Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác nguyễn tài chung

6 Sử dụng các công thức biến đổi để giải phương trình lượng giác 3911 Sử dụng lượng giác để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 52... Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

5 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x 36

6 Sử dụng các công thức biến đổi để giải phương trình lượng giác 39

11 Sử dụng lượng giác để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 52

12 Bất phương trình lượng giác cơ bản 54

CHƯƠNG 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH

Dạng 2 Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác y = f(x).

Bước 2.Dựa vào chiều biến thiên của các hàm số lượng giác cơ bản:

 Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng −π

 Hàm số y =cos x đồng biến trên mỗi khoảng((2k−1)π ; k2π)và nghịch biến trên mỗikhoảng(k2π;(2k+1)π)(với k ∈ Z).

 Hàm số y=tan x đồng biến trên mỗi khoảng−π

2 +kπ;

π

2 +kπ



 Hàm số y=cot x nghịch biến trên mỗi khoảng(kπ; π+kπ)(k∈ Z).

Lưu ý.Sử dụng đường tròn lượng giác, ta dễ dàng suy ra được chiều biến thiên của các hàm

số y=sin x, y =cos x, y =tan x, y =cot x

Bài 7 Lập bảng biến thiên của:

a) Hàm số y =sin x trên đoạn[0; π]

b) Hàm số y =cos x−1 trên đoạn[0; π]

c) Hàm số y =2 sinx+π

3

trên đoạn

d) Hàm số y = −2 sin2x+π

3

trên đoạn

Dạng 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác.

hay I



− b

2a; f(−

b2a)



◦ Trục đối xứng là đường thẳng∆ : x= − b

2a.

◦ Bề lõm hướng lên nếu a >0, hướng xuống nếu a<0

◦ Hàm số f(x) = ax2+bx+c (a6=0)có bảng biến thiên như sau:

Nhận xét 1 Khi kiểm ta xem giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất đạt được khi nào ta thường sửdụng chú ý 1

Bài 8 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) Hàm số y =cos x trên đoạnh−π

2;

π

2i

b) Hàm số y=sin x trên đoạnh−π

2; 0

i

c) Hàm số y=sin x trên đoạnh−π

2;−

π

3

i

d) Hàm số y=tan 2x trên đoạnh−π

8;

π

6

i.Bài 9 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

y=sin x+cos x;

1 2 y=sin4x+cos4x; 3 y =sin6x+cos6x

Bài 11 Cho trước hai số thực a, b không đồng thời bằng 0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất của hàm số: y=a sin x+b cos x

Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y =2 sin2x+3 sin x cos x+cos2x

Bài 13 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

y=|sin x| −√cos x

Bài 14 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y =12 sin4x+sin22x+cos 4x+2 cos2x

Bài 15 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:

g(x) =sin x+cos x−2 sin 2x+3

Dạng 5 Phương pháp lượng giác hoá.

 Nếu gặp u2+v2 =1 thì ta đặt u=cos α và v =sin α, với 0≤α ≤2π.

Bài 16 Cho x2+y2 =1, u2+v2 =1, xu+yv =0 Chứng minh

x2+u2=1, y2+v2 =1, xy+uv =0

Bài 17 Cho|x| ≥ |y| Chứng minh

x2+4y2 Bài 20 (ĐH-2008D) Xét hai số thực x, y không âm Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất củabiểu thức: P= (x−y) (1−xy)

(1+x)2(1+y)2.Dạng 6 Xét tính tuần hoàn của hàm số lượng giác.

Phương pháp.Hàm số y = f(x)xác định trên tập hợpD được gọi là hàm số tuần hoàn nếu

có số T6=0 sao cho với mọi x∈ D ta có

x+T∈ D, x−T ∈ D và f(x+T) = f(x).Nếu có số dương T nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm

số tuần hoàn với chu kì T

Chú ý 4 Hàm số y = sin x và hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π Hàm số y = tan x

và hàm số y=cot x tuần hoàn với chu kì π.

Bài 21 Chứng minh rằng số T thỏa mãn sin(x+T) = sin x,∀x ∈ R phải có dạng T =k2π,

klà một số nguyên nào đó Từ đó suy ra hàm số y=sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π

Bài 22 Cho hàm số y = f(x) = A sin(ωx+α) (A, ω, α là những hằng số; A và α 6= 0).Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, ta có

Bài 23 Chứng minh rằng hàm số f(x) = sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Bài 24 Chứng minh rằng hàm số f(x) = cos(2x−1) +3 là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

Bài 25 Chứng minh rằng hàm số f(x) = cos x+cos πx không phải là hàm số tuần hoàn.

Bài 26 Hãy chỉ ra một hàm số f xác định trênR, không phải là hàm lượng giác nhưng thỏa

mãn f(x+2) = f(x), ∀x∈ R.

Dạng 7 Một số bài toán khác.

Bài 27 Chứng minh rằng với mọi số thực x, y ta có

cos x2+cos y2−cos(xy) < 3

Bài 28 Tìm x để bất phương trình

x2+2x(sin y+cos y) +1≥0 (1)đúng với mọi y∈ R.

Bài 29 Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện

tan x+tan y+tan z =tan x tan y tan z⇔ x+y+z=lπ, l ∈Z.

Bài 30 Cho a1, a2, , anlà các số thực thoả mãn

Bài 32 (Kosovo National Mathematical Olympiad 2011, Grade 11)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) =8−3 sin23x+6 sin 6x

Bài 33 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y=cos22x−sin x cos x+4

Bài 34 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

y =cos4x−3cos2x+5

Bài 35 Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng y = x

3 với đồ thị hàm số y=sin xđều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn√10

Bài 36 Từ tính chất hàm số y = sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π, hãy chứng minh

Bài 37 (HSG Quốc gia năm học 1996-1997, bảng B).

Cho hàm số

f(x) = a sin ux+b cos vxxác định trên tập số thực, trong đó a, b, u, v là các hằng số thực khác không Chứng minh rằng

f(x)là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi u

√

a2−1+√

3a