Ngo`ai kh´o khˇan, nhu.. Tuy nhiˆen nghiˆe.m n`ay c´o c´ac gi´a tri.. bˇa`ng khˆong trong v`ung tˆa` n sˆo´ quan tˆam... Hiˆe˙’n nhiˆen H triˆ e.t tiˆeu ta.i c´ac gi´a tri... qui theo φz
Trang 1Ngo`ai kh´o khˇan, nhu v´ı du trˆen, trong viˆe.c x´ac d¯i.nh H(u, v) ch´ung ta hiˆe´m khi biˆe´t
d¯ˆ` y d¯u˙’ thˆa ong tin vˆ` nhiˆee ˜u d¯ˆe˙’ t`ım N (u, v).
5.4.2 Khu ˙’ nho` e do chuyˆ e˙’n d ¯ˆ o ng d ¯ˆ ` u tuyˆ e e´n t´ınh
C´o mˆo.t sˆo´ ´u.ng du.ng thu c tˆe´ trong d¯´o c´o thˆe˙’ x´ac d¯i.nh l`o.i gia˙’i H(u, v) mˆo.t c´ach gia˙’i
t´ıch Tuy nhiˆen nghiˆe.m n`ay c´o c´ac gi´a tri bˇa`ng khˆong trong v`ung tˆa` n sˆo´ quan tˆam Ch´ung ta d¯˜a gˇa.p kh´o khˇan khi H(u, v) = 0 trong Phˆa` n 5.4.1 Du.´o.i d¯ˆay x´et b`ai to´an phu.c hˆo`i a˙’nh bi nho`e do chuyˆe˙’n d¯ˆo.ng d¯ˆe` u tuyˆe´n t´ınh Ch´ung ta d¯ˆ` cˆe a.p b`ai to´an n`ay
do n´o c´o liˆen quan d¯ˆe´n thu. c tˆe´ v`a c´o thˆe˙’ x´ac d¯i.nh mˆo.t nghiˆe.m gia˙’i t´ıch t`u d¯´o
Gia˙’ thiˆe´t a˙’nh f (x, y) di chuyˆe˙’n v´o.i c´ac th`anh phˆ` n chuyˆe˙’n d¯ˆa o.ng theo th`o.i gian
x = x0(t) v` a y = y0(t), v` a T l`a khoa˙’ng th`o.i gian xa˙’y ra chuyˆe˙’n d¯ˆo.ng Khi d¯´o a˙’nh bi nho`e
g(x, y) =
Z T
0
f [x − x0(t), y − y0(t)]dt. (5.15)
Biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier h`am g(x, y) ta d¯u.o. c
G(u, v) =
Z
R 2
g(x, y) exp[−2πi(ux + vy)]dxdy
= Z
R 2
Z T
0
f [x − x0(t), y − y0(t)]dt
exp[−2πi(ux + vy)]dxdy.
´
Ap du.ng cˆong th´u.c Fubini
G(u, v) =
Z T
0
Z
R 2
f [x − x0(t), y − y0(t)] exp[−2πi(ux + vy)]dxdy
dt
=
Z T
0
F (u, v) exp[−2πi(ux0(t) + vy0(t))dt
= F (u, v)
Z T
0
exp[−2πi(ux0(t) + vy0(t))]dt.
D- ˇa.t
H(u, v) :=
Z T
0
exp[−2πi(ux0(t) + vy0(t))]dt.
Ta c´o
G(u, v) = H(u, v)F (u, v).
Nhu vˆa.y, nˆe´u biˆe´t c´ac biˆe´n chuyˆe˙’n d¯ˆo.ng x0(t) v` a y0(t) th`ı dˆ˜ d`ang suy ra h`am di.che
H(u, v) Chˇa˙’ng ha.n, gia˙’ thiˆe´t a˙’nh chuyˆe˙’n d¯ˆo.ng d¯ˆe` u, tuyˆe´n t´ınh theo hu.´o.ng tru.c x v´o.i
Trang 2vˆa.n tˆo´c x0(t) = at T Khi t = T a˙’nh d¯˜a di chuyˆe˙’n mˆo.t khoa˙’ng c´ach l`a a V´o i y0(t) = 0
ta c´o
H(u, v) =
Z T
0
exp[−2πiux0(t)]dt
=
Z T
0
exp
−2πiuat T
dt
πua sin(πua) exp[−πiua].
Hiˆe˙’n nhiˆen H triˆ e.t tiˆeu ta.i c´ac gi´a tri u = n/a v´o i n ∈ Z.
Nˆe´u f (x, y) = 0 (hoˇ a.c d¯˜a biˆe´t) ngo`ai d¯oa.n [0, L] vˆa´n d¯ˆe ` triˆe.t tiˆeu cu˙’a H(u, v) c´o
thˆe˙’ tr´anh v`a a˙’nh d¯u.o. c phu.c hˆ`i ho`o an to`an t`u h`am g(x, y) trong d ¯oa.n n`ay V`ı y l`a bˆa´t
biˆe´n d¯ˆo´i v´o.i th`o.i gian, nˆen khu.˙’ biˆe´n n`ay trong (5.15) ta d¯u.o. c
g(x) =
Z T
0
f [x − x0(t)]dt =
Z T
0
f
x − at T
dt, 0 ≤ x ≤ L.
Thay biˆe´n τ := x − at T v`a bo˙’ qua mˆo.t hˇa`ng sˆo´ ta d¯u.o c
g(x) =
Z x x−a
f (τ )dτ, 0 ≤ x ≤ L.
Sau d¯´o d¯a.o h`am theo biˆe´n x
∂g
∂x (x) = f (x) − f (x − a), 0 ≤ x ≤ L.
Hay
f (x) = ∂g
D- ˆe˙’ thuˆa.n tiˆe.n trong phˆa`n sau ta gia˙’ thiˆe´t L = Ka trong d¯´o K l`a sˆo´ nguyˆen Khi
d¯´o biˆe´n x c´o thˆe˙’ biˆe˙’u diˆ˜n da.nge
x = z + ma
trong d¯´o z ∈ [0, a] v` a m l`a phˆ` n nguyˆen cu˙’a (x/a) Chˇa a˙’ng ha.n, nˆe´u a = 2 v`a x = 3.5 th`ı m = 1 v` a z = 1.5 Dˆ ˜ kiˆe˙’m tra la.i z + ma = 3.5 Cˆae ` n ch´u ´y rˇa`ng, v´o.i L = Ka th`ı
chı˙’ sˆo´ m c´o thˆe˙’ lˆa´y mˆo.t trong c´ac gi´a tri nguyˆen 0, 1, , K − 1 V´ı du., khi x = L th`ı
z = a v` a m = K − 1.
Thay x = z + ma v`ao (5.16) ta d¯u.o. c
f (z + ma) = ∂g
∂x (z + ma) + f [z + (m − 1)a]. (5.17)
K´y hiˆe.u φ(z) l`a mˆo.t phˆa` n cu˙’a ca˙’nh chuyˆe˙’n d¯ˆo.ng trong d¯oa.n [0, a) :
φ(z) = f (z − a), 0 ≤ z ≤ a.
Trang 3Phu.o.ng tr`ınh (5.17) c´o thˆe˙’ gia˙’i d¯ˆe qui theo φ(z) Do d¯´o v´o i m = 0 th`ı
f (z) = ∂g
∂x (z) + f (z − a)
= ∂g
∂x (z) + φ(z).
V´o.i m = 1, phu.o.ng tr`ınh (5.17) tro.˙’ th`anh
f (z + a) = ∂g
∂x (z + a) + f (z).
Suy ra
f (z + a) = ∂g
∂x (z + a) +
∂g
∂x (z) + φ(z).
Tu.o.ng tu. , v´o.i m = 2 :
f (z + 2a) = ∂g
∂x (z + 2a) + f (z + a)
v`a thay f (z + a) d¯u.o. c
f (z + 2a) = ∂g
∂x (z + 2a) +
∂g
∂x (z + a) +
∂g
∂x (z) + φ(z).
Lˇa.p la.i thu˙’ tu.c trˆen, cuˆo´i c`ung ta c´o
f (z + ma) =
m
X
k=0
∂g
∂x (z + ka) + φ(z).
Nhu.ng x = z + ma, nˆen
f (x) =
m
X
k=0
∂g
v´o.i mo.i x ∈ [0, L] V`ı g(x) d¯˜a biˆe´t, vˆa´n d¯ˆe` cˆ` n x´a ac d¯i.nh φ.
Phu.o.ng ph´ap x´ac d¯i.nh h`am φ t`u a˙’nh bi nho`e nhu sau Tru.´o.c hˆe´t nhˆa.n x´et
rˇa`ng, khi x thay d¯ˆo˙’i trong d¯oa.n [0, L] th`ı m thay d¯ˆo˙’i trong d¯oa.n [0, K − 1] Do d¯´o
x − ma ∈ [0, a) v`a v`ı vˆa.y φ(x − ma) d¯u o c lˇa.p la.i K lˆa`n khi x thay d¯ˆo˙’i trong d¯oa.n [0, L] D- ˇa.t
ˆ
f (x) :=
m
X
j=0
∂g
Khi d¯´o (5.18) c´o thˆe˙’ viˆe´t la.i
φ(x − ma) = f (x) − ˆ f (x). (5.20)
Trang 4U.´o.c lu.o. ng bˆen tr´ai v`a bˆen pha˙’i cu˙’a phu.o.ng tr`ınh n`ay v´o.i ka ≤ x < (k + 1)a v`a sau
d¯´o cˆo.ng c´ac kˆe´t qua˙’ v´o.i k = 0, 1, , K − 1, ta d¯u.o c
Kφ(x − ma) =
K−1X
k=0
f (x + ka) −
K−1X
k=0
ˆ
f (x + ka), x ∈ [0, a),
trong d¯´o m = 0 do 0 ≤ x < a Suy ra
φ(x) = 1
K
K−1X
k=0
f (x + ka) − 1
K
K−1X
k=0
ˆ
f (x + ka).
Tˆo˙’ng th´u nhˆa´t bˆen vˆe´ pha˙’i cu˙’a biˆe˙’u th´u.c n`ay chu.a biˆe´t Tuy nhiˆen, v´o.i K d¯u˙’ l´o.n gi´a
tri n`ay tiˆe´n d¯ˆe´n f Do d¯´o ta c´o thˆe˙’ xˆa´p xı˙’ gi´a tri n`ay bˇa`ng hˇa`ng sˆo´ A; v`a v`ı vˆa.y
φ(x) ' A − 1
K
K−1X
k=0
ˆ
f (x + ka)
v´o.i mo.i x ∈ [0, a) Hay
φ(x − ma) ' A − −1
K
K−1X
k=0
ˆ
f (x + ka − ma)
v´o.i mo.i x ∈ [0, L] Do d¯´o t`u (5.19)
φ(x − ma) ' A − 1
K
K−1X
k=0
k
X
j=0
∂g
∂x [x + ka − ma − ja]
' A − 1
K
K−1X
k=0
k
X
j=0
∂g
∂x [x − ma + (k − j)a]
Kˆe´t ho. p v´o.i (5.19) v`a (5.20) cho kˆe´t qua˙’
f (x) ' A − 1
K
K−1X
k=0
k
X
j=0
∂g
∂x [x − ma + (k − j)a] +
m
X
j=0
∂g
∂x (x − ja)
v´o.i x ∈ [0, L] Cuˆo´i c`ung thˆem biˆe´n y v`ao ta d¯u.o. c
f (x, y) ' A − 1
K
K−1X
k=0
k
X
j=0
∂g
∂x [x − ma + (k − j)a, y] +
m
X
j=0
∂g
∂x (x − ja, y)
trong d¯´o x ∈ [0, L] Nhu trˆ en, f (x, y) d¯u.o. c gia˙’ thiˆe´t l`a a˙’nh k´ıch thu.´o.c vuˆong Thay
d¯ˆo˙’i vai tr`o cu˙’a x v` a y ta c˜ung c´o kˆe´t qua˙’ tu.o.ng tu. cho viˆe.c khˆoi phu.c a˙’nh chuyˆe˙’n d¯ˆo.ng
theo tru.c y Phu.o.ng ph´ap n`ay c´o thˆe˙’ d`ung biˆe˙’u diˆe˜n a˙’nh d¯˜a khˆoi phu.c cho chuyˆe˙’n
d¯ˆo.ng liˆen tu.c d¯ˆe` u theo ca˙’ hai chiˆe` u x v` a y.
Trang 55.5 Lo.c b`ınh phu o.ng tˆo´i thiˆe˙’u
Gia˙’ su.˙’ R f v`a R n l`a c´ac ma trˆa.n tu.o.ng quan cu˙’a f v`a n d¯u.o c x´ac d¯i.nh tu.o.ng ´u.ng bo.˙’i
R f = E{ff t} v`a
R n = E{nn t },
trong d¯´o E{.} l`a k`y vo.ng v`a f v`a n x´ac d¯i.nh trong Phˆa` n 5.1.3 Phˆ` n tu.a ˙’ h`ang i cˆ o.t j
cu˙’a ma trˆa.n R f bˇa`ng E{f i f j} l`a tu.o.ng quan gi˜u.a c´ac phˆ` n tu.a ˙’ th´u i v` a j cu˙’a f Tu.o.ng
tu. , phˆ` n tu.a ˙’ (i, j) cu˙’a ma trˆa.n R n ch´ınh l`a tu.o.ng quan gi˜u.a c´ac phˆ` n tu.a ˙’ tu.o.ng ´u.ng cu˙’a
n V`ı c´ac phˆ` n tu.a ˙’ cu˙’a f v` a n l`a thu. c nˆen E{f i f j } = E{f j f j} v`a E{n i n j } = E{n j n j }.
Do d¯´o R f v`a R n l`a c´ac ma trˆa.n d¯ˆo´i x´u.ng thu c V´o.i hˆa`u hˆe´t c´ac h`am a˙’nh tu.o.ng quan gi˜u.a c´ac pixel (t´u.c l`a c´ac phˆ` n tu.a ˙’ cu˙’a f hoˇ a.c n) chı˙’ tu.o.ng quan nˆe´u khoa˙’ng c´ach gi˜u.a ch´ung khˆong vu.o. t qu´a 30 pixel nˆen ma trˆa.n tu.o.ng quan cu˙’a ch´ung c´o c´ac phˆa`n tu.˙’ kh´ac khˆong trˆen da˙’i do.c theo d¯u.`o.ng ch´eo v`a bˇa`ng khˆong trong phˆa`n c`on la.i Du a trˆen gia˙’ thiˆe´t tu.o.ng quan gi˜u.a hai pixel l`a h`am sˆo´ theo khoa˙’ng c´ach gi˜u.a ch´ung m`a khˆong
phu thuˆo.c v`ao vi tr´ı, c´ac ma trˆa.n R f v`a R n c´o thˆe˙’ xˆa´p xı˙’ th`anh c´ac ma trˆa.n khˆo´i chu tr`ınh v`a do d¯´o c´o thˆe˙’ ch´eo ho´a bˇa`ng ma trˆa.n W theo thuˆa.t to´an miˆeu ta˙’ trong Phˆa`n
5.2.2 K´y hiˆe.u A v`a B l`a c´ac ma trˆa.n sao cho
(
R f = WAW−1,
R n = WBW−1.
(5.21)
Ch´u ´y rˇa`ng c´ac phˆa` n tu.˙’ cu˙’a ma trˆa.n d¯u.`o.ng ch´eo D = W−1
H W tu.o.ng ´u.ng biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier cu˙’a khˆo´i phˆ` n c´a ac phˆ` n tu.a ˙’ cu˙’a H V`ı vˆa.y, c´ac phˆa` n tu.˙’ cu˙’a A v` a B
l`a biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier cu˙’a c´ac phˆ` n tu.a ˙’ tu.o.ng quan trong R f v`a R n tu.o.ng ´u.ng Biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier cu˙’a c´ac tu.o.ng quan n`ay, k´y hiˆe.u S f (u, v) v` a S η (u, v), go.i l`a phˆo˙’ cˆong suˆa´t (hay
mˆ a.t d¯ˆo phˆo˙’) cu˙’a f e (x, y) v` a η e (x, y) tu.o.ng ´u.ng
Gia˙’ su.˙’ Q l`a ma trˆa.n sao cho
QtQ = R−1f R n.
Khi d¯´o (5.13) cho ta
ˆf = (Ht
H + γR−1f R n)−1Ht g.
T`u (5.7) v`a (5.21), suy ra
ˆf = (W ¯ DDW−1+ γWA−1BW−1)−1W ¯ DW−1g.