Một số phương pháp xác định nghiệm gần đúng đối với bài toán biên elliptic cấp hai trong miền phức tạp hoặc điều kiện biên phức tạp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CNTT & TT ------ BÙI THỊ THU TRANG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC CẤP HAI TRONG MIỀN PHỨC TẠP HOẶC ĐIỀU

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CNTT & TT

- -

BÙI THỊ THU TRANG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC CẤP HAI TRONG MIỀN PHỨC TẠP HOẶC ĐIỀU KIỆN BIÊN PHỨC TẠP

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Chuyên ngành : Khoa học máy tính

Mã số : 60 48 01

MỤC LỤC

MỤC LỤC i

DANH MỤC BẢNG iii

DANH MỤC HÌNH iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 3

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI SỐ 3

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 3

1.1 Phương pháp sai phân 3

1.1.1 Lưới sai phân 3

1.1.2 Hàm lưới 3

1.1.3 Bài toán sai phân 4

1.2 Thuật toán thu gọn khối lượng tính toán 5

1.2.1 Bài toán biên thứ nhất: 5

1.2.2 Bài toán biên thứ hai 10

1.3 Giới thiệu thư viện TK2004 13

1.3.1 Bài toán biên Dirichlet 13

1.3.2 Bài toán biên hỗn hợp 15

1.4 Giới thiệu thư viện RC2009 17

1.4.1 Bài toán biên Dirichlet 17

1.4.2 Bài toán biên Neumann 19

1.5 Phương pháp lặp giải phương trình toán tử 24

1.5.1 Lược đồ lặp hai lớp 24

1.5.2 Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép lặp 27

Chương 2 30

CÁC PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN 30

ĐỐI VỚI BÀI TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN BIÊN KÌ DỊ 30

2.1 Cơ sở của phương pháp 30

2.2 Các phương pháp xấp xỉ biên (BAMs) 31

2.2.1 Cơ sở phương pháp 31

2.2.2 Các phương pháp BAMs 32

2.3 Phương pháp xấp xỉ (GFIFs) 32

2.4.1 Kết quả sử dụng các phương pháp BAMs 34

2.4.2 Kết quả sử dụng phương pháp GFIFs 37

Chương 3 41

PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN 41

GIẢI BÀI TOÁN BIÊN VỚI BIÊN KỲ DỊ 41

3.1 Cơ sở của phương pháp 41

3.2 Ứng dụng của phương pháp chia miền đối với bài toán Motz 43

3.3 Mở rộng phương pháp chia miền trong trường hợp tổng quát: 47

PHẦN KẾT LUẬN 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

PHẦN PHỤ LỤC 55

DANH MỤC BẢNG

Bảng 2.1: Các hệ số ứng với Classic BAM (N=35) 35

Bảng 2.2: Các hệ số ứng với Hybrid BAM (N=35) 36

Bảng 2.3: Một số giá trị của các hệ số trong khai triển 38

Bảng 2.4: Một số giá trị của hệ số khai triển 39

Bảng 3.1 Kết quả thực nghiệm đối với bài toán Motz 46

Bảng 3.2 Số liệu thực hiện trong trường hợp tổng quát 50

DANH MỤC HÌNH

Hình 2.1 Dạng bài toán có điểm biên kì dị 30

Hình 2.2 Biểu diễn bài toán có điểm biên kì dị 33

Hình 2.3 Mô hình bài toán Motz 34

Hình 2.4 Nghiệm của bài toán Motz đối với phương pháp BAM 37

Hình 2.5 Đồ thị biểu diễn hệ số A k 39

Hình 3.1 Mô tả phương pháp chia miền 41

Hình 3.2 Mô hình Bài toán Mozt áp dụng phương pháp chia miền 44

Hình 3.3 Nghiệm của bài toán Motz với phương pháp chia miền 46

Hình 3.4 Mô hình bài toán Motz dạng tổng quát 47

Hình 3.5 Đồ thị nghiệm trong trường hợp tổng quát 50

Hình 3.6 Đường cong đạo hàm bậc nhất 51

MỞ ĐẦU

Một số mô hình trong vật lý và cơ học đều đưa đến việc xác định nghiệm của bài toán biên elliptic cấp hai với các điều kiện biên khác nhau Trong những trường hợp đơn giản khi miền hình học là miền hình chữ nhật và có điều kiện biên hỗn hợp yếu (tức là trên một cạnh chỉ có 1 loại điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann) thì bằng việc sử dụng các phương pháp sai phân, bài toán vi phân được đưa về hệ phương trình véc tơ ba điểm và xác định nghiệm gần đúng qua việc giải các hệ phương trình đại số tuyền tính bằng các thuật toán đã biết Tuy nhiên trong miền hình học không phải là miền hình chữ nhật hoặc điều kiện biên là hỗn hợp mạnh (tức là trên một cạnh có hai loại điều kiện biên Dirichlet và Neumann) thì bài toán xuất hiện điểm kì dị tại các góc của miền hoặc điểm phân chia giữa hai loại điều kiện biên khi đó phương pháp sai phân sẽ gặp khó khăn Để giải quyết các dạng bài toán trên, chúng ta có thể sử dụng phương pháp chia miền tìm nghiệm xấp xỉ bằng tổng hữu hạn các hàm cơ sở xung quanh điểm kì dị Như vậy, việc tìm hiểu, nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của các bài toán biên elliptic cấp hai trong trường hợp miền phức tạp hoặc điều kiện biên phức tạp cũng như so sánh giữa các phương pháp và lập trình tính toán thử nghiệm trên môi trường Matlab là có ý nghĩa khoa học

Nội dung chính của luận văn là tiến hành tìm hiểu, nghiên cứu cơ sở lý thuyết các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên elliptic cấp hai trong miền hình học phức tạp hoặc điều kiện biên phức tạp, đặc biệt là phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ thông qua các hệ hàm cơ sở xung quanh các điểm kì dị, so sánh với phương pháp chia miền và lập trình tính toán thử nghiệm trên nền ngôn ngữ Matlab Cấu trúc của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Đưa ra một số kiến thức cơ bản về phương pháp sai phân, thuật

toán thu gọn giải hệ phương trình véc tơ ba điểm, các hệ thống thư viện chương trình mẫu và lý thuyết về các sơ đồ lặp

Chương 2: Trình bày cơ sở lý thuyết về phương pháp xấp xỉ biên đối với bài

toán có điều kiện biên kì dị trong 2 trường hợp, trường hợp miền hình học phức tạp

và trường hợp điều kiện biên hỗn hợp mạnh Kết quả áp dụng với bài toán Motz

Chương 3: Đưa ra cơ sở các phương pháp chia miền giải bài toán biên với

biên kì dị, so sánh các phương pháp xấp xỉ biên với phương pháp chia miền đối với bài toán Motz

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Vũ Vinh Quang, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trường Đại học Công nghệ thông tin và truyền thông

- Đại học Thái Nguyên, Viện Công nghệ thông tin - Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập Tuy nhiên vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong các thầy cô giáo và các bạn đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Trong chương này, luận văn trình bày một số kiến thức liên quan đến việc giải số phương trình đạo hàm riêng bao gồm: Cơ sở về phương pháp lưới, phương pháp lặp, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán, giới thiệu các thư viện chương trình TK2004 và RC2009 tìm nghiệm số của các bài toán biên hỗn hợp trong miền chữ nhật Những kiến thức cơ sở và kết quả được tham khảo từ các tài liệu [3,4,8,10]

1.1 Phương pháp sai phân

1.1.1 Lưới sai phân

, , 0 , 0

x  a ih y  c jk i N j M Mỗi điểm ( ,x y i j)gọi là một nút lưới ký hiệu là nút ( , )i j Tập tất cả các nút trong miền ký hiệu là hk Nút ở trên biên gọi là nút biên; tập tất cả các nút biên ký hiệu là hk, tập hk =hk hk gọi là một lưới sai phân trên 

1.1.2 Hàm lưới

Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm lưới, giá trị của hàm lưới u ( x , y ) tại nút lưới ( , )i j viết tắt là ui , j, i0,N,j 0,M Mỗi hàm u i j ( , )xác định tại mọi (x,y) tạo ra hàm lưới u xác định bởi ui , j

1.1.3 Bài toán sai phân

Ký hiệu m(  )

C là không gian các hàm số hai biến ( , ) x y có các đạo hàm

riêng đến cấp m liên tục trong  =     Giả sử bài toán có nghiệmuC4(), khi đó:

x

u max y 4 ( , ) 1 =

4 ) ,

4 ) ,

Ta được bài toán sai phân hoàn chỉnh: Tìm hàm lưới u tại các nút ( i, j )

thỏa mãn hệ phương trình sai phân (1.2) với các điều kiện biên (1.3) Như vậy việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán vi phân (1.1) với độ chính xác cấp hai được đưa về việc giải bài toán sai phân (1.2) với điều kiện (1.3) bằng các phương pháp đại số

1.2 Thuật toán thu gọn khối lượng tính toán

Phương pháp này được đề xuất bởi Samarskij-Nicolaev Bằng các phép biến đổi đơn giản về véc tơ và ma trận, các bài toán sai phân luôn luôn được đưa về hệ phương trình véc tơ ba điểm thuộc một trong các dạng sau đây:

1.2.1 Bài toán biên thứ nhất

Xét bài toán biên thứ nhất đối với phương trình véc tơ ba điểm

j j j

Y1  1 =

 , 1 jN1, Y0 = F0, Y = N F N (1.4) Trong đó Y j là véc tơ cần tìm, C là ma trận vuông, F j là véc tơ cho trước Ý tưởng của phương pháp rút gọn hoàn toàn giải (1.1) là khử liên tiếp các ẩn Y j đầu tiên với các j lẻ, sau đó từ các phương trình còn lại khử các Y j với j là bội của 2, rồi bội của 4, … Mỗi bước khử sẽ giảm được một nửa số ẩn Như vậy nếu n

N=2thì sau một số lần khử sẽ còn lại một phương trình chứa véc tơ ẩn Y N/2 mà từ đó Y N/2

có thể tính được qua Y0 và Y N Sau khi đã có được Y0,Y N/2 và Y N thì quá trình ngược

lại là việc tìm các Y j với j là bội của

rút gọn hoàn toàn là một biến thể của phương pháp khử Gauss áp dụng cho bài toán (1.4) trong đó việc khử các biến được thực hiện theo một thứ tự đặc biệt Sau đây, ta

Y j C Y j Y j F j j N , Y0 = F0, Y = N F N (1.5)

Bước khử thứ nhất: Từ các phương trình đầu của (1.5) ta khử các Y j với j

lẻ Muốn vậy ta viết 3 phương trình liên tiếp:

(0) 1 1

Nhân 2 vế của phương trình thứ hai với (0)

C vào bên trái rồi cộng cả 3 phương trình lại ta được:

2 2,4, ,

= ,

= (1)1

2 (1)

Y j C Y j Y j F j j N , Y0 = F0, Y = N F N (1.6) trong đó: C(1) = (C(0 ) ) 2  2E, F j(1) = F j(0)1C(0)F j(0) F j(0)1,j= 2,4, ,N  2

Nhận xét rằng hệ (1.6) chỉ chứa các Y j với j chẵn, số véc tơ ẩn Y j là 1

Bước khử thứ hai: ở bước khử này ta sẽ tiến hành khử các Y j của hệ (1.6) với j là bội của 2 nhưng không là bội của 4 Muốn vậy ta viết 3 phương trình liên tiếp của (1.6)

(1) 2 2

= ( ,

= (1)

2 (1)

(1) 2 4 2 (1)

Nhân 2 vế của phương trình thứ hai với ( 1 )

C vào bên trái rồi cộng cả 3 vế phương trình lại ta được

= ,

l

Y = ) , = 2 ,2.2 ,3.2 , , 2

2 )

và nhóm các phương trình:

1 2 1 2 1) (

C và các véc tơ vế phải (k)

j

F được tính theo các công thức truy toán:

E C

C(k) = ( (k1))2 2 , 1

2 1) ( 1 1)

( 1 2 ) (

k j

k

j= 2k,2.2k,3.2k, ,N 2k,k= 1,2,3 , (1.11)

Từ các bước khử trên suy ra rằng sau n1 bước khử (l=n1) ta thu được hệ

chỉ gồm một phương trình đối với biến Y2N 1=Y N/2 là

N N N

n j n j n j

n j j n

F Y F Y Y Y F

Y Y

F Y

2 1 2 1) ( 1)

với vế phải đã biết Vì vậy từ (1.12) ta có thể tìm được Y N/2, và tất cả các ẩn còn lại

được tìm liên tiếp từ các phương trình:

F theo (1.13) Để khắc phục những khó khăn trên, thay cho (k)

= , 2 , ,3.2 ,2.2 2

= ,

j k j k

q p

1 2 1)

( 1 2 1)

( 1 2 1) ( 1) ( 1) ( 1 2 1) ( 1) (

k k j

k k j

k j k k

k j

k j k

q q

p p

C p

q

1,2,3

= , 2 , , ,3.2 ,2.2 2

( 1) ( 2 ) ( ) (

2

=     k 

k j k

k j k j k

q

Khi đó, kết hợp với công thức ( ) ( 1) 2

] [

1) ( 1 2 1) ( 1) ( 1) ( 1 2 1) ( ) ( ) (

k j k k

k j

k j k j k

p p

C p

q p C

Đặt ( 1) ( ) ( 1)

j k j k

( 1 2 1) ( 1) ( 1) (

k k j

k j k j k

p p

q S

( 1 2 1) ( 1) ( 1) (

k k j

k j k j k

p p

q S

j k j k

S , 1)

( 1) ( 2 1)

( 1) ( 2 ) ( ) (

2

=     k 

k j k

k j k j k

N

j= 2 ,2.2 ,3.2 , ,  2 , k=0,1,2, ,n1

Ký hiệu ( 1) ( 1)

  k

j j k

t , ta sẽ thấy rằng Y j có thể tính được từ các công thức sau

1 2 1 2 1) ( 1) ( 1) (

k j k j k

Y Y

q t

=   k

j k j

=2 ) (

C T

1)

= ( 1) (

=  

  k l k

l k

C

E

l C

2

1)(2cos

1 1

1 ,k l = l, = 1,2, ,2k

Bước 1: Cho các giá trị ban đầu p(0)j ,q(0)j = F j,j= 1,2,3, ,N 1

Bước 2: Với k =1 giải phương trình

(0) (1)

= j

1) ( (0) 1) ( (1) (1)

2

=    j N

j j

k k k

k j

k k j

k j

j =q p p( 1)1,j= 2 ,2.2 ,3.2 ,N 2

2 1)

( ) 1 2 ( 1) (

1) ( ) 1 ,k j l = j l

l

Khi đó

) 1 (2 1) ( )

(

=   k

j k j k

1 1

2 1 2 1) ( (0)

2

,3.2 2

= ,

=        k k  k

k j k j

k j

,3.2 2

l

Khi đó:

k k

k k k

j k j

Y = ( 1)(2 1), = 2 ,2.2 ,3.2 ,  2

Bước 3: Với k =1, giải phương trình

1 1,3,5, ,

= ,

=q(0) Y1Y1 j N

1.2.2 Bài toán biên thứ hai

Xét bài toán thứ hai

,11

,,0,1

1 1

0 0

N N N

j j j j

F CY Y

N j F Y CY Y

j F Y

(1.18)

trong đó 2 , n 0

N  n Để giải bài toán (1.18) ta cũng thực hiện các bước khử lần

lượt như đã được trình bày ở bài toán biên thứ nhất Sau n phép thử, ta nhận được

các phương trình

) ( )

( ) 0 ( ) ( 0

2 2

) 1 ( )

,2][

,2

2, ,2.2,2

,,

2 ) 1 ( ) (

) 1 ( ) 1 ( 1 2 )

(

1 2 1 ) 1 ( 1 1 ) ( 0 ) ( 0

1

1 1

E C

C

F C F

F

N j

F F C F

F

F F

k k

k N k k

N

k N

k k

k

k j j k k

j k j k

k

k k

N N

1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (

) 1 ( )

1 (

j k

j k

j k

k

p q

S C

,) 1 ( ) 1 ( ) (    k

j k j k

p

,

2 ( ) ( 21) ( 21))

(

) 1 ( ) 1 (

j

k j k

q

0 ) 0 ( )

0 (

,

1 , , 2 , 1 , 0 , 2 , , 2 3 , 2

k k

k

p F q

n k

N j

Tương tự, với j=N, ta có:

,0

;

,2

2

,

,2

) 0 ( )

0 (

) 1 ( 2 )

( ) (

) 1 ( ) 1 ( ) (

) 1 ( 2 )

1 ( 1 ) 1 (

) 1 (

) 1 (

k N

k N k

N

k N k

N k N

k N

k N k N k

p F q

q p

q

S p

p

p q

S C

k k

Trong đó

1,2, ,1,,2, ,2.3,2

) 1 ( ) 1

n n k N

j t p

1

2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (

j k

Y Y

q t

C

Dưới đây là thuật toán giải bài toán biên thứ hai:

 Quá trình xuôi:

Bước 1: Xác định các giá trị ban đầu p(j0) 0 ;q(j0) F j,j 1 , 2 , ,N

Bước 2: Với k=1,2,…,n-1 xác định các véc tơ:

k k

k k

j k

j k j

1 

l và với mỗi j 2k, 2 2k, ,N 2k,giải phương trình

) 1 ( ) 1 ,



  l

j l j k

C

Khi đó

k k

k k

j k

j

k j k

j k j k j k

2 )

1 ( 2 ) ( ) ( ) 1 2 ( ) 1 ( )

(

) 1 ( ) 1

1 ( ) 0 (

) 1 (



  l

N l N k

C

Khi đó

) 1 ( 2 )

( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) (

1

1

22

N N k N k

k

q p

q v p

P

 Quá trình ngược:

Bước 1: Xác định Y N, xác định véc tơ

0 ) ( ) 0 (

2Y q

v N  N n 

sau đó, với l=1,2,…,n, giải hệ

) 1 ( ) ,



 l N l N n

C

Khi đó

) ( ) ( n N n N

1 2

2 ) 1 ( ) 0 (

2, ,2.3,2,

) 1 ( ) 1 (

k j

j k j

2 , , 2 ,



  l

j l j k

C

Khi đó

k k

k k j

k j

Y  ( 1) (2k1), 2 ,2.2 ,3.2 , , 2Trên đây là nội dung của thuật toán thu gọn khối lƣợng tính toán giải bài toán biên thứ nhất và bài toán biên thứ hai Trong các tài liệu của Samarskij - Nicolaev [8] đã chứng minh độ phức tạp của các thuật toán là O(MNlogN)

1.3 Giới thiệu thƣ viện TK2004

1.3.1 Bài toán biên Dirichlet

Xây dựng hàm u0000(phi b b b b L L c M N n p p q q, 1, 2, 3, 4, 1, 2, , , , , 1, 2, 1, 2) trả lại nghiệm bằng số của bài toán, trong đó:

+ MN là lưới trên hình chữ nhật

+ phi là ma trận giá trị của hàm vế phải

+ b b b b1, 2, 3, 4 là véc tơ giá trị của điều kiện biên trên các cạnh

+ L L1, 2 là kích thước của hình chữ nhật

+ p p q q1, 2, 1, 2 là tọa độ của các đỉnh hình chữ nhật trong không gian lưới

1.3.2 Bài toán biên hỗn hợp

Cho miền  =  x = ( , );0 < x x1 2 x1< ;0 < l1 x2< l2

Xét bài toán biên hỗn hợp

1 2 2

+ phi là ma trận giá trị của hàm vế phải

+ b b b b1, 2, 3, 4 là véc tơ giá trị của điều kiện biên trên các cạnh

+ L L1, 2 là kích thước của hình chữ nhật

Hoàn toàn tương tự, trong các trường hợp khi điều kiện biên Neumann trên 2 cạnh, 3 cạnh hoặc 4 cạnh của hình chữ nhật, sử dụng phương pháp sai phân, chúng

ta đưa bài toán elliptic về các hệ phương trình vecto 3 điểm và sử dụng thuật toán thu gọn khối lượng tính toán xác định nghiệm bằng số trên từng điểm lưới Các hàm được thiết lập tương tự là u0010( ), 0100( ), 1000( ), 1100( ), , 1111( )u u u u sẽ cho phép xác định nghiệm số với các bài toán tương ứng Trong các kí hiệu hàm trên, kí hiệu 0 tương ứng với biên Dirichlet, kí hiệu 1 tương ứng với biên Neumann Các hệ thống hàm trên đã được xây dựng thành thư viện TK2004 cho phép giải số tất cả các bài toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp, các kết quả trên đã được đưa ra trong [3]

1.4 Giới thiệu thư viện RC2009

Thư viện chương trình RC2009 là sự phát triển của thư viên TK2004 tìm nghiệm số của bài toán biên hỗn hợp trong trường hợp toán tử của phương trình phức tạp hơn

1.4.1 Bài toán biên Dirichlet

Xét trường hợp khi toán tử luu tức là điều kiện biên dạng Dirichlet, k ,k ,c1 2

là các hằng số,  là hình chữ nhật có kích thước hai cạnh là L1, L2 Xuất phát từ phương pháp lưới, chia miền  thành MN điểm lưới, trong đó N  2 ,n n 0 Kí

phương pháp sai phân với độ chính xác  2 2

1, 0, 2

2 2 2, 2

2 2 2, 2 2 2

1, , 2

h k F

h k h

rg k

Trên cơ sở thuật toán thứ nhất tiến hành cài đặt giải hệ phương trình trên

Thiết kế các hàm RC0000(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,C,N,M,n), thực hiện thuật

toán thu gọn

Hàm v0000(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,C,M,N,n,p1,p2,q1,q2) trả lại ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.24) bắt đầu từ tọa độ (p 1 ,q 1 ) đến (p 2 ,q 2 )

1.4.2 Bài toán biên Neumann

Xét bài toán biên hỗn hợp

Trường hợp 1: Điều kiện trên cạnh trên của hình chữ nhật là dạng

1, 2 4 1 2

2 2

2, 2 4 2

2 2

2, 2 4 2

2 2

h b k

F

h

h b M k

1, 1 2

2 2 2, 2

2 2 2, 2 2 2

1, 2 2

h k F

h k h

rb j k

Thiết kế hàm RC0001(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,c,N,M,n) thực hiện thuật

toán thu gọn

Hàm v0001(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,c,M,N,n,p1,p2,q1,q2) trả lại ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.25) từ tọa độ (p 1 ,q 1 ) đến (p 2 ,q 2 ) Trong trường hợp khi

điều kiện biên trên một trong các cạnh còn lại là dạng Neumann, sử dụng phương

pháp biến đổi tọa độ trên cơ sở của hàm chuẩn RC0001(…) xây dựng các hàm

v0010(…),v0100(…),v1000(…) trả lại nghiệm bằng số của các bài toán tương ứng

Trường hợp 2: Điều kiện biên trên cạnh phải và cạnh trên của hình chữ nhật

1, 2 4 1 2

2 2

2, 2 4 2

2 2

1, 2 4 2

2 2

h b k

F

h

h b M k

h

h b M rh b N k

0 0 0 0 0 0 0

1, 1 2

2 2 2, 2

2 2 1, 2 2 2 , 1 2 2

h k F

h k h

rh b j k

điều kiện biên trên hai cạnh là dạng Neumann, sử dụng phương pháp biến đổi tọa độ trên cơ sở của hàm chuẩn RC0002(…) xây dựng các hàm

v1010(…),v1001(…),v0110(…) trả lại nghiệm bằng số của các bài toán tương ứng

Trường hợp 3: Điều kiện biên trên ba cạnh của hình chữ nhật là dạng

Neumann

Tương tự, thiết kế hàm RC0003(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,c,N,M,n) thực

hiện thuật toán thu gọn khối lượng và xây dựng các hàm v0111(…), v1110(…),

v1101(…), v1011(…) trả lại nghiệm bằng số cho các bài toán tương ứng

Trường hợp 4: Điều kiện biên trên tất cả các cạnh của hình chữ nhật là

0, 1 2

2 2 1, 2

2 2 1, 2 2 2 , 1 2 2

0 0 0 0 0 0 0

Trên cơ sở của thuật toán thứ hai áp dụng trong trường hợp tổng quát, thiết

kế hàm RC0004(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,c,N,M,n) thực hiện thuật toán thu gọn, hàm v1111(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,c,M,N,n,p1,p2,q1,q2) trả lại ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.26) từ tọa độ (p 1 ,q 1 ) đến (p 2 ,q 2 )

Các hàm mẫu trên đã được xây dựng trong thư viện RC2009 cho phép giải số bài toán biên elliptic tổng quát với điều kiện biên hỗn hợp Các kết quả đã được đưa

ra trong tài liệu [4]

1.5 Phương pháp lặp giải phương trình toán tử

1.5.1 Lược đồ lặp hai lớp

Xét bài toán

= ,

Au f (1.27) trong đó A H: H là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực N chiều với tích vô hướng (.,.) và chuẩn y = ( , )y y

Giả sử A là toán tử đối xứng, xác định dương, f H là vectơ tùy ý Trong phương pháp lặp, xuất phát từ y0 bất kỳ thuộc H , người ta đưa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ y y1, 2, , yk, của phương trình (1.27) Các xấp xỉ như vậy được biết như là các giá trị lặp, với chỉ số lặp k = 1,2, Bản chất của phương pháp này

là giá trị yk1 có thể được tính thông qua các giá trị lặp trước: y yk, k1,

Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu xấp xỉ yk1 có thể tính được thông qua một hoặc hai giá trị lặp trước đó

Phương pháp lặp một bước có thể được viết như sau:

B yk k1 = Cyk  F kk( = 0,1,2 ) (1.28)

ở đây Bk và Ck là các toán tử tuyến tính từ không gian H vào không gian H , chúng phụ thuộc vào chỉ số lặp k,Fk H là hàm biết trước phụ thuộc k và yk là

giá trị lặp thứ k Giả thiết rằng 1

k

B tồn tại với mọi k

Nghiệm chính xác u của phương trình (1.27) không phụ thuộc vào k , thoả mãn phương trình (1.28)

Vì véctơ u chưa biết nên thay điều kiện (1.31) bằng bất đẳng thức cho độ không khớp

k

Ay  f   Ay  f (1.32) Chấp nhận điều kiện dừng là

y  u   y  u (1.33) Trong đó D là toán tử đối xứng, xác định dương Với 2

=

D A , từ (1.33) có thể suy ra (1.32)

Xét phương trình liên quan đến phần dư zk = yk  u Từ Au= f ta có

Lược đồ (1.29) cho xấp xỉ nghiệm u của phương trình Au= f với bất kỳ toán tử B n và cách chọn tham số k1 Nhưng q n phụ thuộc vào cả { } Bn và {k1} Vấn đề ở đây là nên chọn { } Bk và {k1} như thế nào để cực tiểu chuẩn n D = qn

của toán tử Tn trong lược đồ (1.29) và để cực tiểu toàn bộ số phép toán số học cần

để phục hồi giá trị yk1 từ phương trình

số phép lặp cực tiểu nn( ) , thì

( ) k

k = 1( ) = =

Q  qui về vấn đề cực tiểu n( ) và số Q k phụ thuộc vào B k

+ Nếu Bk = E thì lược đồ lặp (1.29) được gọi là lược đồ lặp hiển

1.5.2 Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép lặp

Lược đồ lặp (1.29) với toán tử Bk = B , tham số k1=  không đổi

1 2

là phần đối xứng của toán tử B

Với Bk = B cố định, định lý đã đưa ra qui tắc lựa chọn giá trị  để lược đồ lặp hội tụ Trong trường hợp B = E, điều kiện hội tụ sẽ được đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn

Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN BIÊN KÌ DỊ

2.1 Cơ sở của phương pháp

Phương pháp được đưa ra bởi các tác giả Z C Li và Y L Chan (2006) áp dụng đối với các bài toán có các điểm biên kì dị Các kết quả được tham khảo trong tài liệu [7]

Xét bài toán sau

trên , n

u

n trê g

u

g tron ,

0

2 2

1 1

g qu

*( ) v:v,v ,v L ( ),v 1 g

H   x y  

Theo lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng, vì trên biên của bài toán tồn tại điểm biên kì dị (là điểm phân cách giữa 2 loại điều kiện biên Dirichlet và Neumann) nên bài toán tồn tại nghiệm yếu

Nghiệm yếu uH*1(  ) thoả mãn phương trình tích phân

) ( H v , quvdl

2 2

, (