Những kiến thức căn bản của toán học trong chương trình đại học cao đẳng.
Trang 1Bài tập chương 1
TÍNH GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Bài 1
Cho các số gần đúng a =4,7658 và b = 3,456 với Δa =5.10-4, và Δb=10-3; còn u =a.b Hãy tìm sai số tương đối của a và b; tính u và ước lượng sai số
Δu và δu
Bài 2
Cho a=12345; và δa =0,1%, b=34,56 với δb=0,8% Xác định sai số tuyệt đối
và các chữ số đáng tin
Bài 3 Tính diện tích hình chữ nhật có d= 40,0 và r = 24,0 và ước lượng sai
số tuyệt đối và tương đối của S nếu các chữ số biểu diễn d và r đều đáng tin
Bài 4
Cho hình hộp chữ nhật có các cạnh d, r, h tương ứng xấp xỉ bằng 10m, 5m và 3,5m
a) Tính thể tích V và ước lượng sai số nếu Δd =Δr =Δh = 0,005m
b) Cần tính các cạnh với sai số như thế nào để sai số ΔV ≤0,1
Bài 5 Hình trụ tròn xoay có bán kính R = 10cm chiều cao h=20cm;
a Tính V nếu ΔR= Δh=0,5cm; π=3,1416 với Δπ=0,5 10-4
b Với π như trên, cần tính R và h như thế nào để ΔV ≤1
Bài 6
Cho u=a-b với a= 55,23 và b=55,20; Δa=Δb= 0,005
a Tính u, Δu và δu
b Giải thích vì sao người ta thường tránh trừ 2 số gần bằng nhau
Bài 7 Cho u = a/b +c với a=125, b=0,5, c=5; Δa=Δb=0,1 ; Δc= 1
a tính u và δu
b Giải thích vì sao người ta tránh chia cho số bé ở các bước trung gian
Bài 8 Tìm chữ số đáng tin và làm tròn, chỉ giữ lại 2 số không đáng tin:
a) a=57,4365 ; δa=0,5%
b) a=1,40805; δa=0,6%
Bài 9 Tính u= a2 b + c nếu a=4,0; b=5,5; c= 25,48; Δa=Δb=0,001; Δc=0,01
và thu gọn u chỉ giữ lại một chữ số không chắc
Bài 10 Cho y = f(x) đa thức bậc n Chứng minh rằng khi tính gần đúng giá
trị của y tại x (|x|>1) sai số Δy là rất lớn mặc dù Δx là nhỏ
Trang 2Bài tập Chương 2
TÍNH GIÁ TRỊ HÀM VÀ XẤP XỈ HÀM
Bài 1.Cho đa thức sau: p(x)= 2x6 +4x4 -3x3 -2x+3
a) Tìm giá trị p(x) và Δp(x) nếu x ≈2 với Δx=0.01
b) Để Δp(x) ≤ 0,01 thì cần tính x với Δx là bao nhiêu?
Bài 2 Cho đa thức sau: p(x)= x6 +3x4 -2x3+5x+3
a) Tìm giá trị p(x) và Δp(x) nếu x ≈2 với Δx=0.01
b) Để Δp(x) ≤ 0,01 thì cần tính x với Δx là bao nhiêu?
Bài 3
Bảng sau cho giá trị của hàm y=f(x) đo được tại các điểm tương ứng
y=f(x) 3 0 1 5 6 Tìm đa thức nội suy Lagrange của y trên đoạn [-1, 4]; Sau đó tính y(3)?
Bài 4
Bảng sau cho giá trị của hàm y=f(x) đo được tại các điểm tương ứng
Tìm đa thức nội suy Lagrange của y trên đoạn [-1, 3]; Sau đó tính y(2)?
Bài 5
Bảng sau cho giá trị của hàm y=f(x) đo được tại các điểm tương ứng
Tìm đa thức nội suy Lagrange của y trên đoạn [-1, 3]; Sau đó tính y(1)?
http:/kinhhoa.violet.vn
Trang 3Bài 6 Giả sử đồ thị hàm y=f(x) đi qua A(-1,5), B(0,3), C(1,2) và D(2,4) Tìm
đa thức nội suy Newton của hàm này (đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều) Tính y(1,5)=?
Bài 7
Bảng sau cho giá trị của hàm y=f(x) đo được tại các điểm tương ứng
y=f(x) 3 1 -2 4
Tìm đa thức nội suy Newton (đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều) của y trên đoạn [-1, 2]; Sau đó tính y(0,5)=?
Bài 8 Bảng sau cho giá trị của hàm y=f(x) đo được tại các điểm tương ứng
x 1 2 3 4 y=f(x) 3 2 -1 5
Tìm đa thức nội suy Newton (đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều) của y trên đoạn [1, 4]; Sau đó tính y(3,5)=?
Bài 9 Giả sử đồ thị hàm y=f(x) đi qua A(-1,5), B(0,3), C(1,2) và D(2,4) Tìm
đa thức bậc nhất xấp xỉtốt nhất theo bình phương tối thiểu
Bài 10 Bảng sau cho giá trị của hàm y=f(x) đo được tại các điểm tương ứng
y=f(x) 3 4 6 7 Tìm đa thức bậc nhất xấp xỉ tốt nhất theo bình phương tối thiểu
Trang 4Chương 3 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Bài 1 Lập chương trình trong C tính gần đúng đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2
(với đạo hàm cấp 2 trừ 2 điểm biên) tại các mốc tại đó giá trị của hàm đã biết
Bài 2 Dùng chương trình đã lập được trong Bài 1 hãy tính giá trị đạo hàm cấp 1
và cấp 2, nếu giá trị của hàm được cho trong bảng sau
0
1
2
3
4
5
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
1.266 1.326 1.393 1.469 1.553 1.647
Bài 3 Dùng chương trình đã lập được trong Bài 1 hãy tính giá trị đạo hàm cấp 1
và cấp 2, nếu giá trị của hàm được cho trong bảng sau
0
1
2
3
4
5
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
0.4000 1.4848 2.6813 3.9975 5.3456 6.2465
Bài 4 Lập chương trình trong C tính gần đúng tích phân xác định theo phương
pháp hình thang và sai số phạm phải
Bài 5 Áp dụng chương trình đã lập trong Bài 4, tính tích phân sau với h=0.1;
∫ +
= 1
dx I
Để sai số <0.0001 thì cần chọn bước h thế nào trong các công thức tính
Bài 6 Sử dụng chương trình đã lập trong Bài 4 để tính tích phân sau
∫ +
= 1
dx e I
x
http:/kinhhoa.violet.vn
Trang 5Cần chia đoan [0,1 ] thành bao nhiêu điểm (n=?) để sai số <0.0001
Bài 7 Lập chương trình trong C tính gần đúng tích phân xác định theo phương
pháp Simpson và sai số phạm phải
Bài 8 Áp dụng chương trình đã lập trong Bài 7, tính tích phân sau với h=0.1;
∫ +
= 1
dx I
Để sai số <0.0001 thì cần chọn bước h thế nào trong các công thức tính
Bài 9 Sử dụng chương trình đã lập trong Bài 7 để tính tích phân sau
∫ +
= 1
dx e I
x
Cần chia đoan [0,1 ] thành bao nhiêu điểm (n=?) để sai số <0.0001
Trang 6Chương 4 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
Với mỗi một trong các bài tập 1-6 sau đây hãy:
1 Tìm miền nghiệm của đa thức đó
2 Lập trình tính giá trị của đa thức theo công thức Horner tại một điểm tùy ý
3 Lập trình để kiểm tra xem đa thức có bao nhiêu nghiệm và mỗi nghiệm nằm trong miền nào?
4 Lập chương trình tính tất cả các nghiệm gần đúng với sai số nhỏ hơn
10 -4 của đa thức theo các phương pháp Chia đôi
Bài 1 p(x) = 2 x6 +4 x5 -3 x4 +4 x3 +6x +7
Bài 2 p(x) = x5 -4 x4 +2 x3 +4x -7
Bài 3 p(x) = 2 x5 -4 x4 +3 x3 - 5x +4
Bài 4 p(x) = x5 +2 x2 – 40 x +6
Bài 5 p(x) = x6 +4 x4 -3x -5
Bài 6 p(x) = x5 +5 x -2
Bài 7 Hãy lập trình giải phương trình f(x)= 0 theo phương pháp lặp đơn
Hãy thử chương trình với
f(x) = x5 -40 x + 3=0 trong đoạn [0,1]
Bài 8 Hãy lập trình giải phương trình f(x)= 0 theo phương pháp tiếp tuyến
(Newton) Hãy thử chương trình với
f(x) = x3 -15=0 trong đoạn [2,3]
Bài 9 Hãy lập trình giải phương trình f(x)= 0 theo phương pháp Dây cung
Hãy thử chương trình với
f(x) = x3 -15=0 trong đoạn [2,3]
Trong các bài 10-15, (1) giải sơ bộ để tìm miền nghiệm của phương trình, các miền đủ nhỏ bao quanh mỗi nghiệm, (2) trong mỗi miền nhỏ này hãy kiểm tra xem các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện để áp dụng các phương pháp Lặp đơn, Tiếp tuyến hay Dây cung không? (3) nếu có hãy sử dụng các
http:/kinhhoa.violet.vn
Trang 7chương trình đã lập trong các Bài 7,8 và 9 để tính gần đúng nghiệm với sai
số nhỏ hơn 10 -4
Bài 10 f(x) = x5 +2 x2 – 40 x +6 =0 trong đoạn [0,1]
Bài 11 f(x) = 2x – cos x -1 = 0; trong đoạn [0;1]
Bài 12 f(x) = 2x – ln x -3 =0; trong đoạn [1;2]
Bài 13 f(x) = 3x – sin x-2 =0 trong đoạn [0;1]
Bài 14 f(x) = x6 +4 x4 -3x -5 = 0 với x ∈ [1,2];
Bài 15 f(x) = x5 +5 x -2 =0 với x ∈[0,1];
Bài 16 Hãy tính gần đúng: 5 a với a là một số dương cho trước
Bài 17 Để tính
a
x= 1 người ta giải phương trình − 1 =0
x
hơn 10-5
Bài 18 Lập chương trình giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương
pháp Gauss Áp dụng giải hệ Ax = b nếu
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
2 0 1 1
1
1
; 1 3 2
1 2 1
1 1 1
b và b
A
Giải bằng tay và so sánh các kết quả tìm được
Bài 19 Lập chương trình dùng phương pháp Gauss-Gordan tìm nghịch đảo
ma trận Sử dụng chương trình tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
=
1 3 1
2 3 2
2 1 1 )
2 1 1
1 1 2
1 2 1 )
1 0 0
2 1 0
3 3 1
a
Bài 20 Dùng phương pháp lặp đơn và Seidel giải gần đúng hệ sau với sai số
nhỏ hơn 10-4:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
−
−
=
− +
−
=
−
−
5 9
3
4 6
5 2
8
)
3 2
1
3 2 1
3 2 1
x x
x
x x x
x x x
a
Trang 8⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
−
= +
−
= +
−
8 8
2
8 6
6 5
)
3 2
1
3 2 1
3 2 1
x x
x
x x x
x x x
b
Bài 21 Giải hệ sau bằng phương pháp lặp với xấp xỉ ban đầu tương ứng:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
=
+ +
−
=
+ +
− +
=
) 2 (
5
1
) 4 0 (
9
1
) 1 ) 1 log(
) 1 (log(
3
1
xy z
z x y
z y
x
a
trong miền D= {[0;2][0;2][0;2]} với x0 =1; y0 =1; z0 =1;
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
−
=
−
−
−
=
+ +
−
=
) 3 0 2
( 7
1
) 2 0 3
( 9
1
) 1 0 2
( 7
1
)
2 2 2
xy x
z
xz y
y
yz x
x
b
trong miền D={[-1,1],[-1;1],[-1;1]}
với x0 = y0 = z0 =0
Bài 22 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Newton với x0 =1,01và
y0 = 0.47
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
−
=
− + + +
0 1 36 0 5
1
0 6 1 )
4 0 cos(
2 2
2 2 2
y x
y x y x
http:/kinhhoa.violet.vn
Trang 9Chương 5 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
Bài 1 Hãy viết chương trình trong ngôn ngữ lập trình C giải gần đúng bài toán
Côsi cho phương trình vi phân thường theo phương pháp Euler
Bài 2 Hãy viết chương trình trong ngôn ngữ lập trình C giải gần đúng bài toán
Côsi cho phương trình vi phân thường theo phương pháp Euler cải tiến 1 và cải tiến 2
Bài 3 Hãy viết chương trình trong ngôn ngữ lập trình C giải gần đúng bài toán
Côsi cho phương trình vi phân thường theo phương pháp Runge-Kutta
Bài 4 Dùng chương trình đã viết giải các phương trình sau bằng phương pháp
Euler
a) y’ = xy/2 với y(0) =1; h=0.1; [a,b]= [0,1]
b) y’ = x2+y2 với y(0) =0; h=0.1; [a,b]= [0,1]
Bài 5 Viết chương trình giải hệ phương trình vi phân sau bằng phương pháp
Euler
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
=
−
=
1
; 0
; 1 ) 0 (
; 0 ) 0 ( '
'
b a
z y
x
y z
xz y
Bài 6 Dùng chương trình đã viết giải các phương trình vi phân sau bằng phương
pháp Runge-Kutta với h=0.2; sau đó h=0.1
b) y’=y/x -y2 ; y(1)=1; a=1; b=2
Bài 7 Dùng phương pháp đạo hàm liên tiếp tìm 4 số hạng đầu trong khai triển
Taylor của nghiệm:
d)
⎩
⎨
⎧
−
=
=
= +
=
z y z
z y
z xy y
'
; 1 ) 0 (
; 0 ) 0 (
; '
Bài 8 Giải các phương trình sau bằng phương pháp hệ số bất định
Trang 102
1 ) 0 ( '
; 1 ) 0 (
; 2
' ''
)
2
1 ) 0 ( '
; 1 ) 0 (
; 0 '
2 '' 4
)
; 1 ) 0 ( '
; 0 ) 0 (
; 1 '
''
=
=
=
−
−
−
=
=
= + +
=
=
−
= + +
−
y y
e y xy y
c
y y
y y xy
b
y y
x
x y x y y
a
x
Bài 9 Viết chương trình trong C giải bài toán biên theo phương pháp vượt
Bài 10 Sử dụng chương trình vưa viết trong 9, giải các bài toán biên sau:
1 0
; 0 ) 1 ( ) 0 ( : )
( '
''
)
2 0
; 367 1 1 )
1 (
; 1 ) 0 (
; ) 2 (
) 2 5 ( 2 2 '
2
''
)
2 2
1 3
=
=
= +
=
− +
+
=
= +
=
=
−
−
= +
h y
y b x
x y
x a y
x
y
b
h e
y y
x
x y
xy
y
a
http:/kinhhoa.violet.vn
