1) = f(1, 0, 0, 0) = ( 1, -3, 2, 3)

f( 2 ) = f(0, 1, 0, 0) = (2, -2, 1, 1)

f( 3) = f(0, 0, 1, 0) = (4, 0, -1, -3)

f( 4) = f(0, 0, 0, 1) = (-7, 5, -2, -1)

Ta sẽ đi tìm cơ sở từ một tập sinh:

Lập ma trận:

Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận về dạng bậc thang

Im(f) có một cơ sở là D = { 1 = (1, -3, 2, 3), 2 = (0, 4, -3, 5)} => dimIm(f)

= 2

· Tìm một cơ sở cho không gian Ker(f)

Giải hệ phương trình f( ) = 0 với = (u, v, w, t)

nghiệm w, t R tùy ý, u = 2w – t, v = 4t – 3w

Cho w = 1, t = 0 ta có 1 = (2, -3, 1, 0)

Cho w = 0, t = 1 ta có 2 = (-1, 4, 0, 1)

Vậy Ker(f) có cơ sở là C = { 1 = (2, -3, 1, 0), 2 = (-1, 4, 0, 1)} => dimIm(f)

= 2

5.3.2 Mệnh đề:

f đơn ánh nếu và chỉ nếu ker(f) = 0

5.3.3 Định lý:

Khi V = Vn thì dim V = dimIm(f) + dimKer(f) = n

5.4 Toán tử tuyến tính

Một ánh xạ tuyến tính từ V vào chính nó được gọi là một tóan tử tuyến tính (hay một phép biến đổi tuyến tính, hay một tự đồng cấu tuyến tính) trên

V Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính trên V được ký hiệu là L(V)