Thiết kế tối ưu dầm

Thiết kế tối ưu dầm

I Đặt vấn đề

Trong công tác thiết kế công trình giao thông thờng hay gặp các bài toán thiết

kế tối u nh cần xác định các tham số của kết cấu xây dựng tối u theo tiêu chuẩn khối lợng vật liệu, giá thành Về tổng quát có thể nêu dạng bài toán thiết kế tối

u nh sau:

Xác định giá trị các biến độc lập (Các thông số độc lập của kết cấu): x1, x2, x3 xn

Sao cho khi đó hàm mục tiêu của kết cấu

F = F (x1,x2, x3 xn)

là hàm phi tuyến của các biến độc lập có thể đạt giá trị cực tiểu (Hay cực

đại) với điều kiện các biến x1, x2, xn chỉ nhận các giá trị dơng, tức là:

xj >0 với j = 1 n

và thoả mãn các điều kiện ràng buộc cho dới dạng phi tuyến của các biến trên:

Ri = R(x1, x2, xn) <= 0; i = 1 n; n<m

Tổ hợp bao gồm các công thức xác định nên tập hợp các giá trị thông số thiết kế x1, x2 xn và xác định tất cả các đặc tính của chúng, trong đó có giá trị các ràng buộc và hàm mục tiêu, đợc gọi là mô hình toán học của đối tợng thiết kế

II Bài toán

Đặt bài toán tối u hoá nh sau:

Xác định các thông số kích thớc hình học của dầm BTCT thờng mặt cắt chữ T, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh tải và hoạt tải rải đều, thoả mãn các điều kiện về cờng độ biến dạng chung và các yêu cầu về cấu tạo, có giá thành vật liệu nhỏ nhất

Sơ đồ mặt cắt và mô hình toán học theo hình vẽ

- Hàm mục tiêu:

F = Vb * Gtb + Ga* Gta ===> min

Trong đó:

Vb: Thể tích Bê tông Ga: Trọng lợng thép

Fa, Fb: Diện tích tiết diện ngang bê tông và cốt thép.

L: Chiều dài dầm

γa: Trọng lợng riêng thép

Gta, Gtb: Giá thành 1 đơn vị trọng lợng thép và 1 đơn vị thể tích bê tông

- Các hàm ràng buộc

M(l/2) <= [M] (Điều kiện về cờng độ)

a <= [a] (Điều kiện về độ mở rộng vết nứt)

f(l/2) <= [f(l/2)] (Điều kiện vè độ võng)

- Các điều kiện của kích thớc hình học theo kinh nghiệm

1.5m <= bc <= 2.4 m

L/15 <= h <= L/7

- Các số liệu đa vào

Ru: Cờng độ chịu nén khi uốn của bê tông

Eb: Mô đuyn đàn hồi bê tông

Ra: Cờng độ của thép

Qtc: Tải trọng rải đều thay thế tơng đơng tiêu chuẩn

Qr: Tải trọng rải đều tơng đơng tính toán

(và các số liệu khác)

III Lựa chọn phơng pháp thiết kế tối u bài toán

Để giải quyết đợc bài toán trên, có thể áp dụng nhiều phơng pháp khác nhau nh phơng pháp Gradient, phơng pháp dò dần theo từng trục toạ độ (Phơng pháp Gause – Zaidel), phơng pháp chia ô

ở đây lựa chọn và áp dụng phơng pháp Gradient để giải quyết

1 Giới thiệu phơng pháp Gradient

Phơng pháp Gradient thuộc nhóm các phơng pháp tất định xác định hớng dịch chuyển đến điểm tối u

Gradient của hàm F(x) với x = (x1, x2, xn) là véc tơ mà các toạ độ của nó là các đạo hàm riêng của hàm F(x) theo các biểu số

= ( , , )

1 2

Về mặt hình học giải tích, gradient của hàm mục tiên chính là véc tơ chỉ h-ớng tăng nhanh nhất giá trị hàm số đó Nh vậy véc tơ F gọi là véc tơ ngợc gradient sẽ chỉ ra hớng giảm nhanh nhất giá trị hàm mục tiêu Nếu di chuyển trong không gian n chiều của các biến số theo hớng - F (ở lân cận điểm đang xét) đi một đoạn x nào đó sẽ giảm nhanh hàm mục tiêu hơn là di chuyển theo bất kỳ hớng nào khác Nh vậy có thể lợi dụng tính chất này để đề ra các

ph-ơng pháp giải bài toán tối u hoá

Trong thực tế có thể nhiều hàm F(x) là khả vi nên có thể tính các đạo hàm riêng F/xi Nh vậy có thể tính gradient tại điểm bất kỳ Nếu hàm F(x) quá phức tạp và không thể tính các đạo hàm riêng bằng phơng pháp giải tích thì

có thể dùng phơng pháp sai phân để ớc lợng gần đúng gradient

Trong trờng hợp tổng quát khi hàm mục tiêu F(x) có n biến số X = (x1, x2, x3 xn) thì đạo hàm riêng theo phơng pháp sai phân có thể theo công thức sau

∂

∂

i i

x ≈F = h x

, ( ∆ ) ( )

Càng giảm chiều dài bớc h thì độ chính xác của phép tính gần đúng

đạo hàm sẽ tăng nhanh

Ngoài ra có thể tính đạo hàm riêng qua các giá trị hàm mục tiêu theo công thức:

dF dx

F x h F x h

h h

F

2 ( ) ( )

2 áp dụng phơng pháp Gradient để giải bài toán

* Sử dụng phơng pháp Gradient để thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ T theo điều kiện giá thành kết cấu nhỏ nhất, hàm mục tiêu có biến là bc (Chiều rộng bản cánh) và h (Chiều cao dầm)

* Thuật toán:

- Các công thức áp dụng

M(l/2) = qtt*l2/8; [M(l/2)] = Ra*Fa*(ho-a’)

F(l/2) = (5/384)*(qtc*l4/Eb*Itd);[F(l/2)] = L/400

a = 3*(σatc/Ea)*ψ2*Rr1/2; [a] = 0.02 cm

Vb=Fb*L;

Ga = fa*γa; Fa = M/(Ra*ho*γ)

Xd = (Fa*a*(n-1)+bs*(h-hc)2/2+bc*hc*(h-hc/2))/Ftđ

Yt = h-xd

Ftđ = bc*hc+(h-hc)*bs+Fa*(n-1)

Itđ=Ia(0-0)+Is(0-0)+Ic(0-0)

Ia(0-0)= Fa*(n-1)*(xd-a)2

Is(0-0)= (h-hc)3*bs/12 +bs*(h-hc)*((h-hc)/2 - xd)2

Ic(0-0)= bc*hc2/12+ bc*hc*(xt-hc/2)2

Qtc = qtc

bảnthân + qtc

phủ + qtc Trong đó

qtc bảnthân = Ftđ*γb

qtc phủ = bc*hphủ*γphủ

qtc sẽ cho với bài toán cụ thể qtt = qtcbt *1.1 + qtc

phủ*1.5+qtc*(1+à)

- Xét hàm mục tiêu là hàm 2 biến:

F = Vb * Gtb + Ga* Gta = F(x,y)

(Trong đó x=bc, y=h)

Hàm F(x,y) là hàm phi tuyến Để sử dụng phơng pháp Gradient trên mặt F(x,y) ta tìm cực tiểu theo hớng có độ dốc lớn nhất, nghĩa là theo hớng ngợc ∆F

Nếu F(x,y) có cực tiểu tại (xt,yt) ta có quá trình lặp

Xi+1 = xi - ui*F(x)’(x,y)

Yi+1 = yi - ui*F(y)’(x,y)

Giá trị bớc lặp ui trong công thức trên sẽ đợc xác định ở mỗi bớc

Gọi h là bớc lặp Gradient ta có

Deltax = f(x+h,y)-F(x-h,y)

Deltay = f(x,y+h)-F(x,y-h)

Deltaxy = ((deltax)2+(deltay)2)1/2

Quá trình lặp theo thuật toán:

Xi+1 = xi - l*deltax/deltaxy

Yi+1 = yi - l*deltay/deltaxy

Trong đó l là khoảng cách cho trớc

Quá trình lặp lại này dừng lại khi l<ep cho trớc và x1<=x<=x2; y1<=y<=y2 cho trớc

i > N lặp

Delta XY <> 0

x1 <= x <= x2 y1 <= y <= y2

l <= l max

F(xt, yt) < F(xl, yl)

Delta XY <= ep

Khởi tạo x,y nhận các giá trị ban

đầu xt=x0, yt=y0

i=0

i = i + 1

Thông báo lặp đủ số vòng theo yêu cầu

Tính Delta X, Delta Y, Delta XY

xl = xt, yl = yt

l = l/2

Tính x, y theo công thức

Thông báo giá trị cực tiểu F(x,y)

sơ đồ khối chương trình thiết kế tối ưu dầm btct