Tiểu luận: phép biến hình pptx

Định lý : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng t

Luận văn tốt nghiệp

Tài liệu tham khảo.

- Sách giáo khoa hình học nâng cao + cơ bản lớp 11

Trong đại số ta biết một khái niệm quan trọng : khái niệm “ Hàm số ” đợc phát

biểu : Nếu có một quy tắc để với mỗi số x “  R thì quy tắc đó gọi là một hàm số xác

Vậy ta có thể suy ra định nghĩa phép biến hình :

Định nghĩa : Phép biến hình (trong mặt phẳng ) là một quy tắc để với mỗi điểm M

thuộc mặt phẳng, xác định một điểm duy nhất M thuộc mặt phẳng ấy Điểm M gọi là ’ ’

ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.

1.2 Các ví dụ.

Ví dụ 1 : Cho đờng thẳng d Với mỗi điểm M, ta xác định M’ là hình chiếu (vuông góc)

Ví dụ 2 : Cho véc tơ u, với mỗi điểm M ta xác định điểm M’ theo quy tắc = (hình 2) M

Với mỗi hình H, ta gọi hình H’ gồm các điểm M’ = F(M), trong đó MH, là ảnh của H qua phép biến hình F, và biết H’ = F(M)

B.Các phép biến hình

I Phép dời hình 1.1 Định nghĩa :

Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bấtkì

1.2 Định lý - tính chất.

a Định lý : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và

không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đờng tròn thành đờng tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng

Phép đồng nhất là một phép biến hình đặc biệt, nó biến mọi

điểm M thành chính điểm M Phép đồng nhất thờng đợc kí hiệu là Id với mọi điểm M thuộc mặt phẳng P, Id(M) = M

Phép tịnh tiến theo vectơ là một phép biến hình biến điểm

M thành điểm M’ sao cho = Phép tịnh tiến theo vectơ u thờng đợc kí hiệu là T hoặc Tu Vectơ đợc

gọi là vectơ tịnh tiến.

 Phép tịnh tiến đợc xác định khi biết vec tơ tịnh tiến

Ngời ta diễn tả tính chất trên của phép tịnh tiến là : Phép tịnh tiến không

làm thay dổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó

Từ định lý trên ta có hệ quả sau đây

c. Hệ quả : Phép tịnh tiến biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến tia

thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thằng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đờng tròn thành đờng tròn thành đờng trong có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó

d Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ u y

Biết tọa độ của (a,b )

Giả sử điểm M(x,y) biến thành điểm M’ (x’,y’)

Cho trớc đểm O Phép biến đổi ZO biến O thành O và biến một

điểm M khác O thành điểm M’ sao cho + = đợc gọi là phép đối xứng qua tâm Điểm O đợc gọi là tâm của phép đối xứng hoặc là tâm đối xứng

Cho hình F Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc F trong phép biến đổi Z

Olập thành một hình F’ đợc gọi là ảnh của hình F trong phép đối xứng qua tâm O Nếu F’ trùng với F, thì ta nói F là hình có tâm đối xứng

1.3.3.2 Định lý - Tính chất :

a Tính chất 1 : Phép biến đổi ZO có một điểm bất động duy nhất

ZO : O’  O’  = -  =  O’ O

b Tính chất 2 : Nếu A’ và B’ là ảnh của hai điểm A và B trong phép biến đổi

ZO , thì = -

O B

B' A

A'

Chứng minh : Theo định nghĩa ta có : = - và = -

Suy ra : = - = - + = - ( - ) = - => ĐPCM

c Tính chất 3 : Phép biến đổi ZO là phép biến đổi 1 - 1

Chứng minh: Thật vậy, nếu điểm A’ là ảnh của các điểm A và B trong phép

biến đổi ZO, thì ta có = - và = - suy ra =

 A B Tính chất 3 cho ta thấy phép biến đổi ZOcó phép biến đổi ngợc và phép biến

 cùng phơng Điều đó chứng tỏ A’, B’, C’ thẳng hàng

e hệ quả : Phép biến đổi ZObiến :

i) Đờng thẳng d thành đờng thẳng d’ và d// d’ hoặc d  d’

ii) Tia Sx thành tia S’x’ ngợc chiều nhau

iii) Đoạn EF thành đoạn E’F’ và EF = E’F’

iv) Góc thành góc và và =

v) Đờng tròn ( I , R) thành đờng tròn (I’, R)

Chứng minh ;

ii) Lấy trên d hai điểm A và B phân biệt Gọi A’ và B’ là ảnh của A

và B trong phép biến đổi ZO

d' A

A' B'

B C

C'

Nếu C là điểm bất kì thuộc d và C’ là ảnh của C trong phép biến đổi Z

O, thì A’, B’ , C’ thẳng hàng Điều đó chứng tỏ C’ thuộc đờng thẳng A’B’ hay thuộc d’

Đảo lại, nếu C’ thuộc đờng thẳng A’B’, thì ta chọn điểm C là ảnh của C’trong phép biến đổi ZO Vì A,B là ảnh của A’ , B’ trong phép biến đổi

đó, nên C thuộc đờng thẳng AB hay C thuộc d Nh vậy, tồn tại điểm C trên d sao cho C’ là ảnh của C Nếu A’ không thuộc d, thì d’//d Nếu A’ thuộc d, thì d’ d

ii)

S

S' A'

B'

Lấy trên tia Sx điểm A và ta xác định Phép biến đổi ZO biến

S  S’ , A  A’  và = - Nếu B là điểm bất kì thuộc Sx, tì tồn tại số m > 0 sao cho = Gọi B’ là ảnh của B, khi đó

= - = - =

Điều đó chứng tỏ B’, A’ cùng phía với S’ Điểm B’ thuộc tia S’A’

Đảo lại, nếu B’ thuộc tia S’A’, thì phép đối xứng ZO biến S’  S , A’  A B’  B Lập luận tơng tự ta suy ra B thuộc tia Sx Nh vậy tồn tại trên tia Sx điểm B nhận B’ là ảnh

iii)Chứng minh tơng tự nh trờng hợp tia

iv) Lấy trên hai cạnh góc xSy các điểm A và B (khác S) gọi A’, B’ , S’

là ảnh của A, B, S trong phép biến đổi ZO

S' B

A

A' B'

Khi đó ta có = - , = - , = - Vậy  SAB =  S’A’B’ suy ra = Theo hệ quả trên là ảnh của SA và SB Đó là điều cần chứng minh.v)

O R

R'

I

I' M

M'

Nếu M là điểm bất kì thuộc (I ; R) và M’ là ảnh của M trong phép biến

đổi ZO, thì = -  = = R không đổi Chứng tỏ M’ thuộc ( I’ ; R)

Đảo lại nếu M’ là điểm thuộc (I’;R) thì ảnh M và I thuộc M’ và I’ trong phép biến đổi ZO thỏa mãn điều kiện I’M’ = IM = R Điều đó chứng tỏ tồn tại điểm M thuộc (I;R) nhận M’ là ảnh

f Tính chất 5: Tích của ba phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng

Thật vậy, gọi O là điểm bất động của Z Theo định nghĩa ta có

ZA: O  O1 và = - ;

ZB: O1  O2 và = - ;

ZC: O2  O và = - ;

Từ các kết quả trên ta suy ra = + Hệ thức chứng tỏ O là điểm bất

động duy nhất của Z

Ta cần chứng minh rằng Z là một phép đối xứng tâm O Giả sử M là

một điểm bất kì và M’ là ảnh của M trong phép biến đổi Z Ta cần chỉ rarằng OM’ = OM Thật vậy, ta có

ZA : M  M1 , O  O1 và = - (1)

ZB : M1  M2 , O1  O2 và = - (2)

Z c : M2  M’, O2  O và = - (3)

Từ các kết quả (1),(2),(3) ta suy ra = - Tóm lại phép biến đổi Z là phép đối xứng tâm O, trong đó O đợc xác định bởi

hệ thức (*)

1.3.3.3 Phép đối xứng qua tâm trong hệ tọa độ Đề - Các.

y y

M(x 0 ; y0) M’(x’, y’) M(x 0 ; y0)

x O

x

M’(x’, y’)

Giả sử Z o là phép đối xứng tâm O Ta chọn hệ toạn độ Oxy sao cho O là

gốc tọa độ Nh vậy, với điểm M(x 0 ; y0) bất kì trong hệ tọa độ đó, ảnh

của M’ của M trong phép biến đổi Z o có tọa độ là ( - x 0 ;- y0)

Nếu tâm đối xứng P là điểm khác gốc và có tọa độ là (a,b), thì với điểm

M (x 0 ; y0) tọa độ ảnh của điểm đó trong phép biến đổi Z o đợc xác

định bởi hệ phơng trình sau : x’ = 2a - x0

y’ = 2b - y0 trong đó (x’, y’) là tọa độ ảnh

1.3.3.4 Những hình ảnh thể hiện phép đối xứng tâm

a) Cỏc chữ cỏi H, N, O, I là hỡnh cú tõm đối xứng

b) Cỏc hỡnh tứ giỏc cú trục đối xứng như: hỡnh chữ nhật, hỡnh vuụng, hỡnhthoi, hỡnh bỡnh hành,…

1.3.3.5 Tâm đối xứng của một hình

Định nghĩa : Điểm I đợc gọi là tâm đối xứng của hình H nếu qua phép đối

xứng tâm I biến H thành chính nó Khi đó ta gọi H là hình có tâm đối xứng

M'

Đờng thẳng d đợc gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản lad trục đối xứng

Phép đối xứng trục d thờng đợc kí hiệu Đd

Đờng thẳng d đợc gọi là trục đối xứng của hình H nếu Đd biến H thành chính nó Khi đó H đợc gọi là hình có trục đối xứng.

Trọng hệ trục Oxy; chọn õ làm trục đối xứng.

Các điểm A(x1 , y1); B(x2 , y2) Gọi A’(x1’ , y1’);B’(x2 ’ , y2 ’) lần lợt là ảnh qua phép đối xứng trục Ox

b Tính chất 2 : Phép đối xứng trục biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến

đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thánh tam giác bằng

nó, biến đờng tròn thành đờng tròn có cùng bán kính

hình 2

r

r' O' O

hình 3

1.3.4.3 Biểu thức tọa độ.

- Chọn hệ tọa đọ Oxy sao cho trục Oy trùng với đờng thẳng d Với mỗi điểm

M = (x , y) Gọi M’ = Đd và M = (x’,y’) Thì biểu thức trên đợc gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy x’ = - x y

y’ = - y d M’ M X

O x

M’

1.3.4.4 Trục đối xứng của một hình

Định nghĩa : Đờng thẳng d đợc gọi là trục đối xứng của hình H nếu Đ biến H

thành chính nó Khi đó H đợc gọi là hình có trục đối xứng

Ví dụ : mỗi hình sau có trục đối xứng

H W

1.3.5 Phép quay

1.3.5.1 Định nghĩa :

Cho điểm O cố định và một góc lợng giác  ánh xạ F : P  P đợc gọi là phép quay tâm O với góc quay nếu f biến

điểm M  M’ sao cho :+ OM = OM’

+ (OM,OM’) =  với (OM,OM’) là kí hiệu chỉ góc lợng giác có tia đầu là

OM tia cuối là OM’

Điểm O đợc gọi là tâm quay

+ Phép quay Q (O, 2k  1 ) là phép đối xứng tâm O

1.3.5.2 Tính chất

a Tính chất 1 : Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Chứng minh : Giả sử ta có phép quay Q và hai điểm M,N tùy ý

Phép quay Q biến điểm M thành điểm M’ và biến điểm N thành điểm N’

Ta phải chứng minh: M’N’ = MN

Xét các góc lợng giác ( IM,IN) và (IM’,IN’)

Ta có : (IM, IN) = (IM,IM’)+ (IM’,IN)

Mà (IM,IM’) = (IN,IN’) =   (IM,IN) = (IN,IN’) + (IM’,IN) = (IM’, IN) + (IN,IN’) = (IM’, IN’)

Vậy  IMN =  IM’N’ vì : IM = IM’

IN = IN’

(IM,IN) = (IM’,IN’)  M’N’ = MN

b Tính chất 2 : Phép quay biến đờng thẳng thành đờng thẳng, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nhau, tam giác thành tam giác bằng nó, đờng tròn thành đờng tròn có cùng bán kính với nó.\

* Chú ý : Giả sử phép quay tâm I góc  biến đờng thẳng d thành đờng thẳng d’ Khi

đó :+ Nếu 0 <  <

2



thì góc giữa d và d’ bằng  + Nếu

2.1.1 Định nghĩa : Cho số k > 0 ánh xạ f : P  P đợc gọi là phép đồng dạng tỉ số k nếu

nó biến hai điểm M và N tùy ý thành hai điểm M’= f(M) và N = f(N) sao cho khoảng cách của chúng thỏa mãn hệ thức M’N’ = kMN

Định lý : Mọi phép đồng phép dạng đều đều đợc phân tích thành tích của một phép vị tự và

một phép đẳng cự ( hoặc tích của một phép đẳng cự với một phép vị tự)

Chứng minh :

Giả sử f : P  P là phép đồng dạng tỷ số k > 0

Ta lấy một điểm O nào đó và gọi V là phép vị tự tâm O với tỷ số k Phép đảo ngợc V của

V là một phép vị tự tâm O tỷ số khi đó tích Đ = f V là phép đồng dạng tỷ số 1 nên là phép đẳng cự

Ví dụ : Trong (P) CMR : đờng trung tuyến, đờng cao, đờng phân giác, đờng trung trực của tam giác là các khái niệm đồng dạng

- Đờng phân giác là một khái niệm đồng dạng vì phép đồng dạng bảo toàn

đờng thẳng và bảo toàn góc

- Đờng trung trực là khái niệm đồng dạng vì phép đồng dạng bảo toàn góc vàbảo toàn trung điểm của đoạn thẳng

b Định lý 2: Nếu A’, B’ là ảnh của hai điểm A, B trong phép đồng dạng V ( hoặc V ), thì

A’B’ = k AB

Chứng minh :

Ta chứng minh cho trờng hợp V a xét hai điểm A,B bất kì Kí hiệu A1 ,B1 là ảnh của A,

B trong phép biến đổi F, ta có A1B1 = AB

Phép biến đổi H( 0 ,k) biến A1  A’ , B1  B’, do đó = và A’B’ = k A1B1

Từ các kết quả trên ta suy ra A’B’ = k A1B1

2.1.3 Biểu thức tọa độ :

Trong mặt phẳng Ơ-clit P đã cho mục tiêu trực chuẩn (O, , )

xét phép đồng dạng f : P P với tỷ số k > 0, k = 1 Ta đã biết f = Đ.V trong đó V là phép vị tựtâm O với tỷ số k, còn Đ là phép đẳng cự

Nếu qua phép vị tự ảnh của điểm M (x,y) là điểm M1 (x1 ,y1 ) thì :

x1 = kx

y1 = ky Nếu qua phép đẳng cự Đ ảnh của điểm M1 (x1 ,y1 ) là điểm M’ (x’,y’) thì :

Chú ý : Theo kết quả trên ta có : Phép đồng dạng thuận là tích của một phép vị tự

và một phép dời hình (hoặc tích của một phép dời hình và một phép vị tự) Phép đồng dạngnghịch là tích của một phép vị tự và một phép phản chiếu (hoặc tích của một phép phản chiếu hoặc một phép vị tự)

2.1.5 Phân tích một phép đồng dạng

a Định lý 1 : Mọi phép đồng dạng thuận f với tỷ số k > 0, k = 1(tức f không phải là một

phép dời hình) đều phận tích đợc thành tích của một phép vị tự tâm O tỉ số k và một phép

có tâm quay trung với tâm O của phép vị tự (hoặc tích của một phép quay có tâm O và một phép vị tự tỉ số k, tâm trùng với tâm O của phép quay) Tích hai phép đó đợc gọi là dạng chính tắc của phép đồng dạng thuận f

Chứng minh :

Giả sử f là một phép đồng dạng thuận tỷ số k > 0, k 1 Gọi O là điểm bất động của

f : f(O) = O ta có thể phân tích f = D.V, trong đó V là phép vị tự tâm O tỷ số k, còn D là phép dời Vì V(O) = O nên D (O) = O, vậy phép dời D có điểm bất động O nên nó là phép quay tâm O Hiển nhiên trong trờng hợp này D.V = V.D

b.Định lý 2 : Mọi phép đồng dạng nghịch f với tỷ số k > 0, k = 1(tức f không phải phép

phàn chiếu), đều phân tích đợc thành tích của một phép vị tự tâm O tỷ số k và một phép đối xứng trục có trục d là đờng thẳng đi qua tâm O của phép vị tự (hoặc tích của một phép đối xứng trục d và một phép vị tự tâm O tỷ số k, có tâm nằm trên trục d của phép đối xứng Tích 2 phép đó đợc gọi là chính tắc của phép đồng dạng nghịch (với k>0, k 1))

Chứng minh : Giả sử f là phép đồng dạng nghịch với tỷ số k 1 Gọi O là điểm bất động

của f : f(O) = O Ta có thể phân tích f = Đ.V, trong đó V là phép vị tự tâm O tỉ số k, còn Đ

là phép phản chiếu Vì V(O) = O nên O cùng là điểm bất động của phép phàn chiếu Đ Suy

ra Đ là phép đối xứng trục đi qua O Hiển nhiên Đ.V = V.Đ

2.1.6 Nhóm đồng dạng và hình học của nhóm đồng dạng.

2.1.6.1 Hai hình đồng dạng

Định nghĩa : Hình H đợc gọi là tơng đơng đồng dạng hay đồng dạng với hình H’

nếu tồn tại một phép đồng dạng f biến H thành H’

Vì Đ (P) là một nhóm nên:

i) Mọi hình H đều đồng dạng với chinh nó

ii) Nếu hình H đồng dạng với hình H’ thì hình H’ đồng dạng với hình H

iii) Hai hình cùng đồng dạng với hình thứ ba thì đồng dạng với nhau

a Bất biến đồng dạng.

Định nghĩa :

+ Một tính chất của hình H đợc gọi là tính chất đồng dạng nếu mọi hình

đồng dạng với H đều có tính chất đó

+ Một khái niệm đợc gọi là khái niệm đồng dạng nếu nó không thay đổi qua bất kì phép đồng dạng nào.

+ Các tính chất đồng dạng và các khái niệm đồng dạng đợc gọi chung là các bất biến của nhóm đồng dạng hay bất biến đồng dạng

2.1.6.2 Hình học của nhóm đồng dạng

Định nghĩa : Môn học nghiên cứu các bất biến đồng dạng gọi là hình học của nhóm

đồng dạng (hay hình học đồng dạng) Ta cũng gọi tập hợp tất cả các bất biến đồng dạng là hình học đồng dạng

2.2 Phép vị tự

2.2.1 Định nghĩa : Cho điểm O và tỉ số k 0 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm

M’ sao cho = k đợc gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k

Theo định nghĩa của phép vị tự ta có :

- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó

- Biến đờng tròn bán kính R thành đờng tròn bán kính k R

2 Giả sử V là phép vị tự tâm O tỉ số k và (I,R) là đờng tròn đã cho.

Gọi I’ là ảnh của I và M’ là ảnh của M bất kì thì ta có :

I’M = k IM

Bởi vậy IM = R  I’M’ = k R hay là M’ (I’,R) với R’ = k R

Đó chính là ảnh của đờng tròn (I,R) qua phép vị tự

2.2.4 Xây dung biểu thức tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm vị tự trùng với gốc tọa độ O Với mỗi điểm M(x,y) qua phép vị tự tâm O biến điểm M(x,y) thành điểm M’(x’ , y’) sao cho:

= x’ - 0 = k( x- 0) x’ = kx

y’ - 0 = k (y- 0) y’ = ky Vậy biểu thức trên đợc gọi là biểu thức tọa độ của phép vị tự V

Vậy kết hợp hai phép quay quanh gốc tọa độ là một phép quay quanh gốc tọa độ Từ

đó dễ dàng suy ra kết hợp của nhiều phép quay quanh gốc tọa độ cũng là một phép quay quanh gốc tọa độ

1.3 Phép quay có tâm quay là điểm bất kì

Giả sử tâm quay có tọa độ , ta có thể xem phép quay quanh tâm I một góc được kết hợp từ các phép biến đổi cơ sở sau:

 Tịnh tiến theo vector tịnh tiến để dịch chuyển tâm quay về gốc tọa độ (đưa về trường hợp quay quanh gốc tọa độ)

 Quay quanh gốc tọa độ một góc

 Tịnh tiến theo vector tịnh tiến để đưa tâm quay về lại vị trí ban đầu