Bài tập toán cao cấp III

Bài tập toán cao cấp III

B ` AI T ˆ A P

Tˆ a.p 3 Ph´ ep t´ınh t´ıch phˆ an L´ y thuyˆ e´t chuˆ o ˜i.

Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an

NH ` A XU ˆ A ´T BA’N DA.I HO.C QUˆO´C GIA H`A NˆO.I

10 T´ ıch phˆ an bˆ a ´t di.nh 4

10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 410.1.1 Nguyˆen h`am v`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh 410.1.2 Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n 1210.1.3 Phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan t`u.ng phˆ` n a 2110.2 C´ac l´o.p h`am kha’ t´ıch trong l´o.p c´ac h`am so cˆa´p 3010.2.1 T´ıch phˆan c´ac h`am h˜u.u ty’ 3010.2.2 T´ıch phˆan mˆo.t sˆo´ h`am vˆo ty’ do.n gia’n 3710.2.3 T´ıch phˆan c´ac h`am lu.o ng gi´ac 48

11.1 H`am kha’ t´ıch Riemann v`a t´ıch phˆan x´ac d i.nh 5811.1.1 D- i.nh ngh˜ıa 5811.1.2 D- iˆe`u kiˆe.n dˆe’ h`am kha’ t´ıch 5911.1.3 C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch phˆan x´ac di.nh 5911.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan x´ac d i.nh 6111.3 Mˆo.t sˆo´ ´u.ng du.ng cu’a t´ıch phˆan x´ac d i.nh 7811.3.1 Diˆe.n t´ıch h`ınh ph˘a’ng v`a thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ 7811.3.2 T´ınh dˆo d`ai cung v`a diˆe.n t´ıch m˘a.t tr`on xoay 8911.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng 9811.4.1 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cˆa.n vˆo ha.n 9811.4.2 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cu’a h`am khˆong bi ch˘a.n 107

12 T´ ıch phˆ an h` am nhiˆ `u biˆ e e´n 117

12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p 118

12.1.1 Tru.`o.ng ho p miˆe`n ch˜u nhˆa.t 118

12.1.2 Tru.`o.ng ho p miˆe`n cong 118

12.1.3 Mˆo.t v`ai ´u.ng du.ng trong h`ınh ho.c 121

12.2 T´ıch phˆan 3-l´o.p 133

12.2.1 Tru.`o.ng ho p miˆe`n h`ınh hˆo.p 133

12.2.2 Tru.`o.ng ho p miˆe`n cong 134

12.2.3 136

12.2.4 Nhˆa.n x´et chung 136

12.3 T´ıch phˆan d u.`o.ng 144

12.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 144

12.3.2 T´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng 146

12.4 T´ıch phˆan m˘a.t 158

12.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 158

12.4.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan m˘a.t 160

12.4.3 Cˆong th´u.c Gauss-Ostrogradski 162

12.4.4 Cˆong th´u.c Stokes 162

13 L´ y thuyˆ e´t chuˆ o ˜i 177 13.1 Chuˆo˜i sˆo´ du.o.ng 178

13.1.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 178

13.1.2 Chuˆo˜i sˆo´ du.o.ng 179

13.2 Chuˆo˜i hˆo.i tu tuyˆe.t dˆo´i v`a hˆo.i tu khˆong tuyˆe.t dˆo´i 191

13.2.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 191

13.2.2 Chuˆo˜i dan dˆa´u v`a dˆa´u hiˆe.u Leibnitz 192

13.3 Chuˆo˜i l˜uy th`u.a 199

13.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 199

13.3.2 D- iˆe`u kiˆe.n khai triˆe’n v`a phu.o.ng ph´ap khai triˆe’n 201 13.4 Chuˆo˜i Fourier 211

13.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 211

13.4.2 Dˆa´u hiˆe.u du’ vˆe` su hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i Fourier 212

14 Phu.o.ng tr` ınh vi phˆ an 224 14.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 1 225

14.1.1 Phu.o.ng tr`ınh t´ach biˆe´n 226

14.1.2 Phu.o.ng tr`ınh d ˘a’ng cˆa´p 231

14.1.3 Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 237

14.1.4 Phu.o.ng tr`ınh Bernoulli 244

14.1.5 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆ` n 247a 14.1.6 Phu.o.ng tr`ınh Lagrange v`a phu.o.ng tr`ınh Clairaut255 14.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p cao 259

14.2.1 C´ac phu.o.ng tr`ınh cho ph´ep ha thˆa´p cˆa´p 260

14.2.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p 2 v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng 264

14.2.3 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh thuˆ` n nhˆa´ta cˆa´p n n n (ptvptn cˆ a´p n n n) v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng 273

14.3 Hˆe phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p 1 v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng290 15 Kh´ ai niˆ e.m vˆe ` phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an da.o h` am riˆ eng 304 15.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 1 tuyˆe´n t´ınh dˆo´i v´o.i c´ac da.o h`am riˆeng 306

15.2 Gia’i phu.o.ng tr`ınh d a.o h`am riˆeng cˆa´p 2 d o.n gia’n nhˆa´t 310 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´y to´an co ba’n 313

15.3.1 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ`n s´ong 314e 15.3.2 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ`n nhiˆe.t 317e 15.3.3 Phu.o.ng tr`ınh Laplace 320

T` ai liˆ e.u tham kha’o 327

T´ıch phˆ an bˆ a ´t di.nh

10.1 C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ ınh t´ ıch phˆ an 4

10.1.1 Nguyˆen h`am v`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh 410.1.2 Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n 1210.1.3 Phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan t`u.ng phˆ` n 21a

10.2 C´ ac l´ o.p h` am kha ’ t´ıch trong l´ o.p c´ ac h` am

so cˆ a ´p 30

10.2.1 T´ıch phˆan c´ac h`am h˜u.u ty’ 3010.2.2 T´ıch phˆan mˆo.t sˆo´ h`am vˆo ty’ do.n gia’n 3710.2.3 T´ıch phˆan c´ac h`am lu.o ng gi´ac 48

10.1.1 Nguyˆ en h` am v` a t´ıch phˆ an bˆ a ´t di.nh

D- i.nh ngh˜ıa 10.1.1 H`am F (x) du.o c go.i l`a nguyˆen h`am cu’a h`am

f (x) trˆen khoa’ng n`ao d´o nˆe´u F (x) liˆen tu.c trˆen khoa’ng d´o v`a kha’ vi

ta.i mˆo˜i diˆe’m trong cu’a khoa’ng v`a F0(x) = f (x).

D- i.nh l´y 10.1.1 (vˆe` su tˆo`n ta.i nguyˆen h`am) Mo.i h`am liˆen tu.c trˆen

doa n [a, b] dˆ `u c´ e o nguyˆ en h` am trˆ en khoa’ng (a, b).

D- i.nh l´y 10.1.2 C´ac nguyˆen h`am bˆa´t k`y cu’a c`ung mˆo.t h`am l`a chı’

kh´ ac nhau bo ’ i mˆ o t h˘ a `ng sˆ o´ cˆ o ng.

Kh´ac v´o.i da.o h`am, nguyˆen h`am cu’a h`am so cˆa´p khˆong pha’i bao

gi`o c˜ung l`a h`am so cˆa´p Ch˘a’ng ha.n, nguyˆen h`am cu’a c´ac h`am e −x2,

x , l`a nh˜u.ng h`am khˆong so cˆa´p.

D- i.nh ngh˜ıa 10.1.2 Tˆa.p ho p mo.i nguyˆen h`am cu’a h`am f(x) trˆen

khoa’ng (a, b) du.o c go.i l`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh cu’a h`am f(x) trˆen khoa’ng

(a, b) v`a du.o c k´y hiˆe.u l`a

Z

f (x)dx.

Nˆe´u F (x) l`a mˆo.t trong c´ac nguyˆen h`am cu’a h`am f(x) trˆen khoa’ng

(a, b) th`ı theo di.nh l´y 10.1.2

Z

f (x)dx = F (x) + C, C ∈ R

trong d´o C l`a h˘a`ng sˆo´ t`uy ´y v`a d˘a’ng th´u.c cˆ` n hiˆe’u l`a d˘a’ng th´a u.c gi˜u.a

hai tˆa.p ho p

C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh:

T`u di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan bˆa´t di.nh r´ut ra ba’ng c´ac t´ıch phˆan co.

ba’n (thu.`o.ng du.o c go.i l`a t´ıch phˆan ba’ng) sau dˆay:

1 + x 1 − x

+ C, |x| 6= 1.

C´ac quy t˘a´c t´ınh t´ıch phˆan bˆa´t di.nh:

khoa’ng bˆa´t k`y khˆong ch´u.a diˆe’m x = 0 v`a khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen

mo.i khoa’ng ch´u.a diˆe’m x = 0.

Gia’i 1) Trˆen khoa’ng bˆa´t k`y khˆong ch´u.a diˆe’m x = 0 h` am y = signx

l`a h˘a`ng sˆo´ Ch˘a’ng ha.n v´o.i mo.i khoa’ng (a, b), 0 < a < b ta c´o signx = 1

v`a do d´o mo.i nguyˆen h`am cu’a n´o trˆen (a, b) c´o da.ng

F (x) = x + C, C ∈ R.

2) Ta x´et khoa’ng (a, b) m` a a < 0 < b Trˆ en khoa’ng (a, 0) mo.i

nguyˆen h`am cu’a signx c´ o da.ng F (x) = −x + C1 c`on trˆen khoa’ng (0, b)

nguyˆen h`am c´o da.ng F (x) = x + C2 V´o.i mo.i c´ach cho.n h˘a`ng sˆo´ C1

v`a C2 ta thu du.o..c h`am [trˆen (a, b)] khˆong c´o da.o h`am ta.i diˆe’m x = 0.

Nˆe´u ta cho.n C = C1 = C2 th`ı thu du.o c h`am liˆen tu.c y = |x| + C

nhu.ng khˆong kha’ vi ta.i diˆe’m x = 0 T`u d´o, theo di.nh ngh˜ıa 1 h`am

signx khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen (a, b), a < 0 < b N

V´ ı du 2 T`ım nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) = e |x| trˆen to`an tru.c sˆo´

Gia’i V´ o.i x > 0 ta c´ o e |x| = e x v`a do d´o trong miˆ`n x > 0 mˆo.te

trong c´ac nguyˆen h`am l`a e x Khi x < 0 ta c´ o e |x| = e −x v`a do vˆa.y

trong miˆ`n x < 0 mˆo.t trong c´ac nguyˆen h`am l`a −ee −x

+ C v´o.i h˘a`ng

sˆo´ C bˆa´t k`y

Theo di.nh ngh˜ıa, nguyˆen h`am cu’a h`am e |x| pha’i liˆen tu.c nˆen n´o

pha’i tho’a m˜an diˆ`u kiˆe.ne

l`a h`am liˆen tu.c trˆen to`an tru.c sˆo´ Ta ch´u.ng minh r˘a`ng F (x) l`a nguyˆen

h`am cu’a h`am e |x| trˆen to`an tru.c sˆo´ Thˆa.t vˆa.y, v´o.i x > 0 ta c´o

F0(x) = e x = e |x|, v´o.i x < 0 th`ı F0(x) = e −x = e |x| Ta c`on cˆ` n pha’iach´u.ng minh r˘a`ng F0

x Do vˆa.y, nguyˆen h`am cu’a f l`a h`am F (x) = ln|x| + C,

C ∈ R H˘a`ng sˆo´ C du.o c x´ac di.nh t`u diˆe`u kiˆe.n F (−2) = 2, t´u.c l`a ln2 + C = 2 ⇒ C = 2 − ln2 Nhu vˆa.y

F (x) = ln|x| + 2 − ln2 = ln

x2 ... th´u.c du.´o.i dˆa´u t´ıch phˆan c´o ch´u.a c˘an

2 ho˘a.c x = acht.

iii) Nˆe´u h`am du.´o.i dˆa´u t´ıch phˆan ch´u.a c˘an th´u.c

iv) Nˆe´u h`am du.´o.i dˆa´u...

lˆ` n t´ıch phˆan t`a u.ng phˆ` n bˆa.c cu’a da th´u.c s˜e gia’m mˆo.t do.n vi a

Nh´ om III gˆ` m nh˜o u.ng t´ıch phˆan m`a h`am du.´o.i dˆa´u t´ıch phˆan c´o

da.ng: e ax... (Dˆa´u o.’ c´ac vˆe´ pha’i cu’a d˘a’ng th´u.c c´o thˆe’ lˆa´y theo tˆo’ho p t`uy ´y)

III T´ıch phˆ an cu’a vi phˆ an nhi th´u c D´o l`a nh˜u.ng t´ıch phˆan da.ng

Z

trong