Chương 4: Quan hệ pps

Ngoài phương pháp biểu diễn một Quan hệ 2 ngôi trên một tập hợp hữu hạn, người ta còn có thể sử dụng ma trận để biểu diễn cho Quan hệ... Một QUAN HỆ THỨ TỰ trên E, ký hiệu ≤ là một quan

4 QUAN HỆ

4.1 ĐỊNH NGHĨA & TÍNH CHẤT

4.1.1 ĐỊNH NGHĨA

ℜ Được gọi là một QUAN HỆ hai ngôi trên tập E nếu ℜ là một tập con của tích Descartes E x E

Phần tử a được gọi là có quan hệ ℜ với phần tử b khi (a,b) ∈ ℜ,

Ký hiệu a ℜ b, nếu không, ta ghi a ⎯ℜ b

Thí dụ Cho E ={1,2,3} ℜ = {(1,1), (1,3),(2,3)} Ta có 1 ℜ 3 nhưng 3⎯ℜ 1

4.1.2 TÍNH CHẤT

Tính phản xạ : ∀ a ∈ E, a ℜ a

Đối xứng : ∀ a, b ∈ E, Nếu a ℜ b thì b ℜ a

Phản (Đối) xứng : ∀ a, b ∈ E, Nếu a ℜ b và b ℜ a thì a= b

Bắc cầu (truyền) : ∀ a, b, c ∈ E, Nếu a ℜ b và b ℜ c thì a ℜ c

4.1.3 BIỂU DIỄN

Ngoài phương pháp biểu diễn một Quan hệ 2 ngôi trên một tập hợp hữu hạn, người ta còn có thể sử dụng ma trận để biểu diễn cho Quan hệ Giả sử ℜ là một Quan hệ 2 ngôi trên một tập hợp hữu hạn E = {x1, x2,…,xn} Quan hệ ℜ có thể được biểu diễn bởi ma trận Eℜ = [eij], trong đó

eij = 1 nếu (xi,xj) ∈ ℜ

eij = 0 nếu (xi,xj) ∉ ℜ

Thí dụ Với hai quan hệ ℜ1 = {(1,1), (1,2),(1,3)} và

ℜ2 = {(1,1), 1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)},

ta có ma trận biểu diễn như sau:

4.2 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

4.2.1 ĐỊNH NGHĨA

xứng và bắc cầu

4.2.2 LỚP TƯƠNG ĐƯƠNG

Khi ℜ là một quan hệ tương đương trên E, và x ∈ E, ta gọi LỚP TƯƠNG

ĐƯƠNG chứa x là tập con

x = {y ∈ E: y ℜ x}

4.2.3 TÍNH CHẤT

x ∈ x, suy ra x ≠ ∅

y ∈ x thì y = x: Lớp tương đương không phụ thuộc phần tử đại diện

y ∩ x ≠ ∅ ⇔ y = x

Sưu tập các lớp tương đương khác nhau sẽ tạo nên một phân hoạch của tập E

4.3 QUAN HỆ THỨ TỰ

4.3.1 ĐỊNH NGHĨA

Một QUAN HỆ THỨ TỰ trên E, ký hiệu ≤ là một quan hệ có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắt cầu Lúc đó (E,≤) là tập có thứ tự

Khi x ≤ y : y là một trội của x (y lớn hơn x)

y là một trội trực tiếp (kề trên) của x nếu x ≤ y và y ≠ x, không có trội nào nằm giữa x và y : x ≤ z ≤y thì x= z hoặc y=z

Biểu đồ HASSE Ta dùng đồ thị có định hướng có rút gọn để biểu diễn cho một quan hệ

x y

QUAN HỆ THỨ TỰ TOÀN PHẦN Khi ấy, biểu đồ HASSE có dạng dây chuyền:

∀ x, y ∈ E, ta có x ≤ y hay y ≤ x

Cho (E,≤) là một tập hợp có thứ tự, và A ⊆ E, x ∈ E

x là CHẬN DƯỚI của A nếu và chỉ nếu ∀ a ∈ A : x ≤ a

CHẬN DƯỚI LỚN NHẤT của A, ký hiệu Inf (A) là phần tử lớn nhất trong tập hợp tất cả những chận dưới của A

Tương tự, ta có định nghĩa cho CHẬN TRÊN NHỎ NHẤT, Supp(A)

4.3.2 ĐINH LÝ

Max (A) nếu có thì duy nhất và cũng là phần tử Supp(A) duy nhất

4.3.3 ĐINH LÝ

Cho (E, ≤) là tập thứ tự hữu hạn Ta có:

Trong E có ít nhất một phần tử tối tiểu (tối đại)

Nếu E tồn tại một phần tử tối tiểu (tối đại) duy nhất thì phần tử đó chính là

phần tử nhất tử nhỏ nhất (lớn nhất) của E

4.4 DÀN (LATTICE)

4.4.1 ĐỊNH NGHĨA

Cho (L, ≤) là tập hợp có thứ tự L được gọi là một DÀN nếu và chỉ nếu:

∀ a, b ∈ L có chận dưới lớn nhất và chận trên nhỏ nhất (tức là có tồn tại

Supp(a, b) và Inf(a,b)

4.4.2 ĐỊNH LÝ

Mọi tập có thứ tự toàn phần là một DÀN

4.4.3 TÍNH CHẤT

Giao hoán: Supp(a, b) = Supp(b, a) Inf (a, b) = Inf (b,a)

Kết hợp : Supp(Supp(a, b),c) = Supp(a, Supp(b,c)

Inf(Inf(a, b),c) = Supp(a, Supp(b,c)

Inf(a,Supp (a, b)) = a = Supp( a,Inf(a, b))

4.4.4 ĐỊNH LÝ

Mọi DÀN hữu hạn đều có phần tử lớn nhất, phần tử bé nhất

4.4.5 ĐỊNH NGHĨA

Cho (L,≤) là một DÀN và B là tập con của L Ta nói B là DÀN CON của L khi và

chỉ khi ∀ a, b ∈ B, ta có Supp(a, b) và Inf( a, b) ∈ B

4.4.6 ĐỊNH NGHĨA

Một DÀN được gọi là DÀN phân bố nếu Supp và Inf phân bố lẫn nhau:

Supp(x,Inf((y, z)) = Inf(Supp(x, y),Supp(x, z))

Inf(x,Supp(y, z)) = Supp(Inf(x, y),Inf(x, z))

Thí dụ

℘(A) là một DÀN phân bố

DÀN {a, b, c, d} như biểu đồ không phải là DÀN phân bố vì:

b e Inf(d,Supp (b, c)) = Inf(d, e) = d,

mà Supp(Inf(d, b),Inf(d, c)) = Supp( a, a) ≠ d

d

a c

4.4.7 ĐỊNH NGHĨA

Giả sử DÀN L có phần tử lớn nhất Max(L) (ký hiệu là 1) và phần tử nhỏ nhất

Min(L) (ký hiệu là 0)

Phần tử x ∈ L có PHẦN BÙ ⎯x ∈ L sao cho

Supp(x,⎯x ) = 1 và Inf (x,⎯x ) = 0

L là DÀN bù khi và chỉ khi mọi phần tử của L có phần tử bù

Thí dụ

Trong DÀN bù sau đây

e

c Phần tử d có 2 phần tử bù

d

b

a

L ={ước dương của 75} thì L không phải là dàn bù

Chú ý ⎯x là bù của x thì x cũng là bù của ⎯x

Max(L) và Min(L) luôn luôn là bù của nhau

4.4.8 ĐỊNH NGHĨA

Cho (L,≤) và (M,≤) là 2 DÀN Một ánh xạ f:L → M được gọi là ĐỒNG CẤU

DÀN nếu và chỉ nếu:

∀ x, y ∈ L f(Supp(x, y)) = Supp(f(x), f(y)), f(Inf(x, y)) = Inf(f(x), f(y))

Trường hợp f có thêm tính song ánh thì ta nói f là một ĐẲNG CẤU DÀN

Thí dụ Cho 2 DÀN L, M có biểu đồ HASSE sau:

v

4 • Aùnh xạ f: L → M được định nghĩa bởi:

• e • • • u f(1) = b, f(2) = e, f(3) = c, f(4) = v

2 • • 3 b • c • d là một đồng cấu dàn

Aùnh xạ g: L → M được định nghĩa bởi:

• • g(1) = a, g(2) = b, g(3) = d, g(4) = v

1 a không phải là đồng cấu dàn vì

DÀN L DÀN M Supp(g(2), g(3)) = Supp(b,d) = c ≠ v

= g(4)=g(Supp(2, 3)