Giáo trình đồ họa - Lesson 4 pps

c SE/FIT/HUT 2002 1Affine Transformations Le Tan Hung Email: hunglt@it-hut.edu.vn I KHái niệm cơ bản II Các phép biến đổi III Hệ tọa độ đồng nhất Mô hình hoá - Modelling „ Mô hình hoá l

(c) SE/FIT/HUT 2002 1

Affine Transformations

Le Tan Hung

Email: hunglt@it-hut.edu.vn

I KHái niệm cơ bản

II Các phép biến đổi III Hệ tọa độ đồng nhất

Mô hình hoá - Modelling

„ Mô hình hoá là tiến trình tạo mới thao

tác trên các mô hình của các đối tượng hay hệ thống

„ Computer graphics ~ quan tâm đến mô

tả hình học của các đối tượng nhằm cung cấp phương pháp biểu diễn số cho các hình trên cơ sở về kích thước và các thuộc tính có liên quan đến tiến trình tô trát

„ Các đối tượng hình học thường được

mô tả bởi các thuật ngữ "thực thể cơ sở"

sub-parts (primitives), như circles, lines polygons hay cubes

„ A scene trong đồ họa: chứa các thực thể đối tượng

Scene Modeling

„ Đặt các đối tượng trong cảnh tại các

vị trí khác nhau, thay đổi tỉ lệ và biến đổi

object

A scene with several instances of the object

(c) SE/FIT/HUT 2002

Ví dụ

„ At each frame of the animation, the

object is transformed, in this case by a

rotation It could also be transformed

by changing its size (scaling), or its

shape (deforming), or its location

(translation)

„ Further animation effects can be

achieved by not changing the object,

but the way it is viewed (i.e the

window to viewport transformation) at

each frame (e.g by zooming).

Phép biến đổi - Transformations

„ Trong kỹ thuật đồ hoạ 3 bước: modeling, rendering, displaying

„ Với Modeling:

„ Transformation: là phép ánh xạ tọa độ điểm hay vector thành tọa độ hay vector khác

„ Biến đổi mô hình hoá - Modeling transformations

„ build complex models by positioning simple components

„ Biến đổi tạo góc nhìn - Viewing transformations

„ placing virtual camera in the world

„ transformation from world coordinates to camera coordinates

„ Biến đổi tạo Hoạt cảnh - Animation

„ vary transformations over time to create motion

modeling coordinateModeling transformation Viewing transformation

world coordinate viewing coordinate (eye coordinate)

Transformations - Modeling

world

Viewing Transformations - Viewing

„ Viewing là tiến trình tạo ra góc nhìn của các mô hình trên màn hình 2D

„ Mô tả hình học của các đối tượng hay các cảnh cung cấp bởi các mô hình sẽ được chuyển đổi thành tập các thực thể cơ sở hiển thị.

„ Một mô hình có thể quan sát trên các góc cạnh khác nhau (e.g faraway, near, looking down, looking up)

WORLD OBJECT CAMERA

Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

hunglt@it-hut.edu.vn

8682595

Phép biến đổi Affine

Affine Transformations?

„Phép biến đổiAffine là phép biến đổi tọa độ điểm đặc trưng

của đối tượng thành tập tương ứng các điểm mới để tạo ra các

hiệu ứng cho toàn đối tượng

„Ví dụ: phép biến đổi tọa độ với chỉ 2 điểm đầu cuối của đoạn

thẳng tạo thành 2 điểm mới mà khi nối chúng với nhau tạo thành

đoạn thẳng mới

„Các điểm nằm trên đoạn thẳng sẽ có kết quả là điểm nằm trên

đoạn thẳng mới với cùng phép biến đổi thông qua phép nội

suy

(c) SE/FIT/HUT 2002

Phân loại - Transformations

„ Có 2 cách nhìn trên phép biến đổi

„ Object Transformation: thay đổi tọa

độ của các điểm theo một số các quy luật mà không ảnh hưởng đến

hệ tọa độ gốc.

„ Coordinate Transformation sinh ra

hệ tọa độ khác và biểu diễn tất các các đểm trên hệ tọa độ mới đó

„ Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng

về bản chất gần tương đồng nhau

1,1

.4, 2 Example: OBJECT TRANSFORMATION

(1,1)

(1,1) Example: COORDINATE TRANSFORMATION

Modeling Transformations

Transform objects/points Transform coordinate system

(c) SE/FIT/HUT 2002

2D Object Transformations

„A 2D object transformation alters each point P into a new point Q using a specific formula or algorithm.

„It therefore alters the co-ordinates of P (Px,Py) into

new values which specify point Q (Qx,Qy)

„This can be expressed using some function T, that maps co-ordinate pairs into co-ordinate pairs:

„T(P x ,P y ) = (Q x ,Q y)

„or:

„T(P) = Q

(c) SE/FIT/HUT 2002

Matrix Representation

„ If affine transformation T maps P onto Q, then Q is related to P as

follows:

„

„

„where a, b, c, d, tx and ty are all constants, and ad = bc

„ This gives rise to the following matrix representation:

„ i.e ⎜⎜⎛ ⎟⎟⎞=⎜⎜⎛ ⎟⎟⎞⎜⎜⎛ ⎟⎟⎞+⎜⎜⎛ ⎟⎟⎞

y x y x y

x

t t P P d c b a Q

Q

x x x

y y y

Tr MP

Các phép biến đổi hình học hai chiều

„ Phương pháp biểu diễn đối tượng P = [ x y ]

„ Phép biến đổi vị trí điểm

„ Thực thi phép biến đổi đúng trên 1 điểm ảnh sẽ đúng trên toàn bộ đối tượng

⎥

⎢

=

d c b a T

[ ] [ ] [* y]* [ (ax cy) ( bx dy) ] [x' y']

d c b a x T

y

x z

(c) SE/FIT/HUT 2002 13

Phép biến đổi

„ Phép bất biến

„ Phép biến đổi tỉ lệ - Scaling

„ A scaling changes the size of an object with two scale factors, S x and S y

„ Phép biến dạng

„ A shearing shears an object in a particular direction, (in 2D, it’s either in the x

or in the y direction

⎥

⎤

⎢

⎡

= 1 0 0 1

T

[ ] [ ] [ ] [ ( ) ] [' ']

1 0

0

*

[ ] [ ] [ ] [ ] [' ']

1 0

1

*

x z

y

Phép quay- Rotation

x = ρ cos α, y = ρ sin α ;

;

= x cos θ - y sinθ

[x' y']= [xcosθ - ysinθ xsinθ +

ycosθ]

y

( x, y )

x

α

ρ

θ

ρ

( x’, y’ )

⎥

⎤

⎢

⎡

−

=

θ θ θ θ cos sin sin cos ]

[T

Thuộc tính cơ bản của phép biến đổi

Affine Transformations

„ Preservation of lines:

„ They preserve lines, so the image of a straight line is another straight line.

„ This vastly simplifies drawing transformed line segments

„ We need only compute the image of the two endpoints of the original line

and then draw a straight line between them

„ Preservation of collinearity guarantees that polygons will transform into

polygons

„Affine transformations map lines to lines;

(c) SE/FIT/HUT 2002

Thu ộc tính

„ Preservation of parallelism

„ Preservation of parallelism guarantees that parallelograms will transform into parallelograms

„ Preservation of proportional distances

„ Preservation of proportional distances means that mid-points of lines remain mid-points

„Affine transformations change volume by | Det(M) |;

(c) SE/FIT/HUT 2002

Kết hợp các phép biến đổi

Composition of Affine Transforms

„ Any affine transformation can be

decomposed into elementary

transformations

„ Mọi phép biến đổi phức tạp đều có

thể tạo thành từ các phép biến đổi cơ

sở như:

„Dịch chuyển - Translation

„Tỉ lệ - Scaling

„Quay- Rotation

„Biến dạng - Shearing

(c) SE/FIT/HUT 2002

Affine transformations preserve affine combinations

„ It is rare that we want to perform just one elementary transformation

„ Usually an application requires that we build a complex transformation out of several elementary ones

„ e.g translate an object, rotate it, and scale it, all in one move

„ These individual transformations combine into one overall transformation

„ This is called the composition of transformations

„ The composition of two or more affine transformations is also an affine transformation

Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

hunglt@it-hut.edu.vn

8682595

Thuộc tính

„ Tác động lên tập các điểm đặc trưng của đối tượng tạo thành

phép biến đổi cho đối tượng

„ We have defined each transformation by their effects on single points

„ In practice these will be applied to multiple points to transfer entire scenes

or objects made up of many defining points

T

(c) SE/FIT/HUT 2002

Điểm gốc - Pivotal points

Cho phép quay và tỉ lệ Rotation and Scaling

„ The simple versions of rotation and scaling have been based around the origin.

„ This means that when we rotate or scale, the object will also move, with respect to the origin

„ Translate all points through (-c1,-c2)

„ Rotate all points about the origin by

„ Translate all points back through (c1,c2)

(c 1 ,c 2 )

(0,0)

(c) SE/FIT/HUT 2002

Pivotal points

„ Often we wish to rotate or scale with respect to some pivotal

point, not the origin

„ Most significantly, we often wish to rotate or scale an object

about its centre, or midpoint

„ In this way, the object’s location does not change

„ To do this, we relate the rotation or scaling about the pivotal

point V, to an elementary rotation or scaling about the origin

„ We first translate all points so that V coincides with the origin

„ We then rotate or about the origin

„ then all points are translated back, so that V is restored to its original

location

(c) SE/FIT/HUT 2002

Hệ toạ độ đồng nhất

„ Vấn đề gặp phải:

„ An affine transformation is composed of a linear transformation followed by a translation

„ Unfortunately, the translation portion is not a matrix multiplication but must instead be added as an extra term, or vector

„ What we need is a “trick”, so that translations can be represented

in matrix multiplication form

„ This then means that they can be easily composed with other transformations, by simply multiplying the matrices together

(c) SE/FIT/HUT 2002 23

Tọa độ đồng nhất

Homogeneous Transform

„x' = ax + by + n

„y' = bx + dy + m

„ Phương pháp biểu diễn mở rộng thông qua tọa độ đồng

nhất của các vector vị trí

„ Với ứng dụng của phép chiếu hình học mà ở đó tọa độ

điểm được mô tả dưới ma trận [ x* y* h]

„với x = x*/h, y = y*/h, z = z*/h và h là một số thực tuỳ ý

Ưu điểm của Hệ tọa độ đồng nhất Homogeneous Transform

„ Ðưa ra cái nhìn hợp nhất của các phép biến đổi dưới phép nhân ma trận, hỗ trợ cho việc xử lý bằng cả phần cứng và phần mềm

„ Kết hợp các các phép biến đổi tạo thành ma trận tích đơn giản duy nhất Tránh nhầm lẫn về thứ tự của các phép nhân khi sử dụng

„Order matters: AB is generally not the same as BA

„ Cho phép kết hợp với cả các phép biến đổi đặc biệt không tuyến tính khác(non-affine) như:

„ Phép chiếu phối cảnh - Perspective projections!

„ Uốn - Bends, Vuốt tapers v.v.v

(c) SE/FIT/HUT 2002 25

Phép biến đổi với tọa độ đồng nhất

„ Ma trận biến đổi đồng nhất

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

= 1 0

0 ]

[

n m d c b a T

] 1 [

1 0 1 0 0 0 1 ] 1 [ ] 1 ' '

n m y x y

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

(tx, ty, tz)

Phép tỉ lệ

] 1 2 1 1 0 0 0 2 0 0 0 1 ] 1 [ ] 1 ' '

S y x y

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

Phép quay

y

( x, y )

x

α

ρ

θ

ρ

( x’, y’ )

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos ] 1

[

]

1

'

'

φ φ

y

x

y

x

] 1 cos sin sin

cos

[x φ−y φ x φ+y φ

=

Phép biến đổi tổng hợp

(c) SE/FIT/HUT 2002

Coordinate Transforms

Coordinate Transforms

(1,1)

u’

v’

(1,1)

u

v

x

y

Object defined in Local

Coordinate System

Object after transformation in

Global Coordinate System

Khoa CNTT - DDHBK Hà nội

hunglt@it-hut.edu.vn

8682595

x

y

x

y

Identity as a Coordinate Transform

P 1

0

0

0

1

0

0

0

1

Q

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

(1,1)

u

v

(1,1)

u’

v’

x

y

Translation

x

y

P 1 0 0 1 0 0 1 Q

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

tx

(1,1)

u

v

(1+tx,1+ty)

u’

v’

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

1 1 0 0

ty tx ty tx

1 0 0 1 0 0 1

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡ +

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

1 1 1 0 1

ty tx ty tx

1 0 0 1 0 0 1

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡ +

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

1 1 1 1 0

ty tx ty tx

1 0 0 1 0 0 1

origin v (1, 0, 0) u (0, 1, 0)

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

= 1

ty tx O

x

y

Rotation

x

y

P 1 0

0

0

0 Q

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

θ

θ

cos

sin

sin

cos

(1,1)

u

v

u’

v’

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

= 1 sin

cos

θ

θ

v

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡−

= 1 cos

sin

θ

θ

u

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

= 1 0

0

O

x

y

Scaling

x

y

P 1 0 0 0

0 Q

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

sx

0 0

(1,1)

u

v

(sx*1,sy*1)

u

v

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

= 1 0

0

O

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

= 1

0

sy u

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

= 1 0

sx v

Composite Transformations

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

+

−

−

=

1 0

0

sin ) cos 1

(

cos

sin

sin ) cos 1

(

sin

cos

1 1

1 1

θ θ θ

θ

θ θ θ

θ

x y

y x

M

x

y

x

y

(1,1)

u

v

u’

v

’

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

− +

− 1 sin ) cos 1 ( sin ) cos 1 (

1 1 1 1

θ θ θ θ

y y y x

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

− + +

− + 1 sin ) cos 1 ( sin

sin ) cos 1 ( cos

1 1 1 1

θ θ θ

θ θ θ

y y y x

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

− + +

− +

− 1 sin ) cos 1 ( cos

sin ) cos 1 ( sin

1 1 1 1

θ θ θ

θ θ θ

y y y x

O =

v =

u =

Modeling Transformations

„ To make full use of the computational optimisation made possible by composite transforms, we only want to apply the transformations to points at the very end

„ i.e the transformation operation (multiplying point p by transform matrix is the very last thing we do in the modelling phase)

Specify points

in local coords

Specify Transformations

(composite if necessary)

Send to Pipeline

(c) SE/FIT/HUT 2002 37

= This of course shouldn’t

mean all objects need to

share the same

transformations

+

=

+

transform transform+ transform+

Obviously we want something more versatile

(c) SE/FIT/HUT 2002 1

Bài 4B:

Phép biến đổi trong không gian

Ma trận biến đổi 3 chiều 3D Matrix Transformations

„ Các phép biến đổi chuyển vị - translation, tỉ lệ-scaling và quay-rotation sử dụng trong không gian 2D đều co thể mở rộng trong không gian 3D

„ Again, using homogeneous coordinates it is possible to represent each type of transformation in a matrix form

„ In 3D, each transformation is represented by a 4x4 matrix

Các phép biến đổi hình học 3 chiều

„ Biểu diễn điểm trong không gian 3 chiều

• [ x* y* z* h ] = [ x y z 1 ] [ T ]

• [x' y' z' 1 ]= [ x*/h y*/h z*/h 1 ][ T ]

„ Ma trận biến đổi

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

s n m l

r j i g

q f e d

p c b a ]

[T

Phép tịnh tiến

„[X'] = [ X ] [ T(dx,dy,dz) ]

„[ x' y' z' 1 ] =

„[ x y z 1 ].[ T(dx,dy,dz) ]

„ = [ x+dx y+dy z+dz 1 ]

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

1 0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 )]

, , ( [

dz dy dx

dz dy dx T

Phép tỉ lệ

• s1, s2, s3 là các hệ số tỉ lệ tương ứng

trên các trục toạ độ

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

1 0 0 0

0 3 0 0

0 0 2 0

0 0 0 1 1 1

s s s z y x

z

y

[

] 1 3 2

1

.

=

Rotation

„ In 2D, the only rotation possible was about the origin

„ In 3D, there are 3 possible rotations, one about each of the x,

y and z axes

„ Positive rotations are anti-clockwise, negative rotations are clockwise, when looking down a positive axis towards the origin

x y

z

x y

z

x y

z

(c) SE/FIT/HUT 2002 7

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 cos sin ]

Tz

Phép biến dạng

(secondary translation)

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

1 0 0 0

0 1 0 1 0 1

1 1

i g f d c b z

y x z y

[

] 1

=

Phép lấy đối xứng

( reflections-secondary translation)

Quay quanh một trục bất kỳ song song với các

trục tọa độ

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

1 0

0 1

0

0

0 0

1

0

0 0

0

1

]

[

z

y

Tr

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

1 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 1

φ φ φ φ φ

cos sin sin cos )]

(

[T

,

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

=

−

1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1

z y

Tr]

[

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

− +

−

−

=

1 sin ) cos 1 ( sin

)

cos

1

(

0

0 cos sin

0

0 sin cos

0

0 0 0

1

]

[

φ φ φ

φ

φ φ

φ φ

y z z

y

Tth

Quay quanh một trục bất kỳ

(c) SE/FIT/HUT 2002 13

Solution

„ Chuyển P1 về gốc tọa độ

„ Quay quanh trục y sao cho P1P2 nằm trên mặt phẳng (y, z)

„ Quay quanh trục x sao cho P1P2 trùng với trục z

„ Quay quanh trục z sao cho P1P3 nằm trên mặt phẳng (y, z)

Euler’s Theorem: Every rotation around the origin can be

decomposed into a rotation around the x-axis followed by a

rotation around the y-axis followed by a rotation around the

z-axis.

Bước 1: Chuyển P1 về gốc tọa độ

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

−

−

−

1 1 1 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 1 1 1

z y x

z y x

[

y

P3

P2

z x

y

P3

P2 p P1

z x

Bước 2: Quay quanh trục y

„ cos( - 90 + φ) = sinφ = z'2/L = ( z2 - z1)/L

„ sin( - 90 + φ) = - cosφ = x'2/L = ( x2 - x1)/L

„ [ P''2 ] = [ P'2 ][ T(φ-90) ]

y

P 3 P' 2 (x' 2 ,y' 2 ,z' 2 ) P' 1

L φ z(x' 2 ,0,z' 2 )x

2 2 2 2 2

2

2

'

Bước 3: Quay quanh trục x

„ Với N = | P''1P''2| là độ dài của đoạn P''1P''2

y

P'' 2

N P'' 1

ϕ x

z

Bước 4: Quay quanh trục z

„ [P ''' ]= [P3][T(-x1,-y1,-z1 ][T(φ-90)][T(ϕ)]

„ Với góc quay dương ψ trên trục z

„ cos ψ = y3/M; sin ψ = x3/M;

„ Ma trận tổng hợp của các phép biến đổi [ T ] có

dạng sau đáp ứng toàn bộ quá trình biến đổi quay

đối tượng quanh một trục bất kỳ.

„ [ T ] = [T(-x1,-y1,-z1)][T(φ-90)][T(ϕ)][T(ψ)]

y y''' 3

P''' 3

ψ M x''' 3

P''' 2 P''' 1

x

„ Kết quả sau biến đổi cần phải đưa về vị trí ban đầu qua các phép biến đổi

ngược

„ [Tth]= [T(-x1,-y1,-z1)]x[T(φ-0)]x[T(ϕ)]x [T(ψ)]x[T(ψ)]x[T(ϕ)]x

„ [T(φ-90)]x[T(-x1,-y1,-z1)]