KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2) pdf

Dạng lượng giác II... Phép nhân ở dạng lượng giác: Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại.. Phép chia ở dạng lượng giác: Chia hai số phức ở dạng

1

KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2)

I Dạng lượng giác

II Định nghĩa Môdun của số phức:

Môdun của số phức z = a + bi là một số

thực dương được định nghĩa như sau:

b a r z

vậy môdun của số z bằng khoảng cách

từ điểm M biểu thị nó đến gốc tọa độ

Ví dụ: Tìm môdun của số phức sau: z = 4 + 3i

Giải :

Ta có a = 4 , b = 3 vậy Mod(z) = 42 32 5





III Định nghĩa argument của số phức :

Trong đó

a

b sin

















 





là dạng lượng giác

Mọi nghiệm của hệ phương trình

a cos

b sin



 









  



gọi là argument của số phức

za bi 0 Mọi argument của số phức z khác nhau bội lần  và ký hiệu thống

nhất Argz mỗi giá trị argument trùng với véctơ bán kính OM của điểm M

Imz

b M(a; b)  a + bi

r

a

2

Góc  được giới hạn trong khoảng 0    hoặc      2

Ví dụ: Tìm argument của số phức z 1 3i

Giải :

a1 , b 3 ta tìm góc 

cos

3

sin



  



  





vậy Argz =

3



IV Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác: 1 2 1 2

k2







V Phép nhân ở dạng lượng giác:

Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại

z z r r cos    sin    i

Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : z1 i 1    3i

Giải :

VI Phép chia ở dạng lượng giác:

Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument trừ ra

3

z r cos  1 2sin  1 2.i

Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : z 2 12i

3 i





Giải :

z

2 cos i sin









VII Dạng mũ số phức

1 Định lý Euler (1707-1783): i

ze cos i sin

Ví dụ: Tìm dạng mũ của số phức sau.z  3i

Giải :

5 6

2e





Ví dụ: Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức : ze2 i  

Giải :

2 i 2 i

2

e cos i sin

4

Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn

2 Dạng lũy thừa

3

z a bi

n

k 0

C a b C a b C a b C a b

A Bi







Ví dụ: Tính z của z5 2 i

Giải :

5

k 5 k k 5

k 0

1

C 2 i C 2 i C 2 i C 2 i C 2 i C 2 i

32 80i 80 40i 10 i

38 41i







3 Lũy thừa bậc n của số phức i:

2

4 2 2

i i

i i i i

i i i 1



 

i i i i

i i i i

i i i 1

vậy ta có qui luật sau đây

Giả sử n là số tự nhiên, khi đó inir, với r là phần dư của n chia cho 4

Ví dụ: Tính z của 403

zi Giải :

5

Ta 403 = 100.4 +3

403 100.4 3 3

zi i  i   1

về bài toán dễ ta có thể làm theo cách này nhưng bài toán phức tạp ta nhờ vào công thức De Moivre

4 De Moivre : Cho r > 0, cho n là số tự nhiên Khi đó ta có:

Ví dụ: Sử dụng công thức de Moivre’s, tính: 25  25

z  1 i

Giải :

2 cos i sin

= 4096 2 cos i sin



5 Định nghĩa căn bậc n của số phức:

Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho wn = z, trong đó n là số tự nhiên

zabicos i sin

n

k

z r cos i sin

với k1,2,3, n 1  

6

Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt

6 Số nghiệm của một đa thức:

Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm

Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội

Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây

Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a – bi cũng là

một nghiệm phức

Ví dụ: Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận z13ivà z2 5 i

Giải :

Vì z1 3ivà z25i là hai nghiệm nên z1   và 3i z2 5 i cũng hai nghiệm vậy không tồn tại đa thức bậc 3 thỏa ycbt

Bài tập

1) Tính trong C

a) 9 + 5i +(7-2i) b) (2+6i)(58i) c ) 2

1 5i

1 2i

d)

2 i



1 i tan

Giải :

a) 9 + 5i +(7-2i) = 12 +3i

b) (2+6i)(58i)= 10 16i 30i 48i   2 58 14i

1 5i  1 10i 25i  24 10i

7

2

1 2i 2 i

d)

2

2

1 i tan 1 i tan

1 i tan

e)

1 i tan 1 i tan 1 i tan

1 2i tan tan

cos 2i sin cos sin

1 tan cos 2 i sin2



2) giải phương trình trong C :

a) x2 2x20

b) x2 5x70

Giải :

a) x2 2x20

1



  

x1,2    phương trình có hai nghiệm phức : 1 1

x1 1 i , x2  1 i

b) 2

3

  

1,2

x

2

 phương trình có hai nghiệm phức

3) Tìm nghiệm thực của phương trình :

a) x6i7yi

8

b)1 i x     2 5i y   4 17i

c) 12 2xi 1 i    xy 3 2i 176i

Giải :

a) x 7







 



b) 1 i x     2 5i y   4 17i

x xi 2y 5yi 4 17i

a) 12 2x i 1 i  x y 3 2i  17 6i

12



2 2x 2xi i i 3x 2xi 3y 2yi

1 17

x

3 12









4) Giải phương trình trong C :

x  1 2i x i 1 0   

Giải :

9

4 2i

gọi  2

a bi 42i

2

2











Vậy phương trình có nghiệm:

1,2

x

2



x  1 2i x i 1 0   

x 2

Vậy phương trình có nghiệm: x1   1 i , x2   i

5) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận z13ivà z2 2 i làm nghiệm

Giải :

Đa thức cần tìm là

z 3i z 3i z (2 i) z (2 i)

10

6) Tìm tất cả các nghiệm của P(z)z44z3 14z2 36z45 biết z2 i là một

nghiệm

Giải :

Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả ta có 2 –i là một

nghiệm

P(z) có thể tách thành: P(z)z24z5 z 2 9

vậy phương trình có 4 nghiệm: 2 i , 2 i , 3i , 3i  

7) Giải phương trình sau trong C :z9  i 0

Giải:

k

với k 0,1,2, ,8

8) Giải phương trình sau trong C

5

a)z   1 i 0 2

b)z z 1 0 

2

c)z 2z 1 i  0

Giải :

a)

11

5

5

2 cos i sin

10 k

với k0,1,2,3,4

2

b)z z 1 0 

3

1,2

x

2

i



  phương trình có 2 nghiệm z1,2   1 i

9) Mô tả hình học các tập số phức thỏa mãn các điều kiện sau :

a) Re z 0 b) 0 Im z 1 c) Im z 2 d) z 1 e) z 1 2







f )1 z 2 2 g) z 1 Re z

m)0 arg z

4 n) arg z

4

 





Giải :

12

a) Re z0x0 là nửa mặt phẳng x0

b) 0Im z10y là dải 01 y 1

d) z 1đặt zxyita có z  x2y2 2 2

   là phần trong của có tâm I(0;0) bán kính R=1

z i  x 1 yi  x 1 y 2

Là phương trình đường tròn tâm I(-1,0) bán kính R=4

f )1 z2 2 đặt zxyita có

Là hình khuyên giữa 2 đường tròn

x2 y  và 1  2 2

x2 y  mà 1  2 2

x2 y  không thuộc hình khuyên 1

2

 

D x, y y  1 2x

13

Là phương trình đường thẳng 4x 2y 3  0

4



  là hình quạt được giới hạn bởi l1x, y y0, x0 và

2

l  x, y y x, x0

argz

Là hìmh quạt giới hạn bởi các tia

1

l  x,y yx, x0 và l2 x, y y x, x0

10) Tìm dạng mũ của số phức sau: z  3i

Giải :

5 6

2e





11) Chứng minh công thức Ơle (Euler) :

cos

2

  

 

Giải :

14

Ta có

i

i

e cos i sin



 







cos

12) Chứng minh công thức Ơle (Euler):

sin

2i

  



 

Giải :

Ta có

i

i

e cos i sin



 







sin

  

Bài tập tự làm 13) Chứng minh công thức Moivre : Nếu z r.ei 

 thì zn r en in 

 14) Tính theo Moivre :

10

5

3

20

6 8

a) 1 i

1 i

b)

1 i

c)

1 i

d) 1 i 1 i 3







15) Chứng minh các đẳng thức :

n

n n

15

16) Tìm căn bậc 3 của số: a  2 2i 3

17) Tìm nghiệm của đa thức 6 3

z 2z  : 1 18) Giải phương trình trong C :

2

a) z 2z50 2

b)4 z 2z 1 0 

2

 4

e) z 1 16 f ) z 1  4  16

P(z)z 6z 9z 100 biết z 1 2ilà một nghiệm