Chuyên đề hình học Cực và đối cực

Cͱc và ÿ͑i cͱc mà thɉ͝ng gɴp ͟ bɪc THPT là cͱc và ÿ͑i cͱc v͛i ÿɉ͝ng tròn hoɴc cɴp ÿɉ͝ng thɰng.Ĉây là m͙t bài viɼt ÿɾ cɪp ÿɼn ͩng dͥng cͧa cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn !!!!Ĉʀ có thʀ

Cͱc và ÿ͑i cͱc mà thɉ͝ng gɴp ͟ bɪc THPT là cͱc và ÿ͑i cͱc v͛i ÿɉ͝ng tròn hoɴc cɴp ÿɉ͝ng thɰng.Ĉây là m͙t bài viɼt ÿɾ cɪp ÿɼn ͩng dͥng cͧa cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn !!!!

Ĉʀ có thʀ hiʀu cɴn kɺ bài viɼt này m͗i bɞn ÿ͍c cɤn trang bʈ cho mình nhͯng kiɼn thͩc cɇ s͟ vɾ hình h͍c phɰng và vɾ phép nghʈch ÿɠo, hàng ÿiʀm ÿiɾu hòa,chùm ÿiɾu hòa,tͩ giác ÿiɾu hòa,ÿɉ͝ng tròn trͱc giao,ÿʈnh

lí Pappus,ÿʈnh lí Pascal

(các bɞn có thʀ xem m͙t chút ͟ ÿây http://forum.mathscope.org

B/ KIɻN THͨC CɆ S͞ Vɽ CͰC VÀ Ĉ͐I CͰC Ĉ͐I V͚I M͘T ĈɈ͜NG TRÒN

I/ĈʇNH NGHŚA

Ĉʈnh nghśa : Trên mɴt phɰng cho ÿɉ͝ng tròn (O,R) và m͙t ÿiʀm S khác O.

Phép nghʈch ÿɠo cͱc O phɉɇng tích biɼn S thành S'

G͍i d là m͙t ÿɉ͝ng thɰng qua S' và vuông góc v͛i OS Khi ɢy ta g͍i:

d là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn (O)

S là cͱc cͧa d ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn (O).

*Ghi chú: Có thʀ nhiɾu bɞn sɺ thɢy ÿʈnh nghśa này hình nhɉ khác v͛i các ÿʈnh

nghśa ph͕ biɼn ͟ Viʄt Nam (chɰng hɞn xem [2] hoɴc [4]) tuy nhiên tác giɠ thɢyrɮng ÿʈnh nghśa trên ngɬn g͍n hɇn mà vɨn ÿɠm bɠo tính chính xác cͧa vɢn ÿɾnên ÿã ch͍n nó và cŸng rɢt vui vì thɢy trong [5] cŸng dùng nó

II/M͘T S͐ ĈʇNH LÍ:

Trong mͥc này ,các ÿʈnh lí sɺ chɉa ÿɉa ra chͩng minh ngay vì lí do riêng Mong bɞn ÿ͍c thông cɠm.Khi nào có ÿiɾu kiʄn tôi sɺ gi͛i thiʄu ÿɤy ÿͧ chͩng minh cͧa chúng.

Ĉʈnh lí 1: Tɪp hͣp các ÿiʀm P liên hͣp v͛i ÿiʀm S (cho trɉ͛c) ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn

(O) là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S (Ta nói hai ÿiʀm S và P liên hͣp v͛i nhau ÿ͑i v͛iÿɉ͝ng tròn (O) nɼu ÿɉ͝ng tròn ÿɉ͝ng kính SP trͱc giao v͛i (O).)

Tͫ ÿây ta thu ÿɉͣc :

Hʄ quɠ 1: V͛i hai ÿiʀm S,P trên mɴt phɰng mà P nɮm trên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S

ÿ͑i v͛i (O) và SP cɬt (O) ͟ M,N thì b͑n ÿiʀm S,P,M,N lɪp thành 1 hàng ÿiʀm ÿiɾu

Hʄ quɠ 2: (ÿɠo cͧa hʄ quɠ 1).V͛i hai ÿiʀm S,P trên mɴt phɰng mà SP cɬt (O) ͟

M,N th͏a mãn b͑n ÿiʀm S,P,M,N lɪp thành 1 hàng ÿiʀm ÿiɾu hòa thì P nɮm trênÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S và S nɮm trên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa P

Ĉʈnh lí 2: OS vuông góc v͛i ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S (hiʀn nhiên!)

Ĉʈnh lí 3:V͛i hai ÿiʀm S, Q.Ĉɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿi qua Q khi và chʆ khi ÿɉ͝ng

ÿ͑i cͱc cͧa Q sɺ ÿi qua S.(Ĉʈnh lí La Hire)

Ĉʈnh lí 4 : Ba ÿiʀm (khác tâm ÿɉ͝ng tròn xét cͱc và ÿ͑i cͱc) thɰng hàng khi và

chʆ khi ba ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa chúng ÿ͓ng quy hoɴc song song

Ĉʈnh lí 5: B͑n ÿiʀm (khác tâm ÿɉ͝ng tròn xét cͱc và ÿ͑i cͱc) lɪp thành 1 hàng

ÿiʀm ÿiɾu hòa khi và chʆ các ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa chúng lɪp thành 1 chùm ÿiɾuhòa

III/M͘T S͐ CÁCH XÁC ĈʇNH ĈɈ͜NG Ĉ͐I CͰC THÔNG DͤNG

Ĉây sɺ là m͙t phɤn rɢt quan tr͍ng ÿʀ bɞn có thʀ tɉ duy nhanh theo l͑i cͱc ÿ͑icͱc!

Trɉ͝ng hͣp 1: Khi cͱc S ͟ ngoài ÿɉ͝ng tròn (O)

Ta có 2 cách dͱng ÿɇn giɠn sau ÿây :

_Cách 1: Tͫ S kɸ t͛i (O) hai tiɼp tuyɼn SA,SB (A,B là tiɼp ÿiʀm ) Khi ÿó ÿɉ͝ngÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O) là AB

Gͣi ý chͩng minh: Dͱa vào ÿʈnh nghśa.

_Cách 2:Tͫ S kɸ t͛i (O) hai cát tuyɼn SAB,SCD Giɠ sͭ AD cɬt BC ͟ E, AC cɬt BD

͟

F.Khi ÿó ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O) là EF

Gͣi ý chͩng minh: Giɠ sͭ FE cɬt AB,CD lɤn lɉͣt ͟ M,N.Hãy dùng ÿʈnh lí Menelaus

hoɴc kiɼn thͩc vɾ tʆ s͑ kép ÿʀ chͩng minh: (SMAB)=(SNCB) =-1 r͓i dùng hʄ quɠ

2 là ra

Trɉ͝ng hͣp 2 :Khi cͱc S nɮm trong ÿɉ͝ng tròn(O)

_Cách 1:Qua S dͱng ÿɉ͝ng vuông góc v͛i OS, ÿɉ͝ng này cɬt (O) ͟ A ,B Tiɼptuyɼn cͧa

(O) tɞi A,B cɬt nhau ͟ P Khi ÿó ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O) là ÿɉ͝ng thɰngqua P

vuông góc v͛i OS

_Cách 2:Qua S dͱng hai dây cung AB và CD Giɠ sͭ AD cɬt BC ͟ E, AC cɬt BD ͟F.Khi ÿó ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O) là EF

C/ KHÁM PHÁ ͨNG DͤNG CͦA CͰC VÀ Ĉ͐I CͰC!

Nhͯng bài toán dɉ͛i ÿây ÿɾu là nhͯng bài toán hay và ÿa phɤn chúng có thʀ giɠi bɮng phɉɇng pháp khác ,tuy nhiên nhͯng l͝i giɠi ÿɉͣc ch͍n tɢt nhiên sɺ thʀ hiʄn ý tɉ͟ng cͧa bài viɼt.Chúc các bɞn sɺ có nhiɾu niɾm vui khi theo dõi nó !

I/BÀI TOÁN Vɽ QUAN Hʃ VUÔNG GÓC VÀ SONG SONG GIͮA HAI ĈɈ͜NG THɯNG:

Ĉʈnh lí 2 chính là "chͧ tɉ͛ng" cͧa nhͯng ý tɉ͟ng ÿʀ giɠi quyɼt các bài toán ͟ mͥc này.!! Chúng ta hãy ÿɼn v͛i bài toán sau:

Bài toán 1:Giɠ sͭ ÿɉ͝ng tròn(O) v͛i tâm O và bán kính R.Qua M vɺ hai dây cung CD và

EF không ÿi qua tâm O.Hai tiɼp tuyɼn tɞi C,D cͧa (O) cɬt nhau tɞi A,hai tiɼp tuyɼn tɞi

E,F cͧa (O) cɬt nhau tɞi B.Chͩng minh rɮng OM và AB vuông góc v͛i nhau

(T7/362 Tɞp chí toán h͍c và tu͕i trɸ )

Giɠi:

Ta xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (O)

Ta thɢy ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa A là CD ÿi qua M nên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M sɺ ÿi qua A (ÿʈnh lí 3)(1)Tɉɇng tͱ có ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M ÿi qua B (2)

Tͫ (1) và (2) suy ra ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M chính là AB

Ĉɼn ÿây theo ÿʈnh lí 2 ta có ÿiɾu phɠi chͩng minh!

Tiɼp theo là m͙t ÿʈnh lí rɢt n͕i tiɼng cͧa hình h͍c phɰng cùng cách chͩng minh vô

cùng ngɬn g͍n dͱa trên cͱc và ÿ͑i cͱc!!

Bài toán 2 (Ĉʈnh lí Brokard):Cho tͩ giác ABCD n͙i tiɼp ÿɉ͝ng tròn (O) Giɠ sͭ AC cɬt BD ͟ M, ABcɬt CD ͟ N, AD cɬt BC ͟ P.Chͩng minh rɮng O là trͱc tâm cͧa tam giác MNP

Giɠi

Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (O).

Ta thɢy PM là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa N nên theo ÿʈnh lí 2 có ON vuôn góc v͛i PM (1)

Tɉɇng tͱ có : OM vuông góc v͛i PN (2)

Tͫ (1) và (2) suy ra ÿiɾu cɤn chͩng minh!

Và có m͙t ví dͥ ý nghśa nͯa mà các bɞn nên suy nghś trɉ͛c khi ÿ͍c l͝i giɠi:

Bài toán 3:Cho tam giác ABC cân tɞi A.Hai ÿɉ͝ng thɰng d1,d2 bɢt kì qua A Các ÿɉ͝ng thɰng qua

B,C tɉɇng ͩng vuông góc v͛i d1,d2 cɬt nhau tɞi D Ĉɉ͝ng thɰng qua B vuông góc v͛i AB cɬt d1 tɞiE.Ĉɉ͝ng thɰng qua C vuông góc v͛i AC cɬt d2 tɞi F Chͩng minh rɮng AD vuông góc v͛i EF (Bài tɪp 5.12 trong [3])

Giɠi

Bɞn có thɢy xuɢt hiʄn ÿɉ͝ng tròn nào ͟ ÿɾ toán không? Rõ ràng là không nhʆ?

Ĉúng là bài toán không có ÿɉ͝ng tròn trong ÿɾ nhɉng xuɢt hiʄn m͙t "yɼu t͑ tròn" ÿáng

quan tâm là AB=AC ,ÿʀ tͫ ÿó "ÿɉ͝ng tròn có ích "xuɢt hiʄn: Ĉɉ͝ng tròn tâm A bán kính

AB.(g͍i tɬt là (A) )

Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (A)

Ta thêm m͙t s͑ kí hiʄu:

d3 là ÿɉ͝ng thɰng qua B và vuông góc v͛i d1

d4 là ÿɉ͝ng thɰng qua C và vuông góc v͛i d2

Dʂ nhɪn thɢy BE,CF là các tiɼp tuyɼn cͧa (A)

Nhɪn thɢy : Ĉɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa E sɺ ÿi qua B và vuông góc v͛i AE , hay chính là d3

Tɉɇng tͱ ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa F sɺ là d4

Chú ý ÿɼn ÿʈnh lí 3 ta sɺ có cͱc cͧa EF chính là D, do vɪy theo ÿʈnh lí 2 thì bài toán ÿɉͣc giɠi

quyɼt.!

Tiɼp ÿɼn là 3 bài toán có mͩc ÿ͙ cao hɇn m͙t chút:

Bài toán 4:Cho tam giác ABC v͛i các ÿɉ͝ng cao BB',CC'.G͍i E,F lɤn lɉͣt là trung ÿiʀm cͧa AC,AB.

EF cɬt B'C' ͟ K Chͩng minh rɮng AK vuông góc v͛i ÿɉ͝ng thɰng Euler

cͧa tam giác ABC

Giɠi

Ta sɺ xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn Euler cͧa tam giác ABC ( kí hiʄu là (S) v͛i S là tâm)G͍i I là giao ÿiʀm cͧa FB' và EC',G là giao ÿiʀm cͧa CF và BE,H là giao ÿiʀm cͧa BB' và CC'

Sͭ dͥng ÿʈnh lí Pappus cho hai b͙ 3 ÿiʀm (F,C',B) và (E,B',C) ta suy ra H,G,I thɰng hàng, do ÿó SIchính là ÿɉ͝ng thɮng Euler cͧa tam giác ABC.(1)

Mɴt khác ,chú ý E,F,B',C' cùng nɮm trên (S) thì suy ra AK chính là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa I,ÿɼn ÿây dùngÿʈnh lí 2 ta có SI vuông góc v͛i AK.(2)

Tͫ (1) và (2) suy ra ÿiɾu cɤn chͩng minh

Bình luɪn:Nhɉ các bɞn ÿã biɼt H và O là hai ÿiʀm ÿɰng giác và nhɉ vɪy bài toán sau xuɢt hiʄn:

Bài toán 4.1G͍i hai ÿiʀm P,Q là hai ÿiʀm ÿɰng giác ÿ͑i v͛i tam giác ABC.Kɸ PH,PK lɤn lɉͣt vuông

góc v͛i AB,AC ;kɸ QM,QN lɤn lɉͣt vuông góc v͛i AB,AC.Giɠ sͭ HK cɬt MN ͟ S.Khi ÿó AS có vuônggóc v͛i PQ hay không?

Thɪt tuyʄt v͝i là chúng vɨn vuông góc v͛i nhau!!! Tuy nhiên bɞn cŸng sɺ dʂ dàng cɠm nhɪn ÿɉͣcnɼu làm hoàn toàn tɉɇng tͱ trong bài 4 thì không "trɠm" ÿɉͣc bài này,nói rõ ràng hɇn là ÿʈnh líPappus ÿã bʈ rɇi vào thɼ yɼu,chúng ta vɨn dùng ÿɉͣc ý tɉ͟ng cͧa cͱc và ÿ͑i cͱc nhɉng cɤn m͙tcông cͥ khác hͯu ích hɇn khi chͩng minh tính thɰng hàng.Các bɞn thͭ suy nghś xem và vɢn ÿɾ sɺÿɉͣc giɠi quyɼt trong m͙t bài viɼt t͛i cͧa tác giɠ

Bài toán 5: (Hoàng Qu͑c Khánh) Cho tam giác ABC n͙i tiɼp ÿɉ͝ng tròn (O,R).Các phân giáctrong BE,CF cɬt lɞi (O) lɤn lɉͣt ͟ M,N Ĉɉ͝ng thɰng qua M vuông góc v͛i BM cɬt ÿɉ͝ng thɰng qua Nvuông góc v͛i CN tɞi S Chͩng minh rɮng SO vuông góc v͛i EF

Giɠi:

Xét cͱc và ÿ͑i cͱc v͛i (O)

Ta sɺ xác ÿʈnh ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S , r͓i chͩng minh nó song song v͛i EF

SN,SM cɬt lɞi (O) lɤn lɉͣt ͟ L,G

Chú ý rɮng ta có C,O,G thɰng hàng;B,O,L thɰng hàng

Tiɼp tuyɼn cͧa (O) tɞi G,N cɬt nhau ͟ Q

Tiɼp tuyɼn cͧa (O) ͟ L,M cɬt nhau ͟ P

OP cɬt LM ͟ H , OQ cɬt NG ͟ K

Ta thɢy

Ĉɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa Q là GN ÿi qua S nên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿi qua Q.(ÿʈnh lí 3)

Tɉɇng tͱ có ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S cŸng ÿi qua P

Do ÿó ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S là PQ

Bây gi͝ ta cɤn chͩng minh PQ //EF

Chú ý rɮng IE//OP,IF//OQ thɼ nên ÿʀ có PQ//EF ta chʆ cɤn chͩng minh

Mɴt khác nhɪn thɢy :

Tͫ ÿó suy ra Q,K,H,P ÿ͓ng viên nên

Suy ra ta cɤn có (*)

Kɸ ID ,IV lɤn lɉͣt vuông góc v͛i AC,AB chú ý rɮng :

(vì ID=IV) (theo ÿʈnh lý hàm sin) (1)(Vì

OK là ÿɉ͝ng trung bình cͧa tam giác GNC, OH là ÿɉ͝ng trung bình cͧa tam giác LBM)

Lɞi có IE//OH,IF//OK nên

Tͫ (1) và (2) suy ra tam giác IEF ÿ͓ng dɞng v͛i tam giác OKH Do ÿó (*) ÿúng nên có ÿiɾu cɤnchͩng minh

Bài toán 5.1:Giɠ sͭ AD,BE,CF là các ÿɉ͝ng cao và H là trͱc tâm cͧa tam giác nh͍n

ABC.G͍i M,N lɤn lɉͣt là giao ÿiʀm cͧa các cɴp ÿɉ͝ng thɰng (DE,CF) và (DF,BE)

.Chͩng minh rɮng ÿɉ͝ng thɰng qua A vuông góc v͛i ÿɉ͝ng thɰng MN ÿi qua tâm ÿɉ͝ng

tròn ngoɞi tiɼp tam giác BHC

(Tɞp chí toán h͍c và tu͕i trɸ)

Bài toán 5 mình nghś ra ÿ͙c lɪp v͛i bài 5.1 nhɉng có 1 ÿiɾu khá thú vʈ là hai bài trên gɤn nhɉ tɉɇngÿɉɇng!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Bài toán 6:Cho tͩ giác ABCD ngoɞi tiɼp (I) và n͙i tiɼp (O).Tiɼp ÿiʀm cͧa (I) trên AB,BC,CD,DA lɤn

lɉͣt là M,N,P,Q.Chͩng minh rɮng MP vuông góc v͛i NQ

Chú ý IE,IF lɤn lɉͣt là phân giác cͧa

Nên g͍i giao ÿiʀm cͧa IF v͛i AB và CD lɤn lɉͣt là S,V thì ta cɤn chͩng minh tam giác ESV cân tɞi E

Ta thɢy

suy ra tam giácESV cân ͟ E

Suy ra ÿiɾu cɤn chͩng minh

Bài toán 7:Cho tam giác ABC có ÿɉ͝ng trong n͙i tiɼp là (I).Tiɼp ÿiʀm cͧa (I) trên

BC,CA,AB lɤn lɉͣt là D,E,F AD cɬt lɞi (I) ͟ M.Ĉɉ͝ng thɰng qua M vuông góc v͛i AD

cɬt EF ͟ N.Chͩng minh rɮng AN//BC

Giɠi

Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (I)

G͍i P là giao ÿiʀm thͩ hai cͧa MN v͛i (I),dʂ thɢy D,P,I thɰng hàng

Chú ý rɮng G là trung ÿiʀm cͧa FE nên suy ra (NJEF)=-1 (Theo Maclaurine)

Hay N thu͙c ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa J (theo hʄ quɠ 2) (1)

Mɴt khác ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa A là EF ÿi qua J nên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa J ÿi qua A (Ĉʈnh lí 3) (2)

Tͫ (1) và (2) suy ra ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa J là AN ,theo ÿʈnh lí (2) ta có :

Ĉây là dɞng ͩng dͥng ph͕ biɼn và có lɺ ÿɉͣc nhiɾu bɞn quen dùng nhɢt.Vɾ phɤn

này , các bài toán ví dͥ sɺ có mͩc ÿ͙ không cao lɬm nhɉng ÿͧ ÿʀ thʀ hiʄn cách thͩc sͭ dͥng,nhͯng bài toán khó hɇn sɺ ÿɉͣc ÿɴt ͟ phɤn bài tɪp Chúng ta sɺ bɬt ÿɤu

bɮng bài toán sau:

Bài toán 8: Cho tam giác ABC v͛i (I) là ÿɉ͝ng tròn n͙i tiɼp Tiɼp ÿiʀm cͧa (I) trên BC,CA,AB lɤn

lɉͣt là D,E,F.G͍i M,N,P lɤn lɉͣt là ÿiʀm chung cͧa các cɴp ÿɉ͝ng thɰng (EF,BC) ,(DF,CA)

,(DE,AB).Chͩng minh rɮng M,N,P thɰng hàng

Giɠi

Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (I)

Ĉɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa A là EF ÿi qua M,nên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M ÿi qua A.(ÿʈnh lí 3)

Mɴt khác dʂ thɢy ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M ÿi qua D nên suy ra ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M là AD

Hoàn toàn tɉɇng tͱ ta có:

Ĉɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa N là BE và ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa P là CF

Mɴt khác dùng ÿʈnh lí Ceva ta sɺ có AD,BE,CF ÿ͓ng quy nên theo ÿʈnh lí 4 ta có M,N,P thɰnghàng!

Bình luɪn: Bài toán trên có thʀ m͟ r͙ng nhɉ sau:

Bài toán 8.1: Cho tam giác ABC và 3 ÿiʀm D,E,F theo thͩ tͱ thu͙c BC,CA,AB sao cho

AD,BE,CF ÿ͓ng quy và D,E,F khác trung ÿiʀm ÿoɞn thɰng.G͍i M,N,P lɤn lɉͣt là ÿiʀm chung cͧacác cɴp ÿɉ͝ng thɰng (EF,BC) ,(DF,CA) ,(DE,AB).Chͩng minh rɮng M,N,P hɰng hàng

Bɞn có thʀ giɠi bài toán 8.1 bɮng ÿʈnh lí Menelaus nhɉng thɪm chí bài toán m͟ r͙ng này

cŸng chʆ là trɉ͝ng hͣp ÿɴc biʄt cͧa ÿʈnh lí Desargues mà thôi!!!!

Trong bài toán 8 có sͭ dͥng kɼt quɠ AD,BE,CF ÿ͓ng quy và ngay sau ÿây tôi sɺ trình bày m͙t kɼt quɠ m͟ r͙ng hɇn cͧa nó:

Bài toán 9: (Ĉʈnh lí Brianchon) Chͩng minh rɮng ba ÿɉ͝ng chéo cͧa m͙t lͥc giác ngoɞi tiɼpÿ͓ng quy

Giɠi

Ta kí hiʄu ABCDEF là lͥc giác ngoɞi tiɼp (O).Tiɼp ÿiʀm cͧa (O) trên

AB,BC,CD,DE,EF,FA lɤn lɉͣt là M,N,P,Q,R,S

Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (O)

G͍i I,J,K lɤn lɉͣt là giao ÿiʀm cͧa các cɴp ÿɉ͝ng thɰng (SM,PQ) ,(MN,QR),(NP,RS)

Dùng ÿʈnh lí Pascal cho lͥc giác n͙i tiɼp MNPQRS ta có I,J,K thɰng hàng

Theo ÿʈnh lí 4 thì các ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa I,J,K ÿ͓ng quy

Mà dʂ thɢy các ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa I,J,K lɤn lɉͣt là AD,BE,CF nên ta có AD,BE,CF ÿ͓ng quy Nhɉ vɪy ta có ÿiɾu cɤn chͩng minh!

Bài toán sau là m͙t sͱ phát triʀn tͫ bài toán 8 và có nhiɾu ÿiʀm thú vʈ.

Bài toán 10:Cho tam giác ABC, ÿɉ͝ng tròn n͙i tiɼp tiɼp xúc v͛i BC, CA, AB lɤn lɉͣt tɞi D, E, F.

Ĉɉ͝ng tròn n͙i tiɼp tam giác DEF tiɼp xúc v͛i EF, FD, DE lɤn lɉͣt tɞi M,P , N Chͩng minh rɮng

AM, BP, CN ÿ͓ng quy

Giɠi:

G͍i I ,O lɤn lɉͣt là tâm ÿɉ͝ng tròn n͙i tiɼp tam giác DEF và ABC

G͍i H,K,L lɤn lɉͣt là giao ÿiʀm cͧa các cɴp ÿɉ͝ng thɰng (MP,EF),(MN,FD),(MP,DE)

Theo bài toán 8 ta có H,K,L thɰng hàng.(*)

Chú ý rɮng DM,FN,EP ÿ͓ng quy nên (HMFE)=-1

Do ÿó M thu͙c ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa H ÿ͑i v͛i (O) (theo hʄ quɠ 2)

Mɴt khác dʂ thɢy A thu͙c ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa H ÿ͑i v͛i (O) nên ta có AM là ÿɉ͝ng ÿ͑i

cͱc cͧa H ÿ͑i v͛i (O) (1)

Tɉɇng tͱ có

BP là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa K ÿ͑i v͛i (O) (2)

CN là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa L ÿ͑i v͛i (O) (3)

Tͫ (1),(2),(3), (*) và ÿʈnh lí 4 ta có ÿiɾu cɤn chͩng minh

Bình luɪn: Bài toán này có thʀ m͟ r͙ng nhɉ sau:

Bài toán 10.1:Cho tam giác ABC D, E, F thu͙c BC, CA, AB sao cho AD, BE, CF ÿ͓ng quy M, P, N

thu͙c EF, FD, DE sao cho DM, EP, FN ÿ͓ng quy Chͩng minh rɮng AM, BP, CN ÿ͓ng quy

Chͩng minh cͧa bài 10.1 bɞn có thʀ tìm trong [1]

Qua 3 bài toán trên hɰn các bɞn ÿã thɢy rõ hiʄu lͱc cͧa ÿʈnh lí 4 cho nhͯng bài toán ͟ phɤn này.Tuy nhiên có nhͯng trɉ͝ng hͣp mà ÿʈnh lí 4 lɞi làm phͩc tɞp vɢn ÿɾ và có thʀ làm bài toán khó lên rɢt nhiɾu b͟i vì viʄc dͱng cͱc hoɴc ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc là phͩc tɞp Trong nhͯng trɉ͝ng hͣp ɢy ta cɤn linh hoɞt và tinh ý hɇn, không thʀ cͩ áp dͥng máy móc ÿɉͣc.M͙t ví dͥ hay mà ý tɉ͟ng giɠi là phɉɇng pháp tɪp hͣp ÿiʀm ÿɉͣc ÿɾ cɪp ngay sau ÿây:

Bài toán 11: Cho tͩ giác ABCD n͙i tiɼp (O).M,N lɤn lɉͣt là trung ÿiʀm cͧa AB,CD (ABN) cɬt lɞi

AB ͟ P.(CDM) cɬt lɞi CD ͟ Q Chͩng minh rɮng AC,PQ,BD ÿ͓ng quy

Giɠi

Khi AB//CD thì bài toán ÿɇn giɠn,ta sɺ xét trɉ͝ng hͣp còn lɞi:

G͍i S là giao ÿiʀm cͧa AB và CD

G͍i d là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O)

G͍i I là giao ÿiʀm cͧa AC và BD thì dʂ thɢy I thu͙c d (1)

Ta thɢy :

Chú ý M là trung ÿiʀm cͧa AB nên ta có (SQAB)=-1

Theo hʄ quɠ 2 sɺ có Q thu͙c d (2)

Tɉɇng tͱ có P thu͙c d (3)

Tͫ (1),(2) và (3) suy ra ÿiɾu cɤn chͩng minh

Có nhͯng trɉ͝ng hͣp mà có ÿɉ͝ng thɰng tham gia ÿ͓ng quy không có cͱc hoɴc ÿiʀm tham gia thɰng hàng không có ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc v͛i ÿɉ͝ng tròn.Ta sɺ xét bài toán sau: Bài toán 12:Trong tam giác ABC kɸ các ÿɉ͝ng cao AA',BB',CC' và g͍i H là trͱc tâm cͧa tam giác.

G͍i J là m͙t giao ÿiʀm cͧa AA' v͛i ÿɉ͝ng tròn (I) ÿɉ͝ng kính BC.Chͩng minh rɮng BC,B'C' và tiɼptuyɼn tɞi J cͧa (I) ÿ͓ng quy

Giɠi:

G͍i giao ÿiʀm cͧa AH v͛i (I) là nhɉ hình vɺ , thɼ thì J sɺ là hoɴc Ta sɺ chͩngminhBC,B'C' và tiɼp tuyɼn tɞi cͧa (I) ÿ͓ng quy (v͛i thì tɉɇng tͱ)

Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (I)

Ta thɢy BC không hɾ có cͱc,nên ÿʈnh lí 4 hoàn toàn bɢt lͱc!!

+) Ĉây là m͙t bài tɪp trong cu͑n :"Bài tɪp hình h͍c 10 nâng cao" ÿi kèm SGK

+) Bài toán thɪt ÿɇn giɠn khi ta thay ÿ͕i cách nhìn

+) Ta thɢy SH là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa A nên AI vuông góc v͛i SH ( N͙i dung m͙t bài trong [3])+) B'C' ÿi qua cͱc cͧa nên cͱc cͧa B'C' nɮm trên ,lɪp bài toán ÿɠo và thay ÿ͕i ÿôichút ta có thʀ ÿi ÿɼn bài toán sau:

Bài toán 12.1:Cho tam giác nh͍n ABC.G͍i M là trung ÿiʀm cͧa BC và BE,CF là các

ÿɉ͝ng cao cͧa tam giác Lɢy D (khác M) là m͙t ÿiʀm nɮm trên ÿɉ͝ng tròn ngoɞi tiɼp cͧa

tam giác EFM th͏a mãn DE=DF Chͩng minh rɮng AD vuông góc v͛i BC

(Mathlinks Contest)

+) Trong bài 12.1 nhìn ÿʆnh tam giác vuông là trͱc tâm cͧa tam giác ɢy thì ta có thʀ m͟ r͙ng nhɉsau:

Bài toán 12.2:Cho tͩ giác ABCD n͙i tiɼp (O) AC và BD cɬt nhau ͟ I G͍i H,K lɤn lɉͣt

là trͱc tâm cͧa các tam giác AID và BIC HK cɬt (O) ͟ M và N G͍i J là giao ÿiʀm cͧa

tiɼp tuyɼn tɞi M,N cͧa (O).S là giao ÿiʀm cͧa AD và Bc Chͩng minh rɮng S,I,J thɰng hàng

Tiɼp ÿɼn ta xét bài toán sau:

Bài toán 13:G͍i O là tâm ÿɉ͝ng tròn n͙i tiɼp tͩ giác ABCD Qua A,B,C,D lɤn lɉͣt vɺ các ÿɉ͝ng

thɰng dA, dB ,dC và dD tɉɇng ͩng vuông góc v͛i OA,OB,OC,OD.Các cɴp ÿɉ͝ng thɰng dA và dB ,dB

và dC ,dC và dD ,dD và dA tɉɇng ͩng cɬt nhau ͟ K,L,M,N.Chͩng minh rɮng KM và LN cɬt nhau tɞiO

(Trích cu͙c thi toán mùa ÿông tɞi Bulgaria ,1996 )

Giɠi: