Bˆo´n mˇa.t na.. cuˆo´i tu.o.ng ´u.ng khˆong gian con “trung b`ınh”... Kh´ac nhau co.
Trang 1√
√
√
−
√
√
√ 2
H`ınh 7.12: C´ac mˇa.t na tru c giao (vector w d. ¯u.o. c chı˙’ ra trˆen chu.a d¯u.o. c chˆa˙’n ho´a) Bˆo´n
mˇa.t na d¯ˆa` u tiˆen ta.o th`anh co so.˙’ khˆong gian con ca.nh; bˆo´n mˇa.t na tiˆe´p theo tu.o.ng
´
u.ng khˆong gian con d`ong; mˇa.t na cuˆo´i tu.o.ng ´u.ng khˆong gian con “trung b`ınh”
Trang 2d`ong hoˇa.c d¯iˆe˙’m cˆo lˆa.p) nˆe´u θ e (tu.o.ng ´u.ng, θ l hoˇa.c θ a) l´o.n nhˆa´t, t´u.c l`a bˇa`ng
max{θ e , θ l , θ a }.
7.1.5 Lo c d ¯ˆ `ng cˆ o a´u
Wallis [] d¯u.a ra phu.o.ng ph´ap ph´at hiˆe.n biˆen du a trˆ. en viˆe.c xu˙’ l´. y a˙’nh d¯ˆ`ng cˆo a´u f (x, y) =
ln z5− 1
4[ln z2 + ln z4 + ln z6 + ln z8] > T, trong d¯´o T > 0 l`a ngu.˜o.ng n`ao d¯´o Biˆe˙’u th´u.c trˆen tu.o.ng d¯u.o.ng
1
4ln
(z5)4
> T.
(z5)4
C´ac k˜y thuˆa.t trong phˆa` n tru.´o.c ph´at hiˆe.n su gi´. an d¯oa.n cu.`o.ng d¯ˆo s´ang cu˙’a a˙’nh Vˆe` l´y thuyˆe´t, c´ac k˜y thuˆa.t n`ay cho a˙’nh gˆo`m c´ac pixel nˇa`m trˆen biˆen gi˜u.a c´ac d¯ˆo´i tu.o. ng v`a nˆ` n Trong thu.e c tˆe´, tˆa.p c´ac pixel n`ay hiˆe´m khi d¯ˇa.c tru.ng biˆen d¯ˆa`y d¯u˙’ do nhiˆe˜u,
do biˆen d¯´u.t d¯oa.n v`a nh˜u.ng a˙’nh hu.o.˙’ng kh´ac V`ı vˆa.y, sau tiˆe´n tr`ınh ph´at hiˆe.n biˆen, ch´ung ta cˆ` n xu.a ˙’ l´y thˆem d¯ˆe˙’ liˆen kˆe´t c´ac pixel la.i th`anh mˆo.t d¯u.`o.ng biˆen c´o d¯ˆa`y d¯u˙’ ´y ngh˜ıa Phˆ` n n`a ay nghiˆen c´u.u mˆo.t sˆo´ phu.o.ng ph´ap liˆen kˆe´t biˆen
7.2.1 Xu ˙’ l´ y d ¯i.a phu o.ng
C´ach tiˆe´p cˆa.n d¯o.n gia˙’n nhˆa´t d¯ˆe˙’ liˆen kˆe´t c´ac d¯iˆe˙’m biˆen l`a phˆan t´ıch c´ac d¯ˇa.c tru.ng cu˙’a c´ac pixel trong lˆan cˆa.n d¯u˙’ nho˙’ cu˙’a n´o (chˇa˙’ng ha.n, 3 × 3 hoˇa.c 5 × 5) trong a˙’nh d¯˜a qua viˆe.c ph´at hiˆe.n biˆen (edge-detection) Tˆa´t ca˙’ c´ac d¯iˆe˙’m tu o.ng tu d¯u.o c liˆen kˆe´t la.i ta.o
th`anh biˆen Hai t´ınh chˆa´t ch´ınh d¯u.o. c su˙’ du.ng d¯ˆe˙’ thiˆe´t lˆa.p t´ınh tu.o.ng tu cu˙’a c´ac pixel. biˆen l`a
Trang 3(i) d¯ˆo l´o.n cu˙’a d¯´ap ´u.ng cu˙’a to´an tu.˙’ gradient (t´u.c l`a k∇f(x, y)k) d¯u.o c su.˙’ du.ng d¯ˆe˙’
x´ac d¯i.nh pixel biˆen; v`a
(ii) hu.´o.ng cu˙’a vector gradient
T´ınh chˆa´t (i) c´o ngh˜ıa l`a pixel biˆen (x0, y0) ∈ N (x, y) (lˆan cˆa.n n`ao d¯´o cu˙’a (x, y))
trong d¯´o T > 0 l`a gi´a tri ngu.˜o.ng
Hu.´o.ng cu˙’a vector gradient x´ac d¯i.nh bo˙’ i g´. oc gi˜u.a vector ∇f (x, y) v`a tru.c ho`anh
Ta n´oi pixel biˆen (x0, y0) ∈ N (x, y) c´ o g´ oc tu.o.ng tu v´ o.i pixel (x, y) nˆe´u
trong d¯´o A > 0 l`a g´oc ngu.˜o.ng Ch´u ´y rˇa`ng, hu.´o.ng g´oc cu˙’a biˆen ta.i (x, y) vuˆong g´oc
v´o.i hu.´o.ng cu˙’a vector gradient ta.i d¯´o Tuy nhiˆen, o˙’ d¯ˆ. ay v`ı ta so s´anh hu.´o.ng, nˆen (7.2) cho kˆe´t qua˙’ tu.o.ng d¯u.o.ng (ta.i sao?)
Ch´ung ta liˆen kˆe´t pixel (x0, y0) ∈ N (x, y) v´ o.i (x, y) nˆe´u hai tiˆeu chuˆa˙’n d¯ˆo l´o.n (7.1) v`a hu.´o.ng (7.2) thoa˙’ m˜an Tiˆe´n tr`ınh n`ay d¯u.o. c lˇa.p la.i ta.i mo.i vi tr´ı trong a˙’nh v`a ta thu d¯u.o. c tˆa.p c´ac biˆen
7.2.2 Xu ˙’ l´ y to` an cu c qua biˆ e´n d ¯ˆ o˙’i Hough
Tru.´o.c hˆe´t kha˙’o s´at viˆe.c liˆen kˆe´t c´ac pixel bˇa`ng c´ach x´ac d¯i.nh ch´ung c´o nˇa`m trˆen mˆo.t
d¯u.`o.ng cong c´o da.ng d¯ˇa.c biˆe.t khˆong
Gia˙’ su.˙’ ch´ung ta muˆo´n t`ım c´ac tˆa.p con (cu˙’a tˆa.p gˆo`m n d¯iˆe˙’m trong a˙’nh) nˇa`m trˆen c´ac d¯u.`o.ng thˇa˙’ng Phu.o.ng ph´ap l`a: d¯ˆ` u tiˆen t`ım tˆa a´t ca˙’ c´ac d¯u.`o.ng thˇa˙’ng d¯u.o. c x´ac
d¯i.nh bo˙’ i mˆ. o˜i cˇa.p d¯iˆe˙’m v`a sau d¯´o t`ım tˆa´t ca˙’ c´ac tˆa.p con c´ac d¯iˆe˙’m gˆa` n v´o.i c´ac d¯u.`o.ng thˇa˙’ng x´ac d¯i.nh o˙’ trˆen Thuˆ. a.t to´an n`ay cˆa` n x´ac d¯i.nh n(n − 1)/2 d¯u.`o.ng thˇa˙’ng v`a thu c hiˆe.n n2(n − 1)/2 ph´ep so s´anh mˆo˜i d¯iˆe˙’m v´o.i tˆa´t ca˙’ c´ac d¯u.`o.ng thˇa˙’ng Do d¯´o d¯`oi ho˙’i nhiˆ` u th`e o.i gian thu. c hiˆe.n
d¯iˆe˙’m (x i , y i) ∈ R2 v`a phu.o.ng tr`ınh d¯u.`o.ng thˇa˙’ng qua n´o da.ng y i = ax i + b C´o vˆo sˆo´
Trang 4y
x
• (x i , y i) • (x j , y j) (a) . . y
x
• b = −x i a + y i b = −x j a + y j a0 b
(b) H`ınh 7.13: (a) Mˇa.t phˇa˙’ng xy; (b) khˆong gian tham sˆo´. . b
a
•
•
•
•
•
• 0
0
H`ınh 7.14: Lu.o. ng tu˙’ ho´. a mˇa.t phˇa˙’ng tham sˆo´ d¯ˆe˙’ su˙’ du.ng trong ph´ep biˆe´n d¯ˆo˙’i Hough..
d¯u.`o.ng thˇa˙’ng (tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´ac tham sˆo´ (a, b)) d ¯i qua (x i , y i ), nhu.ng c`ung thoa˙’ m˜an
phu.o.ng tr`ınh y i = ax i + b v´o.i c´ac gi´a tri a, b thay d¯ˆo˙’i Ta c´o thˆe˙’ viˆe´t b = y i − ax i v`a x´et trong mˇa.t phˇa˙’ng tham sˆo´ (a, b), phu.o.ng tr`ınh n`ay x´ac d¯i.nh mˆo.t d¯u.`o.ng thˇa˙’ng d¯ˆo´i v´o.i mˆo˜i (x i , y i) cˆo´ d¯i.nh Ho.n n˜u.a, v´o.i mˆo.t d¯iˆe˙’m th´u hai (x j , y j) ta c˜ung c´o mˆo.t d¯u.`o.ng thˇa˙’ng trong khˆong gian tham sˆo´ tu.o.ng ´u.ng v´o.i n´o v`a d¯u.`o.ng thˇa˙’ng n`ay cˇa´t d¯u.`o.ng thˇa˙’ng tu.o.ng ´u.ng v´o.i d¯iˆe˙’m (x i , y i ) ta.i (a0, b0) Do d¯´o nˆe´u (x1 , y1), (x2, y2), , (xn , y n) c`ung nˇa`m trˆen mˆo.t d¯u.`o.ng thˇa˙’ng th`ı ho c´ac d¯u.`o.ng thˇa˙’ng trong khˆong gian tham sˆo´
c`ung d¯i qua mˆo.t d¯iˆe˙’m H`ınh 7.13 minh ho.a c´ac kh´ai niˆe.m n`ay
K´y hiˆe.u [amin, amax] v`a [bmin , bmax] l`a pha.m vi thay d¯ˆo˙’i cu˙’a hˆe sˆo´ g´oc a v`a tham
Trang 5sˆo´ b Ch´ung ta phˆan hoa.ch h`ınh vuˆong [amin, amax] × [bmin, bmax] trong khˆong gian tham
sˆo´ th`anh c´ac ˆ o t´ıch l˜ uy nhu H`ınh 7.14 K´y hiˆe.u ˆo ta.i to.a d¯ˆo (i, j) tu.o.ng ´u.ng v´o.i h`ınh vuˆong trong khˆong gian tham sˆo´ c´o c´ac to.a d¯ˆo (a i , b j ) D - ˇa.t A(i, j) l`a gi´a tri t´ıch l˜uy
cu˙’a ˆo (i, j) Kho.˙’ i ta.o c´ac gi´a tri t´ıch l˜uy cu˙’a c´ac ˆo bˇa`ng 0 Kˆe´ tiˆe´p, v´o.i mˆo˜i d¯iˆe˙’m a˙’nh
cˆ` n x´et (xa k , y k) trong mˇa.t phˇa˙’ng a˙’nh, ta cho tham sˆo´ a bˇa`ng c´ac gi´a tri phˆan hoa.ch
trˆen tru.c a v`a t`ım b tu o.ng ´u.ng su.˙’ du.ng phu.o.ng tr`ınh b = −x k a + y k L`am tr`on b v´o.i gi´a tri c´o thˆe˙’ gˆa` n nhˆa´t trˆen tru.c b Nˆe´u v´o i a p ta c´o b p th`ı d¯ˇa.t A(p, q) = A(p, q) + 1.
Kˆe´t th´uc thuˆa.t to´an, ta c´o sˆo´ d¯iˆe˙’m trong mˇa.t phˇa˙’ng a˙’nh xy nˇa`m trˆen d¯u.`o.ng thˇa˙’ng
Dˆe˜ thˆa´y rˇa`ng sˆo´ ph´ep to´an thu. c hiˆe.n thuˆa.t to´an l`a nK, trong d¯´o K l`a sˆo´ d¯iˆe˙’m
chia trˆen tru.c a Do d¯´o phu.o.ng ph´ap n`ay hiˆe.u qua˙’ ho.n c´ach d¯u.o c tr`ınh b`ay o.˙’ phˆa`n
d¯ˆ` u d¯ˆa o´i v´o.i nh˜u.ng gi´a tri K < n.
Khi su.˙’ du.ng phu.o.ng tr`ınh y = ax + b biˆe˙’u diˆe˜n d¯u.`o.ng thˇa˙’ng, mˆo.t kh´o khˇan na˙’y
sinh l`a hˆe sˆo´ g´oc a v`a gi´a tri b tiˆe´n ra vˆo ha.n (tu.o.ng ´u.ng d¯u.`o.ng thˇa˙’ng d¯´u.ng) D- ˆe˙’ vu.o. t qua kh´o khˇan n`ay, ta su.˙’ du.ng biˆe˙’u diˆe˜n dang chuan d¯u.`o.ng thˇa˙’ng (L) du.´o.i da.ng:
x cos θ + y sin θ = ρ,
trong d¯´o θ l`a g´oc ho. p bo˙’ i tru.c ho`anh v`a d¯u. .`o.ng thˇa˙’ng vuˆong v´o.i g´oc (L) v`a ρ l`a khoa˙’ng
c´ach t`u gˆo´c to.a d¯ˆo d¯ˆe´n (L) H`ınh 7.15(a) minh ho.a ´y ngh˜ıa c´ac tham sˆo´ n`ay Tu.o.ng
tu. nhu trˆen, su.˙’ du.ng biˆe˙’u diˆe˜n n`ay ta c´o thˆe˙’ xˆay du ng c´ac ˆo t´ıch lu˜y Tuy nhiˆen, thay cho c´ac d¯oa.n thˇa˙’ng trong mˇa.t phˇa˙’ng ab l`a c´ac d¯u.`o.ng cong h`ınh sin trong mˇa.t phˇa˙’ng
d¯u.`o.ng cong h`ınh sin cˇa´t nhau ta.i (ρ i , θ j) trong khˆong gian tham sˆo´ Tˇang θ v`a t`ım gi´a tri ρ tu o.ng ´u.ng ta d¯u.o c M phˆa`n tu.˙’ d¯u.a v`ao gi´a tri t´ıch lu˜y A(i, j) cu˙’a ˆo x´ac d¯i.nh
bo.˙’ i (ρ i , θ j ) H`ınh 7.15(b) minh ho.a c´ach phˆan hoa.ch khˆong gian tham sˆo´.
G´oc θ thay d¯ˆo˙’i trong d¯oa.n [−900, 900] Do d¯´o d¯u.`o.ng thˇa˙’ng nˇa`m ngang c´o θ = 00 v`a ρ bˇa`ng ho`anh d¯ˆo giao d¯iˆe˙’m cu˙’a d¯u.`o.ng thˇa˙’ng v´o.i tru.c ho`anh Tu.o.ng tu , d¯u.`o.ng thˇa˙’ng d¯´u.ng c´o θ = ±900 v`a ρ bˇa`ng tung d¯ˆo giao d¯iˆe˙’m cu˙’a d¯u.`o.ng thˇa˙’ng v´o.i tru.c tung
Nhˆ a.n x´et 7.2.1 Ph´ep biˆe´n d¯ˆo˙’i Hough c´o thˆe˙’ ´ap du.ng d¯ˆo´i v´o.i l´o.p d¯u.`o.ng cong da.ng
c´ac d¯iˆe˙’m nˇa`m trˆen d¯u.`o.ng tr`on:
(x − c1)2+ (y − c2)2 = c23
bˇa`ng phu.o.ng ph´ap trˆen Kh´ac nhau co ba˙’n l`a biˆe˙’u diˆe˜n c´ac tham sˆo´ (c1 , c2 v`a c3) trong
khˆong gian ba chiˆ` u v´e o.i c´ac h`ınh hˆo.p ch˜u nhˆa.t v`a c´ac gi´a tri t´ıch l˜uy da.ng A(i, j, k).