Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố.. Bài 4 6 điểm Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF.. Vẽ AH vuông góc với BF H thuộc
Trang 1Phòng Giáo dục & Đào tạo
Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1(4 điểm):
a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn
b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dơng của n
Bài 2 (4 điểm)
a) Giải phơng trình sau:
(x - 2).(x - 5).(x - 6).(x - 9) = (x + 2).(x + 5).(x + 6).(x + 9)
b) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử
(a b c+ + ) − + −(a b c) − + −(b c a) − + −(c a b)
Bài 3 (4 điểm)
a) Tìm các số x, y, z nguyên thoả mãn bất phơng trình
x2 + y2 + z2 ≤ xy + 3y + 2z - 4
b) Cho P = n4 + 4 Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố
Bài 4 (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho
AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lợt tại M, N a) Tứ giác AEMD là hình gì? vì sao?
b) Tìm vị trí của E trên AB, F trên AD sao cho diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH
c) Chứng minh rằng 2 2 2
AD = AM + AN
Bài 5 (2điểm)
Cho a,b,c l độ d i ba cạnh của tam giác à à ABC v à a+b+c=3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =3a2 +3b2 +3c2 +4abc
Trang 2Phòng Giáo dục & Đào tạo
Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán 8 Bài 1 (4 điểm)
a) Thực hiện chia
2
m
n 1
+ +
=
+ = n +
1
n 1+
0.5
Để m nguyên với n nguyên khi n + 1 là ớc của 1 0.5 Hay n + 1 ∈{ 1; -1 } Khi đó : n + 1 = 1 ⇒ n = 0 ∈ Z ( t/m) 0,5
n + 1 = -1 ⇒ n = -2 ∈ Z (t/m)
Với n = 0 ⇒ m = 1 Với n = -2 ⇒ m = - 3 Vậy 0.5 b) A = n 3 + 3n 2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) 3 +2(n+1) =
n( n +1) (n+ 2) là tích của 3 số nguyên dơng liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 0.5
Bài 2 (4 điểm)
1
11 18 11 30 11 18 11 30
Đặt:
2
2
11 24
11 24
x x X
x x Y
( ) 1 2 2
2 2
36 36 0
X Y
0 0
X Y
X Y
− =
⇔ + =
11 24 11 24 0
11 24 11 24 0
x x x x
x x x x
2
22 0
2 48 0
x x
0
x
⇔ =
Vậy PT có nghiệm là x = 0
0,25
0,5
0,5 0,5 0,25
b) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử
(a + b + c)3 - (a + b - c) 3 - (b + c - a) 3 - (c + a - b) 3
Đặt x = a + b - c; y = b + c –a; z = c + a – b
=> x + y + z = a + b + c; x + y = 2b; y + z = 2c; z + x = 2a
Ta cú:(a + b + c) 3 - (a + b - c) 3 - (b + c - a) 3 - (c + a - b) 3
= (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3
= [(x + y + z) 3 – x3 ] – (y3 + z3)
= (x + y + z - x)[(x + y + z)2 + x(x + y + z) + x2 ] - (y + z)(y2 - yz + z2)
= (y + z)[(x + y + z) 2 + x(x + y + z) + x2 - y2 + yz - z2 ]
= (y + z)(x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx+x2+xy+xz+x2- y2 + yz - z2 )
= (y + z)(3x2 + 3xy + 3yz + 3zx)
= 3(y + z)[x(x + y) + z(x + y)]
0.5
0,5
0,5 0,5
Trang 3= 3(y + z)(x + y)(x + z)
= 3 2c.2b.2a = 24abc
Vậy (a + b + c) 3 - (a + b - c) 3 - (b + c - a) 3 - (c + a - b) 3 = 24abc
Bài 4.(6 điểm) Đúng mỗi phần đợc 2 điểm
a. Ta có DAMã = ãABF(cùng phụ ãBAH )
AB = AD ( gt)
ãBAF= ãADM = 90 0 (ABCD là hình vuông)
⇒∆ADM = ∆BAF (g.c.g) (0,5 đ)
⇒ DM=AF mà AF = AE
Nên AE = DM (0,5đ)
lại có AE // DM ( vì AB // DC )
suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành
Mặt khác.ã 0
90
DAE= (0,5đ)
Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật ( 0,5đ)
b
Ta có ∆ABH : ∆FAH (g.g) (0,25đ)
AB BH
AF AH
⇒ = hay BC BH
AE = AH ( AB=BC, AE=AF) (0,25đ) Lại có ãHAB HBC= ã (cùng phụ ãABH )
CBH EAH
⇒ ∆ : ∆ (c.g.c) (0,5đ)
Bài 3(4 điểm)
a x2 +y2 +z2 ≤ xy + 3y + 2z - 4
2
y y
y y
0; 3 1 0; 1 0
nên ta phải có
1 1 0
2 2
y y
x− = − = − =z
⇒ x = 1; y = 2; z = 1
Vậy x = 1; y = 2; z = 1 thoả mãn
0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ b) P = n 4 + 4 = n 4 + 4n 2 + 4 - 4n 2 = (n 2 + 2) 2 - (2n) 2
= (n 2 - 2n + 2)(n 2 + 2n + 2) = [(n - 1) 2 + 1][(n + 1) 2 + 1].
Vì n là số tự nhiên nên (n + 1) 2 + 1 ≥ 2; Nh vậy muốn P là số
nguyên tố thì phải có (n - 1) 2 + 1 = 1 hay (n - 1) 2 = 0, suy ra n = 1
Khi đó P = 5 là số nguyên tố.
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
D
A
N
H
E
B
F
Trang 4CBH
EAH
S BC
S AE
∆
∆
⇒ = ữ mà CBH 4
EAH
S S
∆
∆
= (gt) (0,5đ)
2
4
BC
AE
nên BC
2 = (2AE)2
⇒ BC = 2AE ⇒ E là trung điểm của AB (0,25đ)
Vậy E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD thì diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH (0,25đ)
c.Ta có AD // CN (gt) áp dụng hệ quả định lý ta lét
⇒ AD AM
CN = MN AD CN
AM MN
⇒ = (0,5đ) Lại có: MC // AB ( gt) áp dụng hệ quả định lý ta lét
MN MC AB MC
AN AB AN MN
AN = MN (0,5đ) ⇒ AD 2 AD 2 CN 2 CM 2 CN2 CM2 2 MN22 1
AM AN MN MN MN MN
+
AM AN
AM + AN = AD (đpcm) (0,5đ)
Bài 5 (2 điểm)
Ta có 3-2a =a+b+c-2a = b+c-a > 0 tơng tự 3-2b > 0 ; 3-2c > 0 0,5
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có
(3 2 ) (3 2 ) (3 2 ) 3 2 3 2 3 2 3 1
3
a b c
a b c − + − + −
0,5
Khai triển ta có : 4abc≥ 6(ab bc ca+ + )− 14 cộng hai vế với 3 a( 2 + +b2 c2) 0,5
3 a b c 4abc 3 a b c 14 13
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c hay tam giác ABC đều. 0,5