Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính (2019)

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm, ma trận của ánh xạ tuyến tính, giá trị riêng và vecto riêng, đa thức đặc trưng, không gian con riêng,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5

KHÁI NIỆM

Một ánh xạ được gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn:

f R  R

( ) ( ) ( ), ,

n n

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1

Kiểm tra điều kiện đầu tiên

Đối với điều kiện thứ 2 ta cũng kiểm tra tương tự Kết luận: f là ánh xạ tuyến tính

VÍ DỤ 2

Các ánh xạ sau đây có phải là ánh xạ tuyến tính hay

không?

) : , ( , ) ( 2 3 ;6 5 )

) : , ( , ) ( 2 3 ;6 5 5)

MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

f R  R

A  f   f   f  

XÂY DỰNG MA TRẬN CỦA F

  ,  

f x   A  x

VÍ DỤ 3

f R R f x x x  x  x  x x x

(1,1,1);(1,0,1);(1,1,0) (1,1);(1, 2)

E F





GIẢI

Ma trận cần tìm:

VÍ DỤ 4

f R R f x x x  x x x x  x x

( ) (1,1,1); ( 1,1, 2); (1, 2,3) ( ) (0,1,1); (1,0,1); (1,1,0)

VÍ DỤ 5

1 2 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2

1 1 2 2

: n m,

f R R

VÍ DỤ 6

Cho ánh xạ tuyến tính:

Biết ma trận của f trong cặp cơ sở:

Là:

A) Tìm f(3,1,5) B) Tìm f(x) với x=(x1,x2,x3)

:

f R R

1,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0     1,1 , 2,1

,

E F

VÍ DỤ 6

VÍ DỤ 6

Câu b) Đầu tiên ta biểu diễn vectơ x qua cơ sở (E)

VÍ DỤ 6

VÍ DỤ 7

Cho ánh xạ tuyến tính:

A) Tìm f(2,1,5) B) Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở:

C) Tính f(2,1,5) theo công thức và so sánh với a)

:

f R R

f x f x x x  x x x x x x x x x

1,1,1 , 1,2,1 , 1,1,2

E

GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG

n n

A



A x   x

VÍ DỤ 8

VÍ DỤ 9

GIÁ TRỊ RIÊNG – VEC TƠ RIÊNG

ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG

( )

n

n A

P

















A

TÌM TRỊ RIÊNG, VEC TƠ RIÊNG

VÍ DỤ 10

Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận

A

VÍ DỤ 10

VÍ DỤ 11

Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận

A

   

ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH CỦA CÁC VECTƠ RIÊNG

Định lý Các vec tơ riêng ứng với các giá trị riêng khác

nhau thì độc lập tuyến tính

CHÉO HÓA MỘT MA TRẬN VUÔNG

1

T AT   D

CHÉO HÓA MA TRẬN

- Tìm các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của A

- Nếu số véc tơ riêng độc lập tuyến tính nhỏ hơn n  ma trận A không chéo hóa được

- Nếu A có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo hóa được Ma trận T cần tìm là ma trận mà các cột của T

là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính

Định lý Ma trận A vuông cấp n chéo hóa được khi và chỉ

khi bội hình học của mọi giá trị riêng luôn bằng bội đại số của chúng

VÍ DỤ 12

Ma trận nào sau đây chéo hóa được?

VÍ DỤ 13

Hãy chéo hóa ma trận sau nếu được

A

    

VÍ DỤ 13

VÍ DỤ 13

VÍ DỤ 14

Hãy chéo hóa ma trận sau nếu được

A

    

VÍ DỤ 15

A) Hãy chéo hóa ma trận A nếu được:

B) Tính A100

Giải.

A



VÍ DỤ 15

VÍ DỤ 15

B) Ta có:

Sinh viên tự tính kết quả sau cùng

VÍ DỤ 16

MA TRẬN ĐỐI XỨNG – MA TRẬN TRỰC GIAO

MA TRẬN ĐỐI XỨNG – MA TRẬN TRỰC GIAO

ĐỊNH LÝ

Chú ý.

-Ma trận vuông tùy ý chưa chắc chéo hóa được

-Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được bởi ma trận trực giao P

-Ma trận chéo hóa trực giao được thì đối xứng

CÁC BƯỚC CHÉO HÓA TRỰC GIAO

Chú ý Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được nên

không cần kiểm tra

Để tìm cơ sở trực chuẩn ta chọn một cơ sở tùy ý rồi dùng

quá trình Gram-Schmidt

VÍ DỤ

VÍ DỤ

DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Định nghĩa Dạng toàn phương trong không gian Rnlà một hàm số thực:

Được xác định bởi:

Với A là ma trận đối xứng (thực) và được gọi là ma trận của dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc)

1 2

,

n

x x

f x x Ax x

x

f

VÍ DỤ

Cho:

Ta có dạng toàn phương trong R2

Nhận xét các phần tử của A và các hệ số của dạng toàn

phương

1

2

x

x

T

T

Thường được ghi dưới dạng sau:

Ma tận dạng toàn phương:

Dễ thấy:

f x f x x x Ax Bx Cx Dx x Ex x Fx x

1

3

T

x

VÍ DỤ

Cho dạng toàn phương trong R3

Tìm ma trận A của q(x)

Đáp án

q x  x  x  x  x x  x x  x x

1

2 1

2

A

 

DẠNG CHÍNH TẮC

DẠNG CHÍNH TẮC

Trong dạng chính tắc, các số hạng có dạng bình phương.

Ma trận A của dạng toàn phương ban đầu là ma trận xét trong cơ sở chính

tắc.

Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương nhưng xét trong cơ sở

khác (cơ sở trực giao)

ĐƯA VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

Bằng phép biến đổi trực giao

VÍ DỤ.

VÍ DỤ

Ma trận của dạng toàn phương:

Chéo hóa bằng ma trận trực giao:

VÍ DỤ

Dạng chính tắc cần tìm:

Phép biến đổi cần tìm:

ĐƯA VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

Phép biến đổi Lagrange

-Sử dụng các phép biến đổi không suy biến đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

-Dễ thực hiện vì chỉ dùng các phép biến đổi sơ cấp, không cần tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận

-Cơ sở không phải là trực chuẩn nên sẽ khó khăn

Chú ý Phép biến đổi x=Py gọi là không suy biến nếu ma

trận P không suy biến.

PP LAGRANGE

i i j j i j

x y y x y y

x x k i j





VÍ DỤ

VÍ DỤ

Bước 3 Lập thành dạng tổng bình phương ở nhóm 1

Ta có:

Bước 4 Lặp lại cho dạng toàn phương sau:

VÍ DỤ

Một cách tương tự:

+ Chọn số hạng:

+ Tạo 2 nhóm:

+ Lập dạng tổng bình phương:

2 14

3x

VÍ DỤ

Ta có dạng:

Phép biến đổi cần tìm:

Dạng chính tắc cần tìm:

VÍ DỤ

Dạng toàn phương này không có số hạng bình phương

Ta đổi biến trước (chọn 4x1x2):

VÍ DỤ

Ta có:

DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG

f x   x

f x   x

f x  x x f x 

f x  x x f x 

x x f x f x

DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG

LUẬT QUÁN TÍNH

ĐỊNH THỨC CON CHÍNH

Ký hiệu các định thức con chính:

TIÊU CHUẨN SYLVESTER.

ỨNG DỤNG TRONG ĐƯỜNG BẬC 2

VÍ DỤ

VÍ DỤ

KIỂM TRA 45PH

Hãy chéo hóa các ma trận sau đây (nếu được)