Tài liệu bài giải môn xác suất thông kê.
Trang 1
htto://kinhhoa.violet.vn
BAI GIAI :
XAC SUAT THONG KE
CHUONG 2
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
VA PHAN PHOI XAC SUAT
Bài 2.1: Nước giải khát được chở từ Sài Gòn đi Vũng Tàu Mỗi xe chở
1000 chai bia Sài Gòn, 2000 chai coca và 800 chai nước trái cây Xác suất
để 1 chai mỗi loại bị bể trên đường đi tương ứng là 0,2%; 0,11% và 0,3%
Nếu không quá 1 chai bị bể thì lái xe được thưởng
a) Tính xác suất có ít nhất 1 chai bia Sài Gòn bị bể
b) Tính xác suất để lái xe được thưởng
c_ Lái xe phải chở ít mất mấy chuyến để xác suất có ít nhất một chuyến
được thưởng không nhỏ hơn 0,9?
Lời giải
Tóm tắt:
Loại Bia Sài |Coca | Nước trái cây
Gòn
Số lượng/chuyến | 1000 2000 | 800 Xác suất I1 chai |0,2% 0,11% | 0,3%
bể
- Gọi Xị là ĐLNN chỉ số chai bia SG bị bể trong một chuyến Khi đó,
Xị có phân phối nhị thức Xị ~ B(n¡,pị) với nị = 1000 và pị = 0,2% =
0,002 Vì n, khá lớn và p¡ khá bé nên ta có thể xem X; có phân phân phối Poisson:
Xị ~ P(an) với a¡ = n¡p¡ = 1000.0,002 = 2, nghĩa là
X, ~ P(2)
- Tương tự, gọi X;, Xa lần lượt là cáe ĐLNN chỉ số chai bia coca, chai
nước trái cây bị bể trong một chuyến Khi đó, X;, X; có phân phối
Poisson:
X, ~ P(2000.0,0011) = P(2,2):
Xs ~ P(800.0,003) = P(2,4)
a) Xác suất có ít nhất 1 chai bia Sài Gòn bị bể là
e”2
P(X, 21) =1-P(K, =0)=1-— =1-e°=0,8647
b) Tính xác suất để lái xe được thưởng
Theo giả thiết, lái xe được thưởng khi có không quá 1 chai bị bể, nghĩa
là
X, + Xo + X3 <1
Vì X, ~ P(2);X_ ~ P(2,2); X3 ~ P(2,4) nén X, + Xe + Xz ~ P(2+2,2 + 2,4) =
P(6,6)
Suy ra xác suất lái xe được thưởng là:
PCY + Xa + Xã < 1) = PICK, + Xã + Xã =0) + PCY + Xã + Xã = 1)]=
e °:°(6, 6)? + e #:°(6, 6)!
= 0,0103
c) Lai xe phai chở ít mất mấy chuyến để xác suất có ít nhất một chuyến được thưởng không nhỏ hơn 0,9?
Gọi n là số chuyến xe cần thực hiện và A là biến cố có ít nhất 1 chuyến
được thưởng Yêu cầu bài toán là xác định n nhỏ nhất sao cho P(A) > 0,9
Biến cố đối lập của A là: A không có chuyến nào được thưởng
Theo câu b), xác suất để lái xe được thưởng trong một chuyến là p =
0,0108 Do đó theo công thức Bernoulli ta có:
P(A) =1- P(A)=1-q" =1-(-0,0103)”"
=1-(0,9897)"
Suy ra
P(A) = 0,9 = 1- (0, 9897)" = 0,9
& (0,9897)" < 0,1
<© nln(0,9897) < In0,1 n> In0,1
In(0, 9897)
© n > 223
& 222, 3987
Trang 2
Vậy lái xe phải chở ít nhất là 223 chuyến
Bài 2.2: Một máy tính gồm 1000 linh kiện A, 800 linh kiện B và 2000
linh kiện C Xácsuất hỏng của ba linh kiện đó lần lượt là 0,02%; 0,0125%
và 0,005% Máy tính ngưng hoạt động khi số linh kiện hỏng nhiều hơn 1
Các linh kiện hỏng độc lập với nhau
a) Tính xácsuất để có ít nhất 1 linh kiện B bị hỏng
b) Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động
e) Giả sử trong máy đã có 1 linh kiện hỏng Tính xác suất để máy tính
ngưng hoạt động
Lời giải
Tóm tắt:
Số lượng/Imáy 1000_ |800 2000 Xác suất llinh kiện hỏng |0,02% |0,0125% | 0,005%
- Goi X, 1a DLNN chỉ số linh kiện A bị hỏng trong một máy tính Khi
đó, Xị có phân phối nhị thức X; ~ B(n¡,pị) với nị = 1000 và pị = 0,02% = 0,0002 Vì n¡ khá lớn và pị khá bé nên ta có thể xem X: có phân phân phối Poisson:
Xị ~ Pí(an) với a¡ = n¡p¡ = 1000.0,0002 =0,2, nghĩa là
X, ~ P(0,2)
- Tuong tu, goi Xz, X3 lan lugt la cAc DLNN chi sé linh kién B, C bi
hỏng trong một máy tính Khi đó, X;, X; có phân phối Poisson nhu sau:
X¿ ~ P(800.0,0125%) = P(0,1);
X3 ~ P(2000.0,005%) = P(O,1)
a) Xác suất có ít nhất 1 linh linh kiện B bị hỏng là:
e °1(0, 1)° _ 0!
b) Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động
Theo giả thiết, máy tính ngưng hoạt động khi số linh kiện hỏng nhiều hơn 1, nghĩa là khi
Xi + Xa + Xã > 1,
Vì Xị ~ P(0,2);X: ~ P(0,1); X: ~ P(0,1) nên X%¡ + ÄX¿ + X; ~ P(0,2+0,1 + 0,1) = P(0,4)
Suy ra xác suất để máy tính ngưng hoạt động là:
PŒX: + X¿ + X¿ > 1)= 1 - P(X, + Xo + Xe <1)
= 1-[P(%X; + X: + Xa = 0) + P(X, + Xo + Xp = 1) =
e (0, 4)° e*(0,4)'
011
= 1-1,4.e°* = 0,0615 = 6,15%
1
c) Gia su trong may da cé 1 linh kiện hỏng Khi đó máy tính ngưng hoạt động khi có thêm ít nhất 1 linh kiện hỏng nữa, nghĩa là khi
Xi + Xa + Xã > 1
Suy ra xác suất để máy tính ngưng hoạt động trong trường hợp này là:
P(X, + Xo + Xs > l= 1 - P(X, + Xp + Xg3 <1) = 1- P(X, + Xe + Xs = 0)
=1 ——>, = 1e” =0,3297 = 32,97%
Bài 2.3: Trọng lượng của một loại sản phẩm được quan sát là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 50kg và phương sai
100kg” Những sản phẩm có trọng lượng từ 45kg đến 70kg được xếp vào loại A Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm (trong rất nhiều sản phẩm) Tính xác suất để
a) có đúng 70 sản phẩm loại A
b) có không quá 60 sản phẩm loại A
c có ít nhất 65 sản phẩm loại A
Lời giải Trước hết ta tìm xác suất để một sản phẩm thuộc loại A
Trang 3
Goi Xo 1a trong lượng của loại sản phẩm đã cho Từ giả thiết ta suy ra
%Xo có phân phối chuẩn Xo ~ N(o, 60") voi bọ = 50, oo” = 100 (oo = 10)
Vì một sản phẩm được xếp vào loại A khi có trọng lượng từ 45kg đến
70kg nên xác suất để một sản phẩm thuộc loại A là P(45 < Xạ < 70)
Ta có
P(45 < X, < 70) = o(—_®) - g( 4) = ọ( )— @( )
= 0(2) — o(-0, 5) = 0(2) + 9(0, 5) = 0,4772 + 0,1915 = 0, 6687
(Tra bang gia tri ham Laplace ta được ọ (2) = 0,4772; ø (0,5) = 0,1915)
Vậy xác suất để một sản phẩm thuộc loại A là p =0,6687
Bây giờ, kiểm tra 100 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm loại A có trong
100 sản phẩm được kiểm tra, thì X có phân phối nhị thức X ~ B(n,p)
với n = 100, p=0,6687 Vì n = 100 khá lớn và p = 0,6687 không
quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên ta có thể xem X có phân phối
chuẩn như sau:
X ~ N(u, 0”)
Với wuw=np = 100.0,6687 = 66,87;
o = Jnpq = J100.0, 6687.(1 — 0,6687) = 4, 7068
a) Xác suất để có 70 sản phẩm loại A là:
f(
- 4,7068 + _ (9,66) = 28209 4, 7068 (Tra bảng giá trị hàm Gauss ta dude f(0,66) = 0,3209)
b) Xác suất để có không quá 60 sản phẩm loại A là:
60 —u O-u 60 — 66,87 0 — 66,87 ( ) =ọ( 5 )—0@( 5 ) = 9 1.7088 ) = 1.7068
= p(-1,46) - ø(—14, 21) = -0(1,46) + @(4,21) = -@(1, 46) + eS)
=-0,4279 +0,5 =0,0721 = 7, 21%
(Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được ọ (14,21) = » (5) = 0,5; (1,46) =
e) Xác suất để có ít nhất 65 sản phẩm loại A là:
0 — 66,87) ~ o(& — 66,87 4,7068 4,7068
= 0(7, 0388) - e(—0, 40) = o(5) + (0,4) = 0,5 + 0,1554 = 0,6554 = 65, 54%
(Tra bang gid tri ham Laplace ta duge 9 (7,7068)* (5) = 0,5; (0,4) =
0,1554)
Bài 2.4: Sản phẩm trong một nhà máy được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 14 sản phẩm trong đó có 8 sản phẩm loại A và 6 sản phẩm loại
B Khách hàng chọn cách kiểm tra như sau: từ mỗi kiện lấy ra 4 sản phẩm; nếu thấy số sản phẩm thuộc loại A nhiều hơn số sản phẩm thuộc
loại B thì mới nhận kiện đó; ngược lại thì loại kiện đó Kiểm tra 100
kiện (trong rất nhiều kiện) Tính xác suất để
a) có 42 kiện được nhận
b) có từ 40 đến 45 kiện được nhận
œ) có ít nhất 42 kiện được nhận
Lời giải
Trước hết ta tìm xác suất để một kiện được nhận
Theo giả thiết, mỗi kiện chứa 14 sản phẩm gồm 8A và 6B Từ mỗi kiện
lấy ra 4 sản phẩm; nếu thấy số sản phẩm A nhiều hơn số sản phẩm B, nghĩa là được 3A,1B hoặc 4A, thì mới nhận kiện đó Do đó xác suất để
mot kiện được nhận là:
31 4£ƒ+0 CC; + C.C,
Vậy xác suất để một kiện được nhận là p = 0,4056
P,( < k <4) = P,() + P,(4) = = 0,4056
Bây giờ, kiểm tra 100 kiện Gọi X là số kiện được nhận trong 100 kiện
được kiểm tra, thì X có phân phối nhị thức X ~ B(n,p) với n = 100, p=
0,4056 Vì n = 100 khá lớn và p = 0,4056 không quá gần 0 cũng không
quá gần 1 nên ta có thể xem X có phân phối chuẩn như sau:
X ~ N(u, 0”)
Với w=np = 100.0,4056 = 40,56;
o = Jnpq = /100.0, 4056.01 — 0, 4056) = 4,9101
a) Xác suất để có 42 kiện được nhận là:
Trang 4
42H) ø 7 49101 1 (4274056) Teg 99) 49101 4/9101
P(Œ% =4) = Jí(
Oo
— 9, 9825 _ 0, 0779 = 7, 79%
4,9101 (Tra bảng giá trị hàm Gauss ta dude f{0,29) = 0,3825)
b) Xác suất để có từ 40 đến 45 kiện được nhận là
45-1 40-—p 45 — 40,56 40 — 40,56
P (40 < X <45) = ( ) = of 5 )—0@( _ 5 ) = 9 4.0101 )— - _ 4.9101 )
= 0(0,90) — ø(—0,11) = (0, 90) + 0(0,11) = 0,3159 + 0,0438 = 0,3597 = 35, 97%
(Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được 9 (0,9) = 0,3519; » (0,11) =
0,0438)
e) Xác suất để có ít nhất 42 kiện được nhận là
42- F) = 100 - 40,56 )— gf 42-40,56
4,9101 4,9101
= p(12) — (0, 29) = 0,50 — 0,1141 = 0,3859 = 38, 59%
P (42 < X < 100) = (se =#) — 9
9
(Tra bang gid tri ham Laplace ta được (12) = 0(5) = 0,5; (0,29) =
0,1141)
Bài 2.5: Sản phẩm trong một nhà máy được đóng thành từng kiện, mỗi
kiện gồm 10 sản phẩm Số sản phẩm loại A trong các hộp là X có phân
phối như sau:
Khách hàng chọn cách kiểm tra như sau: từ mỗi kiện lấy ra 2 sản phẩm;
nếu thấy cả 2 sản phẩm đều loại A thì mới nhận kiện đó; ngược lại thì
loại kiện đó Kiểm tra 144 kiện (trong rất nhiều kiện)
a) Tính xác suất để có 53 kiện được nhận
b) Tính xác suất để có từ 52 đến 56 kiện được nhận
e) Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu kiện để xác suất có ít nhất 1 kiện
Lời giải Trước hết ta tìm xác suất p để một kiện được nhận
Gọi C là biến cố kiện hàng được nhận Ta cần tìm p = P(C)
Từ giả thiết ta suy ra có hai loại kiện hàng:
Loại I: gồm 6A, 4B chiếm 0,9 = 90%
Loại II: gồm 8A, 2B chiếm 0,1 = 10%
Gọi Ai, A; lần lượt là các biến cố kiện hàng thuộc loại I, II Khi đó A¡,
As là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có
P(A¡) = 0,9; P(Ag) = 0,1
Theo công thức xác suất đây đủ ta có:
P(C)= P(A¡) P(C/Aj) + P(A;) P(C/A;)
Theo giả thiết, từ mỗi kiện lấy ra 2 sản phẩm; nếu cả 2 sản phẩm thuộc
loại A thì mới nhận kiện đó Do đó:
CẠC? 1 P(C/A,) ( ¡)=Ð,() =P,(2) = S$ C73 =_:
P(Œ/A,)=P,(2)=-*‡>?2›=<“= ( s)=Ð,(2) C7 45
Suy ra P(C) = 0,9 (1/8) + 0,1.(28/45) = 0,3622
Vậy xác suất để một kiện được nhận là p = 0,3622
Bây giờ, kiểm tra 144 kiện Gọi X là số kiện được nhận trong 144 kiện
được kiểm tra, thì X có phân phối nhị thức X ~ B(n,p) với n = 144, p=
0,3622 Vì n = 144 khá lớn và p= 0,3622 không quá gần 0 cũng không
quá gần 1 nên ta có thể xem X có phân phối chuẩn như sau:
X ~ N(u, 0”)
với u = np = 144.0,3622 = 52,1568;
ø =-/npq = 144.0, 3622.(1 — 0,3622) = 5, 7676
a) Xác suất để có 53 kiện được nhận là PŒX=53) = 6,84% (Tương tự Bài
21)
b) Xác suất để có từ 52 đến 56 kiện được nhận là P(52 < X < 56) =
26,05% (Tương tự Bài 21)
c) Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu kiện để xác suất có ít nhất 1 kiện
được nhận không nhỏ hơn 95%?
Gọi n là số kiện cần kiểm tra và D là biến cố có ít nhất 1 kiện được nhận Yêu cầu bài toán là xác định n nhỏ nhất sao cho P() > 0,95
§
Trang 5
Biến cố đối lập của D là D: không có kiện nào được nhận
Theo chứng minh trên, xác suất để một kiện được nhận là p = 0,3622
Do đó
Theo công thức Bernoulli ta có:
P(D) =1-P(D)=1-q" =1-(1-0,3622)" =1 - (0,6378)"
Suy ra
P(D) = 0,95 = 1 - (0,6878)" > 0,95
<© (0,6378)" < 0,05
<> nIn(0, 6378) < In 0,05
In 0,05
~ In(0, 6378) one7
~ 6,6612
Vay phai kiém tra it nhat 7 kién
Bài 2.6: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn
là 80% và một máy khác cũng sản xuất loại sản phẩm này với tỉ lệ sản
phẩm đạt tiêu chuẩn là 60% Chọn ngẫu nhiên một máy và cho sản xuất
100 sản phẩm Tính xác suất để
a) có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
b) có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
e) có không ít hơn 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
Lời giải
Gọi X là ĐLNN chỉ số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong 100 sản phẩm
Ai, Ag lan lượt là các biến cố chọn được máy 1, máy 2
Khi đó A¡, As là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có:
P(A,) = P(Ag) = 0,5
Theo công thức xác xuất đầy đủ, với mỗi 0 < k < 100, ta có:
P(X =k) = P(A, )P(X=k/A,) + P(A,)P(X= k/A,)
Như vậy, gọi X¡, X¿ lần lượt là các ĐLNN chỉ số sản phẩm đạt tiêu
chuẩn trong trường hợp chọn được máy 1, máy 2 Khi đó:
e X¡ có phân phối nhị thức X¡ ~ B(n¡,p¡) với nị = 100, pị = 80% = 0,8 Vì n¡ = 100 khá lớn và p¡ = 0,8 không quá gần 0 cũng không
quá gần 1 nên ta có thể xem X¡ có phân phối chuẩn như sau:
Xi~ Núáu, 61”)
v6i wy, = np; = 100.0,8 = 80;
o, = Jnp,q, = ¥100.0,8.0,2 =4
e X; có phân phối nhị thức X;s ~ B(ng,pe) v6i ne = 100, po = 60% = 0,60 Vì nạ = 100 khá lén va pe = 0,60 không quá gần 0 cũng
không quá gần 1 nên ta có thể xem X; có phân phối chuẩn như sau:
Xo ~ Na, Ge’)
với Ha = nzpa = 100.0,60 = 60;
Ø; = /n;p;q; = 100.0, 60.0,40 = 4, 8990
a) Xác suất để có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn là:
P(X = 80) = LP(X,=70)+LP(X,=70) =L-L£(Đ—H „ Ð 1 p 10 — Hy,
at dp M80) 2 1 0-60) 1 begs) yt 1 ta 04)
24 °° 4 2°4,8990 4,8990 2°4 2° 4,8990
=+ 40,0175 + =.—— 0, 0498 = 0,000727 2°4 2° 4,8990
b) Xác suất dé c6 tit 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn là:
P(70 <X < 90) = SP(0 <X,< 90)+=P(70 <X, < 90)
1, 90-80 70—80 1 90-60 70 —- 60
=slet 1 )- of 2 + Slot 4.899 _¬" )|
1
=sl0Œ, 5) — 0(=2,5) + 0(6, 12) — o(,04)]
=5 (0,49379 + 0,49379 + 0,5 — 0,47932)
= 0,50413
e) Xác suất có không ít hơn 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn là
P(70 < X < 100) =0,5072
(Tuong tu cau b)
Bài 2.7: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 1% và một
máy khác cũng sản xuất loại sản phẩm này với tỉ lệ phế phẩm là 2%
10
Trang 6
Chọn ngẫu nhiên một máy và cho sản xuất 1000 sản phẩm Tính xác
suất để
a) có 14 phế phẩm
b) có từ 14 đến 20 phế phẩm
Lời giải
Gọi X là ĐLNN chỉ số phế phẩm trong 1000 sản phẩm
Ai, Ag lan lượt là các biến cố chọn được máy 1, máy 2
Khi đó A¡, As là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có:
P(A,) = P(Ag) = 0,5
Theo công thức xác xuất đầy đủ, với mỗi 0 < k < 100, ta có:
PŒ = k) = P(A,)P(X=k/A,) + P(A,)PŒ%= k/A,)
Như vậy, goi X;, Xz lan luot 1A cAe DLNN chi sé phé phém trong trudng
hợp chọn được máy 1, máy 2 Khi đó:
2 (1)chota P(X=k)= 5 PK sk)+ 2 PUK =k)
e Xị có phân phối nhị thức Xị ~ B(ni,b¡) với nị = 1000 và pị = 1% = 0,001 Vì n¡ khá lớn và p¡ khá bé nên ta có thể xem X; có phân phân phối Poisson:
Xị ~ P(an) với a¡ = n¡p¡ = 1000.0,01 = 10, nghĩa là X; ~ P(10)
e X; có phân phối nhị thức X; ~ B(ns,ps) với nạ = 1000 và pạ = 2% = 0,002 Vì na khá lớn và p; khá bé nên ta có thể xem X› có phân phân phối Poisson:
Xị ~ Píaa) với as = n;ps = 1000.0,02 = 20, nghĩa là X; ~ P(20)
a) Xác suất để có 14 phế phẩm là:
-10 14 —20 14
PK = 14) = 2px =14)+2 Pex,ar4) -2 2 18 be 9 0454 2 2 2 141 2 14!
b) Xác suất để có từ 14 đến 20 phế phẩm là:
P(14<X < 20)= P04 <X, < 20)+=P(14 <X, < 20)
2 404 4k 2? _-20ok -TN re 10 sy 20" = 31,35%
2 k! 2 k!
Bài 2.8: Một xí nghiệp có hai máy I và II Trong ngày hội thi, mỗi công
nhân du thi được phân một máy và với máy đó sẽ sản xuất 100 sản phẩm Nếu số sản phẩm loại A không ít hơn 70 thì công nhân đó sẽ được thưởng Giả sử đối với công nhân X, xác suất sản xuất được 1 sản phẩm
loại A với các máy I và II lần lượt là 0,6 và 0,7
a) Tính xác suất để công nhân X được thưởng
b) Giả sử công nhân X dự thi 50 lần Số lần được thưởng tin chắc nhất là
bao nhiêu?
Lời giải
Gọi Y là ĐLNN chỉ số sản phẩm loại A có trong 100 sản phẩm được sản
xuất
Ai, Ag lan lượt là các biến cố chọn được máy I, máy II
Khi đó A¡, As là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có:
P(A,) = P(Ag) = 0,5
Theo công thức xác xuất đầy đủ, với mỗi 0 < k < 100, ta có:
P(Y = k) = P(A,)P(Y=k/A,) + P(A,)P(Y= k/A,)
Như vậy, gọi X¡, X¿ lần lượt là các ĐLNN chỉ số sản phẩm loại A có
trong 100 sản phẩm được sản xuất trong trường hợp chọn được máy Ï, máy II Khi đó:
© (1) cho ta P(Y = k) = SP(X,=k)+> PÚX,=k)
e© X¡ có phân phối nhị thức Xị ~ B(n¡,p;) với nị = 100, pị = 0,6 Vì n¡ = 100 khá lớn và pị = 0,6 không quá gần 0 cũng không quá gần
1 nên ta có thể xem X¡ có phân phối chuẩn như sau:
Xi~ N(tu, ơi)
với MHị = n¡pị = 100.0,6 = 60;
ơ, =.jn,p;q, = 4/100.0,6.0,4 = 4,8990
e© X; có phân phối nhị thức X: ~ B(ns,pzs) với nạ = 100, pe = 0,7 Vì nạ
= 100 khá lớn và pa = 0,7 không quá gần 0 cũng không quá gần 1
nên ta có thể xem X; có phân phối chuẩn như sau:
X¿~ Nóu, G2”)
với MHị = nazpa = 100.0,7 = 70;
Ø; =xjn;p;q; = 4/100.0, 7.0, 3 = 4,5826
a) Xác suất để công nhân X được thưởng là:
12
Trang 7
P(70 < Y < 100) = SP(0 <X,< 100)+—P(70 <X,< 100)
= =[e(——_*) - p=) 4 =f) - øcC——®2)]
1 100-60 70-60 1 100-70 70-70
=— ———— + — ———)_—
219C gang 0 ng Tý 0C ng) 0 ggag
=5[(8,16) — 0(2,04) + (6,55) — 9(0)]ES(0,5 — 0,47932 + 0,5) = 0,2603
b) Giả sử công nhân X dự thi 50 lan Số lần được thưởng tin chắc nhất là
bao nhiêu?
Gọi Z là ĐLNN chỉ số lần công nhân X được thưởng Khi đó Z có
phân phối nhị thức Z ~ B(n,p) với n = 50, p = 0,2603 Số lần được
thưởng tin chắc nhất chính là Mod(2) Ta có:
Mod(2)= k<>np—-q<k<np-q+1
© 50.0,2608 - 0,7897 < k < 50.0,26083-—0,7897 +1
© 12,2753 <k<18,2753 «<6 k=18
Vậy số lần được thưởng tin chắc nhất của công nhân X là 13 lần
Bài 2.9: Trong ngày hội thi, mỗi chiến sĩ sẽ chọn ngẫu nhiên một trong
hai loại súng và với khẩu súng chọn được sẽ bắn 100viên đạn Nếu có từ
65 viên trở lên trúng bia thì được thưởng Giả sử đối với chiến si A, xác
suất bắn 1 viên trúng bia bằng khẩu súng loại I là 60% và bằng khẩu
súng loại IT là 50%
a) Tính xác suất để chiến sĩ A được thưởng
b) Giả sử chiến sĩ A dự thi 10 lần Hỏi số lần được thưởng tin chắc nhất
là bao nhiêu?
e) Chiến sĩ A phải tham gia hội thi ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có
ít nhất một lần được thưởng không nhỏ hơn 98%?
Lời giải Gọi X là ĐLNN chỉ số viên trúng trong 100 viên được bắn ra
Goi Aj, Ag lan lượt là các biến cố chọn được khẩu súng loại I, II
Khi đó A¡, As là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có:
P(A¡) = P(Ag) = 0,5
Theo công thức xác xuất đầy đủ, với mỗi 0 < k < 100, ta có:
PŒ = k) = P(A,)PŒ%=k/A,) + P(A,)P(X= k/A,)
Như vậy, gọi Xị, X;¿ lần lượt là các ĐLNN chỉ số viên trúng trong 100
viên được bắn ra trong trường hợp chọn được khẩu loại I, II Khi đó:
e (1) cho ta P(X = k) = 5 P(X, =h)+ PK, =k)
e X¡ có phân phối nhị thức Xị ~ B(n;,p¡) với nị = 100, pị = 0,6 Vì nị
= 100 khá lớn và p¡ = 0,6 không quá gần 0 cũng không quá gần 1
nên ta có thể xem Xị¡ có phân phối chuẩn như sau:
Xi~ N(tu, 61°)
với MHị = n¡pị = 100.0,6 = 60;
ơ, =.ja¡p;q, =^/100.0,6.0,4 = 4,8990
e X; có phân phối nhị thức X; ~ B(ns,pzs) với nạ = 100, pe = 0,5 Vì nạ
= 100 kha lén va pe = 0,5 khong quá gần 0 cũng không quá gần 1
nên ta có thể xem X; có phân phối chuẩn như sau:
Xo ~ Na, 62°)
với MHị = napa = 100.0,5 = 50;
ø; =-/n;p;q; = 4100.0,5.0,5 = 5
a) Xác suất để chiến sĩ A được thưởng là:
P(65 < X< 100) = SP(65 <X,< 100)+_P(65 <X, < 100)
1, ,100-60 65 — 60 1, ,100—-50 65 — 50
2 lot 4,899 > 4,899 ) 2 lot 5 =a 5 l
=Iu®, 16) - (1,02) + o0) — pS 0,5 — 0,34614 + 0,5 — 0,49865) = 0,0776
b) Giả sử chiến sĩ A dự thi 10 lần Số lần được thưởng tin chắc nhất là
bao nhiêu?
Gọi Y là ĐLNN chỉ số lần chiến sĩ A được thưởng Khi đó ŸY có phân phối nhị thức ŸY ~ B(n,p) với n = 10, p = 0,0776 Số lần được thưởng tin
chắc nhất chính là mod(Y) Ta có:
rmmnod(CŸ) =k <>np—q <k<np—-q+1
© 10.0,0776 - 0,8224 < k < 10.0,0776 - 0,9224 +1
© -0,1464 <k<0,8536 <6 k=0
Trang 8
Vậy số lần được thưởng tin chắc nhất của chiến sĩ A là 0 lần, nói cách
khác, thường là chiến sĩ A không được thưởng lần nào trong 10 lần tham
gia
e) Chiến sĩ A phải tham gia hội thi ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có
ít nhất một lần được thưởng không nhỏ hơn 98%?
Gọi n là số lần tham gia hội thi và D là biến cố có ít nhất 1 lần được
thưởng Yêu cầu bài toán là xác định n nhỏ nhất sao cho P(D) = 0,98
Biến cố đối lập của D là D: không có lần nào được thưởng
Theo chứng minh trên, xác suất để một lần được thưởng là p = 0,0776
Do đó
Theo công thức Bernoulli ta có:
P(D)=1-P(D)=1_-q" =1-(1-0,0776)° = 1- (0,9224)"
Suy ra
P(D) = 0,98 = 1- (0, 9224)" = 0,98
<© (0,9224)" < 0,02
© nIn 0, 9224 < 1n0,02
on > 12002 43 43
In 0, 9224
>n >49
Vậy chiến sĩ A phải tham gia hội thi ít nhất là 49 lần
Bài 2.10: Một người thợ săn bắn 4 viên đạn Biết xác suất trúng đích
của mỗi viên đạn bắn ra là 0,8 Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số viên
đạn trúng đích
a) Tìm luật phân phối của X
b) Tim ky vọng và phương sai của X
Lời giải a) Ta thấy X có phân phối nhị thức X~ B(n,p) với n=4, p=0,8 X là
ĐLNN rời rạc nhận 5 giá trị: 0, 1, 2, 3, 4 Luật phân phối của X có dạng:
X 0 1 21314
P Đo Pi | P2 | Đa | Pa
Theo công thức Bernoulli ta co:
P(ŒX = 0) = C,(0,8)°(0,2)' = 0,0016;
P(X = 1) = Œ,(0,8)'(0,2)? = 0,0256;
PΠ= 2) = (7/0, 8)?(0, 2)? = 0,1536;
P(X = 3) = Cj(0,8)'(0,2)' = 0,4096;
P(X = 4) = C1/(0,8)'(0,2)° = 0,4096
Vậy luật phân phối của X là:
x 0 1 2 3 4
P| 0,0016 | 0,0256 | 0,1536 | 0,4096 | 0,4096 b) Tim ky vong va phuong sai cua X
- Kỳ vọng: M(X) = np = 8,2
- Phuong sai: D(X) = npq = 0,64
Bài 2.11: Có hai lô hàng I và II, mỗi lô chứa rất nhiều sản phẩm Tỉ lệ
sản phẩm loại A có trong hai lô I và II lân lượt là 70% và 80% Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm
a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn hơn số sản phẩm loại A lấy từ lô II
b) Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 4 sản phẩm được lấy ra Tìm kỳ
vọng và phương sai của X
Lời giải Gọi Xị, X¿ lần lượt là các ĐLNN chỉ số sp loại A có trong 2 sp được chọn ra từ lô I, II Khi đó
e Xị có phân phối nhị thức Xị ~ Bí(ni, pị); nị = 2; pị= 70% = 0,7 với các xác suất định bởi:
PŒX, = k) =(;(0,7)*(0,3)*
Xi 0 1 2
P 0,09 | 0,42 | 0,49
e X; có phân phối nhị thức X¿ ~ Bing, pe); neg = 2; po = 80% = 0,8 với các xác suất định bởi:
P(X, =k) = ©, (0,8)*(0, 2)" *
P| 0,04 | 0,32 | 0,64
Trang 9
a) Xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn hơn số sản phẩm loại A
lấy từ lô II là:
PŒ: > X¿) = P[ŒX¡ =2)(X: =0)+ (Xị =2)(X;¿ =1)+ (X¡ =1)(X; =0)]
= P(ŒX¡ =2)P(ŒX; =0)+ P(X; =2)PŒX; =1l)+ P(ŒX;¡ =1)PŒX; =0) = 0,1952
b) Gọi X là số sp loại A có trong 4 sp chon ra Khi đó
X = X, + Xe
Vi X,, Xe doc lap nén ta có:
- Rỳ vọng của X 1a M(X) = M(X¡) + MŒ;¿) = nyp, + nope = 8
- Phuong sai cla X la D(X) = D(X) + D(X_) = ny pig, + nepegqe = 0,74
Bai 2.12: Cho hai hộp I và II, mỗi hộp có 10 bi; trong đó hộp I gồm 6 bi
đỏ, 4 bi trắng và hộp II gồm 7 bi đỏ, 3 bi trắng Rút ngẫu nhiên từ mỗi
hộp hai bi
a) Tính xác suất để được hai bi đỏ và hai bi trang
b) Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số bi đổ có trong 4 bi được rút ra
Tìm luật phân phối của X
Lời giải
Gọi Xị, X;s lần lượt là cáe ĐLNN chỉ số bi đỏ có trong 2bi được chọn
ra từ hộp I, hộp II Khi đó
- XỊ có phân phối siêu bội XỊ ~ HÁN, Nia, ny); Nụ = 10; Nya= 6; ny=
2 với các xác suất định bởi:
CC *
10
Cu thé
P| 6/45 | 24/45 | 15/45
- Xs có phân phối siêu bội X; ~ H(Ne, Naa, na); Ne = 10; Noa = 7; ng
=2
với các xác suất định bởi:
P(X, =k) = =
10
P| 8/45 | 21/45 | 21/45
Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số bị đỏ có trong 4 bi được rút ra Khi
đó
X = X, + Xe Bang gia tri cua X dua vao X,, X2 nhu sau:
X X,f/O}1 12
Xi
011 |2
1 112 [38
213 |4
a) Xác suất để được 2 bi dé va 2 bi trắng là:
PŒ = 2) = P[(X;¡=0) (Xa=2)+ (X¡=1) (X¿=1)+ (X¡=2) (X;=0)]
= P(ŒX;=0) PŒX:=2)+ P(ŒX¡=1)P(X;=1)+ PŒX;=2)P(X;=0)]
= (6/45)(21/45) + (24/45)(21/45) + (15/45)(8/45) = 1/8
b) Luật phân phối của X có dạng:
| Đo Pi Đa Ps Pa
trong đó:
Đo = PX = 0)= POY =0) P(X, = 0) = 2/225;
Pi = PX = 1)= POY =0) P(X, = 1) + POY =1) P(X, = 0)= 22/225;
p2 = P(X = 2) = 1/3;
ps = P(X = 3)= PCY =1) Pe = 2) + PCY =2) P(e = 1)= 91/225;
pa = P(K = 4)= P(X, =2) P(Ke = 2) = 7/45
Vậy luật phân phối của X là :
P |2/225 22/225 1/3 91/925 7/45
Trang 10
Bai 2.13: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 10% Một lô
hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 30% Cho máy sản xuất 3 sản
phẩm và từ lô hàng lấy ra 3 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm tốt có trong
6 sản phẩm này
a) Tìm luật phân phối của X
b) Không dùng luật phân phối cua X, hay tinh M(X), D(X)
Lời giải
Gọi Xị, X; lần lượt là các ĐLNN chỉ số sp tốt có trong 3 sản phẩm do
máy sản xuất; do lấy từ lô hàng Khi đó Xị, X; độc lập và ta có:
- Xị có phân phối nhị thức Xị ~ Bí(m, pị); nị = 3; pị= 0,9 Cụ thể
ta có:
PŒ, = 0) = Cp°q” = (0,1 = 0,001;
P(X, =D = Cip'a? = 300, 9)(0, ? = 0,027;
P(X, = 2) = Cp’a' = 300, 9)°(0, D = 0, 243;
PŒ, = 3) = Cjp?q" = (0,9)? = 0,729
- X; có phân phối siêu bội X: ~ H(No, Noa, ne); No = 10; Noa = 7; ng
= 83 (vi 16 hang gém 10 sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 30%, nghĩa là lô
hàng gồm 7 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu) Cụ thể ta có:
0 3
P(X, = 0) = CÓ: L,
1 2
nọ, -n- CC? _ 2L,
P(X, =2)= Ww _ 2
PằX, =3) = S2 =—,
Ci, 120
a) Ta cé X = X, + Xp Luat phan phdéi của X có dạng:
X|0 1 3 3 4 5 6
P | po Pi P2 Ps Pa Ps Pe
19
trong đó:
Po = PX =0)= P(K,= 0)P(Ke = 0) = 1/120000;
pi=PH=1)= PK,= 0)PKe= 1) + P(X = 1)P(Ke = 0) = 1/2500;
p2 = P(X = 2) = P(X, = 0)P(ŒX; = 2) + P(X, = 1)PŒ;s = 1) + P(X, = 2)PŒX;› =0)
= 291/40000
ps = P(X = 3) = P(X, = 0)P(X¿= 3) + PŒ%: = 1)P(X; = 2) + P(X: = 2)P(Xs =1)
+ P(X, = 3)P(X_=0) = 473/7500
Pa = P(X = 4) = P(X, = 1)PŒ%› = 3) + P(X, = 2)PŒ; = 2) + P(X, = 3)P(Xe = 1)
= 10521/40000
ps = PX =5)= P(K,= 2) PXe= 8) + P(X, = 3)P(ŒX¿ = 2) = 567/1250
pe = PX = 6) = P(X, = 3)P(&e= 3) = 1701/8000
Vậy luật phân phối của X là:
P | 1/120000 | 1/2500 | 291/40000 | 473/7500 | 10521/40000 | 576/1250 | 1701/8000
b) Vi X = XK, + Xy va X,, Xe déc lap nén ta cé:
- Ky vong của X là M(X) = M(X)) + M(Xg) = nip) + ne pe = 4,8 (Vi po = Noa/No)
- Phuong sai cua X la D(X) = D(X) + D(Xe) = nypiqy + Ne Podqe(No-na)/(No-1)= 0,76
Bai 2.14: Cho hai hộp I và II, mỗi hộp có 10 bị; trong đó hộp I gồm 8 bi
đỏ, 2 bi trắng và hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng Rút ngẫu nhiên từ hộp I hai bi bỏ sang hộp II, sau đó rút ngẫu nhiên từ hộp II ba bi
a) Tính xác suất để được cả 3 bi trắng
b) Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số bi trang có trong ba bị được rút
ra từ hộp II Tìm luật phân phối của X Xác định kỳ vọng và phương sai của X
Lời giải
Gọi X là ĐLNN chỉ số bi trắng có trong 3 bi rút ra từ hộp II
A¡Œ= 0, 1, 2) là biến cố có ¡ bi trang va (2-i) bi đỏ có trong 2 bi lấy ra từ hộp I Khi đó Ao, A¡, Ag lA hệ biến cố đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta
CÓ:
20