Chuyên đề hàm số potx

Hàm số đồng biến trên đoạn và nghịch biến trên đoạn Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R Bài tập 3: Cho hàm số :... Các chuyên

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

CHƯƠNG I MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ

1.1 Tính đơn điệu của hàm số

A Lý Thuyết:

Hàm số đơn điệu:

- Cho hàm số f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng

* f đồng biến trên K nếu với mọi

* f nghịch biến trên K nếu với mọi

- Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Khi đó :

* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì

* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì

- Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Định lý 1: Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân ( Định lý Lagrange)

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm

sao cho f(b)-f(a)=f'( c) ( b-a)

Định lý 2:

1) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a,b) và có đạo hàm trên khoảng (a,b)

Hàm số đồng biến trên đoạn và nghịch biến trên đoạn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc

Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R

Bài tập 3: Cho hàm số : Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có

độ dài bằng 5

Bài giải :

* Tập xác định : D = R

*

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

!/ Hàm số đồng biến trên R khi

Kết hợp các trường hợp được giá trị m cần tìm

Bài tập 1

5/ Định m để hàm số đồng biến trong khoảng

Bài tập 2

a Tìm m để hàm số đồng biến trên R

b Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4

c Tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 1

1.2 Sử dụng tính chất đơn điệu giải phương trình chứa căn

Phương trình vô tỉ là mảng kiến thức thường gặp trong các đề thi đại học , cách giải của phương trình vô tỉ rất đa dạng và sau đây tôi xin giới thiệu phương pháp nhỏ sử dụng tính đơn điệu

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

Giả sử:

suy ra

Vậy phương trình có nghiệm là x=1

Sau đây là một số bài tập áp dụng:

1.3 Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT

1.3.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT-BPT-HPT

Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D thì số nghiệm của pt trên D:

f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y với mọi x,y thuộc D

Chứng minh:

Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a) = k Do f đồng biến nên

* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên pt f(x) = k vô nghiệm

* x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên pt f(x) = k vô nghiệm

Vậy pt f(x) = k có nhiều nhất là một nghiệm

Chú ý:

* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:

Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0 Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong đó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến)

Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất

Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm được nghiệm

* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm

Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn đb)và

liên tục trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một

Chứng minh:

Giả sử x=a là một nghiệm của pt: f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến

*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x>a.

*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x<a

Vậy pt f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm

Chú ý: Khi gặp pt F(x) = 0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x) = g(x), trong đó f và g khác tính đơn điệu

Khi đó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh đó là nghiệm duy nhất

Định lí 3:Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n và pt có m nghiệm, khi đó pt có nhiều nhất là

m+1 nghiệm

Định lí này là hệ quả của Định lí Roll

Định lí 4: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì

f(x) = f(y) ↔ x = y

Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

Giải:

1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các bạn sẽ thấy ngay VT là một hàm đồng biến và x=1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được x=1 là nghiệm duy nhất Vậy ta có cách giải như sau

ĐK:

nên hàm số f(x) luôn đồng biến

Mặt khác, ta thấy f(1)=4

*Nếu x>1 suy ra f(x)>f(1)=4 nên pt vô nghiệm

*Nếu x<1 suy ra f(x)<f(1)=4 nên pt vô nghiệm

Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

có nghiệm duy nhất x=1 ( Các giải tương tự như bài 1)

3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này Tuy nhiên nếu nhìn kỹ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là x+2=(x+1)+1 và

Created by ThaoMTA@gmail.com.vn

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

nên f(t) luôn đồng biến Do đó

Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2

4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:

Giải:

1) Ta thấy pt có hai nghiệm x=0 và x=1 Ta chứng minh phương trình đã cho có không quá hai nghiệm

theo đ/l 3 suy ra g'(x) có nhiều nhất một nghiệm dẫn đến g(x) có nhiều nhất hai nghiệm), điều này luôn đúng vì

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1

nên phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1

Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất

Giải:

Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau

* Chứng minh phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này, ta cần chứng chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a,b sao cho f(a).f(b)<0

* Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến

Trở lại bài toán:

f(x)=0 luôn có nghiệm

Giả sử là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi đó Từ đây ta suy ra

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất

Chú ý:

* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là hàm đồng biến, do vậy ta

cần hạn chế miền xác định của x Điều này ta có được là nhờ vào bản thân của phương trình

* Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác đó là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra được đồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một điểm

Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải một số dạng toán về phương trình tỏ

ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn Thông qua các ví dụ đó hi vong các em có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng được những dạng phương trình nào có thể dùng đồng biến, nghịch biến Bây giờ ta đi xét một số bài toán về Bất Phương trình

Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau:

Do vậy Bpt

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:

Giải:

Từ (2) ta suy ra được |x|,|y|<=1

, trong đó

Created by ThaoMTA@gmail.com.vn

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

với |t|<=1, ta có f(t) là hàm nghịch biến và liên tục trên [-1;1]

là ngiệm của hệ đã cho

* Một chú ý khi sử dụng tính đơn điệu là chúng ta chỉ có được

khi f(t) liên tục và đơn điệu

là hàm liên tục và đồng biến, đồng thời f(-1)=0)

Vậy nghiệm của hệ là:(x;y)=(0;-1)

Ví dụ 8: Giải hệ:

Giải: Xét hàm số

ta có: nên f(t) là hàm đồng biến

Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ và x=Max{x,y,z} khi đó, ta suy ra

Ta dễ dàng chứng minh được phương trình này có nghiệm duy nhất x=1

Vậy x=y=1 là nghiệm của hệ đã cho

Bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

Bài 2: Giải các bất phương trình sau

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau

Created by ThaoMTA@gmail.com.vn

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

Bài 4: Giải và biện luận phương trình

1.3.2 Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán tham số

Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến tham số Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó… ) và phương pháp giải các dạng toán đó

Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D

cắt nhau Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:

có nghiệm

Ví dụ 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

Giải:

Ta có:

thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn

Mặt khác:

Chú ý :

Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về dạng trên

Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

Vậy f(x) là hàm đồng biến trên [0;4]

Suy ra phương trình có nghiệm

Chú ý :

Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả

Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

Giải:

Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước

(3)

Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý

Do đó phương trình có k nghiệm hai đồ thị trên cắt nhau tại k giao điểm

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:

Giải:

Xét hàm số

.Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt

Giải:

Xét hàm số

Giải:

Created by ThaoMTA@gmail.com.vn

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

(a)

.Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt

Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác

định vừa tìm Cụ thể:

* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm )

* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị

Ví dụ 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm.

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác định của

t Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm miền xác định của t Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách khác để tìm miền xác định của t Chẳng hạn:

Ở câu 2) ta có thể áp dụng BĐT Côsi để tìm xác định của t :

Vậy phương trình có nghiệm

Ví dụ 12: Xác định mọi giá trị của tham số m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt

Suy ra (3) có 2 nghiệm phân biệt

1.4 ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG

A GIỚI THIỆU

Định lí Lagrange được phát biểu như sau: Cho hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong khoảng

Chúng ta sẽ đi tìm hiểu 3 bài toán sử dụng định lí Lagrange trong chương trình THPT như sau:

I Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất đẳng thức

II Sử dụng định lí Lagrange chứng minh phương trình có nghiệm

III Sử dụng định lí Lagrange giải phương trình

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

Từ định lí Lagrange, nếu F(b)-F(a)=0 thì tồn tại sao cho:

Để áp dụng được định lí Lagrange phải nhận ra hàm số F (x) (thực ra nó là nguyên hàm của hàm

số f(x))

Dạng bài toán này làm theo các bước sau:

Bước 1: Xác định hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b), thoả mãn:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm thụôc khoảng (0,1)

Từ VD2 ta có thể giải được bài toán sau:

V ậy ph ư ơng tr ình đ ã cho c ó nghi ệm thu ộc kho ảng (0,1)

1.4.3 SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.

* Phương pháp:

Đ ể áp d ụng đ ịnh l í Lagrange vào việc giải phương trình ta thực hiện theo các bước sau đây: Bước 1: Gọi là nghiệm của phương trình

trên [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b)

Khi đó theo định lí Lagrange tồn tại sao cho:

Created by ThaoMTA@gmail.com.vn

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

Chương II PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

2.1 Phương pháp giải một số phương trình bậc bốn

Trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi học kỳ, hoặc ngay cả kiểm tra trên lớp đều có thể xuất hiện các bài toán giải phương trình bậc bốn Tôi viết bài này mong cung cấp cho các bạn một phương pháp tổng quát

để giải các bài toán đó Ở khuôn khổ bậc THPT, tôi chỉ đề cập đến việc giải ra nghiệm thực của PT Sau đây là một số dạng PT bậc bốn hay gặp:

1) Phương trình đối xứng

Là PT có dạng:

(1)

Tới đây ta giải PT bậc hai như bình thường

Chú ý: cách giải tương tự đối với những PT sau:

2) Phương trình trùng phương (bỏ qua vì trong SGK đã có)

3) Phương trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m, với a + b = c + d

Created by ThaoMTA@gmail.com.vn

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

Viết lại PT dưới dạng

Thay vào PT rồi triển khai, ta thu được PT tương đương:

5) Phương trình

Ý tưởng để giải phương trình này là biến đổi 2 vế về 2 tổng bình phương bằng nhau Biến đổi như sau:

(2)Vấn đề là tìm được m sao cho vế phải trở thành một tổng bình phương Ta nhận thấy nếu vế phải là tổng

Tới đây ta thu được phương trình bậc 3 của m:

Tiếp tục giải ta sẽ thu được nghiệm m Thay m vào phương trình (2) rồi giải tiếp tìm được x.

(3)

Vế phải là tổng bình phương thì phương trìnhVế phải = 0 phải có nghiệm kép, khi và chỉ khi , tức là:

(4)Giải phương trình (4) ta thu được 3 giá trị của m Sau đó lại thế m vào PT (3) để giải tiếp

2.2 Sử dụng hằng đẳng thức giải phương trình vô tỉ

Các chuyên đề giải toán luyện thi đại học www.vnmath.com LeVanThao – HVKTQS

Phương trình đã cho tương đương với:

Sau đây là một số bài tập áp dụng:

Giải phương trình:

Bài 1)Bài 2)Bài 3)Bài 4)Bài5) -

2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải

phương trình vô tỷ

Có ba bước cơ bản để thực hiện PP này:

- Đặt ẩn phụ và gán điều kiện cho ẩn phụ

- Đưa phương trình ban đầu về phương trình có

biến là ẩn phụ Tiến hành giải quyết phương trình

vừa tạo ra này Đối chiếu với điều kiện để chọn

ẩn phụ thích hợp

- Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được

và kết luận nghiệm

* Nhận xét :

- Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở

bước đầu tiên Lí do là nó quyết định đến toàn

bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán

- Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi

muốn nêu ra trong bài viết này đó là :

+ PP Lượng giác hoá

+ PP dùng ẩn phụ không triệt để

+ PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích

+ PP dùng ẩn phụ đưa về hệ

Trong khuôn khổ bài này tôi chỉ trình bày

Phương pháp lượng giác hoá, các PP khác các

bạn xem them trong các sách tham khảo

Kết hợp với điều kiện của t suy ra :

Vậy phương trình có 1 nghiệm :

ĐK : Đặt phương trình đã cho trở thành :

Vậy nghiệm của phương trình là

v.v…

Ví dụ 5 :

Lời giải :

ĐK : Đặt Phương trình đã cho trở thành :

Created by ThaoMTA@gmail.com.vn