Giải tích một biến - Chuỗi lũy thừa

Giải tích một biến - Chuỗi lũy thừa

Giải tích một biên

Bài 10 PGS TS Nguyên Xuân Thảo

Chuôi luỹ thừa

e Chuỗi lũy thừa e Chuỗi Taylor và công thức Taylor

e® Vi phân và tích phân chuỗi lũy thừa ® Các phép toán của chuỗi lũy thừa

1 Chuỗi luỹ thừa

Định nghĩa

đọ +đ,X+d,xX”+ -+d,x”+ -

Ký hiệu là 3 a,x”, ở đó a„ là các số thực, x là biến số

n=0

Ta bảo chuỗi luỹ thừa hội tụ (phân kỳ) tại xọ ©> chuỗi số 3 z,x; hội tụ (phân kỳ), chuỗi

n=0

3_a„x” hội tụ trên khoảng (4; b) © chuỗi số 3 a„x; hội tụ, xọ tuỳ ý e (4;b)

Ví dụ 1 > x" =l+x+x7+.

n=0

Đã biết hội tụ khi lxl < 1, có > x" =F

n=0 x

Phân ky khi |x| > 7

Bo dé > a,x" hội tụ tại x, # 0 thì sẽ hội tụ tuyệt đối tại những x thoả mãn lz| < lx¡l và nêu

n=0

nó phân ky tai x, thi sé phan ky tại x thoả mãn lx| > lxal

Chứng minh

n

n n

a,x | =|a„x¡ | —

x)

Do Ð |a„x"| hội tụ nên có |a„x;|< 1,Vn>N

n=0

n

<

xX]

<Ï khi lxl < lzil

n

a,x

Đặt r =|—|, có vr" hội tụ

xX} n=0

» a„x”| hội tụ

n=0

Tương tự khi lx| > lx;| có 3 _z„x; phân kỳ, do đó

n=0

a,„x;|>l,VWn>N

n

*) 37 X2 X2

n

a,X> >

nA —

a,x |=

“| có rr" phan ky

n=0

Dat r=

X92

Định lý, Đối với chuỗi luỹ thừa z„x", luôn có chỉ một trong các khẳng định sau:

“_ Chuỗi luỹ thừa chỉ hội tụ tại x = 0

“ Chuỗi luỹ thừa hội tụ tuyệt đối với mọi số thực x

= Tén tại một số thực R sao cho chuỗi hội tụ tuyệt đối với IxI < R và phân kỳ với lx!

>R

Khi đó số thức R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

Nhân xét

e©_ Quy ước viết R = 0 ở khẳng định 1), #=+œ ở khẳng định 2), từ đó có thê phát biêu

gọn định lý này như sau:

Mọi chuỗi luỹ thừa >_a„x” đều có một bán kính hội tụ R với 0 < R < +00, khi đó chuỗi hội

n=0

tụ tuyệt đối với lxl < R và phân kỳ với lxl > R

e©_ Cách tìm bán kính hội tu R:

a,

R=lim

n—poo hoac R =—_—

XI |đụ

a

ntl

co n

Ví dụ 1 Tìm khoảng hội tụ của chuỗi >

n=l 1

_ ta

lim |

n—>oo

a

n+l

R = 1, chuỗi hội tụ với lxl < 1, phân kỳ với lel > 1.

2 ] Tại lxi = 1 có |Ï_ z|=-; : mặt khác yr hội tụ, do đó chuỗi luỹ thừa hội tụ tại lx| = 1

Khoảng hội tụ là [— 1; 1]

Ví dụ 2 Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa Ss

n=0

| a

„) "+2 n+3_ ,n+2

Ans} 3” ° mi n+3

_~ Qisl

R = 3, chudi hdi tụ khi lxl < 3, phân kỳ khi lx| > 3

Tại x = 3 có Na, x "=3\(n+2) phan ky

n=0 n=0 Tại z = —3 có 3 a„x"= 3 (—7) (n+2) phân kỳ

n=0 n=0

Khoảng hội tụ: (_— 3; 3)

x”

Vi du 3 Tim khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa y= a

n=o0

Dns ntl nt+2 n+l

in| On }"!

_~ Ans]

R = 1, chuỗi hội tụ với lxl < 1, phân kỳ với lxl > 1

ntl

Khi x=- l có » là chuôi đan dâu hội tụ

ntl Khoảng hội tụ là [— 1; 1)

x?

Ví dụ 4 Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa: SN -1)'= (ony

n=0 n

Không thé dùng ngay công thức vì một nửa các hệ số của chuỗi bằng 0: zz„,¡ = 0

Đặt y = x’ có chuỗi luỹ thừa: > bại y”

Có

a, | ot (ay |_ (06+) —

aw) [One (ArT) @ny ODEN)

lin eine

Khoảng hội tụ: (—=, se)

2 &

Chú ý

3 'a,(x—4) (1) được gọi là chuỗi luỹ thừa tai x = a,

=0

Đặt z = z— a có 3_a,z" (2), tìm bán kính hội tụ R của chuỗi (2), và có bán kính hội tụ

n=0

của chuỗi (1) là R tức có chuỗi hội tụ: —-Ñ < x—- a < R hay a— Ñ < x < a + R và phân kỳ với

x<a—ÄR, hoặc x > a + R; đê nhận được khoảng hội tụ ta cân xét tại x =a— vax=a+t

R

2 Vi phân và tích phân chuỗi luỹ thừa

n

Đối với đa thức bậc n nhu ) a,x" có thê lấy đạo hàm và tích phân từng số hạng Kết qua

k=0

này còn đúng không cho chuỗi luỹ thừa?

Dinh ly Gia sử chuỗi luỹ thừa ƒ(x)= _ a„x” có bán kính hội tụ là R, khi đó có các khẳng

n=0

dinh sau

i) f(x) lién tuc trén khoang ( R; R)

1) f(x) kha vi trên khoảng (— R; R) và có:

f(x)= > (4,x" =)'na,x""

iii) — #z) khả tích trên mọi đoạn nằm trong (— R; R) và có:

t)dt =a,x+—a,x° +=a,x + + a xt +

Nhân xét Thực chất từ định lý trên ta có:

lim Š ¬ = SẺ lim (a„x")

X—>*§ n—0 n-0* ?*0

of Fa }-Edlas

| Seve" Jas = > ([sx'4)

=0

Vi du 1 Tìm biểu thức chuỗi luỹ thừa của /»{(1 + x)

Miễn xác định: lxl < 1

f(x) _/ 6 dé dat f(x) = In(1 + x)

l+x

Irenas= [(E -1)" x ì

n=0

Fo) = Day" |= Ly

Int +x)= QI aa St lx|<1

Ví dụ 2 Tìm biểu diễn chuỗi luỹ thừa của hàm tan” x

Đặt ƒ(x)= tan Tx, F< floss

lưng

mm =X(-+}`= (0 x”, |x|<1

I +x? ] -[_3) n=0 n=0

) x2" — n 2n & n xen

[76)=[r2-[[ŠC +" Je=ŠC [tte=ŠCH

tan" x = x) ‘Sal HOt |x|<1

x"

Vi du 3 Tinh tong ye

n=l

Có R = 1, chuỗi hội tụ với lxl < 1

Dat f(x) = có

n=l

‘row, x|<1

—X

f(x)=-[““—”= -l(I—x), |x|<1

Ví dụ 5 Tính tổng của chuỗi yn x

n=l

R = 1, chudi héi tu vé f(x) với lxl < 1

f(x)= ` = NV xu xi = x9(%),

n=l n=l

o(x)= (ntl) x" => (nt 1) “Càng

Theo ví dụ 4 có

Ÿ'(n+1)x" = !

f(x)= x+z?

(1-x)

3 Chuỗi Taylor và công thức Taylor

Định nghĩa Chuôi

(n)

70) 2 LO pp LO 2 LOO 1

được gọi là chuôi Taylor của hàm ƒ{z) tại x = 0

Định nghĩa Ta bảo hàm số z) được khai triên thành chuỗi Taylor khi và chỉ khi chuỗi

(n)

Taylor của nó hội tu về ê ƒ(x), tức là có y Lo) ƒ (0 x" = f(x)

n=0 mỉ

Nêu ƒf(z) được khai triên thành chuôi Taylor thì có thê việt như sau:

F(x) =/(0)+ F4 tO gg EO +R,(x)

(n+1)

oe với 0 < c< x (hoặc x< e < 0)

nh ;

R, (x)

Vi du 1 Hàm f(x) = e* duoc khai triển thành chuỗi Taylor? Tìm chuỗi này

ƒŒœ)=£', f (0) =1

FE@=e, fO=l

Chuỗi Taylor cia ham e* 1a:

90 n

lt xt—x7 te t—x" $e = Yo

C

R,@)| = LO (6) xa <M _ 49

(n+1)! (n+1)!

c7 = NT,

n=0 nÌ

Ví dụ 2 Tìm chuỗi Taylor của hàm ƒz) = sin x Chứng minh rang ham fz) được khai triển thành chuôi Taylor

f(x) =sin x, (0) =0

(n) " (x) =sin(x+n4), ( ) (n) ” (0) = 0, n= 2k

Chuéi Taylor cua ham f(x) = sin x 1a

2k+1

XU (2Exi)

k=0

R, (z)|= (n+)! x <Trapi bine +92 SƯ

: — -] n

sin x=) (1) (2n+1)!

Vi du 3 Tim chudi Taylor cua ham sé f(x) = cos x Chimg minh rang ham này được khai triên thành chuôi Taylor

n=2k+1

ˆ (-1)', n=28

Chuỗi Taylor của hàm ƒ{z) = cos z là

eters) <

(n+1)!

COS X = 3 (-1 "ấn

= f(x) kha vi v6 han trén khoang chia x = a thi f(x) c6 thé khai triển thành chuỗi Taylor tai x = a, tutc cé

90 (n)

Fx)= YA (x~a}

" Có hàm khả vi vô hạn không được khai triển thành chuỗi Taylor, ví dụ

1

ƒ†(0)=0, n tự nhiên bất kỳ

Thật vậy có ngay

i

f’(x)=li im 1 O-~ FO) _ atime ~9 = tim-* =lim-ˆ =h | =0

Từ đó có đạo hàm mọi cấp tại x = 0 cũng bằng 0

Chuỗi Taylor cia ham f(x) là

0+0+0+0+

Chuỗi này hội tụ, chúng hội tụ toi f(x) chỉ tại x = 0

Nén f(x) nói trên không được khai triển thành chuỗi Taylor

= Số dư R (x)= nhận được do sử dụng định ly Rolle

“mm

4 Các phép toán của chuỗi luỹ thừa

a Phép nhân

n=0

g(x) = b,x" , Ix|<R

n=0

f(x) g(x) = sy tis | |x| <R

n=0 \ k=0

Vi du 1 Tim chudi Taylor cia ham e’ sin x

2! 3!

31 5!

x-l

hT3)=-|x‡Š aa |x|<1

l—x

ng BC Ízy(Dy2)gz(tx2 +2} +»

| 1 1 | n

=3 |1+—+—+ +— |,

b Phép chia hai chuỗi luỹ thừa

Vi du 1 Tìm chuỗi Taylor của ham tan x bang cách chia chuỗi sin x cho chuỗi cos x

sin x =x-—+—+

3! 5!

x” xt

cos x =1——-+—_+:::

2! 4!

x|<1

=x+| —-— |x t+| —-—-—_4+— |r +

Công thức được Euler đưa ra vào năm 1748, có lời giải được phác thảo trong phụ lục A 18 quyên sách Giải tích nhiêu biên sô

Chú ý:

= Cho chudi luy thira: f(x) = a,x",

n=0

Nếu lø(x)l < R thì có:

7(s(s))=3~4,(ø(x)}Ÿ

= Néu thém g(x) duge khai trién thành chuỗi Taylor thì khẳng định trên vẫn đúng khi thay g(z) băng chuôi Taylor của nó

x|<R

Ví dụ 1

=14+x4+x° 4x7 4-5, |x] <1

l—x

t= 1-257 4 4x4 8x8 4, 2x|<1

l+2x

e =l+x+—+— +, Vx

e =l4+x°+—+4+—4+-, Vx

2! 3!

sin x = x -— Vx

3! 5!

sin3x=3x—- 3) OD yy

3! 5!

sin x

Ví dụ 2 Tìm chuỗi Taylor của e""* tới số hạng chứa x’

sinx=x— —+ -

6

x x

e =1+x+—+—+:-

2! 3!

2

=l+xt+ix’-—x* +

Dang toan:

e Tìm khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa (bài tập lẻ từ 1 đến 31 trang 426)

e Khai triển Taylor cua hàm số (bài tập lẻ từ 1 đến 15 trang 436)

e Sử dụng các phép toán để khai triển thành chuỗi lũy thừa (bài tập lẻ từ 1 đến 33

trang 442)

e Tính tổng (bài 34, 36 trang 444)

Kêt thúc môn học Giải tích một biên số

aT

Chúc các em đạt kết quả tốt!