Giai tích dùng cho khối kĩ thuật

3 Phép tính tích phân của hàm số một biến 753.1 Nguyên hàm và tích phân bất định... F Giới hạn của hàm số một biến.. Trong cuốn sách Vật Lý, Aristotle chép lời Zeno, nội dung của nghịch

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRẦN ĐẠI NGHĨA

HỌC PHẦN: GIẢI TÍCH

MAI PHI KHÁNH

TP HỒ CHÍ MINH 2016

Mục lục

1.1 Khái niệm hàm số một biến 4

1.1.1 Các khái niệm cơ bản 4

1.1.2 Các tính chất của hàm số một biến 5

1.1.3 Hàm hợp, hàm ngược 6

1.1.4 Các hàm số sơ cấp 7

1.2 Giới hạn của hàm số một biến 10

1.2.1 Các khái niệm cơ bản về giới hạn 10

1.2.2 Các tính chất về giới hạn 14

1.2.3 Vô cùng bé - Vô cùng lớn 16

1.2.4 Các giới hạn cơ bản 19

1.3 Sự liên tục của hàm số một biến 28

1.3.1 Các khái niệm cơ bản về sự liên tục 28

1.3.2 Các tính chất của hàm số liên tục trên đoạn [a,b] 30

1.3.3 Điểm gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn 31

2 Phép tính vi phân của hàm số một biến 35 2.1 Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến 36

2.1.1 Đạo hàm 36

2.1.2 Vi phân 41

2.2 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 47

2.2.1 Các định lý về hàm khả vi 47

2.2.2 Công thức khai triển Taylor 49

2.2.3 Công thức L’ Hospital 53

2.3 Ứng dụng của đạo hàm 62

2.3.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 62

2.3.2 Hàm lồi 63

2.3.3 Tiệm cận của đường cong 63

2.3.4 Phân loại và cách tìm tiệm cận 64

2.3.5 Khảo sát đường cong trong hệ toạ độ Đềcác 65

2.3.6 Khảo sát đường cong trong hệ toạ độ cực 67

3 Phép tính tích phân của hàm số một biến 75

3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định 76

3.1.1 Các khái niệm cơ bản 76

3.1.2 Các phương pháp tính tích phân 77

3.2 Tích phân các hàm cơ bản 82

3.2.1 Tích phân phân thức hữu tỷ 83

3.2.2 Tích phân các hàm lượng giác 86

3.2.3 Tích phân các hàm vô tỷ 88

3.3 Tích phân xác định 95

3.3.1 Các khái niệm cơ bản 95

3.3.2 Định lý cơ bản của giải tích 97

3.3.3 Điều kiện khả tích 99

3.3.4 Tính chất của tích phân xác định 100

3.3.5 Các phương pháp tính tích phân xác định 103

3.4 Ứng dụng của tích phân xác định 112

3.4.1 Tính độ dài cung 112

3.4.2 Tính diện tích miền phẳng 115

3.4.3 Tính thể tích vật thể 118

3.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay 122

3.5 Tích phân suy rộng 127

3.5.1 Tích phân suy rộng loại 1 127

3.5.2 Tích phân suy rộng loại 2 137

4 Chuỗi số 145 4.1 Chuỗi số 146

4.1.1 Những khái niệm cơ bản 146

4.1.2 Tính chất của chuỗi hội tụ 149

4.2 Chuỗi số dương 151

4.2.1 Các khái niệm cơ bản 151

4.2.2 Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy 152

4.2.3 Tiêu chuẩn so sánh 154

4.2.4 Tiêu chuẩn D’Alembert (tỉ số) 157

4.2.5 Tiêu chuẩn Cauchy (căn số) 159

4.2.6 Tiêu chuẩn Raabe 161

4.3 Chuỗi có số hạng với dấu bất kỳ 164

4.3.1 Hội tụ tuyệt đối và chuỗi bán hội tụ 165

4.3.2 Chuỗi đan dấu 166

4.3.3 Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối 167

4.4 Chuỗi hàm số 171

4.4.1 Các khái niệm cơ bản 172

4.4.2 Tiêu chuẩn hội tụ đều 173

4.4.3 Tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều 174

4.5 Chuỗi luỹ thừa 175

4.5.1 Các khái niệm cơ bản 175

4.5.2 Quy tắc tìm bán kính hội tụ 177

4.5.3 Tính chất của chuỗi lũy thừa 183

4.6 Chuỗi Fourier 187

4.6.1 Các khái niệm cơ bản 187

4.6.2 Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier 188

5 Hàm số nhiều biến 191 5.1 Khái niệm và giới hạn của hàm số nhiều biến 192

5.1.1 Các khái niệm cơ bản 192

5.1.2 Miền xác định, miền giá trị của hàm nhiều biến 194

5.1.3 Giới hạn 195

5.1.4 Liên tục 199

5.2 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần 202

5.2.1 Đạo hàm riêng 202

5.2.2 Vi phân toàn phần 204

5.2.3 Vi phân toàn phần cấp cao 207

5.2.4 Đạo hàm hàm hợp 208

5.3 Cực trị hàm nhiều biến 213

5.3.1 Định nghĩa và quy tắc tìm cực trị 213

5.3.2 Cực trị có điều kiện 218

5.3.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên miền đóng, bị chặn 220

6 Tích phân bội 225 6.1 Tích phân kép 226

6.1.1 Định nghĩa 226

6.1.2 Tính chất 229

6.1.3 Cách tính tích phân kép trong hệ toạ độ Đềcác 230

6.1.4 Các phương pháp đổi biến 234

6.1.5 Ứng dụng của tích phân kép 242

6.2 Tích phân bội ba 262

6.2.1 Định nghĩa 262

6.2.2 Tính chất 263

6.2.3 Cách tính tích phân bội ba 264

6.2.4 Các phương pháp đổi biến 267

6.2.5 Ứng dụng của tích phân bội ba 271

7 Tích phân đường 283 7.1 Tích phân đường loại 1 284

7.1.1 Các khái niệm cơ bản 284

7.1.2 Ứng dụng hình học 285

7.1.3 Công thức tính tích phân đường loại một 286

7.2 Tích phân đường loại 2 292

7.2.1 Các khái niệm cơ bản 292

7.2.2 Ứng dụng cơ học 293

7.2.3 Công thức tính tích phân đường loại 2 293

7.2.4 Công thức Green 295

7.2.5 Điều kiện để tích phân đường loại hai không phụ thuộc đường lấy tích phân 297

8 Tích phân mặt 309

8.1 Tích phân mặt loại 1 310

8.1.1 Các khái niệm cơ bản 310

8.1.2 Cách tính 311

8.1.3 Ứng dụng của tích phân mặt loại một 315

8.2 Tích phân mặt loại 2 316

8.2.1 Định nghĩa 316

8.2.2 Cách tính 321

8.2.3 Công thức Stokes và công thức Ostrogradsky 326

8.2.4 Định lý 4 mệnh đề tương đương 331

9 Phương trình vi phân 345 9.1 Phương trình vi phân cấp 1 346

9.1.1 Các khái niệm cơ bản 346

9.1.2 Tổng quan về phương trình vi phân cấp 1 347

9.1.3 Phương trình vi phân tách biến (có biến phân ly) 349

9.1.4 Phương trình vi phân đẳng cấp 350

9.1.5 Phương trình vi phân toàn phần 352

9.1.6 Phương trình vi phân tuyến tính 354

9.1.7 Phương trình Bernoulli, phương trình Ricatii 356

9.2 Phương trình vi phân cấp 2 357

9.2.1 Các khái niệm chung 357

9.2.2 Phương trình giảm cấp được 357

9.2.3 Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính 358

9.2.4 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng 359

9.2.5 Binomial Theorem 364

9.2.6 Taylor Series 364

Chương 0

Lời mở đầu

Hàm số một biến

F Khái niệm hàm số một biến.

F Giới hạn của hàm số một biến.

F Sự liên tục của hàm số một biến.

1.1 Khái niệm hàm số một biến

Hình 1.1: Gateway Arch (1965)

Gateway Arch - cánh cổng miền Tây và cũng là đài tưởng niệm cao nhất nước Mỹ Nằm ở thànhphố St.Louis bang Missouri, Gateway Arch như một cái cửa lớn cao vút tầng mây chế bằng thépkhông gỉ sáng lấp lánh, bên trong của Gateway Arch rỗng hoàn toàn Với hình dáng của đườngcầu vồng, cánh cổng là biểu tượng cho hy vọng nối với tương lai Thoạt nhìn, ta có thể phỏng đoánrằng cổng vòm này có dạng parabol, nhưng đồ thị y = −4

Cho X, Y ⊂ R Ánh xạ f : X → Y với x 7→ y = f (x) là một hàm số Khi đó :

- X được gọi là miền xác định của f Kí hiệu Df

- Miền giá trị của f là Rf := {y = f (x)|x ∈ X}

Hình 1.2: Miền xác định-Miền giá trị

Định nghĩa 1.2 (Lân cận của một điểm)

Cho số thực x0 và tập V ∈ R Ta gọi V là một lân cận của x0 nếu tồn tại một khoảng (a, b)sao cho x0 ∈ (a, b) ⊂ V

Nói cách khác, V là lân cận của x0 nếu tồn tại ε > 0 thỏa (x0− ε, x0+ ε) ⊂ V

Định nghĩa 1.3 Khái niệm sup − inf

Cho A ∈ R là một tập bị chặn

M là cận trên của A trong R nếu x ≤ M, ∀x ∈ A

M là cận dưới của A trong R nếu x ≥ M, ∀x ∈ A

• Phần tử nhỏ nhất trong các cận trên của A được gọi là cận trên đúng của A và ghi là sup A.Nếu sup A ∈ A thì ta sup A = max A

p Ta thấy 0 < 1

n ≤ 1, ∀n ∈ N , vì thế tập hợp M bị chặn trên, dễ thấy số 1 là cận trên

Số 1 là cận trên đúng của M : ∀ε > 0 ∃ n sao cho 1

2 Hàm số f (x) được gọi là hàm chẵn nếu f (−x) = f (x), ∀x ∈ Df

- Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung

Hàm số f (x) được gọi là hàm lẻ nếu f (−x) = −f (x), ∀x ∈ Df

- Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ

3 Hàm f được gọi là bị chặn trên (dưới) trên Df nếu:

f (x) ≤ M (f (x) ≥ M ) , ∀x ∈ Df

Hàm f vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới trên Df được gọi là bị chặn trên Df

Hay nói cách khác, hàm f được gọi là bị chặn trên Df nếu:

∃M > 0, |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ Df

4 Hàm f được gọi là hàm tuần hoàn trên Df nếu: ∃p : f (x) = f (x ± p), ∀x ∈ Df

Nếu ∃p > 0 nhỏ nhất thì p gọi là chu kỳ

Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f, ký hiệu g = f−1 nếu x = g(y), ∀y ∈ Rf.

Đồ thị hàm số y = f−1(x) đối xứng với đồ thị của hàm số y = f (x) qua đường thẳng y = x

x+ e−x)

Hình 1.5: Các hàm lượng giác

Hình 1.6: Các hàm mũ và logarit

# -

3 Cho f (x) = √

x, g(x) =√

2 − x, tìm hàm hợp và tập xác định tương ứng

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài tập 1.9 Đồ thị sau biểu thị nhiệt độ trung bình trên toàn cầu trong thế kỉ 20 Hãy ước lượng

1 Nhiệt độ trung bình năm 1950 2 Năm có nhiệt độ trung bình là 14.2oC

3 Năm có nhiệt độ trung bình cao (thấp) nhất 4 Miền giá trị của T

Hình 1.8: Nhiệt độ trung bình toàn cầu thế kỷ 20

Bài tập 1.10

1 Nếu f và g là hàm chẵn thì f + g cũng là hàm chẵn? Nếu f và g là hàm lẻ thì f + g cũng

là hàm lẻ? Nếu f chẵn, g lẻ thì sao?

2 Nếu f và g là hàm chẵn thì f ◦ g cũng là hàm chẵn? Nếu f và g là hàm lẻ thì f ◦ g cũng làhàm lẻ? Nếu f chẵn, g lẻ thì sao?

Bài tập 1.11 Cho A, B là hai tập con khác rỗng của R Ký hiệu:

3 Cho C =

®1

2n +(−1)

n

n : n ∈ N∗

´ Tìm sup C, inf C ,−1

2,

3

4 ,Bài tập 1.13 Chứng minh rằng cos {arctan [sin(arccot x)]} =

s

x2+ 1

x2+ 2

1.2 Giới hạn của hàm số một biến

Hình 1.9: Nghịch lý mũi tên bay

Sinh thời, Zeno (496 - 430 TCN) đã tạo ra 3 nghịch lý và dự đoán rằng phải mất 1.000 nămsau mới có người giải được Các nghịch lý "hại não" ấy là: Achilles và chú rùa, phân đôi và mũitên bay Trên thực tế, chưa cần tới 1.000 năm thì 2 trong 3 nghịch lý trên đã được giải đáp Cụthể, chưa đầy 100 năm sau, Aristotle (384 – 322 TCN) đã phá giải 2 nghịch lý đầu tiên.Tuy nhiên,

"mũi tên bay" phải mất hơn 1.600 năm một triết gia người Ý Thomas Aquina (khoảng năm 1200)mới tìm ra lời giải

Trong cuốn sách Vật Lý, Aristotle chép lời Zeno, nội dung của nghịch lý này đó là: "Nếu tất

cả mọi thứ đều chiếm một khoảng không gian khi nó đứng yên, và nếu khi nó chuyển động thì

nó cũng chiếm một khoảng không gian như thế tại bất cứ thời điểm nào, do đó mũi tên đang bay

là bất động" Như vậy, theo Zeno, mọi vật trên Trái đất đều không chuyển động và thứ chúng tanhìn thấy chỉ là ảo giác Điều này là vô lý theo lẽ thường tình, nhưng hoàn toàn không có gì mâuthuẫn trong lập luận trên, vậy điều gì đang diễn ra? Mũi tên sẽ không bao giờ tới đích?

1.2.1 Các khái niệm cơ bản về giới hạn

Định nghĩa 1.14 (Điểm giới hạn) Nếu x0 ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X ⊂ R, thì tồntại dãy số (xn) ⊂ X\{x0} hội tụ về x0, xn→ x0

Định nghĩa 1.15 (Giới hạn hàm số) Số L ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi

x → x0, nếu như với mọi dãy ∀(xn) ⊂ X\{x0} hội tụ về x0, xn → x0, dãy giá trị của hàm số tươngứng hội tụ về L : f (xn) → A

Ví dụ 1.16 p Giới hạn của hàm số f (x) = x + 1, khi x → 0 là 1 vì với ∀(xn) → 0 thì

-Định nghĩa 1.18 (-Định nghĩa chính xác của giới hạn)

Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a, b) chứa x0 Ta nói f (x) có giới hạn là L ∈ R (hữuhạn) khi x tiến về x0, nếu f (x) có thể gần L tùy ý khi x tiến sát đến x0

Kí hiệu lim

x→x 0

f (x) = L hay f (x) → L khi x → x0.Chính xác hơn theo ngôn ngữ toán học, ta có:

2 thì với mọi x thỏa |x − 3| < δ

ta được |(2x − 1) − 5| < ε Do đó lim lim

x→1(2x − 1) = 5 Định nghĩa 1.20 (Giới hạn tại vô cùng)

-Ta nói f (x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x → +∞, kí hiệu lim

x→+∞f (x) = L, nếu ∀ε > 0 chotrước ta tìm được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì |f (x) − L| < ε

Tương tự, kí hiệu lim

x→−∞f (x) = L, nếu ∀ε > 0 cho trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủlớn sao cho khi x < N thì |f (x) − L| < ε

Hình 1.12: Giới hạn tại vô cùng.

x− 0

< ε được thỏa mãn thì

1

x − 0

< ε ⇔

1x

... ý chotrước ta tìm δ > cho < |x − a| < δ f (x) > M

Tương tự, kí hiệu lim

x→af (x) = −∞, ∀M < có trị tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìmđược δ > cho. .. nghiệm [a, b]

6 Cho A ⊂ R tập bị chặn với a = sup A Chứng minh tồn dãy phần tử(xn) tập A cho lim

n→∞xn = a

7 Cho f : R → R hàm số liên... f1(x) = 0, ∀x

cứ tiếp tục ta có đpcm

-b Cho n số tự nhiên, f0, f1, , fn đa thức cho

fn(x)(ln x)n+ fn−1(x)(ln